Title 脳波を記述する積分方程式について ( 関数方程式の定性的理論とその現象解析への応用 ) Author(s) 鈴木, 貴 ; 久保, 明達 Citation 数理解析研究所講究録 (2001), 1216: 1-12 Issue Date URL
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- しょうこ ひろき
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1 Title 脳波を記述する積分方程式について ( 関数方程式の定性的理論とその現象解析への応用 ) Author(s) 鈴木 貴 ; 久保 明達 Citation 数理解析研究所講究録 (2001) 1216: 1-12 Issue Date URL Right Type Departmental Bulletin Paper Textversion publisher Kyoto University
2 (Primary (Integral Equation for the Electroencephalography) * ** * Takashi Suzuki Department of Mathematics Graduate School of science Osaka University ** Akisato Kubo School of Health sciences Fujita Health University 1 Introduction $\cdots$ (Electroencephalography ) (Neuron ) (Geselowitz[4] 1967) $\cross B=\mu_{0}J$ $\nabla\cdotb=0$ in $R^{3}$ (1) Amp\ e $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{h}^{1}1$ $J=J^{p}-\sigma(x)\nabla V$ : (2) $J^{p}(x)$ :Neuron $\grave{\mathit{1}}\mathrm{i}\mathrm{f}_{\mathrm{b}}$ $\grave{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\iota$) $-\sigma(x)\nabla V$ : secondary $\grave{\mathrm{y}}\mathrm{j}_{1\mathrm{b}}^{\mathrm{g}}$ Neuron $\sigma(x)$ : $V(x)$ : $l^{l}0=4\pi/c$ : $B=B(x)$ : ( $c>0$ ) $J(x)$ $\sigma(x)=\{$ $\sigma_{i}>0(x\in\omega_{i}\backslash \Omega_{i-1})$ $i=12$ $\cdots$ $rn+1$ $\sigma_{0}>0(x\in\omega_{0})$ $\Omega_{0}$ $\Omega_{1}$ $\Omega_{m}\subset R^{3}$ $\cdots$ $\Omega_{0}\subset\subset\Omega_{1}\subset\subset\cdots\subset\subset\Omega_{m}\subset\subset R^{3}$ $S_{j}=\partial\Omegaj-1(i=12 \cdots \prime m+1)$ $\Omega_{m+1}=R^{3}$ (1) $J=0$ in $R^{3}$
3 2 $R^{3}$ (2) $\Omega_{i}$ $\sigma_{i}\triangle V=\nabla\cdot J^{p}$ in $\backslash \Omega_{i-1}$ (3) $[ \sigma(x)\frac{\partial V}{\partial n}]+-=0$ on $S_{i}$ $i=12$ $\cdots$ $m+1$ $A_{+}( \xi)=\lim_{xarrow\xix\in\omega_{i}}a(x)$ $A_{-}( \xi)=\lim_{-1}a(x)\mathrm{r}arrow\xix\in\omega\dot{}$ $n:\omega_{i-1}$ $S= \bigcup_{i=1}^{m}s_{i}$ $\Gamma(x)=\frac{1}{4\pi x }$ $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}j^{\rho}\subset\overline{\omega}0$ $\nabla\cdot J^{p}\in L^{2}(\Omega_{\{)})$ $V(x)\in H^{1}(R^{3})$ $V(x)$ : $- \int_{\omega_{0}}\nabla\cdot J^{p}(y)\Gamma(x-y)dy=-\int_{R^{3}}\nabla\cdot(\sigma(y)\nabla V(y))\Gamma(x-y)d?]