平方根の計算方法

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1 平方根の計算方法 数学研究ノート の計算式 は近似値 を使用して 更に正確な値を求める事が出来る その式は (/ これと同等な式 (/ / は 近似値 ( ( と の 元の値平均値 平均値近似値 ( と の ( 立方根等の計算方法 ( http//como.rt.cooc.jp/p/p.pdf で求めているが ここでは 別の方法で導く 三種類の平均 ( 相加 相乗 調和 に関して 次の不等式が成立する 調和平均 相乗平均相加平均 ( 0<, 0<, 等号は のとき // との値が近い場合 の値は少し小さいと少し大きいに近い との差は // の例では // 差の絶対値はほぼ等しい そのため両式の相加平均は 誤差が打ち消し合って更に値が近い // 各辺を で割った式 / より (/ (/ の近似値を.として計算すると..8 であるので. 9.8/ 9.8/

2 (/ (/. 9.8 の式は各種の形に変形出来る 途中の式は省略する (. (. ( (- ( 立方根等の計算方法 で求めた式 "c - c -, c とすれば / -, c - c - c - とすれば / c - c - c-c であるので c- c-(c-c c c つまり / c c cc c とすれば k c c - " は では c -k c c- c - と のみを使用した式は - ( - - c- (/(-- (-(- - 6,.8 の場合 c(9.8/0.6 であり. ( cを使用しない場合の結果は であるので

3 前記式において 近似値からの正確度向上の程度を ニュートン法と比較する 関数 f(xx - を使用し x. 0 から始めて の値を求める場合 x x0-f(x 0/f'(x 0 x x x-f(x /f'(x x 正確度向上は ニュートン法を二段階適用した場合に相当する ニュートン法の適用により 先頭の式を導く 関数 f(xx - を使用し 第一段階 -f /f' 第二段階 -f から始める 二項係数,, と,,6,, が現れる /f' この式を変形すると 先頭の式になる 6 g(xx-f(x/f'(x と定義すると g 6 g g ( (/ (/ 更に次の段階に進んだ場合の式を求める 二項係数,8,8,6,70,6,8,8, が現れる 第三段階 6 6 -f 6 /f' この式を変形すると ( ( ( ( ( / // ( // 6( ( 6 (( 6 8 / 6( 6 6 前段階と基本的な構造 (/ 平均値と平均値 / の相加平均 は同じであり 変化するのは平均値の部分である 第二段階 と の相加平均 第三段階 と の 相加平均と調和平均 の相加平均 改めて近似値 から を求める式を書くと / 平均値 平均値 / - -

4 第三段階の式は 相加平均 (v だけを含む式に変形出来る ( / // ( / // (/ (/ (/ (/ v v v v /vv/ /vv/ (* 従って の値は 左右対称な文字の並びを持つ分数と の積で求める事が出来る (/vv// /(/vv/ v この式を使用して の値を求める,..96 の場合 v.98 であり. (00/9999/98/ /(98/9999/ 桁正しい 分子が になる様に変形した式は. (/96/98//(-/98-/ 上記の途中式 (* ( / と同等の式から一般式を導く ( / - - (- - / - - ( / c - c -, であるため 両辺を 倍すると c-, c - - で 求める式は / - - c- c c c c - - -

5 正確度は減るが 計算量を減らすために単純な式にする 分母の c と c- を その平均の c- で近似する c- c - / / c c- cc- と を使用した式 この式は最初に示した式の 個の分数の平均を 分母の和と分子の和の分数で近似 した式になっている で近似値. の計算結果は / / 上記式の分母と分子には,,, の二項係数が交互に出現している の近似値. のケースで 二項係数の違いによる誤差の程度を示す 参考 誤差の絶対値 φ φ φ φ 誤差の確認例 φ φ φ φ φ φ 0 68 対称性が高い式とその値 φ ( 参考 の近似値.のケース ( 6 ( 参考 - -

