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1 - = 4 = 4 = - y = x y = x y = x + 4 y = x 比例は y = ax の形であらわすことができる 4 - 秒後 y = 5 y = 0 (m) 5 秒後 y = 5 5 y = 5 (m) 5 0 = 05 (m) 05 5 = 5 (m/ 秒 ) 4 4 秒後 y = 5 4 y = 80 (m) = 45 (m/ 秒 ) 5 v = 0 5 v = 50 (m/ 秒 )

2 -4 y = x の x の値 から まで増加するときの変化の割合は yの増加量変化の割合 = xの増加量 = = + = + y = x + = 8 y = x + = 4 y = x + = 8 y = x + = と同じ考え方を使用する a + - = 4 a = 4 a = -6-4 と同じ考え方を使用する y = ax で x の値が から 4 まで増加するときの変化の割合 a 4 + = 6a y = x + の変化の割合は どこで調べても したがって 6a = a =

3 -7 8 l () 放物線は A, を通るので = a よって a = となる ( y = x ) () 直線 l は A, と 0, 4 を通るので y = x + 4 この つの式を連立して解く y = x 4 y = x + 4 x =x + 4 x x 8=0 x + x 4 =0 x =, 4 したがって B の座標は 4, 8 8 l () OAB は図のように分けると 4 = = 8 合わせると OAB= 4

4 l 4 C 4 () 放物線は A, を通るので = a よって a = 4 となる ( y = 4 x ) () 直線 l は A, と 0, を通るので y = x この つの式を連立して解く y = 4 x y = x 4 x = x + 4 x 6x + 8=0 x x 4 =0 x =, 4 したがって B の座標は 4, 4 () OAB は図のように OBC- OCA で求められる C の座標は 4, = 8 4 = OBC- OCA = 8 OAB=

5 - ア y = x イ y = x ウ y = x エ y = x 判別のポイント ア. 原点 (0,0) を通る上に開いた形 a イ. 軸がずれている上に開いた形 b ウ. 原点 (0,0) を通る下に開いた形 d エ. 切片がずれている下に開いた形 c 次関数の変域のポイント x の範囲が軸を含む場合は 最大値 ( または最小値 ) が軸の時の値になる y = x y = x はいずれも軸が x = 0 のときで それぞれ y = 0 y = である ア. y 8 5 y イ. y 7 7 y ウ. 0 y 50 6 y 軸と x = 5 が最大または最小になる エ. 0 y 7 x 軸と x = 4 が最大または最小になる

6 - 軸は x = 0 最大値 ( x = 0のとき ) 最小値 ( x = のとき ) 軸は x = 4 最大値 4 ( x = のとき ) 最小値 5( x = のとき ) この形を意識してください 軸は x = 最大値 ( x = のとき ) 最小値 ( x = のとき )

7 - 与えられた 次関数は x の係数がマイナスなので 上に凸のグラフ最大値は軸のところとなる y = x + kx = x k から この 次関数の軸は x = k であり x = 4 のとき最大となるので k = 4 つまり この 次関数は y = x + 8x であり x = 4 のとき最大値をとる したがって y の最大値は 6 与えられた 次関数は x の係数が不明だが 最小値があるのは 下に凸のグラフであり 最小値は軸のところとなる このことから a > 0 であることがわかる y = ax ax + y = a x からこの 次関数の軸は x = つまり x = のとき y は最小値 をとるはずである したがって y = ax ax + に x =, a a + = a + = a = y = を代入して

8 -4 この 次関数の軸は x = y 軸との交点は ( 0, k ) であることからグラフを考える 下のグラフのように 正と負の実数解をひとつずつ持つ k は k < 0-5 x は時間なので 0 秒以上 また y は高さなので 0m 以上でなければならないため 与えられた式が 0 になるときの x の値を求めることで 変域が分かる y = 0x 5x y = 5x 4 x x = 4のとき y = 0となる つまり ボールを投げ上げてから 4 秒後に初めの高さに戻ることになる したがって x の変域は 0 x 4 y の値が最大になるのは 軸のときで x = のときこのとき y = 0 したがって 最大の高さは 0m -6 もとの売上金は 円と表せるので 問題の条件を加味して y = 00 + x 500 x より y = 00 + x 500 x 売上金額が最大になるのは 軸のところとなるので x = 5 のとき したがって x = 5 のとき 最大となるので 5 円値上げした時が売上金額が最大となる