$ (3) $= \int_{r^{3}}\sigma(y)\nabla V(y)\cdot\nabla_{y}\Gamma(x-y)dy$ $x\in R^{3}\backslash S$ $0<\epsilon<<1$ $\int_{r^{3}}\sigma(y)\nabla V(y)\cdot\nabla_{y}\Gamma(x-y)dy=\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{R^{3}\backslash B(x\epsilon)}\sigma(y)\nabla V(y)\cdot\nabla_{y}\Gamma(x-y)dy$ $\int_{r^{3}\backslash B(x\epsilon)}\sigma(y)\nabla V(y)\cdot\nabla_{y}\Gamma(x-y)dy=\sum_{i=1}^{m}\int_{S_{i}}[\sigma(x)V(y)]_{-}^{+}$ $\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(x-y)ds_{y}$ $+ \int_{\partial B(x\epsilon)}\sigma(y)V(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(x-\uparrow/)ds_{y}$ $- \sigma_{i})\int_{s}\dot{}v(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(x-y)ds_{y}+\sigma(x)v(x)$ $x\in R^{3}\backslash S$
4 $\sigma(x)v(x)\ovalbox{\tt\small REJECT}-\ovalbox{\tt\small REJECT}\nabla\cdot J^{p}(y)\mathrm{F}(x-y)dy-\ovalbox{\tt\small REJECT}^{(\sigma_{i-1}-\sigma_{i})\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}V(y)\ovalbox{\tt\small REJECT}_{y}b\mathrm{F}(x-y)ds_{y}$ $\Omega_{0}$ $\backslash$ $i\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$ 3 (4) $H_{i}(x)= \int_{s}\dot{}v(y)$ $\partial n_{y}\partial\gamma(x-y)ds$ $S_{j}$ $\frac{1}{2}(h_{j+}+h_{i-})=h_{i}$ $ \frac{\sigma_{i}+\sigma_{i-1}}{2}v(\xi)=-\int_{\omega_{0}}\nabla\cdot J^{p}(y)\Gamma(\xi-y)dy-\sum_{i=1}^{m}(\sigma_{i-1}-\sigma_{i})\int_{S_{i}}V(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(\xi-y)ds_{y}$ $(5)$ $(\xi\in S_{i} i=12 \cdots rn))$ Geselowitz $\{J^{p}(x) x\in\overline{\omega}_{0}\}$ (5) $\{V(\xi) \xi\in S_{m}\}$ Redholm $\mathrm{h}\mathrm{a}$ Schlitt et al $[8](1995)$ [10] $\prime m$ - - [11] 2 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}j^{p}\subset\overline{\omega}_{0}$ $J^{p}$ Theorem 1 $L^{q}(\Omega_{0})(q>3)$ I (4) $V\in C(S)$ $\dot{i}\leq m)$ Proof $J^{p}\in $q <3/2)$ W^{-1q}(R^{3}))\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\nabla\cdot J^{p}$ :compact $\sigma_{i}>0$ $\sigma_{i}\neq\sigma_{i-1}(1\leq$ $\Gamma\in W_{loc}^{1q^{l}}(R^{3})(1<$ $g= \int_{\omega_{0}}\nabla\cdot J^{p}(y)\Gamma(\cdot-y)dy=\Gamma*\nabla\cdot J^{p}$ ( we $ll$ defined $R^{3}$ $X= \prod_{i=1}^{m}c(s_{i})$ $W=\{$ $\frac{\sigma_{1}+\sigma 0}{2}\ldots V_{1}$ = $G=-g(\begin{array}{l}11\cdots\end{array})\in X$ \in X $\frac{\sigma_{nl}+\sigma_{n\iota-1}}{2}v_{m}/$