6 二項係数が交互に出現する式は ( の展開比で の値を求める方法を示している その原理を の場合で説明する 近似値 の値は に十分近く既知とする ( - ( -( であり 左辺の値は 0 に近い そのため ( ( となり で求まる ここで - に比べて十分に小さくする事が出来る ( - であるからその誤差は 元の誤差 - 具体的な計算例 ( 8 7 ( 6 7 ( 680 8/ 7.9 ( / 7.6 ( / ( / 8. 96/ /6.980 ( 近似値が非整数の例 ( / ( / ( 内を 倍して近似値を整数化した例 ( / ( の展開結果を左右対称に使用した 乗相当の式 ( 87 (8/7 7/8/ ( (/8 6 8// 7/ ( (7/7 0 7/7/ これらの式は更に 乗した展開比を計算する式になっている ( (7/7 0 7/7/ 779/868 ( の展開結果と (- を使用した 乗相当の式 (p の場合は (-p を使用する ( ( 6 /(-6 -/ 6 /(- 99 ( (-.67 / /(-6 / 96 ( ( ( /- 6 /(- /(-6 -/8 87 ( ( / これらの式は更に 乗した展開比を計算する式になっている 8 ( ( (- 780 ( / 円周率の平方根を二項展開の結果を使用して求める ( 7 (6 π96 π π π π π 7 π ( π 7 (

7 ( の展開比は平方根の計算式に加え 連分数やニュートン法にも現れる 今回の調査で明らかになった式を記録しておく 平方根の計算式 ( ( ( - ( - 0 連分数と二項展開比の関係 ( 連分数では分数線の上側部分を分子 左横と最下部を分母としている 分子 乗, 分母 個分子 乗, 分母 個分子 乗, 分母 個 (- (- (- ((- ((- ( ((- (- (- (- (- 6 ( (- (- ( 分子 乗, 分母 個 (- 0 0 ((- ( (- (- (- (- (- ( 分子 乗, 分母 個 (- ((- ( 分子 乗, 分母 個 分子 乗, 分母 個 ( ((- ( (- ( (- ((- (- (- (- (- ( 分子 乗, 分母 個 (- (( 6 - ( 分子 乗, 分母 個 (- (( 0 - ( 連分数の通常の変形では気付かない恒等式を発見出来る 分子 m 乗, 分母 個と分子 乗, 分母 m 個は等しい - 7 -

8 二項展開比の関係 平方根の計算式における三者の関係を例示する 6 二項展開比 - ( - 第二項は誤差 連分数 (- ( - ((- - ( 分母の個数を増やすと 低い二項係数で表現出来る ニュートン法 g g - ( - 二段階適用 f(xx - g(xx-f(x/f'(x 二項展開と計算結果の比較 8 二項展開 ( (7 976 ( 二項展開比 97/ / 連分数 (7-//.787 (7-/(-/((-/(/ ニュートン法 g(g(.787 g(g(g( 余談 二項展開はニュートンと関係が深い ニュートンの一般二項定理で 乗を非整数に一般化した 二項係数を明示した平方根の近似式は m C m k k0 m k m-k mck k0 k m-k,, m の例では 7 k k0 C k -k k -k 7Ck k あるいは m m C m k k0 C m k k0 (/ (/ k k k C (/ 7 k k0 C (/ 7 k k0 k

9 連分数と二項展開を使用した平方根の計算方法 ( の二項展開を使用して平方根を計算する連分数を導く - の場合の連分数は簡単である - の両辺に を加えると - 分母の にこれを代入し続けると - 右辺の を で近似して を引くと 同一分子の連分数になる を / 倍すると右上と右横の分子両方が / 倍されるので 分子を / 倍した同一分母の連分数に 変形できる (-/ (-/ (-/ 乗の場合も同様である ( p q とすると ( - (- (q -p であるので (- ( - ( (- の (- (q -p p q (- 両辺に q を加えると p q q - p q -(- より p -q p q (- 分母のp q にこれを代入すると p q q - (- q - p q となる の場合の式と比較すると と が p と q に変化している そのため求める連分数は (q - p q - (- (- (- q - q (- / (q - p (- / q - (- / q - q 具体的な計算方法を 等を例に説明する 近い整数としてを選び 近似値を前に置いた 和 と 平方数の差 の 乗 ( 例えば6 乗 を計算する 6 ( (- 二段階の計算例 ( 7 ( 6 分子が である以下の連分数により値を求める ( 同一分子の連分数 ( (6 780 分母が 個の場合 ( ( 分母が 個の場合 (

