2014年度 信州大・医系数学

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1 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 3 個の玉が横に 列に並んでいる コインを 回投げて, それが表であれば, そのときに中央にある玉とその左にある玉とを入れ替える また, それが裏であれば, そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える この操作を繰り返す () 最初に中央にあったものが 回後に中央にある確率を求めよ () 最初に右端にあったものが 回後に右端にある確率を求めよ --

2 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 次の各問いに答えよ () 3 つのベクトル = (,,), b= (, s, ), c= ( p, q, ) が次の条件を満たす ような, s,, p, q の値を求めよ (i) = b (ii) と b のなす角は 6 (iii) c は と b の両方に直交する () を 以上の整数とする + 個の自然数,,, の中に, 最上位の桁 の数字が であるものはいくつあるか ただし, x を超えない最大の整数を表す記号 [ x ] を用いて解答してよい 注 : たとえば 4 の最上位の桁の数字は であり, 45 の最上位の桁の数字は である --

3 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 3 解答解説のページへ を正の数とする このとき, 次の関係式を満たす関数 f ( x ) を求めよ f ( x ) = f ( )cos( - x ) d + -3-

4 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ 関数 f ( x ) は, f ( x ) < を満たすとする り立つことを示せ () f ( ) + f ( ) f ( ) f () + f () () f () + f ( ) f () ( u) du () + f f のとき, 次の (), () の不等式が成 -4-

5 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへすべての実数 x, y に対して不等式 が成り立つとき, + x + ( y- x) + x + y の値の範囲を求めよ -5-

6 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 最初に中央にあった玉が, 与えられた操作を 回繰り返した後, 左端, 中央, 右 端のある確率を, それぞれ, b, すると, = c =, + = + b b + = + c c + = b + c 3 ここで, b c b = のもとで, c とおく + + = に注意すると, から, b + = ( + c) = (- b) =- b + 4 4を b + - =- ( b - ) と変形して, 3 3 ( )( b - = b - - ) = ( - )( - ) =- ( - ) よって, 回後に中央にある確率 b は, b - = - ( - ) である 3 3 () 最初に右端にあった玉が, 与えられた操作を 回繰り返した後, 左端, 中央, 右 端のある確率を, () と同様に, それぞれ, b, 回後 c とおく + 回後 すると, 3が成り立ち, =, b = c = のもとで, 4から, ( )( - b - = b ) = ( - )( - ) = ( - ) これより, b = + ( - ) となり, 3に代入すると, c + = + ( - ) + c = c + - ( - ) ここで, 5を満たす つの数列を c = + ( - ) (, は定数 ) とおくと, ( + ) { ( ) } ( + - = ) 6 6 すると, = + かつ- = - となり, (, ) = (, ) なので, ( - ) = { + ( - ) } + - ( - ) から, { ( ) c } = é c { ( ) } ù 3 6 êë úû となるので, { ( ) } { ( ) - c } ( ) = éc ù 3 6 êë ûú - = ( )( ) = + ( ) = ( ) 3 4 左端 中央 右端 左端 中央 右端 --

7 よって, 回後に右端にある確率 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 c は, c ( ) ( ) + = である 3 6 [ 解説 ] 漸化式を立式するのが有効な確率の問題です なお, 漸化式 5は普通に解いたのですが, 両辺に + をかけるという方法でも構いません 詳しくは ピンポイントレクチャー を参照してください --

8 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () = (,,), b= (, s, ), c= ( p, q, ) に対し, 条件 (i) から = b より, 4+ + = 4+ s +, s + = また, 条件 (ii) から b = bcos6より, 4+ s+ = 6 6 となり, s+ =- さらに, 条件 (iii) から c= かつbc = より, p+ q+ = 3, p+ sq+ = 4 より, s s = - 3, + (-- s) = から, s + s- = となり, - 3 = ( 以下, 複号同順 ) 34より, ( s- ) q+ - = となり, q = - + s - (3 3 ) (3 3 ) = = =-4 3 p = (4 3 - ) = 3 () が m 桁の整数で, 最上位の桁の数字が であるとすると, m - m - < ここで, 各辺に対数をとると, m - m - < log log log ( ) ( m- )log < + ( m-)log b b より, どんな m に対しても を満たす整数 が つずつ存在する すると,, の桁数 m の値に等しくなる,, の中に, 最上位の桁の数字が であるものの個数は, そこで, が m 桁の整数とすると, と同様にして, m - m <, m- log < m, m log + < m+ 以上より,,,, の中で, 最上位の桁の数字が であるものの個数は, [ log + ] = [ log ] + [ 解説 ] () はベクトルの成分計算, () は整数問題の小問 題の構成です () については, まず具体的に考え, 桁の数では = のみ, 桁の数では 4 = 6のみ, 3 桁の数では 7 = 8のみ, 4 桁の数では = 4 のみ, と計算していくと, 求める個数は の桁数であると推測できます -3-

