NS NS Scalar turbulence 5 6 FEM NS Mesh (A )
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- さなえ かやぬま
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1 NS NS Scalar turbulence 5 6 FEM NS Mes A ) ) Galerkin Galerkin SUPG PSPG ) GLS SUPG/PSPG NS Galerkin SUPG
2 GPBi-CG element-by-element A 22 1 freefem libmes libmes Wiki [1] deal.ii, FEniCS, keyfe2, OOFEM, Impact, OpenCFD 2 [2],[3]) Finite element metod :FEM) Finite difference metod :FDM) Finite volume metod :FVM) FDM+FEM Bounday integral metod :BIM) Bounday element metod :BEM) 2
3 図 1: 流れの数値解法の系統図 問題の定式化 差分法 有限要素法 境界要素法 微分方程式の差分近似 微分方程式の弱形式表 微分方程式の積分方程 表現 現 または汎関数の極 式表現 値問題 離散化 格 子 点 境 界 適 合 格 有限要素 三角形 四 境界要素 線分 三角 子 境界非適合格子 角形 三角柱 六面体 形 四辺形) など) 解法 領域型 領域型 境界型 連立一次方程式の係数 大型 疎 帯行列 大型 疎 帯行列 小型 成分の詰まって 行列 主な特徴 いる行列 離散化が簡単 計算時 任意の形状に対する取 問題の次元を１次元低 間が速い 離散化の精 り扱いが用意 境界条 下できる 外部問題を 度やスキームの安定性 件 ノイマン型境界条 内部問題と同様に扱え が明確である 件 の処理が容易 計 る 境界の微分量も直 算の自動化が達成し易 接の未知量として定式 い 化できる 計算量少な い 適用性 適用性広い 非線形問 適用性広い 非線形問 基本解の存在する問題 題も可 主として流 題も可 主として構 に限定される 非線形 体解析に利用されてい 造解析に利用されてい 問題は困難である る るが流体解析も活発に 線形の３次元問題 特 なってきた 異応力問題 移動境界 問題 3 偏微分方程式の型と解の特徴 双曲型方程式と放物線方程式の解の特徴は正反対であり ふさわしい空間と時間の離散化手法も 異なる 双曲型では解に方向性があることから 空間の離散化には方向性のある重み関数 風上側 3
4 ) SUPG) ) NS Galerkin Laplace FEM Galerkin Galerkin SUPG ) 4 NS NS u i + u u i j = p + 1 Re ui + u ) j 1) u i = 0 2) 1. u )u u p 1,2 NS 3 NS u 2) p NS u Fourier u = ūt) sinkx) u u = ū2 t)k coskx) sinkx) = 1 2ū2 t)k sin2kx) 3) k 2k NS 4
5 )+ ) 4.1 NS NS 1-2 MAC FEM 5 Scalar turbulence φ + u φ i = 1 2 φ 4) ReSc Scν/κ) Scmidt κ φ 6 FEM 5
6 6.1 NS Γ NS 1) 2) u i + u u i j p + 1 ui + u )) j = 0 Re 5) u i = 0 6) [Diriclet ] Γ Γ g u i = g i 7) [Neumann ] Γ pδ ij + 1 ui + u )) j n j = i 8) Re n j g i, i 6.2 Mes A ) node) 1, 2,, N element) 1, 2,, M M 5-N-6 6
7 6.3 5) r 1 x, y) = u i + u u i j pδ ij + 1 ui + u )) j Re 9) r 1 u, v, p r 1 r 1 w 6) wx, y)r 1 x, y)d = 0 10) r 2 x, y) = u i 11) q qr 2 x, y)d = 0 12) ) Gauss-Green 10) 12) ui w i + u u i j ) w i d + pδ ij + 1 ui Re = Γ w i + u j pδ ij + 1 Re )) d + ui + u j q u i d )) n j dγ 13) w u u 6.4 Galerkin Galerkin e u u u 1 x, y) = x i, y i ) i N i x, y) = 14) 0 x, y) = x j, y j )i j) 7
8 i x, y N i N α x, y) e α α = 1, 2, 3) N α x, y) = a α + b α x + c α y) 15) a α = 1 2 x βy γ x γ y β ) b α = 1 2 y β y γ ) c α = 1 2 y γ y β ) 16) N α N u N i u x, y) = N c j N j x, y) 17) c j 14) u x j, y j ) = u j u x, y) = j=1 N u j N j x, y) 18) j=1 u j ux i, y j ) Galerkin u i ū i p N u i = N α u i,α ū i = N α ū i,α p i = N α p i,α 19) α w i q Galerkin wi = N α w i,α q = N α q α 20) 13) wi u i + u ) u i wi j d + p δ ij + 1 u i + u j Re = p δ ij + 1 Re Γ w i )) d + u i + u j q u i d )) n j dγ 21) 8
9 6.5 SUPG 1. Galerkin 2. Galerkin 3. SUPGStreamline Upwind/Petrov-Galerkin) ) SUPG w i w i = w i + τ s u j w i 22) τ m wi u i + u u i j n el + e τ s u wi j ) wi d + ) [ u i + u u i j τ s p δ ij + 1 u i + u j Re p δ ij + 1 Re = p δ ij + 1 Re Γ w i )) u i d + q u i d ))] + u j )) u i + u j d n j dγ 23) 6.6 PSPG ) GLS GLS Galerkin/Least-square metod) NS wi u i + u u i j n el + e τ s [ u i ) d + [ w i + u j n el + e τ s + u j u i w i u j w i p δ ij + 1 Re wi u i + u j q δ ij + 1 Re wi p δ ij + 1 u i + u j Re ) d = p δ ij + 1 Re Γ w i )) d + q u i d ))] + w j ))] d u i + u j )) n j dγ 24) 9
10 1,2,3 Gelerkin 4 NS GLS GLS GLS NS [ ] GLS SUPG PSPG Pressure stabilizing/petrov Galerkin) SUPG/PSPG 24) [ ] GLS SUPG/PSPG NS NS wi u i + u u i j n el + e q u n el i d + τ s u wi j e ) wi d + p δ ij + 1 Re ) [ u i + u u i j + p = Γ w i u i + u j 1 Re p δ ij + 1 Re q τ ) [ u i s + u u i j + p 1 Re )) u i d + u j u i + u j ))] )) d n j dγ 25) ))] u i + u j d = 0 26) 6.7 NS NS SUPG/PSPG) wi u i + u ) ū i wi j d n el + e pd + τ s ū wi k k 1 wi Re u i + u j ) u i + u ū i j + p ) d ) d = Γ w i i dγ 27) 8) q u n el i d + e p δ ij + 1 Re τ p q ) u i + u ) ū i j + p d = 0 28) )) u i + u j n j = i Γ 29) 10
11 ū i u i 6.8 τ s = [ ) t 2 ū e i e ) 2 ) ] 2 1/2 4 + Re 2 30) e ū e i i = 1, 2) e ū e i e α = 1, 2, 3 ū 1, ū 2, ū 3 ) v 1, v 2, v 3 ) ū e = 1 3 ū 1 + ū 2 + ū 3 ) v e = 1 3 v 1 + v 2 + v 3 ) 31) ū e i = n d ū e i )2 = ū e ) 2 + v e ) 2 32) n d n d = 2 nen i=1 ) ) ) 1 e = 2 ūe i Nα ū e α=1 i [ 1 = 2 ū e i ū e N 1 + N ve 1 + ū e N 2 + N ve 2 + ū e N 3 + N )] ve 3 1 [ ] 1 1 = 2 ū e i ūe b 1 + v e c 2 + ū e b 2 + v e c 2 + ū e b 3 + v e c 3 ) 33) n en n en = 3 7 φ + u φ i = 1 2 φ ReSc 2 i 34) [Diriclet ] Γ Γ g u i = g i 35) [Neumann ] Γ 1 φ n i = q ReSc Γ q 36) n j 11
12 7.1 s φ s + ū φ i 1 2 ) φ ReSc 2 d = 0 37) i NS ū i φ s + ū i φ ) d + 1 s φ d = ReSc Γ q s 1 φ n i dγ 38) ReSc 7.2 Galerkin Galerkin φ = N α φ α s = N α s α 39) s φ d + s ū φ 1 s φ i d + d = s q dγ 40) ReSc Γ q 7.3 SUPG τ e s = s s + τ e ū i 41) s φ d + s ū φ i d + n el + τ e ū i 1 s φ d ReSc φ s u i φ 1 ReSc 2 ) φ 2 d = s q dγ 42) i Γ q s φ d + s u φ i d + 1 ReSc n el + τ e s φ d ū i s φ + u i φ ) d = s q dγ 43) Γ q 12
