Microsoft PowerPoint - 流体力学の基礎02(OpenFOAM 勉強会 for geginner).pptx

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かずきみやまる
4 years ago
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1 ~ 流体力学の基礎 ~ 第 2 回流体静力学 2011 年 10 月 22 日 ( 土 )

2 講習会のスケジュール概要 ( あくまでも現時点での予定です ) 流体力学の基礎第 1 回目流体について第 2 回目流体静力学第 3 回目 /12 流体運動の基礎理論 1 第 4 回目流体運動の基礎理論 2 第 5 回目流体摩擦および境界層 1 第 6 回目流体摩擦および境界層 2 第 7 回目流体抵抗 2

3 今回のお話流体静力学静止した流体 ( 特に液体 ) についての話です主に液体中の圧力の性質を見ていきます静止した流体の現象ですので流体力学? と思われるかもしれませんがここで紹介する内容は工学分野で広く活用されています例 ) 油圧機械河川工学造船流体計測 3

4 目次静止した液体の圧力の性質静止した液体が壁面に及ぼす力相対的静止状態の圧力浮力おわりに 4

5 目次静止した液体の圧力の性質静止した液体が壁面に及ぼす力相対的静止状態の圧力浮力おわりに 5

6 圧力の定義静止流体の圧力の特徴 F 圧力は静止流体中の任意の面に対して垂直に作用点 O A 静止流体中の任意の点 Oに対し微小面積 Aを仮定したときその面に対して垂直に作用する力を Fとすると圧力は次のように定義される F df lim A 0 AA da 6

7 圧力の等方性微小直角三角柱による力のつり合いを考える方向 z 方向 dydz ( sin ) dyds ds dz / sin z ddy ( cos ) dsdy ds d / cos z z 座標と y 座標を入れ替えて計算すれば y z c cos ds dz z y y d z z sin dy 流体中の 1 点に作用する圧力の大きさは方向によらず一定 7

8 パスカルの原理パスカルの原理密閉容器中の静止流体 ( 液体 ) の一部に加えた圧力は液体のすべての部分にそのまま F の強さで伝わる圧力の伝わる速度は? 音速水の音速 : 約 1450m/s 面積 A F/A= 人間が通常液体を利用する範囲では圧力はほぼ瞬時に伝播する ( スケールにもよるが ) 8

9 静止液体の深さと圧力の関係液体中の 1 点における圧力と深さの関係右の図のように微小円柱を考える断面積 :da 円柱の高さ :dz 液体の密度 : 重力加速度:g とすると円柱に働く重力 dw gdzda 円柱の下面に働く力 da 円柱の下面に働く力 ( d) da 円柱の側面に働く力互いに打ち消しあい釣り合う鉛直方向の力のつり合いより d dw da ( d ) da g dz dz +d da dw 9

10 絶対圧とゲージ圧標準大気圧北緯 ( 南緯 )45 の海抜 0m( 海面上 ) において 0 のとき水銀柱が760mmになる大気圧 1 気圧 (atm) 1atm = N/m 2 (Pa) = bar = kgf/cm 2 絶対圧絶対真空を 0 として計る圧力例 ) 気圧計ゲージ圧大気圧を 0 として計る圧力例 ) 通常の圧力計とくに断りがなければ [ 絶対圧 ] = [ 大気圧 ] + [ ゲージ圧 ] 絶対圧の変化率とゲージ圧の変化率は同じ例 ) 絶対圧が1kPa 変化すればゲージ圧も1kPa 変化する 10

11 圧力ヘッド z (=0) ゲージ圧前々ページ : 静止流体の深さと圧力の関係 1 d g dz 積分 gz C (C: 任意定数 ) 0 z H z= 0 ( 水面上 ) の圧力 1 z=-h H ( 水中 ) の圧力 -H 2 2 gh 2 1( 2) H g H: 圧力ヘッド H とは比例関係水中の圧力を水深で表現可能圧力ヘッド H とは水中の圧力を長さの単位で示した値 11