10 分母が 個の連分数は 更に 乗した展開比による計算に相当する 分母がm 個の連分数は m 乗した展開比による計算に相当する 8 ( ( で近似値が の場合 ( (- ( すぐ下の連分数で分母を 0 個にした場合に相当 する計算効率がある で近似値が の場合 ( (- - ( 結果は の代表的な ( 正則 連分数であるが近似値が少し離れた なので計算効率が悪い で の近似値 9を使用する場合 (9 9 (9 (6-8 参考 8 ( ( ( 一つ前の連分数と比較すると 分母を 9 倍して全体を で割ったものになっている で近似値を連続使用する連分数 ( 同一分母の連分数 (. -/ ( -0 / - ( 0 ( (.7 -/ (7-000 / (

11 連分数を使用した平方根の計算方法 の連分数の一例 ( -cc- c c- - c- (- あるいは ( (- - (- (- (- (- (- 平方数 r の近辺の場合は r, r, -, r として ± の平方根 r r( r - r - r - r - ( ( ± の平方根 の平方根 - の平方根 7 ( ( ( ( ( ( の平方根 (7 / を利用.(

12 項数は多いが単純な規則性を持つ平方根の連分数 r は次の規則的な連分数に等しい 右はその理由を示す式 r r r r r r r - r の両辺にrを加えると r r r r r r r r r r r ± の平方根 の平方根 - の平方根 ± の平方根

13 平方根の近似値ではなく ある桁までの確定数値を求める方法を考える h と h を 0 に近い正の数とし -h と h の正確な値を簡単な計算で求める方法により実現する を例にして説明する より /70 99/70 が成り立ち よりも大きい をこの数値で割ったものは よりも小さい 99/ ここで (0/99 - -/99 のため -/99 0/99 が成り立つ 従って -/99 0/99. < < /70 99/70.87 先頭 桁が確定する より長い桁を確定させるため 98 - に対しても上記と同様な方法を適用する (98-98 ( より / / / が成り立つ ( ここで (770/ / のため -/ /960 -/ / < < / / 先頭 9 桁が確定する 左側の値は -/860 /( に等しく は両側のほぼ中間に位置する 最初の値 99/70 と 0/99 の平均は ( であり 二番目の値に等しい との差は 6 ( ( ( - 6 より ( - より ( 以降に対して同様な方法を繰り返し適用すれば どこまでも正確な値を求める事が出来る - -

14 単純な分数式により平方根の値を効率的に計算する方法 r の形式にして dr / を求め r( を計算する d d / / / ( ( ( 整数の平方根 を分数式で表す 以下は ~ 桁正しい ( ( ( ( ( 近似式の根拠となる等式は x x x - (x x あるいは x x x- - (x -x これを利用して r r /r r /(r / r /d r(/d/(d 右辺の -/( は より小さいため 近似値 r(/d/(d は より少し大きな値となる '/ 近似値 < < 近似値 ' により ある桁までを確定出来るのは前記と同様である 更に正確な値を計算する式を考える y (x x と置くと /x (/x/(x -/y (/x/(x(-/y-/(y- -/(y -y x x x - - y y- あるいは より x x x - - z z z ((x - - この式を利用して を計算すると (.6 / v ( ( /v 桁確定 平方数を使用した式は ( ( //0 新規数学研究ノート 09/0/6 計算量を減らす単純な式を追加小規模更新日 09/06/0 二項展開の結果や連分数を使用した計算方法を追加今回 09/0/8 09/0/0 ある桁までの確定数値を求める方法を追加前回 09/0/6 09/0/8 単純な分数式により値を求める方法を追加 - -