13 7.4 L i 1L j 2!i!j!k! 2 Lk 3d = 2 + i + j + k)! 44) i, j, k 7.5 u w u + ū n el + ū w e τ s v w v + ū n el + ū w e τ s ) u + v d ) u + v w ) v + v d ) v + v w w p d+ + ū u w p d+ + ū v 1 2 w Re u + v + p 1 2 w v Re v + v + p u + w v ) d+ ) d = w 1dΓ 45) Γ + w v ) d+ ) d = w 2dΓ 46) Γ 1 w v Re d 1 w u Re d ) u q + v d + + n el n el e e q τ ) u p q τ ) v p + ū u + ū v u + v + p v + v + p ) d ) d = 047) s φ φ φ + u + v n el + τ e ū s ) d + + v s 1 s ReSc ) φ φ + s φ + u φ + v φ ) d ) d = Γ q s q dγ 48) w i = N α w α,i w α,i N α α = 1 3 M: w u d = = e 12 N α N β d u β = u β N 1 N 2 N 3 = M u β N 1N 2 N 3 d t u 1 t u 2 t u 3 49) 13
14 A: wū u d + w v u [ ] d = N γ N α N β ū β + N N γ αn β v β du γ N 1 ū 1 v 1 u 1 = N 2 N 1N 2 N 3 d ū 2 b 1b 2 b 3 + v 2 c 1c 2 c 3 u 2 N 3 ū 3 v 3 u ū 1 v 1 = e ū 12 2 b 1b 2 b 3 + v 2 c 1c 2 c 3 u γ = Au γ 50) ū 3 v 3 G: w pd = w pd = Nα N βp β d = Nα N βp β d = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 N 1N 2 N 3 dp β = e 3 N 1N 2 N 3 dp β = e 3 b 1 b 1 b 1 b 2 b 2 b 2 p β = G 1 p β b 3 b 3 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 2 c 2 p β = G51) 2 p β c 3 c 3 c 3 D ij : [ 1 Re = 1 2 Re 2 w b 1 b 2 b 3 u + w b 1b 2 b 3 d + )] u 1 d = Re c 1 c 2 c 3 2 N α N β + N α c 1c 2 c 3 du β ) N β du β = b 1 b 1 b 1 b 2 b 1 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 1 c 3 2 b Re 2 b 1 b 2 b 2 b 2 b 3 + c 2 c 1 c 2 c 2 c 2 c 3 u β = D 11 u β 52) b 3 b 1 b 3 b 2 b 3 b 3 c 3 c 1 c 3 c 2 c 3 c 3 1 w v Re d = 1 Nα Re ) N β dv β = 1 Re c 1 c 2 c 3 b 1b 2 b 3 dv β = c 1 b 1 c 1 b 2 c 1 b 3 c Re 2 b 1 c 2 b 2 c 2 b 3 v β = D 12 v β 53) c 3 b 1 c 3 b 2 c 3 b 3 14
15 1 w u Re d = [ 1 Nα Re )] N β du β = 1 Re b 1 b 2 b 3 c 1c 2 c 3 du β = b 1 c 1 b 1 c 2 b 1 c 3 b Re 2 c 1 b 2 c 2 b 2 c 3 u β = D 21 u β 54) b 3 c 1 b 3 c 2 b 3 c 3 [ 1 w v Re + 2 w = 1 b 1 b Re 2 b 1b 2 b 3 d + b 3 )] v d = c 1 c 2 c 3 1 Nα Re c 1c 2 c 3 N β + 2 N α dv β ) N β dv β = b 1 b 1 b 1 b 2 b 1 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 1 c 3 b Re 2 b 1 b 2 b 2 b 2 b c 2 c 1 c 2 c 2 c 2 c 3 v β = D 22 v β 55) b 3 b 1 b 3 b 2 b 3 b 3 c 3 c 1 c 3 c 2 c 3 c 3 C s : q u d = N β N α du β = q v d = N β N α dv β = M s : SUPG) N 1 N 2 N 3 N 1 N 2 N 3 b 1b 2 b 3 du β = e 3 c 1c 2 c 3 dv β = e 3 b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 b 3 u β = C s1 u β 56) b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 c 3 v β = C s2 v β 57) c 1 c 2 c 3 e τ s = τ s e 12 ū w b 1 b 2 b 3 w + v ) u = ū 1ū 2 ū 3 + Nα τ s N βū β N γ + N α N β v β N γ v 1 v 2 v u γ c 1 c 2 c 3 ) d u γ = M s u γ 58) A s : SUPG) 15
16 τ s ū w ) w + v ū u ) u + v 59) e [ Nα = τ s N N δ βū β N γ ū γ + N ) α N N δ β v β N γ ū γ Nα + N N δ βū β N γ ū γ + N )] α N N δ β v β N γ ū γ du δ b e 1 ū 1 b 1 ū 2 b 1 ū 3 c 1 v 1 c 1 v 2 c 1 v = τ s b 12 2 ū 1 b 2 ū 2 b 2 ū 3 + c 2 v 1 c 2 v 2 c 2 v b 3 ū 1 b 3 ū 2 b 3 ū 3 c 3 v 1 c 3 v 2 c 3 v ū 1 b 1 ū 1 b 2 ū 1 b 3 v 1 c 1 v 1 c 2 v 1 c 3 ū 2 b 1 ū 2 b 2 ū 2 b 3 + v 2 c 1 v 2 c 2 v 2 c 3 u δ = A s u δ 60) G si : SUPG) ū 3 b 1 ū 3 b 2 ū 3 b 3 v 3 c 1 v 3 c 2 v 3 c 3 τ s ū w ) w p + v e = Nα τ s N N γ βū β + N ) α N N γ β v β dp γ b e 1 ū 1 b 1 ū 2 b 1 ū 3 c 1 v 1 c 1 v 2 c 1 v 3 b 1 b 1 b 1 = τ s b 3 2 ū 1 b 2 ū 2 b 2 ū 3 + c 2 v 1 c 2 v 2 c 2 v 3 b 2 b 2 b 2 p γ = G s1 p γ 61) b 3 ū 1 b 3 ū 2 b 3 ū 3 c 3 v 1 c 3 v 2 c 3 v 3 b 3 b 3 b 3 τ s ū w ) w p + v e = Nα τ s N N γ βū β + N ) α N N γ β v β dp γ b e 1 ū 1 b 1 ū 2 b 1 ū 3 c 1 v 1 c 1 v 2 c 1 v 3 c 1 c 1 c 1 = τ s b 3 2 ū 1 b 2 ū 2 b 2 ū 3 + c 2 v 1 c 2 v 2 c 2 v 3 c 2 c 2 c 2 p γ = G s2 p γ 62) b 3 ū 1 b 3 ū 2 b 3 ū 3 c 3 v 1 c 3 v 2 c 3 v 3 c 3 c 3 c 3 M pi : PSPG) q u τ p e = N α τ p N βd u β q v τ p e = N α τ p N βd v β A pi : PSPG) = τ p e 3 = τ p e 3 b 1 b 1 b 1 b 2 b 2 b 2 u β b 3 b 3 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 2 c 2 v β c 3 c 3 c 3 = M p1 u β = M p2 v β 63) 64) q τ p ū u ) u Nα + v = τ p e N N γ βū β + N ) α N N γ β v β du γ b e 1 b 1 b 1 ū 1 b 1 ū 1 b 2 ū 1 b 3 v 1 c 1 v 1 c 2 v 1 c 3 = τ p b 3 2 b 2 b 2 ū 2 b 1 ū 2 b 2 ū 2 b 3 + v 2 c 1 v 2 c 2 v 2 c 3 u γ = A p1 u γ 65) b 3 b 3 b 3 ū 3 b 1 ū 3 b 2 ū 3 b 3 v 3 c 1 v 3 c 2 v 3 c 3 16
