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1 Advance Publication by J-SAGE 日本機械学会論文集 ransactions of the JSME (in Japanese) DOI: /transjsme Received date : 13 November, 2017 Accepted date : 24 April, 2018 J-SAGE Advance Publication date : 7 May, 2018

2 柔軟マルチボディモデルを用いた移動式クレーンのロープの慣性の影響の検証 CHALERMPONG Kolawach *1, 山浦弘 *2, 原謙介 *2 Investigation of influence from inertia of hoisting rope on mobile crane using flexible multibody model Kolawach CHALERMPONG *1, Hiroshi YAMAURA *2 and Kensuke HARA *2 *1,*2 Department of Mechanical Engineering, School of Engineering, okyo Institute of echnology Ookayama, Meguro-ku, okyo , Japan Abstract his research studied an influence of the inertia of the hoisting rope on the dynamics of a mobile crane system. wo dynamics models of the mobile crane were formulated with the inertia included rope model and the massless rope model, and their dynamics response were compared. he floating frame of reference formulation was used in formulating the model of the deformable components. In the simulations, we variated the length of the rope and the mass of the hoisted load then applied the slewing motion to the boom for 10 seconds and let the system underwent free vibration for another 10 seconds while the boom angle was fixed. he deformation of the rope and the comparison of the hoisted load motion between two models were considered. he results illustrated that the rope model with included inertia was able to illustrated its bending during the crane operation and this deformation increased with the length of rope. It appeared that the deformation of the boom tip had influences on the deformation of the rope. In the motion of the hoisted load, the time history data illustrated that the inertia included rope model had slightly higher frequency than the massless rope model during the free motion, and the trajectory also showed the slightly larger sway. In addition, the total calculation time of the inertia included rope model was around 13 times longer. he difference in the motion of the hoisted load from both models increased with the length of rope but decreased when the mass of load increased. In conclusion, the model with included inertia of rope showed different response to the massless rope model at long rope and light load condition, and this difference was decreased at short rope and heavy load condition. Keywords : Flexible multibody dynamics, Floating frame of reference formulation, Mobile crane, Hoisting rope, Dynamics model 1. 背景クレーンの吊荷の振動制御手法の検討やリアルタイムシミュレーションの実施のため, 実機の動特性を詳細に表現でき, かつ高速に計算機シミュレーションが可能なクレーンの動力学モデルの開発が求められている. 従来の研究では, アウトリガー, ブームおよびロープの柔軟性を考慮した移動式クレーンの動力学モデルが提案されてきた (Kiliçaslan et al., 1999)(Sun and Kleeberger, 2003) (Maczyski and Wojciech, 2003) (Posiadala and Cekus, 2008) (rąbka, 2014). これらの多くはロープの慣性を省略し, 無質量柔軟体とみなしているため, ロープの変形は軸方向ひずみしか考慮されていない. しかし, 実際のロープには曲げやねじり変形が生じる場合もある. また, ロープの慣性を考慮した動力学モデルも存在している (rąbka, 2014, 2016) が, ロープ慣性の影響は十分に示されていない. そのため, ロープの慣性が移動式クレーンの動力学モデルに与える影響を調べるとともに, ロープの慣性を考慮したモデルと考慮しないモデルの動特性の差を検証することを, 本研究の目的とする. No [DOI: /transjsme ] 本論文は,Dynamics and Design Conference 2017 講演論文集, No.718 の掲載内容に基づいた論文である. *1 学生員, 東京工業大学大学院工学院機械系 ( 東京都目黒区大岡山 ) *2 正員, 東京工業大学大学院工学院機械系 of corresponding author:

3 本研究ではロープの慣性を考慮する条件と考慮しない条件の移動式クレーンの動力学モデルを作成し, 二つのモデルの振動応答を比較する. 慣性を考慮したロープモデル, およびクレーンの柔軟体モデルは Floating Frame of Reference formulation( 浮動基準枠法 ) によって作成する (De Veubeke, 1976)(Shabana, 1997). この方式は Park の海上の浮体式クレーンの柔軟ブームの解析にも利用された実績がある (Park et al., 2011). 二つのモデルのブームに回転運動を入力し, シミュレーションを行う. シミュレーション結果として慣性を考慮したロープの曲げ変形, 二つのロープの振り子運動モードの比較, および二つのロープのモデルで計算した吊荷運動を示す. 最後に, 移動式クレーンのロープの慣性を考慮した動力学モデルと考慮しない動力学モデルの得失について示す. 2. ロープのモデル 2 1 慣性を考慮するロープのモデル本研究では浮動基準枠法 (Floating Frame of Reference formulation (FFRF) )(De Veubeke, 1976)(Shabana, 1997) と有限要素法を用いてロープのモデルを作成する. ロープやケーブルの変形に関する研究では, これらをはりとして考え, 柔軟モデルを作成する手法が用いられる. 例えば,erumichi のテザー (akehara et al., 2011),Ganguli のバイオリンのストリングス (Vinod Kumar and Ganguli, 2011) が挙げられる. 本研究では Euler Bernoulli のはり理論と線形ねじり変形により図 1 に示すような 5 つの要素からなる 3 次元はりモデルを作成した. ロープをシステムの i 番目の物体とし,r P を全体座標系の原点から見たロープ上の任意点 P までの位置ベクトルとすると以下の式で表現できる. Fig. 1 Schematic of the inertia included hoisting rope model r P = R i + A i (u o,ij + u f,ij ) = R i + A i u ij (1) R i は全体座標系の原点から見た i 番目の物体の座標系の原点の位置ベクトル,R i = [x i y i z i] である.A i は タイト ブライヤン角の回転行列,A i = A i (θ i ).θ i は体座標系から見られた i 番目の物体の角度であり,θ i = [φ i θ i ψ i ],φ i はロール角,θ i はピッチ角,ψ i はヨー角である.u o,ij は前変形要素 j 番上の任意点 P まで の i 番目の物体の座標系の原点から見た位置ベクトル,u f,ij は i 番目の物体の座標系から見た j 番目の要素上の 任意点 P の変形ベクトルであり.u f,ij は式 (2) で計算できる. u f,ij = S ij B ij q f,i (2) q f,i は i 番目の物体の座標系の一般化柔軟座標, B ij は j 番目の要素の境界条件で決めた柔軟座標変換行列であ る. 慣性を考慮するロープの一般化柔軟柔軟座標, 又は各要素の柔軟座標変換行列は付録 A に示す.S ij は形状 関数行列であり,Euler Bernoulli のはり理論と線形ねじり変形の形状関数行列は式 (3) のように示す.