9 - 与式 = (+-4) = = 与式 = (+5-4) = 4 =8 与式 = 5 ( ) - = 5-4 = = 4 与式 = 4 = 4 5 与式 = = = 9 6 与式 = 4 = 6 = = 7 与式 = 6 = = 8 与式 = 4 4 = = 9 与式 = 6 = = - 与式 = 5 5 = 5 = 5 5 = = 与式 = = + = 与式 =6 = = = = 6 4 与式 = 4 4 = = 8 5 与式 = a = a a a a a6 = a 6 = a 6 - y = x y = x y = x 4 y = x 5 y = x が基本の形になり は と y 軸に関して対称 4 は と x 軸に関して対称になり 5 は y 軸に関して対称になる のグラフは のグラフの 倍の値をとる のグラフは以上のことからウ のグラフはア のグラフはイ 4 のグラフはオ 5 のグラフはエ

10 -4 与式 x x + 8 = 0 x 6 x + 8 = 0 x 4 x = 0 x = 4, x=, 与式 x + 8 x 9 < 0 x x + 9 < 0 9 < x < x >0 より 0 < x < したがって x < 0 x<0

11 -5 与式 =log = log = 0.5= なので 底を にする 与式 = log = log = log = log 8 log log 6も04もの累乗なので 底は 与式 = log 04 = log 0 = 0 log = 0 = 5 log 6 log 4 4 log 4 4 与式 =log 9 = log = log = log = -6 与式 =log log = log = log = 与式 =log 0 + log 0 5 log 0 = log 与式 = log log 8 log 5 = log 0 5 =log 0 5 = log 0 5 = log 0 0 = log log 7 49 log 7 7 = 5 = 5-7 与式 =log 0 00 = log 0 + log 0 0 = = 与式 =log = log 0 + log 0 + log = 0 と と0で =log 0 + log 0 0 log 0 + log 0 0 = =.76 あらわすことができる 与式 =log 0 = log 0 + log 0 = = 0.597

12 -8 y = log x y = log x y = log 9x 4 y = log x 5 y = log x + 6 y = log x 7 y = log x まず 基本となる log x のグラフを確定する 基本の形は 近い形は log 9x = log 9 + log x = + log x で よりも ずつ大きいグラフとなる グラフ内で該当するのは イとウ 常に値の小さいものはウなので のグラフはウ のグラフはイ となる y = log x = log x log = log x = log x なので をx 軸に関して対称にしたものア 4 y = log = log x x = log x となるので と同じになるア 5 y = log x + は のグラフをx 軸方向に 移動させたもの はy =0のとき x = 5はx =-となる よって カ 6 y = log x 7 y = log x = log x は と y 軸に関して対称エ = log x となるので 6とx 軸に関して対称 原点 0に関して対称になるオ

13 -0 大小を比較するために 底を揃える log 4 = log log 4 = log となるので log < log よって log 4 < log.5 = log = log = log = log とかける したがって と を比べる それぞれ 乗して と つまり 8 と 9 なので 8<9 よって.5< log - log x =A とおくと与式 A A = 0 A A + = 0 したがって A=,- つまり log x =,- なので x = 4, log x < log x log x < log x log x log < log x log log x < log x log x > log x x > x x x + >0 x >0 よって x は にしてしまおう ただし 真数条件から x>0 かつ x >0 ( は何乗しても 0 や負にならない = 真数条件という ) なので x> となる 以上より <x<, <x