17 q τ p ū v ) v Nα + v = τ p e N N γ βū β + N ) α N N γ β v β du γ c e 1 c 1 c 1 ū 1 b 1 ū 1 b 2 ū 1 b 3 v 1 c 1 v 1 c 2 v 1 c 3 = τ p c 3 2 c 2 c 2 ū 2 b 1 ū 2 b 2 ū 2 b 3 + v 2 c 1 v 2 c 2 v 2 c 3 u γ = A p2 u γ 66) c 3 c 3 c 3 ū 3 b 1 ū 3 b 2 ū 3 b 3 v 3 c 1 v 3 c 2 v 3 c 3 G p : PSPG) q p τ p e + q ) p Nα N γ = τ p + N ) α N γ dp γ b 1 b 1 b 1 b 2 b 1 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 1 c 3 = τ p e b 2 b 1 b 2 b 2 b 2 b 3 + c 2 c 1 c 2 c 2 c 2 c 3 p γ = G p p γ 67) b 3 b 1 b 3 b 2 b 3 b 3 c 3 c 1 c 3 c 2 c 3 c 3 D con : = = [ 1 s φ ReSc + s b 1 b 2 b 1b 2 b 3 d + 1 ReSc ReSc b 3 )] φ d = c 1 c 2 c 3 1 Nα ReSc c 1c 2 c 3 N β + N α dφ β ) N β dφ β b 1 b 1 b 1 b 2 b 1 b 3 c 1 c 1 c 1 c 2 c 1 c 3 b 2 b 1 b 2 b 2 b 2 b 3 + c 2 c 1 c 2 c 2 c 2 c 3 u β = D con φ β 68) b 3 b 1 b 3 b 2 b 3 b 3 c 3 c 1 c 3 c 2 c 3 c NS M du dt + Au G 1p + D 11 u + D 12 v + M s du dt + A su G s1 p = 0 M dv dt + Av G dv 2p + D 21 u + D 22 v + M s dt + A sv G s2 p = 0 C 1 u + C 2 v + M p1 du dt + M p2 dv dt + A p1u + A p2 v + G p p = 0 69) M dφ dt + Aφ + D conφ + M s dφ dt + A sφ = 0 70) M + M s ) du dt + A + A s)u G G s1 )p + D 11 u + D 12 v = 0 71) M + M s ) dv dt + A + A s)v G G s2 )p + D 21 u + D 22 v = 0 72) C 1 u + M p1 du dt + A p1u + C 2 v + M p2 dv dt + A p2v + G p p = 0 73) 17
18 M + M s ) dφ dt + A + A s + D con )φ = 0 74) 7.7 du dt = un+1 u n t 75) Crank-Nicolson 73) C i u i M + M s ) un+1 u n + A + A s )u n G Gs1 )p n+1 + D 11 u n D12 v n+ 1 2 = 0 t M + M s ) vn+1 v n + A + A s )v n G Gs1 )p n+1 + D 21 u n D22 v n+ 1 2 = 0 t C 1 u n+1 u n+1 u n + M p1 + A p1 u n C2 v n+1 v n+1 v n + M p2 + A p2 v n Gp p n+1 = 0 t t 76) u n+ 1 2 u n+ 1 2 = 1 2 un+1 + u n ) 77) A, G ū i Adams-Basfort ū = 3 2 un 1 2 un 1 78) α = 1, 2, 3) U,V,P A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 U1 n+1 U2 n+1 U3 n+1 V1 n+1 V2 n+1 V3 n+1 P1 n+1 P2 n+1 P3 n+1 = B 1 B 2 B 3 79) 18
19 A 11 = 1 t M + M s) A + A s + D 11 ) 80) A 12 = 1 2 D 12 81) A 13 = G 1 G S1 ) 82) A 21 = 1 2 D 21 83) A 22 = 1 t M + M s) A + A s + D 22 ) 84) A 23 = G 2 G S2 ) 85) A 31 = C t M p A p1 86) A 32 = C t M p A p2 87) A 33 = G P 88) B 1 = B 2 = B 3 = 1 t M + M s) 1 ) 2 A + A s + D 11 ) U n 1 2 D 12V n 89) 1 t M + M s) 1 ) 2 A + A s + D 22 ) V n 1 2 D 21U n 90) 1 t M p1 1 ) 1 2 A p1 U n + t M p2 1 ) 2 A p2 V n 91) 8 Ax = b 92) 8.1 GPBi-CG A D 19
20 2: a 11 0 D = 0 a nn = 92) a11 0 a = D D 93) 0 ann 0 ann 8.2 Element-by-Element A Element-by-element a, b a a ā 1 1 a ā 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā 2 2 a ā ) a ā 3 1 a ā 3 2 a ā 3 3 b a b 1 1 a b 1 2 a b 1 3 a b 2 1 a b 2 2 a b ) a b 3 1 a b 3 2 a b
21 a ā 1 1 a ā 1 3 a ā a ā 3 1 a ā ab 1 1 a ā ab 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā ab 2 1 a ā ab 2 2 a b ) 0 a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 q = Ap q 1 q 2 q 3 q 4 a ā 1 1 a ā 1 3 a ā = a ā 3 1 a ā ab 1 1 a ā ab 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā ab 2 1 a ā ab 2 2 a b a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 p 1 p 2 p 3 p 4 97) N N element-by-element element-by-element a b q ā 1 q ā 2 q ā 3 q b 1 q b 2 = = a ā 1 1 a ā 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā 2 2 a ā 2 3 a ā 3 1 a ā 3 2 a ā 3 3 a b 1 1 a b 1 2 a b 1 3 a b 2 1 a b 2 2 a b 2 3 p ā 1 p ā 2 p ā 3 p b 1 p b 2 98) 99) q b 3 a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 p b 3 a 2 p ā 2 3 p 3 p ā 1 p ā 2 = p 1 p 3 p b 1 p b 2 = p 2 p 3 100) p ā 3 p 2 p b 3 p 4 q 1 q 3 q 2 q 2 q 3 = = a ā 1 1 a ā 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā 2 2 a ā 2 3 a ā 3 1 a ā 3 2 a ā 3 3 a b 1 1 a b 1 2 a b 1 3 a b 2 1 a b 2 2 a b 2 3 p 1 p 3 p 2 p 2 p 3 101) 102) q 4 a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 p 4 21
22 q 1 q 2 q 3 q 4 a ā 1 1 a ā 1 3 a ā = a ā 3 1 a ā ab 1 1 a ā ab 1 2 a ā 1 3 a ā 2 1 a ā ab 2 1 a ā ab 2 2 a b a b 3 1 a b 3 2 a b 3 3 p 1 p 2 p 3 p 4 103) Element-by-Element A 2 Triangle [5]freeFEM ) File x y ) /triangle -pq31.5a20 File,x,y ),,, ) ) [1] Libmes HP : ttp://libmes.sourceforge.net/wiki/index.pp/main Page [2] 1988) [3] 1991) [4] 1995) [5] Triangle HP : ttp://www-2.cs.cmu.edu/ quake/triangle.tml 22
23 [6] 1996) [7] 2008) [8] 1999) [9] T. E. Tezduyar, Computers and Fluids )191 23
FEM原理講座 （サンプルテキスト）
サンプルテキスト FEM 原理講座 サイバネットシステム株式会社 8 年 月 9 日作成 サンプルテキストについて 各講師が 講義の内容が伝わりやすいページ を選びました テキストのページは必ずしも連続していません 一部を抜粋しています 幾何光学講座については 実物のテキストではなくガイダンスを掲載いたします 対象とする構造系 物理モデル 連続体 固体 弾性体 / 弾塑性体 / 粘弾性体 / 固体
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Microsoft PowerPoint - シミュレーション工学-2010-第1回.ppt
シミュレーション工学 ( 後半 ) 東京大学人工物工学研究センター 鈴木克幸 CA( Compter Aded geerg ) r. Jaso Lemo (SC, 98) 設計者が解析ツールを使いこなすことにより 設計の評価 設計の質の向上を図る geerg の本質の 計算機による支援 (CA CAM などより広い名前 ) 様々な汎用ソフトの登場 工業製品の設計に不可欠のツール 構造解析 流体解析
<4D F736F F F696E74202D20906C8D488AC28BAB90DD8C7689F090CD8D488A D91E F1>
人工環境設計解析工学構造力学と有限要素法 ( 第 回 ) 東京大学新領域創成科学研究科 鈴木克幸 固体力学の基礎方程式 変位 - ひずみの関係 適合条件式 ひずみ - 応力の関係 構成方程式 応力 - 外力の関係 平衡方程式 境界条件 変位規定境界 反力規定境界 境界条件 荷重応力ひずみ変形 場の方程式 Γ t Γ t 平衡方程式構成方程式適合条件式 構造力学の基礎式 ひずみ 一軸 荷重応力ひずみ変形
パソコンシミュレータの現状