4 1 ξ ij 0 0 6[ξ ij ξ ij 2 ]η ij 1 3ξ ij 2 + 2ξ ij 3 0 6[ξ ij ξ ij 2 ]ζ ij 0 1 3ξ ij 2 + 2ξ ij 3 0 (1 ξ ij )l ij ζ ij (1 ξ ij )l ij η ij S ij = [1 4ξ ij + 3ξ 2 ij ]l ij ζ ij 0 [ ξ ij + 2ξ 2 ij ξ 3 ij ]l ij [ 1 + 4ξ ij 3ξ 2 ij ]l ij η ij [ξ ij 2ξ 2 ij + ξ 3 ij ]l ij 0 ξ ij 0 0 6[ ξ ij + ξ ij 2 ]η ij 3ξ ij 2 2ξ ij 3 0 6[ ξ ij + ξ 2 ij ]ζ ij 0 3ξ 2 3 ij 2ξ ij 0 l ij ξ ij ζ ij l ij ξ ij η ij (3) [ [ 2ξ ij + 3ξ ij 2 ]l ij ζ ij 0 [ξ ij 2 ξ ij 3 ]l ij [2ξ ij 3ξ ij 2 ]l ij η ij [ ξ ij 2 + ξ ij 3 ]l ij 0 ] l ij は要素の長さであり, ξ ij = x ij /l ij, η ij = y ij /l ij, ζ ij = z ij /l ij である.x ij, y ij,z ij は j 番目の要素の座標系 の原点からの位置. 位置ベクトル式 (1) および運動エネルギーの式と弾性エネルギーの式より, ロープのモデ ルの j 番目の要素の慣性行列 M ij と剛性行列 K ff,ij は以下のように計算できる. I 3 3 M ij = ρ ij [ (A i u ij ) ] [I 3 3 A i u ij A i S ijb ij] dv ij (4) V ij (A i S ij B ij ) K ff,ij = (D ij S ij B ij ) E ij D ij S ij B ij dv ij (5) V ij ただし,ρ ij はロープの密度,I 3 3 は 3 3 の単位行列,V ij は要素 j 番の体積,u ij は i 番目の物体の座標系の原点 から見たの位置ベクトル,u ij, の対称行列である.D ij は微分演算子行列,E ij は材料弾性行列であり, 式 (6) と (7) に示す. 0 0 x ij D ij = 0 y ij x ij 0 [ z ij x ij] (6) E rope 0 0 E ij = [ 0 G rope 0 ] 0 0 G rope (7) 式 (7) 中の E rope はロープのヤング率,G rope はロープのせん断弾性率である. 従って, ロープの全体慣性行列 と剛性行列は式 (8) 及び (9) のように示す. 5 M i = M ij j=1 (8)

5 5 K i = K ij j=1 (9) 2 2 無質量ロープのモデル慣性の無いロープのモデルは軸方向にだけ変形する. そのため, このモデルでは座標系を省略し, ばねとして考える. 図 2 に無質量ロープによりブーム先端に掛けられた吊荷を示す. ばねの剛性率 k rope は式 (10) で計算する. Fig. 2 Schematic of the massless hoisting rope model k rope = E ropea rope L rope (10) ただし,A rope はロープの断面積,L rope はロープの長さである. 3. 移動式クレーンの動力学モデル 3 1 移動式クレーンの構造と仮定移動式クレーンのモデルをマルチボディダイナミクスの手法を用いて作成する. システムはシャシー (1 番目の物体 ), 旋回体 (2 番目の物体 ), 伸縮ブーム (3 番目の物体 ), ロープ (4 番目の物体 ) および吊荷 (5 番目の物体 ) からなる. 本研究の仮定では以下に明記する. (1) シャシーと旋回体は剛体である. (2) シャシーの回転は十分小さい, シャシーの回転行列を線変換して用いる. (3) ブームは柔軟体とし 3 つ要素の Euler Bernoulli のはりと線形ねじり変形として考え,FFRF によって作成し, 付録 B によりモデル化する. (4) 吊荷は質点である. (5) アウトリガーはばね ダンパーとして考える. ロープの慣性を考慮する多体系モデルを モデル 1 と呼び, 全部で 5 つの物体から構成する. 一方, ロープの慣性を考慮しない多体系モデルを モデル 2 と呼び, ロープを省略し, 全部で 4 つの物体から構成する. 二つのモデルを図 4 に示す.

6 (a) Chassis (b) Slewing Structure (c) Boom (d) Hoisting rope (e) Hoisted load Fig. 3 he components in a mobile crane system Fig. 4 Mobile crane system model 3 2 システムの拘束式 (1) 旋回体はシャシーの上に乗せて回転ジョイントで拘束する, 式 (11) と (12). (2) ブームと旋回体は回転ジョイントで拘束する, 式 (13) と (14). (3) ロープはブームの先端に球ジョイントで拘束する, 式 (15). (4) 吊荷はロープのもう一端に固定する, 式 (16) と (17). C 1 = R 1 + A 1 u 1,2 R 2 A 2 u 2,1 (11) C 2 = [φ 1 θ 1 ] [φ 2 θ 2 ] (12) C 3 = R 2 + A 2 u 2,3 R 3 (13) C 4 = [φ 2 ψ 2 ] [φ 3 ψ 3 ] (14)