5 4 $KW$ $=(\begin{array}{l}\sum_{i=1}^{m}\int_{s}\frac{2(\sigma-1-\sigma_{i})}{\sigma_{i-1}+\sigma_{i}}w_{i}(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(\cdot-y)ds_{y}\cdots\sum_{i=1}^{m}\int_{s}\dot{}\frac{2(\sigma\dot{}-1-\sigma_{i})}{\sigma_{*-1}+\sigma_{i}}w_{i}(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(\cdot-y)ds_{y}\end{array})\in X$ (5) $W+KW=G$ in $X$ (6) $K$ : $Xarrow X$ compact Riesz- Schauder -1 $K$ (6) $C_{0}^{\infty}([\{^{3})$ Regularity $ \sigma(x)\nabla\cdot $ $X=\dot{H}^{1}(R^{3})$ $\text{ }$ Sobolev $X$ $L^{()}(R^{3})$ $f\in C_{K}(R^{3})$ )0 $f\in X $ $ <f$ $\varphi> \leq \varphi _{6} f _{\frac{6}{5}}\leq C \nabla\varphi _{2} f _{6}\epsilon$ $(\forall\varphi\in X)$ $\sigma(x)$ Riesz $\exists^{1}v\in X$ $\int_{r^{3}}\sigma(x)\nabla V\cdot\nabla\varphi dx=<\varphi$ $f>$ $(\forall\varphi\in X)$ (7) De Giorgi-Nash-Moser type Elliptic regulariy(gilbarg-trudinger[5]p 202) $V(x)$ H\"older $R^{3}$ (4) $\sigma(x)v(x)=\int_{r^{3}}f(y)\gamma(x-y)dy-\sum_{i=1}^{m}(\sigma_{i-1}-\sigma_{i})\int_{s_{i}}v(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(x-y)ds_{y}$ $(x\in R^{r}\backslash \backslash S)$ (5) $\int_{s_{i}}v(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(\xi-\tau/)d6_{/1} $ $\frac{\sigma_{i}+\sigma_{i-1}}{2}v(\xi)=\int_{r^{3}}f(y)\gamma(\xi-y)dy-\sum_{i=1}^{m}$(\sigma i- $\sigma_{i}$ ) $(\xi\in S_{i} i=12 \cdots \prime m)$ $G=(\begin{array}{lll}\int_{\Omega_{0}} f(y)\gamma(\cdot- y)dy\cdots \cdots \cdots\int_{\omega_{0}} f(y)\gamma(\cdot- y)dy\end{array})\in X$ (6) $W$ -1 $K$
6 5 Riesz-Schallder -1 $K$ $\Phi$ $\Phi>\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$ $<G$ $\exists\varphi_{i}\in C(S_{j})(1\leq i\leq m)$ $(\varphi_{j}$ $\not\equiv 01\leq\exists i\leq\prime m)$ $ \sum_{j=1}^{m}\int_{s_{i}}(\int_{r^{3}}f(y)\gamma(\xi-y)dy\cdot\varphi_{i}(\xi))ds_{\xi}=\mathrm{o}$ for $\forall f\in C_{K}(R^{3})$ $= \int_{r^{3}}(\sum_{i=1}^{m}\int_{\sigma_{i}}\llcorner(\gamma(\xi-y)\varphi_{i}(\xi))ds_{e})\backslash f(y)dy$ $f$ $I(y)= \sum_{=j1}^{m}\int_{s_{i}}\gamma(\xi-y)\varphi_{i}(\xi)ds_{\xi}=0(y\in R^{3}\backslash S)$ $S_{i}$ (Garabedion[3]) $0=[ \frac{\partial I}{\partial n}\mathrm{i}+-=-\varphi_{i}$ $\varphi_{1}=\varphi_{2}=\cdots=\varphi_{rn}=()$ -1 $K$ / 3 (5) $\nabla\cdot J^{p}\in L^{2}(\Omega_{0})$ $\frac{\sigma_{1}+\sigma_{()}}{\underline{-)}}v_{r\iota+1}(\xi)=-\int_{\omega_{0}}\nabla\cdot J^{p}(y)\Gamma(\xi-y)dS_{y}-(\sigma_{0}-\sigma_{1})\int_{s_{1}}V_{r\iota}(\iota\tau/)\frac{\partial}{\partial_{r1_{y}}}\Gamma(\xi-y)dS_{y}$ (8) $n=012$ $\cdots$ $\Omega=\Omega 0$ $S_{1}=\partial\Omega$ $\triangle V=()$ in $\Omega$ $\partial\omega$ $V=f$ on (9) $V(x)= \int_{\partial\omega}(-v(?/)\frac{\partial^{\gamma}}{\partial n_{/1}}1^{\urcorner}(x-y)+\frac{\partial}{\partial n_{y}}v(?/)\cdot\gamma(x-y))ds_{y}(x\in\omega)$