第 2 章微分 偏微分, 写像 豊橋技術科学大学森謙一郎 2. 連続関数と微分 工学において物理現象を支配する方程式は微分方程式で表されていることが多く, 有限要素法も微分方程式を解く数値解析法であり, 定式化においては微分 積分が一般的に用いられており. 数学の基礎知識が必要になる. 図 2. に示すように, 微分は連続な関数 f() の傾きを求めることであり, 微小な に対して傾きを表し, を無限に
OpenFOAM(R) ソースコード入門 pt1 熱伝導方程式の解法から有限体積法の実装について考える 前編 : 有限体積法の基礎確認 2013/11/17 オープンCAE 富山富山県立大学中川慎二
OpenFOAM(R) ソースコード入門 pt1 熱伝導方程式の解法から有限体積法の実装について考える 前編 : 有限体積法の基礎確認 2013/11/17 オープンCAE 勉強会 @ 富山富山県立大学中川慎二 * OpenFOAM のソースコードでは, 基礎式を偏微分方程式の形で記述する.OpenFOAM 内部では, 有限体積法を使ってこの微分方程式を解いている. どのようにして, 有限体積法に基づく離散化が実現されているのか,
<4D F736F F F696E74202D208D E9197BF288CF68A4A B8CDD8AB B83685D>
離散化手法とスキームの基礎 と選択法 007//6 宇宙航空研究開発機構情報 計算工学センター嶋英志 本講習の目的 基礎的な計算法の性質を述べ 各手法の持つ長所短所を理解することによって 手法の背景を理解した正しい選択に近づくこと クーラン数 風上差分 等の広い範囲の CFD 技術に共通の概念について その意味とイメージを把握すること 本講習の方針 様々な流体方程式の基礎となる移流方程式を用いて色々な計算法の特徴を計算例を示しながら解説する
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11 Poisson kanenko@mbkniftycom alexeikanenko@docomonejp http://wwwkanenkocom/ , u = f, ( u = u+f u t, u = f t ) 1 D R 2 L 2 (D) := {f(x,y) f(x,y) 2 dxdy < )} D D f,g L 2 (D) (f,g) := f(x,y)g(x,y)dxdy (L
数値計算：有限要素法
( ) 1 / 61 1 2 3 4 ( ) 2 / 61 ( ) 3 / 61 P(0) P(x) u(x) P(L) f P(0) P(x) P(L) ( ) 4 / 61 L P(x) E(x) A(x) x P(x) P(x) u(x) P(x) u(x) (0 x L) ( ) 5 / 61 u(x) 0 L x ( ) 6 / 61 P(0) P(L) f d dx ( EA du dx
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/9/5 FD( 計算流体力学 ) の基礎理論 性能 運動分野 夏の学校 神戸大学大学院海事科学研究科勝井辰博 流体の質量保存 流体要素内の質量の増加率 [ 単位時間当たりの増加量 ] 単位時間に流体要素に流入する質量 流体要素 Fl lm (orol olm) v ( ) ガウスの定理 v( ) /9/5 = =( ) b=b =(b b b ) b= b = b + b + b アインシュタイン表記
O x y z O ( O ) O (O ) 3 x y z O O x v t = t = 0 ( 1 ) O t = 0 c t r = ct P (x, y, z) r 2 = x 2 + y 2 + z 2 (t, x, y, z) (ct) 2 x 2 y 2 z 2 = 0
9 O y O ( O ) O (O ) 3 y O O v t = t = 0 ( ) O t = 0 t r = t P (, y, ) r = + y + (t,, y, ) (t) y = 0 () ( )O O t (t ) y = 0 () (t) y = (t ) y = 0 (3) O O v O O v O O O y y O O v P(, y,, t) t (, y,, t )
1 1 x y = y(x) y, y,..., y (n) : n y F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 n F (x, y, y ) = 0 1 y(x) y y = G(x, y) y, y y + p(x)y = q(x) 1 p(x) q(
1 1 y = y() y, y,..., y (n) : n y F (, y, y,..., y (n) ) = 0 n F (, y, y ) = 0 1 y() 1.1 1 y y = G(, y) 1.1.1 1 y, y y + p()y = q() 1 p() q() (q() = 0) y + p()y = 0 y y + py = 0 y y = p (log y) = p log
gr09.dvi
.1, θ, ϕ d = A, t dt + B, t dtd + C, t d + D, t dθ +in θdϕ.1.1 t { = f1,t t = f,t { D, t = B, t =.1. t A, tdt e φ,t dt, C, td e λ,t d.1.3,t, t d = e φ,t dt + e λ,t d + dθ +in θdϕ.1.4 { = f1,t t = f,t {
_0212_68<5A66><4EBA><79D1>_<6821><4E86><FF08><30C8><30F3><30DC><306A><3057><FF09>.pdf
9. 05 L x P(x) P(0) P(x) u(x) u(x) (0 < = x < = L) P(x) E(x) A(x) P(L) f ( d EA du ) = 0 (9.) dx dx u(0) = 0 (9.2) E(L)A(L) du (L) = f (9.3) dx (9.) P
9 (Finite Element Method; FEM) 9. 9. P(0) P(x) u(x) (a) P(L) f P(0) P(x) (b) 9. P(L) 9. 05 L x P(x) P(0) P(x) u(x) u(x) (0 < = x < = L) P(x) E(x) A(x) P(L) f ( d EA du ) = 0 (9.) dx dx u(0) = 0 (9.2) E(L)A(L)
...Y..FEM.pm5
. 剛塑性有限要素法 名古屋大学大学院工学研究科. はじめに. 剛塑性体の構成式.. 降伏条件.. 構成方程式 ([D] マトリックス ). 節点速度 ひずみ速度関係..[B] マトリックス.. 四角形一次要素の [B] マトリックス.4 4 仮想仕事の原理 ( 剛性マトリックス ([K] マトリックス )).5 非線形方程式の解法.5. 直接代入法.5.wto-Raphso 法.6 非圧縮性の拘束と数値積分.7
第5章 偏微分方程式の境界値問題
October 5, 2018 1 / 113 4 ( ) 2 / 113 Poisson 5.1 Poisson ( A.7.1) Poisson Poisson 1 (A.6 ) Γ p p N u D Γ D b 5.1.1: = Γ D Γ N 3 / 113 Poisson 5.1.1 d {2, 3} Lipschitz (A.5 ) Γ D Γ N = \ Γ D Γ p Γ N Γ
4.6: 3 sin 5 sin θ θ t θ 2t θ 4t : sin ωt ω sin θ θ ωt sin ωt 1 ω ω [rad/sec] 1 [sec] ω[rad] [rad/sec] 5.3 ω [rad/sec] 5.7: 2t 4t sin 2t sin 4t
![4.6: 3 sin 5 sin θ θ t θ 2t θ 4t : sin ωt ω sin θ θ ωt sin ωt 1 ω ω [rad/sec] 1 [sec] ω[rad] [rad/sec] 5.3 ω [rad/sec] 5.7: 2t 4t sin 2t sin 4t](/thumbs/70/62705042.jpg "4.6: 3 sin 5 sin θ θ t θ 2t θ 4t : sin ωt ω sin θ θ ωt sin ωt 1 ω ω [rad/sec] 1 [sec] ω[rad] [rad/sec] 5.3 ω [rad/sec] 5.7: 2t 4t sin 2t sin 4t")
1 1.1 sin 2π [rad] 3 ft 3 sin 2t π 4 3.1 2 1.1: sin θ 2.2 sin θ ft t t [sec] t sin 2t π 4 [rad] sin 3.1 3 sin θ θ t θ 2t π 4 3.2 3.1 3.4 3.4: 2.2: sin θ θ θ [rad] 2.3 0 [rad] 4 sin θ sin 2t π 4 sin 1 1
( ) ( )
20 21 2 8 1 2 2 3 21 3 22 3 23 4 24 5 25 5 26 6 27 8 28 ( ) 9 3 10 31 10 32 ( ) 12 4 13 41 0 13 42 14 43 0 15 44 17 5 18 6 18 1 1 2 2 1 2 1 0 2 0 3 0 4 0 2 2 21 t (x(t) y(t)) 2 x(t) y(t) γ(t) (x(t) y(t))
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06 年 8 月 日 ( 月 )-6 日 ( 金 ) 千葉大学総合校舎 号館 4 階情報演習室 宇宙磁気流体 プラズマシミュレーションサマースクール 差分法の基礎 三好隆博 広島大学大学院理学研究科 時限目の目標 線形移流方程式 コンピュータ を計算機で解く! 内容 はじめに 差分法 移流方程式の差分法 高次精度風上差分法 はじめに はじめに 微分方程式 未知関数とその導関数を含む方程式 自然現象などを記述する基礎方程式
20 4 20 i 1 1 1.1............................ 1 1.2............................ 4 2 11 2.1................... 11 2.2......................... 11 2.3....................... 19 3 25 3.1.............................