9 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 3 問題のページへ > に対し, 条件より, f ( x ) = f ( )cos( - x ) d + ここで, cos( - x ) = cos cosx + si six より, から f ( x ) = cos x f ( )cosd + si x f ( )si d + A = f ( )cosd 3, f ( x ) = Acosx+ B si x+ 5 5 を 3 に代入して, B = f ( )sid 4とおくと, から, = u とおくと, d = du となり, A = ( Acos+ Bsi+ )cosd = ( Acosu+ Bsiu+ )cosudu = { A( cos3u cos u) B( si3u si u)} du [ siu] = é A ( si3u siu) B( cos3u cosu) ù êë úû =- B ( - - ) = 4B を4に代入して, 同様に, = u とおくと, B = ( Acosu Bsiu )siudu + + = { A( si3u si u) B( cos3u cos u)} du [ cosu] = é A ( cos3u cosu) B( si3u siu) ù êë úû + =- A ( ) =- A より, 4 B =- B+ から, (9 + 8) B = 8となり, 3 3 B = , A = 4 8 = に代入すると, f ( x ) = 6 (4cosx + 3 si x ) + である [ 解説 ] いわゆる置き換え型の積分方程式です 方針はストレートに決まりますが, 計算はやや難です -4-

10 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ () 回微分可能な関数 f ( x ) に対して, > のとき, x において平均値の定 理を適用すると, f ( )- f () = f ( c ) ( < c< ) ここで, f ( x ) < より f ( x ) は単調に減少し, f ( ) < f ( c) < f ( ) f ( )- f () より, f ( ) < < f () となり, f () + f ( ) < f ( ) < f () + f () 3 また, = のとき f () + f ( ) = f ( ) = f () + f () から, のとき, f () + f ( ) f ( ) f () + f () () > のとき, u において, 3の各辺を積分すると, {f() + f ( u ) u } du < f( u ) du < { f() + f () u } du 4 すると, 部分積分を用いて, {f () + f ( u ) u } du = f () [ u ] + [ f ( u ) u ] - f ( u ) du = f () + f ( ) - f ( u) du f () + f ( ) 4の左側の不等式は, < ( u) du f となる f () また, { () f + f () u} du= f () + と合わせると, 4は, f () + f ( ) f () < ( u) du () + f < f なお, = のとき, f () + f ( ) () = ( u) du= () + f f f から, f () + f ( ) f () ( u) du () + f f ( ) [ 解説 ] 平均値の定理を利用する基本的な問題です 解の流れもスムーズです -5-

11 4 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへすべての実数 x, y に対して, より, + x + ( y- x) + x + y + x + y + x + ( y-x) まず, z = y-xとおくと, より, すべての実数 x, z に対して, + x + ( x+ z) 3 + x + z + x + ( x+ z) ここで, P = とおき, P のとり得る範囲を求めることより, 3を満 + x + z たす の値の範囲を求める さて, x = z = のときは P = となり, x ¹ または z ¹ のときは, r, を r >, < を満たす任意の実数とし, x = rcos, z = rsi とおくと, + x + ( x+ z) + r cos + r (cos + si ) P = = + x + z + r cos + r si + r (+ cos + sicos ) + r (3+ cos + si ) = = + r ( + r ) そこで, f ( ) = 3+ cos + si とおくと, f ( ) = 3+ 5si( + ) ( si =, cos = ) (3-5) r + (3+ 5) r よって, P 4 ( + r ) ( + r ) + (3+ 5) r さらに, g( r ) = とおくと, g ( r ) = ( + r ) ( + r ) すると, r > において g( r ) < 3+ 5 であり, 4から P < 3+ 5 となる よって, < 3+ 5 から, すべての実数 x, z に対して3を満たす の値の範囲, す なわちすべての実数 x, y に対して不等式 が成り立つ の値の範囲は, 3+ 5 [ 解説 ] P のとり得る値の範囲を求める問題ですが, 最初は必要条件を求めて十分性の確認と考えましたが, うまくいきません そこで, 文字固定の考え方を採用し, 式の形をみて三角関数を導入しました なお, 文字の置き換えは, 分母を単純にした方がよいだろうと予想したからです -6-

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