12 マノメータ右図のように U 字ガラス管に液体を入れ両端をAとBに接続する C 点の圧力 : C ) h 2 A A A h 1 B B B C D 点の圧力 : D D A g( h 2 h A D g(h h ) g h B B 1 2) 0 C 点と D 点の圧力は等しいので C D A B 0 A) gh ( B A) 2 C C ( gh gh 特にAとBの気体の密度が等しく ( A = B =) かつh 1 が0の場合 hが分かれば AとBの A B ( 0 ) gh 圧力差が分かる 12 B 1 h 0 D D

13 目次静止した液体の圧力の性質静止した液体が壁面に及ぼす力相対的静止状態の圧力浮力おわりに 13

14 水平な平面に働く力圧力ヘッドの関係式より 1 gh 液面の圧力を 0 とすると ( ゲージ圧 : 1 =0) gh 圧力ヘッドの関係式より df da 液面に水平な面 ( 面積 :A) に作用する力 F は H 1 =0 d F df da gha 14

15 垂直な平面に働く力右図より水深 z における微小要素 da に作用する力 dfは df gzda gbzdz 右図の高さHの壁面に作用する力 Fは H 1 F df gbzdz gbh 2 g 0 2 圧力の中心右図中の G 点がそれモーメントのつり合いを考えるモーメントのつり合い回転運動に関する力学的つり合い質点系の場合モーメントは力 F と回転中心点からの距離 r で表わされる T=F r 全体のモーメントのつり合いは微小平面のモーメントのつり合いの積分であるから H F zdf gbz dz gbh H H H z G z dz 圧力の中心 da=b dz 15

16 傾斜している平面に働く力右図の微小要素 da に働く力を dfとすると df g gzda gy sinda したがって全平面では F df g sin yda 図心 ( 重心 ) を ( 0,y 0,z 0 ) とすると次のような関係式が成り立つ yda y0 A F gy0 sin A gz0 A 0 z z F 圧力の中心液体の圧力により平面に働く力は図心に作用する圧力と平面の面積の積に等しい液面 df 図心 ( 重心 ) y da y y 0 図心に作用する圧力は平面の平均圧力 16 0

17 傾斜している平面に働く力 ( つづき 1) 圧力の中心 O() 軸を中心としたモーメントのつり合いを考える F ydf g sin y 2 da 前頁より平面に働く力は次のように記すことができる F よって g sin yda y 2 da yda 0 z 残りのとは次の頁 z F 圧力の中心液面 df 図心 ( 重心 ) y da y O() 軸 17 y 0 0

18 傾斜している平面に働く力 ( つづき 2) 圧力の中心 O(y) 軸を中心としたモーメントのつり合いを考える F df g sin yda 前々頁より平面に働く力は次のように記すことができる F g sin yda y0 A さらに da=ddy であるので yddy y 0 A 0 z z F 圧力の中心また = sin cos 液面 df da 図心 ( 重心 ) y y y

19 目次静止した液体の圧力の性質静止した液体が壁面に及ぼす力相対的静止状態の圧力浮力おわりに 19

20 相対的静止状態とは液体を入れた容器の運動が直進運動あるいは回転運動をしても液体に相対的な流れが生じず容器と液体が一体となって運動している場合静止状態の力学で取り扱うことができるこのように系全体が運動していても液体に相対的な流れが生じない状態を相対的静止状態と呼ぶ 20

21 水平運動 1 右図のように方向に加速度で等加速度運動しているとするこの加速度運動で液面はほど傾く右図のように直方体の微小直方体を考えるこの微小要素に加わる力をF とすると B z y F m y z また方向の圧力のつり合いから F yz yz y z A z z z y C D 21

22 水平運動 2 ghh と考えると (hはに対応する圧力ヘッド) h h g また右図から h tan g tan A B z C z z y z y D 等加速度水平運動では液面の傾きが分かればその加速度が分かる 22