Untitled
II 14 14-7-8 8/4 II (http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~ooshida/edu/fluid/) [ (3.4)] Navier Stokes [ 6/ ] Navier Stokes 3 [ ] Reynolds [ (4.6), (45.8)] [ p.186] Navier Stokes I 1 balance law t (ρv i )+ j
II ( ) (7/31) II ( [ (3.4)] Navier Stokes [ (6/29)] Navier Stokes 3 [ (6/19)] Re
![II ( ) (7/31) II ( [ (3.4)] Navier Stokes [ (6/29)] Navier Stokes 3 [ (6/19)] Re](/thumbs/94/118770263.jpg "II ( ) (7/31) II ( [ (3.4)] Navier Stokes [ (6/29)] Navier Stokes 3 [ (6/19)] Re")
II 29 7 29-7-27 ( ) (7/31) II (http://www.damp.tottori-u.ac.jp/~ooshida/edu/fluid/) [ (3.4)] Navier Stokes [ (6/29)] Navier Stokes 3 [ (6/19)] Reynolds [ (4.6), (45.8)] [ p.186] Navier Stokes I Euler Navier
Microsoft PowerPoint - 2_FrontISTRと利用可能なソフトウェア.pptx
東京大学本郷キャンパス 工学部8号館2階222中会議室 13:30-14:00 FrontISTRと利用可能なソフトウェア 2017年4月28日 第35回FrontISTR研究会 FrontISTRの並列計算ハンズオン 精度検証から並列性能評価まで 観測された物理現象 物理モデル ( 支配方程式 ) 連続体の運動を支配する偏微分方程式 離散化手法 ( 有限要素法, 差分法など ) 代数的な数理モデル
差分スキーム 物理 化学 生物現象には微分方程式でモデル化される例が多い モデルを使って現実の現象をコンピュータ上で再現することをシミュレーション ( 数値シミュレーション コンピュータシミュレーション ) と呼ぶ そのためには 微分方程式をコンピュータ上で計算できる数値スキームで近似することが必要
差分スキーム 物理 化学 生物現象には微分方程式でモデル化される例が多い モデルを使って現実の現象をコンピュータ上で再現することをシミュレーション ( 数値シミュレーション コンピュータシミュレーション ) と呼ぶ そのためには 微分方程式をコンピュータ上で計算できる数値スキームで近似することが必要になる その一つの方法が微分方程式を差分方程式におき直すことである 微分方程式の差分化 次の 1 次元境界値問題を考える
第1章 微分方程式と近似解法
April 12, 2018 1 / 52 1.1 ( ) 2 / 52 1.2 1.1 1.1: 3 / 52 1.3 Poisson Poisson Poisson 1 d {2, 3} 4 / 52 1 1.3.1 1 u,b b(t,x) u(t,x) x=0 1.1: 1 a x=l 1.1 1 (0, t T ) (0, l) 1 a b : (0, t T ) (0, l) R, u
今後の予定 6/29 パターン形成第 11 回 7/6 データ解析第 12 回 7/13 群れ行動 ( 久保先生 ) 第 13 回 7/17 ( 金 ) 休講 7/20 まとめ第 14 回 7/27 休講?
今後の予定 6/29 パターン形成第 11 回 7/6 データ解析第 12 回 7/13 群れ行動 ( 久保先生 ) 第 13 回 7/17 ( 金 ) 休講 7/20 まとめ第 14 回 7/27 休講? 数理生物学演習 第 11 回パターン形成 本日の目標 2 次元配列 分子の拡散 反応拡散モデル チューリングパタン 拡散方程式 拡散方程式 u t = D 2 u 拡散が生じる分子などの挙動を記述する.
I ( ) 1 de Broglie 1 (de Broglie) p λ k h Planck ( Js) p = h λ = k (1) h 2π : Dirac k B Boltzmann ( J/K) T U = 3 2 k BT
I (008 4 0 de Broglie (de Broglie p λ k h Planck ( 6.63 0 34 Js p = h λ = k ( h π : Dirac k B Boltzmann (.38 0 3 J/K T U = 3 k BT ( = λ m k B T h m = 0.067m 0 m 0 = 9. 0 3 kg GaAs( a T = 300 K 3 fg 07345
有限要素法入門 中島研吾 東京大学情報基盤センター
有限要素法入門 中島研吾 東京大学情報基盤センター EM-ntro 有限要素法入門 偏微分方程式の数値解法 重み付き残差法 偏微分方程式の数値解法 変分法 EM-ntro 差分法と有限要素法 偏微分方程式の近似解法 全領域を小領域 メッシュ 要素 に分割する 差分法 微分係数を直接近似 Tylor 展開 nte fference Method M Tylor Seres Epnson -!!!! nd
橡魅力ある数学教材を考えよう.PDF
Web 0 2 2_1 x y f x y f f 2_2 2 1 2_3 m n AB A'B' x m n 2 1 ( ) 2_4 1883 5 6 2 2_5 2 9 10 2 1 1 1 3 3_1 2 2 2 16 2 1 0 1 2 2 4 =16 0 31 32 1 2 0 31 3_2 2 3_3 3_4 1 1 GO 3 3_5 2 5 9 A 2 6 10 B 3 7 11 C
3.2 [ ]< 86, 87 > ( ) T = U V,N,, du = TdS PdV + µdn +, (3) P = U V S,N,, µ = U N. (4) S,V,, ( ) ds = 1 T du + P T dv µ dn +, (5) T 1 T = P U V,N,, T
![3.2 [ ]< 86, 87 > ( ) T = U V,N,, du = TdS PdV + µdn +, (3) P = U V S,N,, µ = U N. (4) S,V,, ( ) ds = 1 T du + P T dv µ dn +, (5) T 1 T = P U V,N,, T](/thumbs/82/86676506.jpg "3.2 [ ]< 86, 87 > ( ) T = U V,N,, du = TdS PdV + µdn +, (3) P = U V S,N,, µ = U N. (4) S,V,, ( ) ds = 1 T du + P T dv µ dn +, (5) T 1 T = P U V,N,, T")
3 3.1 [ ]< 85, 86 > ( ) ds > 0. (1) dt ds dt =0, S = S max. (2) ( δq 1 = TdS 1 =0) (δw 1 < 0) (du 1 < 0) (δq 2 > 0) (ds = ds 2 = TδQ 2 > 0) 39 3.2 [ ]< 86, 87 > ( ) T = U V,N,, du = TdS PdV + µdn +, (3)
第86回日本感染症学会総会学術集会後抄録（I）
κ κ κ κ κ κ μ μ β β β γ α α β β γ α β α α α γ α β β γ μ β β μ μ α ββ β β β β β β β β β β β β β β β β β β γ β μ μ μ μμ μ μ μ μ β β μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ β
1 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) () 1 4 2
7 1995, 2017 7 21 1 2 2 3 3 4 4 6 (1).................................... 6 (2)..................................... 6 (3) t................. 9 5 11 (1)......................................... 11 (2)
all.dvi
72 9 Hooke,,,. Hooke. 9.1 Hooke 1 Hooke. 1, 1 Hooke. σ, ε, Young. σ ε (9.1), Young. τ γ G τ Gγ (9.2) X 1, X 2. Poisson, Poisson ν. ν ε 22 (9.) ε 11 F F X 2 X 1 9.1: Poisson 9.1. Hooke 7 Young Poisson G
H 0 H = H 0 + V (t), V (t) = gµ B S α qb e e iωt i t Ψ(t) = [H 0 + V (t)]ψ(t) Φ(t) Ψ(t) = e ih0t Φ(t) H 0 e ih0t Φ(t) + ie ih0t t Φ(t) = [
![H 0 H = H 0 + V (t), V (t) = gµ B S α qb e e iωt i t Ψ(t) = [H 0 + V (t)]ψ(t) Φ(t) Ψ(t) = e ih0t Φ(t) H 0 e ih0t Φ(t) + ie ih0t t Φ(t) = [](/thumbs/99/141438442.jpg "H 0 H = H 0 + V (t), V (t) = gµ B S α qb e e iωt i t Ψ(t) = [H 0 + V (t)]ψ(t) Φ(t) Ψ(t) = e ih0t Φ(t) H 0 e ih0t Φ(t) + ie ih0t t Φ(t) = [")
3 3. 3.. H H = H + V (t), V (t) = gµ B α B e e iωt i t Ψ(t) = [H + V (t)]ψ(t) Φ(t) Ψ(t) = e iht Φ(t) H e iht Φ(t) + ie iht t Φ(t) = [H + V (t)]e iht Φ(t) Φ(t) i t Φ(t) = V H(t)Φ(t), V H (t) = e iht V (t)e
物性物理学I_2.pptx
phonon U r U = nαi U ( r nαi + u nαi ) = U ( r nαi ) + () nαi,β j := nαi β j U r nαi r β j > U r nαi r u nαiuβ j + β j β j u β j n α i () nαi,β juβj 調和振動子近似の復習 極 小 値近傍で Tylor展開すると U ( x) = U ( x ) + (
第６章 実験モード解析
第 6 章実験モード解析 6. 実験モード解析とは 6. 有限自由度系の実験モード解析 6.3 連続体の実験モード解析 6. 実験モード解析とは 実験モード解析とは加振実験によって測定された外力と応答を用いてモードパラメータ ( 固有振動数, モード減衰比, 正規固有モードなど ) を求める ( 同定する ) 方法である. 力計 試験体 変位計 / 加速度計 実験モード解析の概念 時間領域データを利用する方法
1 1.1 / Fik Γ= D n x / Newton Γ= µ vx y / Fouie Q = κ T x 1. fx, tdx t x x + dx f t = D f x 1 fx, t = 1 exp x 4πDt 4Dt lim fx, t =δx 3 t + dxfx, t = 1