7 $\frac{1}{2}f(\xi)+\int_{\partial\omega}f(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(\xi-y)ds_{y}=\int_{\partial\omega}\frac{\partial}{\acute{c})n_{y}}v(y)\gamma(\xi-y)ds_{y}$ $(\xi\in\partial\omega)$ ( ) $)$ $\text{ }$ 6 $(\mathrm{p}\mathrm{v})$ Nedelec-Planchard[6] (1973) Okamoto [7] (1988) \ddagger (Pg) $(\xi)=$ $g(\xi)\gamma(\xi-y)ds_{y}$ $H^{-1/2}(\partial\Omega)arrow H^{-1/2}(\partial\Omega)$ $\Omega$ $L^{2}(\partial\Omega)$ Okamoto $\varphi$ $T_{f}>= \int_{\partial\omega}f\varphi ds$ $(\varphi\in \mathcal{e}(r^{3}))$ $R^{3}$ cornpact $T_{f}$ $T_{g}$ $A(f g)= \int_{\partial\omega}\int_{\partial\omega}g(\xi)f(x)\gamma(\xi-rl)d\xi d \eta$ $A(f g)= \int_{r^{3}}\frac{1}{ \xi ^{2}}\hat{T}_{f}(\xi)\hat{T}_{g}(\xi)d\xi$ Okamoto $ \hat{t}_{f}(\xi)-\hat{t}_{f}(0) \leq C e^{ix\cdot\xi}-1 _{H^{b/2}(\partial\Omega)}\cdot f _{H_{x}^{-5/2}(\partial\Omega)}$ $\leq C \xi f _{H_{x}^{-b/2}(\partial\Omega)}$ $ \hat{t}f(0) =const <1Tf> \leq C f _{H_{x}^{-6/2}(\partial\Omega)}$ $\int_{ \xi \leq 1}\frac{d\xi}{ \xi ^{2}}<+\infty$ $\int_{ \xi \leq 1}\frac{1}{ \xi ^{2}} \hat{t}_{f}(\xi)\hat{t}_{g}(\xi) d\xi\leq C f _{H^{-5/2}}(\partial\Omega) g _{H^{1/2}}(\Omega)$ (11) $\int_{ \xi \geq 1}\frac{1}{ \xi ^{2}} \hat{t}_{f}(\xi)\hat{t}_{g}(\xi) d\xi\leq 2\int_{R^{3}}\frac{1}{1+ \xi ^{2}} \hat{t}_{f}(\xi)\hat{t}_{g}(\xi) d\xi$ $\leq 2(\int_{R^{3}}\frac{ \hat{t}_{f}(\xi) ^{2}}{(1+ \xi ^{2})^{3}}d\xi)^{1/2}(\int_{R^{3}}(1+ \xi ^{2}) \hat{t}_{g}(\xi) ^{2}d\xi)^{1/2}$ $=2 T_{f} _{H^{-3}(R^{3})} T_{g} _{H^{1}(R^{3})}$ (12)
8 7 $H^{1}(R^{3})\cong H^{-1}(R^{3}) $ $ T_{g} _{H^{1}(R^{3})}= \sup( <\varphit_{g}> \varphi _{H^{-1}(R^{3})}\leq 1)$ $= \sup( <\varphi T_{g}> \varphi\in D(R^{3})$ $ \varphi _{H^{-1}(R^{3})}\leq 1)$ $= \sup( <T_{\varphi} g> \varphi\in D(R^{3})$ $ \varphi _{H^{-1}(R^{3})}\leq 1)$ (13) $ T_{\varphi} _{H^{-1}(R^{3})}\approx \varphi _{H^{-1/2}}(\partial\Omega)$ (Okarnoto [7]) $ T_{g} _{H^{1}(R^{3})}\approx \mathrm{s}\iota\iota \mathrm{p}( <g T_{\varphi}> \varphi\in D(R^{3})$ $ \varphi _{H^{-1/2}}(R^{3})\leq 1)$ $= g _{H^{1/2}}(R^{3})$ (14) $ T_{f} _{H^{-3}(R^{3})}= \sup( <\varphi T_{f}> \varphi\in H^{3}(R^{3})$ $ \varphi _{H^{3}(R^{3})}\leq 1)$ $\approx\sup( <\varphi T_{f}> \varphi\in H^{5/2}(\partial\Omega)$ $ \varphi _{H^{5/2}}(\partial\Omega)\leq 1)$ (11)-(15) $= f _{H^{-5/2}}(\partial\Omega)$ (15) $ A(f g) \leq C f _{H^{-5/2}}(\partial\Omega)$ $ g _{H^{1/2}}(\partial\Omega)$ $P$ : $H^{1/2}(\partial\Omega)arrow H^{5/2}(\partial\Omega)$ (9) $f\in H^{3/2}(\partial\Omega)\Rightarrow\exists\tilde{f}\in H^{2}(\Omega)\tilde{f} _{\partial\omega}=f$ elliptic regurality
9 8 $V\in H^{2}(\Omega)$ $\frac{\partial V}{\partial n}\in H^{1/2}(\partial\Omega)$ (10) $ \frac{1}{2}i+k$ : $H^{3/2}(\partial\Omega)arrow H^{5/2}(\partial\Omega)$ $K$ $H^{3/2}(\partial\Omega)arrow H^{3/2}(\partial\Omega)$ : (8) $J^{p}$ $H^{3/2}(\partial\Omega)$ Theorem 2 $\sigma_{p}(k)\subset[-1/21/2)$ Spectre $T=- \frac{2}{\sigma_{1}+\sigma_{0}}(\sigma_{0}-\sigma_{1})k$ $\lim_{narrow}\sup_{\infty} T^{n} ^{1/n}=\frac{ \sigma_{0}-\sigma_{1} }{\sigma_{0}+\sigma_{1}}<1$ (16) $(1-T)^{-1}= \sum_{n=0}^{\infty}t^{n}$ norm Scheme(8) $\mathrm{i})-\frac{1}{2}\in\sigma_{p}(k)$ $-\triangle v=0$ in $\Omega$ $\frac{\partial v}{\partial n}=g$ on $\partial\omega$ (10) $\frac{1}{2}v(\xi)+$ $v( \xi)\frac{\partial\gamma}{\partial n_{y}}(\xi-y)ds_{y}=\int_{\partial\omega}g(\xi)\gamma(\xi-y)ds_{y}$ $(\xi\in \partial\omega)$ (17) $\Omega$ $v\equiv 1$ $g\equiv 0$ $\mathrm{i}\mathrm{i})\frac{1}{2}\not\in\sigma_{p}(k)$ $\cdot$ Fredholm (9) $V(x)=-2 \int_{\partial\omega}\mu(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(x-y)ds_{y}$ $(x\in\omega)$ $\mu-2k\mu=f$ on $\partial\omega$ (18) $ \frac{\mathrm{i}}{2}$ 2 $f=0\rightarrow/\iota=()$ /\iota \nearrow Proof of TheOrem2 $K$
10 9 $\triangle v=0$ in $\Omega$ $v=f$ in $\triangle w=0$ in $\Omega$ $\partial\omega$ $w=g$ on $\int_{\partial\omega}(\frac{\partial v}{\partial n}g-f\frac{\partial w}{\partial n})ds=0$ (19) (10) $\frac{\partial v}{\partial n}=p^{-1}(\frac{f}{2}+i<f)$ $\frac{\partial w}{\partial n}=p^{-1}(\frac{g}{2}+kg)$ ) (19) $(P^{-1}( \frac{f}{2}+kf) g)=(f (P^{-1}(\underline{\frac{I}{9}}+I<))^{*}g)=(f P^{-1}(\frac{g}{2}+I\{g))$ $f$ $g$ $(P^{-1}( \frac{i}{2}+k))^{*}=p^{-1}(\frac{i}{2}+i\mathrm{f})(*\cdots L^{2}adjoint)$ (20) $\mu\in C$ $\frac{i}{2}+i\mathrm{f}$ $f\neq 0$ $\mathrm{p}^{-1}(\frac{i}{2}+i<)f=l^{\iota P^{-1}f}$ (21) (20) $(P^{-1}( \frac{i}{2}+i\{ )f f)=(f P^{-1}(\frac{I}{2}+K)f)$ (21) $l^{\iota P^{-1/2}f ^{2}=}\overline{l^{\iota P^{-1/2}f ^{2}}}$ $l^{\chi=}\overline{l^{\lambda}}$ ) (5) Theorem 1 $\sigma_{0}$ $\sigma_{1}>()$ $\sigma_{0}\neq\sigma_{\rfloor}$ $2^{-1} \frac{\sigma_{0}+\sigma_{1}}{\sigma_{0}-\sigma_{1}}\not\in\sigma_{p}(i<)$ $\sigma_{0}$ $\sigma_{1}$
11 10 $\sigma_{p}(ic)\cap(-\infty -2^{-1})=\emptyset$ $\sigma_{p}(k)\cap(2^{-1} \infty)=\emptyset$ Theorem 2 / 1 3 $\frac{\sigma_{\dot{l}}+\sigma_{i-1}}{2}v_{n+1}(\xi)=-\int_{r^{3}}\nabla\cdot J^{p}(y)\Gamma(\xi-y)dy-\sum_{i=1}^{m}(\sigma_{i-1}-\sigma_{i})\int_{S}\dot{}V_{n}(y)\frac{\partial}{\partial n_{y}}\gamma(\xi-?/)ds_{y}$ $(\xi\in S_{i} i=12 \cdots)$ $ \sigma_{i-1}-\sigma_{i} <<1$ 2 $\sigma_{m+1}=0$ (3) $i=1$ $\cdots$ $m$ on $V=\mathrm{O}$ $\partial\omega_{m}$ $ \nearrow(:r)$ $X=H_{0}^{1}(\Omega_{m})$ $f=-\nabla\cdot J^{p}$ (7) 3 Stampacchia (1965) $V\in\dagger 4^{\int 1q}(\Omega_{0})$ Theorem 1 $(q>3)$ accute type $V_{h}(x)$ (Ciarlet-Rariart1973) $V(x)$ 4 $m$ Theorem 1 i) Bounded domain $\Omega$ $C_{0}^{\infty}(\Omega)$ $\dot{h}^{1}(r^{3})$ bounded domain $ \sigma(x)\nabla\cdot $ $Y(\Omega)=j- I^{1}(\Omega)$ $ <\varphi$ $f> \leq f \varphi \leq C f \sigma(x)\nabla\varphi $ for $\varphi\in Y(\Omega)$ $Y(\Omega)$ $A(u v)= \int_{\omega}\sigma(x)\nabla u\cdot\nabla vdx$ $\langle$ Riesz $( \mathrm{s}\mathrm{t})\int_{\omega}\sigma(x)\nabla V\cdot\nabla\varphi dx=<\varphi$ $f>$ for $\forall\varphi\in Y(\Omega)$ $\exists 1V(x)\in Y(\Omega)$ Cubic $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}:\omega =[x_{0} x_{1}]\cross[y0 y_{1}]\cross[z0 z_{1}]$ $x_{i}$ $y_{i}$ and diam(\omega ) $\Omega \supset\omega$ $<2\pi a$ $\mathrm{v}$ $\Omega $ $\Omega $ ( [12]) $z_{i}\in R$ $i=01$ $\tilde{v}\in H_{0}^{1}(\Omega )$ $\tilde{v}$ $\tilde{v}=\sum_{\alpha\in z^{n}}c_{\alpha}e^{ia^{-1}\alpha\cdot x}$ $C_{\alpha}=(2\pi a)^{-n}(v e^{ia^{-1}\alpha\cdot x})$ $\alpha\in(\alpha_{1} \cdots \alpha_{n})\in Z^{rl}$