23 回転運動 1 円筒容器の中に液体を入れ中心軸周りに一定な角速度で回転させる右図のようにくぼんだ液面を形成するこの液面は大気圧に等しい一つの等圧面である r 2 右図の液面 ( 等圧面 ) 上の微小要素には鉛直下向きに重力加速度 g 半径方向にr 2 の加速度を有するよって図中のは r 2 tan g 次の頁 r g z h 0 0 r R h r 23

24 回転運動 2 また dz tan dr 2 dz r dr g これを積分すると 2 2 z r C (C: 任意定数 ) 2gg r=0のとき z=h 0 なので z 2 2g r 2 h 0 r 2 r g z h 0 0 r R h r よってここで形成される液面は回転放物面状である 24

25 目次静止した液体の圧力の性質静止した液体が壁面に及ぼす力相対的静止状態の圧力浮力おわりに 25

26 浮力とは浮力液体中の物体の重量はそれが排除した液体体積に働く重量に等しいだけ見かけ上軽くなること ( アルキメデスの原理 ) 26

27 アルキメデスの原理 1 液体中の物体に対し液面で微小液面で微小断面積 daをもち物体を貫いて底面に至るような円柱を想定する ( 右図 ) z1 z 1 a da 右図のdA 1 とdA 2 に作用する力の鉛直方向成分は da 1 と da 2 の鉛直投影断面積に作用した圧力との積に等しい z 2 da 1 da 2 da 1 に作用する力の鉛直方向成分 : F ( ) da ( gz ) da 1 ( a 1 a 1) da 2 に作用する力の鉛直方向成分 : F 2 ( 2 a 2) da ( a gz ) da 次の頁 2 da 27

28 アルキメデスの原理 2 df F F g z z ) da 1 2 ( 2 1 z a da ( z z ) da 2 1 は円柱が貫いた部分の体積 dvに等しいので z 2 z1 1 da 1 df gdv よって物体全体での力の和を求めると da 2 F df gdv gv 2 da 以上の結果より液体中では物体が排除した液体の重量分が鉛直上向きに作用している浮力 28

29 目次静止した液体の圧力の性質静止した液体が壁面に及ぼす力相対的静止状態の圧力浮力おわりに 29

30 まとめ 1 圧力の諸性質圧力は静止流体中の任意の面に対して垂直に作用圧力は流体中で等方的に作用する液体中の圧力は液体の深さに比例する絶対圧 = 大気圧 + ゲージ圧静止した液体が壁面に作用する力壁面に作用する平均圧力は図心 ( 重心 ) に作用する圧力中心は図心と一致しない 30

31 まとめ 2 相対的静止状態水平方向に等加速度運動している液体の加速度は液面の傾きより求めることができる等速回転運動している液体の液面は回転軸を中心とした放物面を形成する浮力 ( アルキメデスの原理 ) 浮力とは液体中の物体が排除した液体体積の重量分が鉛直上向きに作用する力のこと 31

32 次回の予告次回の流体力学の基礎では流体運動の基礎理論 1 と題して講習会を行います次回もの中で行いたいと思います本日は講習会流体力学の基礎にお付き合い頂きありがとうございました 32

2 図微小要素の流体の流入出方向の断面の流体の流入出の収支断面 Ⅰ から微小要素に流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅰ は以下のように定式化できる Q 断面 Ⅰ 流量密度流速断面 Ⅰ の面積微小要素の断面 Ⅰ からだけ移動した断面 Ⅱ を流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅱ は以下のように

2 図微小要素の流体の流入出方向の断面の流体の流入出の収支断面 Ⅰ から微小要素に流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅰ は以下のように定式化できる Q 断面 Ⅰ 流量密度流速断面 Ⅰ の面積微小要素の断面 Ⅰ からだけ移動した断面 Ⅱ を流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅱ は以下のように 3 章 Web に Link 解説連続式微分表示の誘導.64 *4. 連続式連続式はある領域の内部にある流体の質量の収支がその表面からの流入出の合計と等しくなることを定式化したものであり流体における質量保存則を示したものである 2. 連続式微分表示の誘導図のような微小要素コントロールボリュームの領域内の流体の増減と外部からの流体の流入出を考えることで定式化できる微小要素流入