1 1.1......... 1............. 1.3... 1.4......... 1.5.............. 1.6................ Bownian Motion.1.......... Einstein.............. 3.3 Einstein........ 3.4..... 3.5 Langevin Eq.... 3.6................
Note.tex 2008/09/19( )
1 20 9 19 2 1 5 1.1........................ 5 1.2............................. 8 2 9 2.1............................. 9 2.2.............................. 10 3 13 3.1.............................. 13 3.2..................................
微分方程式の解を見る
( ) norikazu[at]ms.u-tokyo.ac.jp http://www.infsup.jp/saito/materials/829gairon.pdf 28 2 9 NS ( ) 28 2 9 / 5 Newton 2 3 Navier-Stokes 4 5 6 NS ( ) 28 2 9 2 / 5 2 x 2 + bx + c = x = b ± b 2 4c 2 3 x 3 +
A
A04-164 2008 2 13 1 4 1.1.......................................... 4 1.2..................................... 4 1.3..................................... 4 1.4..................................... 5 2
O1-1 O1-2 O1-3 O1-4 O1-5 O1-6
O1-1 O1-2 O1-3 O1-4 O1-5 O1-6 O1-7 O1-8 O1-9 O1-10 O1-11 O1-12 O1-13 O1-14 O1-15 O1-16 O1-17 O1-18 O1-19 O1-20 O1-21 O1-22 O1-23 O1-24 O1-25 O1-26 O1-27 O1-28 O1-29 O1-30 O1-31 O1-32 O1-33 O1-34 O1-35
ｎｓｇ０２－１３／ｋｙ０４５０５９３０１６０００３３２１０
φ φ φ φ κ κ α α μ μ α α μ χ et al Neurosci. Res. Trpv J Physiol μ μ α α α β in vivo β β β β β β β β in vitro β γ μ δ μδ δ δ α θ α θ α In Biomechanics at Micro- and Nanoscale Levels, Volume I W W v W
Microsoft PowerPoint - 10.pptx
0. 固有値とその応用 固有値と固有ベクトル 2 行列による写像から固有ベクトルへ m n A : m n n m 行列によって線形写像 f R R A が表せることを見てきた ここでは 2 次元平面の行列による写像を調べる 2 = 2 A 2 2 とし 写像 まず 単位ベクトルの像を求める u 2 x = v 2 y f : R A R を考える u 2 2 u, 2 2 0 = = v 2 0
II A A441 : October 02, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka )
II 214-1 : October 2, 214 Version : 1.1 Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/14w-biseki.html pdf 1 2 1 9 1 16 1 23 1 3 11 6 11 13 11 2 11 27 12 4 12 11
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研究室紹介 卒業研究テーマ紹介 木村拓馬 佐賀大学理工学部知能情報システム学科第 2 研究グループ 第 2 研究グループ -- 木村拓馬 : 卒業研究テーマ紹介 (2016/2/16) 1/15 木村の専門分野 応用数学 ( 数値解析 最適化 ) 内容 : 数学 + 計算機 数学の理論に裏付けされた 良い 計算方法 良さ を計算機で検証する方法について研究 目標は でかい 速い 正確 第 2 研究グループ
A11 (1993,1994) 29 A12 (1994) 29 A13 Trefethen and Bau Numerical Linear Algebra (1997) 29 A14 (1999) 30 A15 (2003) 30 A16 (2004) 30 A17 (2007) 30 A18
2013 8 29y, 2016 10 29 1 2 2 Jordan 3 21 3 3 Jordan (1) 3 31 Jordan 4 32 Jordan 4 33 Jordan 6 34 Jordan 8 35 9 4 Jordan (2) 10 41 x 11 42 x 12 43 16 44 19 441 19 442 20 443 25 45 25 5 Jordan 26 A 26 A1
all.dvi
29 4 Green-Lagrange,,.,,,,,,.,,,,,,,,,, E, σ, ε σ = Eε,,.. 4.1? l, l 1 (l 1 l) ε ε = l 1 l l (4.1) F l l 1 F 30 4 Green-Lagrange Δz Δδ γ = Δδ (4.2) Δz π/2 φ γ = π 2 φ (4.3) γ tan γ γ,sin γ γ ( π ) γ tan
1 911 9001030 9:00 A B C D E F G H I J K L M 1A0900 1B0900 1C0900 1D0900 1E0900 1F0900 1G0900 1H0900 1I0900 1J0900 1K0900 1L0900 1M0900 9:15 1A0915 1B0915 1C0915 1D0915 1E0915 1F0915 1G0915 1H0915 1I0915
Microsoft Word - 11問題表紙（選択）.docx
A B A.70g/cm 3 B.74g/cm 3 B C 70at% %A C B at% 80at% %B 350 C γ δ y=00 x-y ρ l S ρ C p k C p ρ C p T ρ l t l S S ξ S t = ( k T ) ξ ( ) S = ( k T) ( ) t y ξ S ξ / t S v T T / t = v T / y 00 x v S dy dx
スライド 1
大規模連立一次方程式に対する 高並列前処理技術について 今倉暁筑波大学計算科学研究センター 共同研究者櫻井鉄也 ( 筑波大学 ), 住吉光介 ( 沼津高専 ), 松古栄夫 (KEK) 1 /49 本日のトピック 大規模連立一次方程式 のための ( 前処理付き )Krylov 部分空間法の概略について紹介する. 高並列性を考慮した前処理として, 反復法を用いた重み付き定常反復型前処理を導入し, そのパラメータを最適化手法を提案
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有限要素法入門 年夏季集中講義中島研吾 並列計算プログラミング 66-57 先端計算機演習 66-49 EM-ntro 有限要素法入門 偏微分方程式の数値解法 重み付き残差法 ガウス グリーンの定理 偏微分方程式の数値解法 変分法 EM-ntro 差分法と有限要素法 偏微分方程式の近似解法 全領域を小領域 メッシュ 要素 に分割する 差分法 微分係数を直接近似 Tylor 展開 EM-ntro 差分法
1 nakayama/print/ Def (Definition ) Thm (Theorem ) Prop (Proposition ) Lem (Lemma ) Cor (Corollary ) 1. (1) A, B (2) ABC
1 http://www.gem.aoyama.ac.jp/ nakayama/print/ Def (Definition ) Thm (Theorem ) Prop (Proposition ) Lem (Lemma ) Cor (Corollary ) 1. (1) A, B (2) ABC r 1 A B B C C A (1),(2),, (8) A, B, C A,B,C 2 1 ABC
SO(2)
TOP URL http://amonphys.web.fc2.com/ 1 12 3 12.1.................................. 3 12.2.......................... 4 12.3............................. 5 12.4 SO(2).................................. 6
Microsoft PowerPoint - H21生物計算化学２.ppt
演算子の行列表現 > L いま 次元ベクトル空間の基底をケットと書くことにする この基底は完全系を成すとすると 空間内の任意のケットベクトルは > > > これより 一度基底を与えてしまえば 任意のベクトルはその基底についての成分で完全に記述することができる これらの成分を列行列の形に書くと M これをベクトル の基底 { >} による行列表現という ところで 行列 A の共役 dont 行列は A
p12.dvi
301 12 (2) : 1 (1) dx dt = f(x,t) ( (t 0,t 1,...,t N ) ) h k = t k+1 t k. h k k h. x(t k ) x k. : 2 (2) :1. step. 1 : explicit( ) : ξ k+1 = ξ k +h k Ψ(t k,ξ k,h k ) implicit( ) : ξ k+1 = ξ k +h k Ψ(t k,t
以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (ex. 2 dx d x x, x 2 dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-1) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( x や x, x などがすべて 1 次で なおかつ
以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (e. d d, dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( や, などがすべて 次で なおかつそれらの係数が定数であるような微分方程式 ) に対して安定性の解析を行ってきた しかしながら 実際には非線形の微分方程式で記述される現象も多く存在する
K E N Z U 2012 7 16 HP M. 1 1 4 1.1 3.......................... 4 1.2................................... 4 1.2.1..................................... 4 1.2.2.................................... 5................................