7 C 5 = R 3 + A 3 u 3,4 R 4 (15) C 6 = R 4 + A 4 u 4,5 R 5 (16) C 7 = [e 4,26 e 4,27] (17) 式中の u i,k は i 番目の物体の座標系の原点から見た i 物体と k 番物体の拘束位置の位置ベクトルである. 従って, 全体システムの拘束式を式 (18) に示す. C(q, t) = 0 (18) 式 (18) 中の C の要素はモデルによって異なる. モデル 1 では C = [C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 ] である. モデル 2 はロープの部分の拘束式がない代わりに, ばねの一般化力でブーム先端と吊荷を拘束するため, モデル 2 の拘束式は C = [C 1 C 2 C 3 C 4 ] である. モデル 2 のロープの一般化力は付録 C に導出する. 3 3 システムの運動方程式 ラグランジュの未定乗数法によって作成した運動方程式を式 (19) に示す. また, システムの拘束式の式 (18) を 2 階微分し, 式 (20) のように変形する. Mq + Kq + C q λ = Q (19) C q q = Q c (20) 式中の M はシステムの慣性行列,K はブームとロープ部分の柔軟性の剛性行列,C q は拘束式のヤコビ行列,λ はラグランジュ乗数,Q はシステムの一般化力を示す.Q には外力, 重力, コリオリ力ベクトルおよびアウトリ ガーの力を含む. また, モデル 2 の場合はロープのばね力も含む.Q c は拘束式を微分したヤコビ行列以外の残 り分. 最後に q はシステムの一般化座標である. モデル 1 の一般化座標は q = [R 1 θ 1 R 2 θ 2 R 3 θ 3 q f,3 R 4 θ 4 q f,4 R 5 ] となる. モデル 2 の一般化座標は q = [R 1 θ 1 R 2 θ 2 R 3 θ 3 q f,3 R 5 ] である. 本研究では拡大法及びバウムガルテの安定化法 (Baumgarte, 1972) を採用し式 (19) 及び (20) で, ラグランジュ 乗数を式 (21) のように示す. λ = (C q M 1 C q ) 1 (C q M 1 (Q Kq) γ) (21) 式 (21) 中の γ は式 (22) のように示す. γ = Q c αc β 2 C (22) 式 (22) 中の α 及び β は安定化に関するパラメータであり, 本研究では α = β = 15 を用いた. 4. 計算機シミュレーションの条件計算機シミュレーションの際にはブームの角度を 60 度で一定とし, 旋回体に回転運動を入力する. 入力回転速度を図 6 に示す. 移動式クレーンのモデルの物理パラメータは表 1 に示す通りである. 本研究の計算機シミュレーションでは式 (21) を式 (19) に入力し,MALab 2016b の ode23t を使い, 式 (19) を解いた.

8 Fig. 5 Input angular velocity of the slewing drive able 1 Specification of the mobile crane model Parameter Value Chassis mass [kg] Chassis dimension (width, length, thickness) 5, 2.5, 0.4 [m] Position of slewing drive joint from the center of chassis (x, y, z direction) 1.8, 0, 0.2 [m] Outrigger stiffness coefficient (x, y, z direction) (Maczyski and Wojciech, 2003) 1000, 1000, 7500 [kn/m] Outrigger damping coefficient (x, y, z direction) (Maczyski and Wojciech, 2003) 20, 20, 16 [kn s/m] Slewing drive mass 800 [kg] Slewing drive dimension (diameter, heights) 4, 1 [m] Position of boom joint from the center of slewing drive (x, y, z direction) 1, 0, 0.5 [m] Boom materials density 8000 [kg/m 3 ] Boom heights and width (H 31 W 31-H 32 W 32-H 33 W 33) [m 2 ] Boom thickness 0.01 [m] elescopic length (L 31-L 32-L 33) 20 [m] (8 [m] 6 [m] 6 [m]) Boom Young s modulus 210 [GPa] Boom Poisson s ratio 0.3 Rope length 5, 10, 15 [m] Rope diameter 30 [mm] Rope materials density (Feyrer, 2007) 7800 [kg/m 3 ] Rope Young s modulus (Feyrer, 2007) 196 [GPa] Rope Poisson s ratio (Feyrer, 2007) 0.3 Mass of load 100, 300, 500 [kg] 5. 計算機シミュレーションの結果および比較 5 1 振り子運動の固有振動数まず, 二つのロープのモデルに吊荷を掛けた場合の振り子運動の固有振動数を比較する. モデル 1 の場合, ロープと吊荷は荷物が付いた細い棒振り子であり, モデル 2 の場合は単振り子である.