12 $\mathrm{i}\mathrm{i})$ $ \tilde{v} _{H_{0}^{1}(\Omega )}^{2}=\sum_{ \nu \leq 1} D^{\nu}\tilde{V} _{L^{2}(\Omega )}^{2}$ 11 $=(2 \pi a)^{-n}\sum_{\alpha\in Z^{n}}(\sum_{ \nu \leq 1}(a^{-1}\alpha)^{2\nu}) C_{\alpha} ^{2}$ $B=\{e^{ia^{-1}\alpha\cdot x} a\in N \alpha\in(\alpha_{1} \cdots \alpha_{n})\in Z^{n}\}$ $Y(\Omega)$ $B=\{v_{1} v_{2} \cdots\}$ $Y(\Omega)$ $\{v_{1} \cdots v_{n} \}$ $v_{1}$ $\{$ $v_{n} v_{1} /\backslash =S_{N}($ $S_{N}=(s_{ij})_{ij=1\ldotsN}\cdot$ $v_{n}/$ $V^{(N)}= \sum_{k=1}^{n}a(v v_{k} )v_{k} $ $=(A(V v_{1})$ $\cdots$ $A(V v_{n}))i\{_{n}^{-1}(\begin{array}{l}v_{1}v_{n}\end{array})$ $K_{N}=(A(v_{j} v_{k}))_{jk=1\ldots N}$ : $A(V v_{k})=<f$ $v_{k}>$ $V^{(N)}=(<f v_{1}> \cdots <f v_{n}>)k_{n}^{-1}(\begin{array}{l}v_{1}v_{n}\end{array})arrow V$ in $Y(\Omega)$ as $Narrow\infty$ Unbounded domain $\Omega_{a}$ bounded domain as $\Omega_{a}\supset\Omega_{m}$ $\Omega_{a}arrow R^{3}$ $aarrow\infty$ i) ( $V_{a}$ \Omega $Y(\Omega_{a})$ $\int_{\omega_{a}}\sigma(x)\nabla u\cdot\nabla vdx$ $V$ Riesz $V_{a}$ $ _{\sqrt}\mathrm{a}$ $\Omega$ $A(u v)_{a}=$ $\int_{r^{3}}\sigma(x)\nabla V\cdot\nabla\varphi dx=<\varphi$ $f>$ for $\forall\varphi\in Y=\dot{H}(R^{3})$
13 $\backslash $ 12 $\sigma(x)\nabla V_{a}\cdot\nabla\varphi dx=<\varphi$ $f>$ for $\forall\varphi\in Y(\Omega_{a})$ $A(V \Omega$ $-V_{a} V _{\Omega_{a}}-V_{a})_{a}\leq$ $\inf$ $A(v-V _{\Omega_{a}} v-v _{\Omega_{a}})_{a}$ $v\in Y(\Omega_{a})$ $Y(\Omega_{a})$ [ $Y$ $\inf_{v\in Y(\Omega_{a})}A(v-V _{\Omega_{a}} v-v _{\Omega_{a}})_{a}arrow 0$ as $aarrow\infty$ $V_{a}$ $V$ $a$ $V_{a}$ ) $i$ $V$ Theorem 3 $A(V_{a}-V _{\Omega_{a}} V_{a}-V _{\Omega_{\mathrm{n}}})_{a}arrow 0$ as $aarrow\infty$ 4 2 i) $V$ $\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}$ - - [11] bormdary value problems Ritz-Galerkin method ( References 1 Brezis H Analyse Fonctionnelle-Th\ eory et Application Masson Paris Ciarlet PG Raviart P-A Comp Meth Appl Mech Eng 2(1973) Garabedian PR Partial Differential Equations Chelsea New York Geselowitz DB Biophys J $7(1967)1-11$ 5 Gilbarg D budinger NS Effiptic Partial Differential Equations of Second order Springer Berlin Nedelec JC Planchard J PAJRO R-3(1973) Okamoto H JFac Sci Uni Tokyo Sec $\mathrm{i}\mathrm{a}35(1988) $ 8 Schlitt HA Heller L Aaron R Best E Ranken DM IEEE Trans Biom Eng 42(1995) Stampacchia G Le probl\ em de Dirichlet pour les \ equations elliptiques du scconcl ordre \ a coefficients discontinus Ann Inst Fourier 15(1965) $\Gamma\{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}1_{1}$ 10 (MEG) Report in Math Fujita H Saito N Suzuki T Operator Theory and Numerical Methods $ \pi$
~ ご 再 ~
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