平成 25 年度京都数学オリンピック道場 ( 第 1 回 ) H 正三角形 ABC の外接円の,A を含まない弧 BC 上に点 P をとる. このとき, AP = BP + CP となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4APC = 4ABC = 60, であるから, 図のよ

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1 1 正三角形 の外接円の, を含まない弧 上に点 をとる. このとき, = + となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4 = 4 = 60, であるから, 図のように直線 上に点 を, 三角形 が正三角形となるようにとることができる. 三角形 と三角形 において, =, = であり, 4 = 4 = 60, - 4 であるから, 辺とその間の角がそれぞれ等しく, 三角形 と三角形 は合同である. したがって, + = + = = となる. t 線分 上に点 を, = となるようにとる. 円周角の定理より, 4 = 4 = 60, であるから, 三角形 は正三角形となり, = が成り立つ. 三角形 と三角形 において, =, = であり, 4 = 4 = 60, - 4 であるから, 辺とその間の角がそれぞれ等しく, 三角形 と三角形 は合同である. したがって, = + = + -1-

2 " 1978 IMO 第 4 問 # ( 改題 ) = の二等辺三角形 がある この三角形の外接円および, に接する円を考え,, との接点をそれぞれ, とする このとき, 線分 の中点は の内心であることを証明せよ 解説 解答 1 ( 証明 ) 線分 の中点を I とすると, 対称性から線分 I は 4 の二等分線である. 次に, 直線 I と の外接円の交点を とす る. 点 は 円の接点である. 円の接線と弦のつくる角の性質より I 4 =4 1 対称性より 4 =4 1,より 4 =4I 3 4I=4=90, であるから, I 6 したがって, =I となり三角形 I は二等辺三角形であるから 4I =4I 4 S より 4I =4I 5 4,5 より 4I =4I したがって, 線分 I は 4 の二等分線である. 以上より, 点 I は の内心である. すなわち, 線分 の中点は の内心である. ( 終 ) 解答 ( 証明 ) 線分 の中点を I とすると, 対称性から線分 I は 4 の二等分線である. 次に, 直線 I と の外接円の交点を とする. 点 は 円の接点である. --

3 S より 4 =4 1 円の接線と弦のつくる角の性質より 4 =4 1, より 4 = 4 3 4I=90,,4=90, であるから,4 点,,,I は同一円周上にある 円周角は等しいから 4I=4I 4 I また, 対称性より 4I= 1 4 であるから, 3,4 より 4I= 1 4 よって, 線分 I は 4 の二等分線である. 以上より, 点 I は の内心である. すなわち, 線分 の中点は の内心である. ( 終 ) 解答 3 ( 証明 ) 線分 の中点を I とすると, 対称性から線分 I は 4 の二等分線である 次に, 直線 I と の外接円の交点を とす る. 点 は 円の接点である. S より 4 =4 1 I 円の接線と弦のつくる角の性質より 4 =4 G 1,より 4 =4 3 4I=90,,4=90, であるから,4 点,,,I は同一円周上にある. 線分 と線分 の交点を G とすると,3より G も 4 点,,,I と同じ円周上にある. 円周角は等しいから 4I=4I 4 4GI=4GI 5 対称性より 4I=4I 6 4,5,6 より 4I=4GI よって, 線分 I は 4 の二等分線である. 以上より, 点 I は の内心である. すなわち, 線分 の中点は の内心である. ( 終 ) -3-

4 3 [1985 東京大 ] ( 改題 ) 右図において, は一辺の長さ 1km の正方形で, M, N はそれぞれ辺,の中点である. M いま, 甲, 乙は同時刻にそれぞれ, を出発し, 同じ一定の速さで歩くものとする. 甲は図の実線で示し た道 M 上を進み, 乙は実線で示した道 N 上を進み,30 分後に甲は に, 乙は に到着した. N 甲, 乙が最も近づいたのは出発してから何分後か. また, そのときの両者の間の距離はいくらか. 解説 正方形 の対角線, の交点を O,t 分後の甲, 乙の位置をそれぞれ, とする. 図 形は直線 に関して対称であるから, 点 が線分 M 上にある ときを考えればよい. 三角形 O と三角形 O において, =,O = O,4O = 4O であるから, 三角形 O と三角形 O は合同である. よって,O = O であり, また,4O = 4O で, 4O = 90, であるから, 4O = 4O - 4O + 4O = 90, となるため, 三角形 O は直角二等辺三角形である. したがって, が最小になるとき,O も最小になるので, O が最小となるような点 の位置を考えればよい.O が最小 となるのは O 5 M が成り立つときであるから, このとき辺 の中点を E とおくと, 右図より, 三角形 OM と三角形 EM は相似である. よって, M : OM = ME : M M : 1 = 1 : U 5 M = U 5 5 すなわち,M = 5 % U 5 = 5 M N M O M O これより O が最小となるのは, 出発後 15 % 3 5 =9 分後である. 点 が線分 M 上にあるときは, 対称性より 30-9 = 1 分後 に O が最小となる. ゆえに, は 9 分後と 1 分後に最小となり, その距離は, U %O=U % 1 M= U (km) となる. E -4-

