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1 現代物理学序論 準結晶の話 - 周期的でない結晶 - 石井靖 物質科学における 3 大発見 (980 年代 ) 高温超伝導 ( 86):'87ノーベル物理学賞 超伝導 : 絶対零度 (0K=-273 ) 近くで電気抵抗がなくなる現象 (9 年 Kamelingh Onnes) 30Kの壁 : 転移温度は30Kを越えられない? 銅酸化物で超伝導発見 フラーレン ( 85):'96ノーベル化学賞 サッカーボールの形をした炭素分子 :C 60 カーボンナノチューブ (CNT) 9 準結晶 ( 84) 周期的でない結晶

2 物質科学における 3 大発見 (980 年代 ) 物質の三態 気体液体固体 固体 = 結晶 (crystal) > 同じ構造の繰り返し > 一つの原子を動かすと 他の原子も一緒に動く = 固さ ( お互いの距離を一定に保つため ) 壁開 2

3 結晶構造の規則性 ( 対称性 ) 周期性 = 並進対称性 回転対称性 回転 ( 回す ) 鏡映 ( 線対称 ) 反転 ( 点対称 ) 周期性と矛盾しない回転は 60, 90, 20, 80 2π/n (n=2,3,4,6) のみ > n-fold の回転対称性 周期性と矛盾しない回転が n =2,3,4,6 に限られることの証明 結晶中の最短の原子間距離 = a n a' = a 2a cosθ = na cosθ = 2 cosθ n 3 n = cosθ = θ = 0 n = 0 cosθ = / 2 θ = π / 3 n = cosθ = 0 θ = π / 2 n = 2 cosθ = / 2 θ = 2π / 3 n = 3 cosθ = θ = π 3

4 結晶構造の分類 2 次元結晶 :7 通り アルハンブラ宮殿 (4 世紀 ) の壁面装飾 3 次元結晶 :230 通り 9 世紀末までに完成 タイル貼りと空間充填 ( ヒルベルトの第 8 問題 ) 多角形による平面充填 多面体による空間充填 同じ多角形 / 多面体で平面 / 空間を隙間なく埋めつくすやり方? 非周期的な空間充填 周期性が生む性質 X 線 電子線の干渉 回折 X 線 (M.von Laue, 92) Bragg 条件 (W.H.Bragg and W.L.Bragg, 92) 間隔 a で積層した原子面があれば 2a sin θ= n λ(n = 整数 ) の方向に X 線 ( 波長 λ) が強く反射 電気伝導 : 電子の伝わり方 周期的ならば 周期性がないと 固い という性質(rigidity) 4

5 準結晶の発見 Al-Mn からの電子線回折 正 20 面体 (icosahedron) D.Shechtman, I.Blech, D.Gratias and J.W.Cahn Shechtman s notebook (April, 982) 0 fold 0 fold 周期性がない? 回折はおきないはず? でも回折はおきている 規則性? どんな?? 5

6 The Silver Jubilee (25 年祭 ) 準周期的な結晶 quasiperiodic crystal = 準結晶 quasicrystal 6

7 Is it a twin? No, it s something different! Ag 微粒子 (Multiple Twin Particle) 集束電子線回折 粉末 X 線回折 電子顕微鏡 ( 暗視野像 ) 次元準周期構造 :Fibonacci 列 F n + = F n + F n 年後に親 親子 年後の親の数 = 親の数 + 子の数子 親 ( 年前の親の数 ) F n :Fibonacci 数 (0,,,2,3,5,8,..) Fibonacci (Filius Bonacci) n F F n τ = 5 + τ = 黄金比 (golden mean, τομη = 分割 ) n 2 ( 無理数 :τ=m/n/ と表せない数 ) 無限に長いウサギ ( 親 =A, 子 =B) の列 ABAABABAABABA-ABAABABA-... では 親 / 子の比が無理数 周期的でない! ( 親が m, 子が n の単位の繰り返しならば 親 / 子は m / n ) 7

8 黄金比と Fibonacci 数 2 次方程式 τ 2 - τ - = 0 の解 代数的数 連分数表示 τ = + τ =,, 2, 3,L τ 五線星形 (pentagram) + + +L 黄金長方形 身の回りの Fibonacci 数 オウム貝 木の枝分かれ 蜜蜂の雌雄 まつ傘 パイナップル ヴィーナス 凱旋門 パルテノン神殿 8

9 話題のベストセラー 2 次元準周期構造 : Penrose tiling Fat Tile 72Þ Skinny Tile τ Conway の定理 matching rule self-similarity 44Þ /τ r 2π i 2π i タイルの頂点の座標は = n i cos sin i 5 5 頂点は5 次元正方格子のsubsetとして定義 と indexing R.Penrose 9

10 Self-similarity in Penrose tiling = 2 f + s, s fn+ n n n+ f n s n = n τ f n + s n Conway の定理 準周期性 自己相似性 Fibonacci 列と 2 次元格子 y e2 e 準周期的な構造 = 高次元格子の断面 (n, [n/τ]) 点 = ( x / τ -<y<x < x / τ ) の領域の格子点 x > 新しい高次元結晶学 > 高次元格子の新しい様相変形 = 結晶 準結晶の変態 > 準周期構造の上の量子力学電子の振舞い 電気伝導? > 新素材としての期待 > 新しい 教科書 周期性のない固体の科学 0

11 Quasicrystal samples over a milimetre scale Icosahedral Zn-Mg-Ho Decagonal Al-Ni-Co I.R.Fisher et al., Mater. Sci. Eng , 0 ( 00) icosahedral and decagonal QC alloys Generation Al-TM family Frank-Kasper family Al-TM (TM=V,Cr,Mn, Ru, Re,É) Mg-Al-Zn Al55Mn25Si20 Al-Mg-Cu st (metastable) Pd 60 U 20 Si 0 Al 75 Cu 5 V 0 (decagonal) Al-TM (TM=Mn, Co, Fe, Pd) Al 56 Li 33 Cu 2nd (stable with defects) Ga 20 Mg 37 Zn 43 3rd (stable and complete) Al 63 Cu 25 TM 2 (TM=Fe, Ru, Os)# Al 70 Pd 20 TM 0 (TM=Mn, Re)# Al 70 Pd 20 TM 0 (TM=V/Co, Cr/Fe, Mo/Ru, W/Os)# (decagonal) Al 70 Ni x Co 30-x (x=0-20) Al 65 Cu 5 Co 20 Al75Pd5TM0 (TM=Fe, Ru, Os) Al 70 Pd 3 Mn 7 Ti45Zr38Ni7 Zn 60 Mg 30 RE 0 (RE=Y, Dy, Gd, Ho, Tb, Er)# Cd 65 Mg 20 RE 5 (RE=Dy, Ho, Nd, Yb) Cd85M5 (M=Yb, Ca) Zn 85 Mg 5 Sc 5 (Ag/In) 85Yb5 (decagonal) Zn60Mg38RE2 (RE=Y,Dy,Ho,Lu, Tb, Gd) 00 種類以上の化合物で発見 : 物質の普遍的な存在形態

12 まとめ 物質は冷やせば結晶になる 永年の信仰 (?) なぜ周期的にならなくてはいけないの? 周期的な結晶構造を基に 物質の性質が理解 固体物理学の発展 エレクトロニクスへの応用 準結晶の発見 : 既存の 常識 への挑戦 新しい概念の創出 新しい技術への期待 非周期的な構造への興味 知的なパズル 偶然の発見を見逃さない努力と知的好奇心を 2

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