14 4- 微分計算のポイント () x n を微分すると nx n () 定数項は微分すると 0 () n は負の数でも同じ要領で微分できる ( ただし x>0 の場合 ) -5 6x 4 4 9x 4x+4 5 x + 6x 6 与式 = x +x なので 微分すると x + x = x + x 4- B の計算方法で微分した後に それぞれの値を代入する f x = x 4x + f = 4 + = = f x = 6x + 8x f = = = 8 f x = 0x f = 0 - = 0- = 8 4 f x = x x + 4x f = + 4 = 6 4- 接線の方程式を y = ax + b とすると a は f x = x に x = を代入して求められる a = 4 となり 直線の式は y = 4x + b と表せる この直線が点 (,-) を通るので 点の座標を代入し b を求める - = 8 + b b = 5 よって求める式は y = 4x + 5 以降も同様の手順で求める y = x + y = 7x y = -4x +

15 4-4 求める接線の式をy = ax + bとすると この接線の傾きは f x = x で表される傾きが0( これがaになる ) の時のxの値を調べる x = 0 x = x = 4 よって x = ± つまり 接点は,-4,4 のつの場合があるので y = 0x + bにそれぞれ代入して y = 0x + 6, y = 0x 6 求める接線の方程式は y = x + b となる ( y = x- に平行 ) と同様に 接点を調べる f x = 4x で f x = となる x を求める 4x = 4x = 4 よって x= このとき y= となり 接点は, である これを y = x + b に代入して b を求める y = x +

16 5- f x = 0 になるとき ( 傾きが 0 になるとき ) の x を調べると f x = 6x 6x-6 f x =0 x x-6=0 x f x x + x =0 f x 極大 極小 x=, 極値がつあり グラフは全体的に右上がり 増減表は上の通りで x= のとき 極大値 56 x=のとき 極小値 x= 69 f x = x 6x 9 f x = (x + ) 6 < 0 これは方程式に実数解はない y=0 を満たす x は存在しないことがわかる よって 極値はない f x = x + 6x-4 f x = 0 となるのは x +x-8=0 x + 4 x =0 x= 4, x 4 f x f x 極大 極小 極値が つあり グラフは全体的に右上がり 増減表は上の通りで x= 4 のとき 極大値 8 x= のとき 極小値 x= 6

17 5-5- と同じように f x = 0 になるとき ( 傾きが 0 になるとき ) の x を調べる 切片は式にあるので注意 f x = x + 6x=0 f x = 0を調べると x x + =0 x=, 0 極値がつあり グラフは全体的に右上がり 増減表は下の通り x 0 f x f x 極大 極小 x= のとき 極大値 0 x=0 のとき 極小値 x= 4 であるので グラフは右の通り f x = x < 0 f x は単調減少 f x = x + x =0 f x = 0 x x + =0 x=, 極値がつあり グラフは全体的に右上がり 増減表は下の通り x f x x= のとき 極大値 0 x= のとき 極小値 x= であるので グラフは右の通り f x 極大極小 7

18 5- 直方体の体積 ( V ) は 上の図より V x = x 0 x ( 0 < x < 0 ) と表せる V x = 4x 80x + 400x V x = x 60x V x = 0のとき x 40x + 00 = 0 x 0 x 0 = 0 x= 0, 0 x 増減表は右の通りで 極大値をとるとき このグラフの値が 0<x<0 の範囲で最大となる よって 切り取る 辺の長さは 0 cm 0 (0) f x f x 極大 ( 極小 )

19 5-4 問題文より 長方形 ABCD の辺の長さは右の図のようになる 長方形の面積 S は S x = x x 0 < x < S x = x + x S x = 6x + S x = 0 となるのは -6x + = 0 6x = x = ± 0 < x < より 増減表は右の通りで 極大値をとるとき 長方形の面積の値が最大となる S = 4 x = 9 x 0 x f x + 0 f x 極大 5-5 問題文の円すいは右の図の通り 求める体積 ( V ) は V x = πx x 0 < x < V x = π x + 4πx V x = πx + 8πx V x = 0 となるのは πx + 8πx = 0 x x 8 = 0 x = 0, 8 0 < x < より 増減表は右の通りで 極大値をとるとき 円すいの体積が最大となる 求める半径は8 cm 円すいの体積は V 8 = 56 π 64 8 = π(cm ) x 0 8 f x + 0 f x 極大