5 t t 分後の甲, 乙の位置をそれぞれ, とする. 正方形 を, 辺 が x 軸上, 辺 が y 軸 上, 点 が原点となるようにおく.==1 とする. [1] 0(t( 15 のとき, t 8 30, t 159, t 15, t 309 であるから, > ? t t = ] 15 t t = ] = 1 + ] 900t t t したがって,t=9 ( 分後 ) のとき は最小となり, 距離は ] 1 10 = U [] 15(t( 30 のとき, 8 t 30, 1- t であるから,, 8 t - 15 t, > ? t t-15 = ] 15 t 7 = - + ] t 5 1 = 1 + ] 900t t - 15 t したがって,t=1 ( 分後 ) のとき は最小となり, 距離は ] 1 10 = U [1],[] より, 甲, 乙が最も近づいたのは出発後 9 分後と 1 分後で, その距離は U (km) N y M (km) (km) x -5-

6 4 [005 JMO 予選問題 9] 正五角形 E の内部に,4=6,,4E=1, となるように点 をとる. このとき,4 の大きさを求めよ. 解説 正五角形の 1 つの内角の大きさは 108, である. 三角形 EF が正三角形となるように, F 正五角形 E の外部に点 F をとる. 4F = 4E + 4EF = 168, = E = F であるから, 三角形 F は二等辺三角形で, 4F = (180,-4F)& = 6, =4 6, となるため,3 点,, F は一直線上にある. また, 三角形 EF について, 4EF = 4EF - 4F = 54, 4FE = 4FE + 4E = 7, だから, 1, E 4EF = 180, - (4EF +4FE) = 54, = 4EF よって, 三角形 EF は E = EF の二等辺三角形である. これより,E = EF = E となるので, 三角形 E は E = E の二等辺三角形であるから, 4E = (180, - 4E) & = 84, 4 = (180, - 4) & = 36, より,4E = 108, - 4 = 7, だから, 4 = 4E - 4E = 1, t 正五角形の 1 つの内角の大きさは 108, である. 三角形 F が正三角形となるように, 正五角形 E の内部に点 F をとると, 4F = 4F - 4 = 54, 1 4EF = 4E - 4F = 48, 三角形 EF は E = F の二等辺三角形となるので, 4EF = 4FE = (180, - 4EF) & = 66, これより, 4FE = 4EF - 4E = 54, 4FE = 4F + 4FE = 16, 3 1,,3 より 4F + 4FE = 180,,4FE + 4FE = 180, -6-6, F 1, E

7 であるから, 四角形 FE は平行四辺形である. よって,F = E となるから,E = E となり, 三角形 E は二等辺三角形となる. したがって, 4E = (180, - 4E) & = 84, 4 = (180, - 4) & = 36, より,4E = 108, - 4 = 7, だから, 4 = 4E - 4E = 1, -7-

8 5 S の台形 において,4=18,,4=30,,4=54, のとき,4を求めよ 18, 30, 54, -8-

9 解説 4=78,,4=30,,4=54, であるから, 直線 上に,4E=4 となるような点 E をとると, E=E,4E=4,,4E=60,,4E=30, 次に, 直線 上に 4EF=60, となるような点 F をとると, EF は正三角形となる. 4F=4E=30, より点 E,F は直線 に関して対称であるから,4F=4E=4, また,4EF=36,,E=E=EF より,4EF=4FE=7, したがって,4F=7,-60,=1, S より 4E=4=54, であるから,4F=4FE-4E=7,-54,=18, よって,4F=4F より, F F これより,F: F=F: F 4F=180,-4F-4F=7, より 4F=4F であるから F=F 以上より F: F=F: F=F:F=F:F となるから, F F ゆえに,4F=4EF=30, F したがって,4=7,-30,=4, 1, 4, 78, 18, 30, 30, 54, 4, 36, E -9-

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