偏微分方程式、連立１次方程式、乱数
数値計算法 011/6/8 林田清 大阪大学大学院理学研究科 常微分方程式の応用例 1 Rutherford 散乱 ( 原子核同士の散乱 ; 金の薄膜に α 粒子をあてる ) 1 クーロン力 f= 4 0 r r r Ze y からf cos, si f f f y f f 粒子の 方向 y方向の速度と座標について dv Ze dvy Ze y, 3 3 dt 40m r dt 40m r d dy
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付録 2 2 次元アフィン変換 直交変換 たたみ込み 1.2 次元のアフィン変換 座標 (x,y ) を (x,y) に移すことを 2 次元での変換. 特に, 変換が と書けるとき, アフィン変換, アフィン変換は, その 1 次の項による変換 と 0 次の項による変換 アフィン変換 0 次の項は平行移動 1 次の項は座標 (x, y ) をベクトルと考えて とすれば このようなもの 2 次元ベクトルの線形写像
untitled
1 1 Ax = b A R m m A b R m x R m A shift-and invert Lanczos - LU CG A = LU LU Ly = b Ux = y A LU A A = LL T 1 LU b,, Vol. 11, No. 4, pp. 14 18 (2006). x * x (0), x (1), x (2), A Ap A # x (n+1) = Cx (n)
<4D F736F F D B B83578B6594BB2D834A836F815B82D082C88C60202E646F63>
Visual Basic でわかるやさしい有限要素法の基礎 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. http://www.morikita.co.jp/books/mid/092001 このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行当時のものです. URL http://www.morikita.co.jp/soft/92001/ horibe@mx.ibaraki.ac.jp
Sturm-Liouville Green KEN ZOU Hermite Legendre Laguerre L L [p(x) d2 dx 2 + q(x) d ] dx + r(x) u(x) = Lu(x) = 0 (1) L = p(x) d2 dx
![Sturm-Liouville Green KEN ZOU Hermite Legendre Laguerre L L [p(x) d2 dx 2 + q(x) d ] dx + r(x) u(x) = Lu(x) = 0 (1) L = p(x) d2 dx](/thumbs/88/116809375.jpg "Sturm-Liouville Green KEN ZOU Hermite Legendre Laguerre L L [p(x) d2 dx 2 + q(x) d ] dx + r(x) u(x) = Lu(x) = 0 (1) L = p(x) d2 dx")
Sturm-Liouville Green KEN ZOU 2006 4 23 1 Hermite Legendre Lguerre 1 1.1 2 L L p(x) d2 2 + q(x) d + r(x) u(x) = Lu(x) = 0 (1) L = p(x) d2 2 + q(x) d + r(x) (2) L = d2 2 p(x) d q(x) + r(x) (3) 2 (Self-Adjoint
Microsoft PowerPoint - 第8章
講義予定 案. 9/ 数値シミュレーションの手続き テキスト第 章. 9/ 9 偏微分方程式と解析解 テキスト第 章 3. 9/6 休講 4. 9/30 差分方程式とそのスキーム テキスト第 3 章 変換 テキスト第 4 章 5. 0/ 7 計算 テキスト第 5 章 連立一次方程式の解法 テキスト第 6 章 6. 0/ 流れ関数 ポテンシャルによる解法 テキスト第 7 章 7. 0/8 流速 圧力を用いた解法
) ] [ h m x + y + + V x) φ = Eφ 1) z E = i h t 13) x << 1) N n n= = N N + 1) 14) N n n= = N N + 1)N + 1) 6 15) N n 3 n= = 1 4 N N + 1) 16) N n 4
![) ] [ h m x + y + + V x) φ = Eφ 1) z E = i h t 13) x << 1) N n n= = N N + 1) 14) N n n= = N N + 1)N + 1) 6 15) N n 3 n= = 1 4 N N + 1) 16) N n 4](/thumbs/92/107866707.jpg ") ] [ h m x + y + + V x) φ = Eφ 1) z E = i h t 13) x << 1) N n n= = N N + 1) 14) N n n= = N N + 1)N + 1) 6 15) N n 3 n= = 1 4 N N + 1) 16) N n 4")
1. k λ ν ω T v p v g k = π λ ω = πν = π T v p = λν = ω k v g = dω dk 1) ) 3) 4). p = hk = h λ 5) E = hν = hω 6) h = h π 7) h =6.6618 1 34 J sec) hc=197.3 MeV fm = 197.3 kev pm= 197.3 ev nm = 1.97 1 3 ev
NAPRA
研究の動機 圧縮応力下の破壊現象 主要な亀裂の破壊に支配される引張応力下の破壊現象と異なり, 亀裂群の破壊パターンが多様 物理亀裂の進展条件 数理多様な破壊パターン 理論解析と数値解析 現状理論解析が主, 数値解析を従 将来 数値解析が主, 理論解析を従 数値解析を前提とした数理問題の設定が必要 背景 解析が困難な破壊現象 亀裂の三次元的進展 圧縮応力下での破壊 破壊問題を解くために FEM に導入される技巧
all.dvi
5,, Euclid.,..,... Euclid,.,.,, e i (i =,, ). 6 x a x e e e x.:,,. a,,. a a = a e + a e + a e = {e, e, e } a (.) = a i e i = a i e i (.) i= {a,a,a } T ( T ),.,,,,. (.),.,...,,. a 0 0 a = a 0 + a + a 0
I , : ~/math/functional-analysis/functional-analysis-1.tex
I 1 2004 8 16, 2017 4 30 1 : ~/math/functional-analysis/functional-analysis-1.tex 1 3 1.1................................... 3 1.2................................... 3 1.3.....................................
2018年度 東京大・理系数学
08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ関数 f ( ) = + cos (0 < < ) の増減表をつくり, + 0, 0 のと sin きの極限を調べよ 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ n+ 数列 a, a, を, Cn a n = ( n =,, ) で定める n! an qn () n とする を既約分数 an p として表したときの分母
変 位 変位とは 物体中のある点が変形後に 別の点に異動したときの位置の変化で あり ベクトル量である 変位には 物体の変形の他に剛体運動 剛体変位 が含まれている 剛体変位 P(x, y, z) 平行移動と回転 P! (x + u, y + v, z + w) Q(x + d x, y + dy,
変 位 変位とは 物体中のある点が変形後に 別の点に異動したときの位置の変化で あり ベクトル量である 変位には 物体の変形の他に剛体運動 剛体変位 が含まれている 剛体変位 P(x, y, z) 平行移動と回転 P! (x + u, y + v, z + w) Q(x + d x, y + dy, z + dz) Q! (x + d x + u + du, y + dy + v + dv, z +
( )
7..-8..8.......................................................................... 4.................................... 3...................................... 3..3.................................. 4.3....................................
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Non-linea factue mechanics き裂先端付近の塑性変形 塑性域 R 破壊進行領域応カ特異場 Ω R R Hutchinson, Rice and Rosengen 全ひずみ塑性理論に基づいた解析 現段階のひずみは 除荷がないとすると現段階の応力で一義的に決まる 単純引張り時の応カーひずみ関係 ( 構成方程式 ): ( ) ( ) n () y y y ここで α,n 定数, /
24 I ( ) 1. R 3 (i) C : x 2 + y 2 1 = 0 (ii) C : y = ± 1 x 2 ( 1 x 1) (iii) C : x = cos t, y = sin t (0 t 2π) 1.1. γ : [a, b] R n ; t γ(t) = (x
![24 I ( ) 1. R 3 (i) C : x 2 + y 2 1 = 0 (ii) C : y = ± 1 x 2 ( 1 x 1) (iii) C : x = cos t, y = sin t (0 t 2π) 1.1. γ : [a, b] R n ; t γ(t) = (x](/thumbs/94/118744578.jpg "24 I ( ) 1. R 3 (i) C : x 2 + y 2 1 = 0 (ii) C : y = ± 1 x 2 ( 1 x 1) (iii) C : x = cos t, y = sin t (0 t 2π) 1.1. γ : [a, b] R n ; t γ(t) = (x")
24 I 1.1.. ( ) 1. R 3 (i) C : x 2 + y 2 1 = 0 (ii) C : y = ± 1 x 2 ( 1 x 1) (iii) C : x = cos t, y = sin t (0 t 2π) 1.1. γ : [a, b] R n ; t γ(t) = (x 1 (t), x 2 (t),, x n (t)) ( ) ( ), γ : (i) x 1 (t),
sikepuri.dvi
2009 2 2 2. 2.. F(s) G(s) H(s) G(s) F(s) H(s) F(s),G(s) H(s) : V (s) Z(s)I(s) I(s) Y (s)v (s) Z(s): Y (s): 2: ( ( V V 2 I I 2 ) ( ) ( Z Z 2 Z 2 Z 22 ) ( ) ( Y Y 2 Y 2 Y 22 ( ) ( ) Z Z 2 Y Y 2 : : Z 2 Z
25 7 18 1 1 1.1 v.s............................. 1 1.1.1.................................. 1 1.1.2................................. 1 1.1.3.................................. 3 1.2................... 3
73
73 74 ( u w + bw) d = Ɣ t tw dɣ u = N u + N u + N 3 u 3 + N 4 u 4 + [K ] {u = {F 75 u δu L σ (L) σ dx σ + dσ x δu b δu + d(δu) ALW W = L b δu dv + Aσ (L)δu(L) δu = (= ) W = A L b δu dx + Aσ (L)δu(L) Aσ
x,, z v = (, b, c) v v 2 + b 2 + c 2 x,, z 1 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) v 1 = ( 1, b 1, c 1 ), v 2 = ( 2, b 2, c 2 ) v
12 -- 1 4 2009 9 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 c 2011 1/(13) 4--1 2009 9 3 x,, z v = (, b, c) v v 2 + b 2 + c 2 x,, z 1 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) v 1 = ( 1, b 1, c 1 ), v 2
第10章 アイソパラメトリック要素
June 5, 2019 1 / 26 10.1 ( ) 2 / 26 10.2 8 2 3 4 3 4 6 10.1 4 2 3 4 3 (a) 4 (b) 2 3 (c) 2 4 10.1: 3 / 26 8.3 3 5.1 4 10.4 Gauss 10.1 Ω i 2 3 4 Ξ 3 4 6 Ξ ( ) Ξ 5.1 Gauss ˆx : Ξ Ω i ˆx h u 4 / 26 10.2.1
No δs δs = r + δr r = δr (3) δs δs = r r = δr + u(r + δr, t) u(r, t) (4) δr = (δx, δy, δz) u i (r + δr, t) u i (r, t) = u i x j δx j (5) δs 2
No.2 1 2 2 δs δs = r + δr r = δr (3) δs δs = r r = δr + u(r + δr, t) u(r, t) (4) δr = (δx, δy, δz) u i (r + δr, t) u i (r, t) = u i δx j (5) δs 2 = δx i δx i + 2 u i δx i δx j = δs 2 + 2s ij δx i δx j
.5 z = a + b + c n.6 = a sin t y = b cos t dy d a e e b e + e c e e e + e 3 s36 3 a + y = a, b > b 3 s363.7 y = + 3 y = + 3 s364.8 cos a 3 s365.9 y =,
[ ] IC. r, θ r, θ π, y y = 3 3 = r cos θ r sin θ D D = {, y ; y }, y D r, θ ep y yddy D D 9 s96. d y dt + 3dy + y = cos t dt t = y = e π + e π +. t = π y =.9 s6.3 d y d + dy d + y = y =, dy d = 3 a, b
Gmsh / Gnuplot / OpenFOAM / ParaView による Open Source CAE Suite for Windows 建築分野向けチュートリアル 大嶋拓也 新潟大学工学部 D R A F T 2008 年 4 月 18 日版 分割版 第 1 章
Gmsh / Gnuplot / OpenFOAM / ParaView による Open Source CAE Suite for Windows 建築分野向けチュートリアル 大嶋拓也 新潟大学工学部 D R A F T 2008 年 4 月 18 日版 分割版 第 1 章 目次 11基礎事項 3 1.1 数値シミュレーションとは 3 1.2 微分とは 3 1.3 微分方程式とは 4 1.4 解析解の求め方
大気環境シミュレーション
第 3 回 (Q) 各自 eelを用いて 次の漸化式 + = の解の初期値依存性を調べよ.は50まで () 0 =.0 () 0 =.5 (3) 0 =.0 締切 04 年 月 6 日 ( 月 ) 夕方まで 提出先 347 室 オーバーフロー失敗ゴメンなさい (Q) 各自 eelを用いて 次の漸化式 + = の解の初期値依存性を調べよ.は50まで () 0 =.330 () 0 =.33 (3) 0
tomocci ,. :,,,, Lie,,,, Einstein, Newton. 1 M n C. s, M p. M f, p d ds f = dxµ p ds µ f p, X p = X µ µ p = dxµ ds µ p. µ, X µ.,. p,. T M p.
tomocci 18 7 5...,. :,,,, Lie,,,, Einstein, Newton. 1 M n C. s, M p. M f, p d ds f = dxµ p ds µ f p, X p = X µ µ p = dxµ ds µ p. µ, X µ.,. p,. T M p. M F (M), X(F (M)).. T M p e i = e µ i µ. a a = a i
量子力学 問題
3 : 203 : 0. H = 0 0 2 6 0 () = 6, 2 = 2, 3 = 3 3 H 6 2 3 ϵ,2,3 (2) ψ = (, 2, 3 ) ψ Hψ H (3) P i = i i P P 2 = P 2 P 3 = P 3 P = O, P 2 i = P i (4) P + P 2 + P 3 = E 3 (5) i ϵ ip i H 0 0 (6) R = 0 0 [H,
2013 25 9 i 1 1 1.1................................... 1 1.2........................... 2 1.3..................................... 3 1.4..................................... 4 2 6 2.1.................................
2011 8 26 3 I 5 1 7 1.1 Markov................................ 7 2 Gau 13 2.1.................................. 13 2.2............................... 18 2.3............................ 23 3 Gau (Le vy
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情報デザイン専攻 画像情報処理論及び演習 - フィルタ処理 エッジ強調 - 差分法 変分法と平滑化 エッジ S Yoszw: s@re.p 今日の授業内容 www.re.p/rc/yoszw/ecres/e.ml www.re.p/rc/yoszw/ecres/ec7.p. 勾配とエッジの基礎 : 差分法.. plcと拡散方程式の基礎 : 変分法. 第 6 回講義水曜日 限教室 68 吉澤信 s@re.p