9 (a) Influence of the length of rope (b) Enlarged section of 9-10[m] Fig. 6 Natural frequency of the pendulum motion ロープの長さ L に対する固有振動数 ω n はよく知られているようにロープが長くなると振動数が下がるが, 図 7 に示すようにモデル 1 の振動数はモデル 2 の振動数より高く, また, 吊り荷が重くなるとモデル 1 の固有振動数はモデル 2 の固有振動数に近づいている. これはロープの質量を考慮した場合, 吊り荷とロープを合わせた物体の質量中心のブーム先端からの位置が固有振動数を決定しているためである. 次に二つのロープのモデルの振り子固有振動数とモデル 1 のロープの曲げ変形の固有振動数, またブームの曲げ固有振動数を比較した結果を図 8 に示す. 図 8 に示すように振り子の振動数はロープの 1 次モードの曲げ変形より低いため, 振り子の運動はロープの変形に影響しない. しかし, ブームの縦方向 z と横方向 y の曲げ振動数は 7.89 m,9.66 m のロープ長さおいて 1 次モードのロープの曲げ変形の振動数と交わる. つまり, ロープ長さが 7 m を超える場合にはブームの柔軟性がロープの曲げ変形に影響すると考えられる. さらにロープが長くなるとロープの 1 次及び 2 次曲げ振動数が低くなり, ロープが 2 次モードの曲げ変形する可能性もあり, 振り子運動の固有振動数に近づくため, 吊荷の運動にロープの曲げ変形の影響が大きくなる可能性がある.

10 Fig. 7 Natural frequency of the pendulum motion and the deformation of structure 5 2 ロープの変形まず, 図 8 は各ロープの 3 番目の要素にある 3 番目のノードの変形ベクトルのクレーンの運動中の時間変化の大きさを示す. またはクレーンの回転入力終了後の 10 秒間の自由振動に着目し, 三つの吊荷条件と三つのロープ長さのモデル 1 のロープの形状を図 9 から 11 に示す. 図 8 により, ロープ長が長くなるとノードの変形量及び振動数が変化し, 変形値が大きくなり, 振動数が低くなる. 一方, 吊荷の質量の変化によっても変形の量及び振動数が変化するが, ロープ長の影響と比較するとその影響は小さい. また, 図 9 から 11 のロープの形状からも同様な傾向を見て取れる. これらの結果から, ロープ長が長くなると変形, 特に曲げ変形が増大するが, 吊荷の質量はロープの変形にほとんど影響しないということができる. Fig. 8 Magnitude of deformation vector of hoisting rope at node 3

11 (a) Hoisting rope in xyz plane (b) Hoisting rope in xz plane Fig. 9 Shape of the hoisting rope during residual vibration when L=5m (a) Hoisting rope in xyz plane (b) Hoisting rope in xz plane Fig. 10 Shape of the hoisting rope during residual vibration when L=10m

12 (a) Hoisting rope in xyz plane (b) Hoisting rope in xz plane Fig. 11 Shape of the hoisting rope during residual vibration when L=15m 5 3 吊荷の運動の時間変化二つのクレーンモデルを用いてシミュレーションした x と z 方向の吊荷位置の時間変化を図 12 から 17 に示す. ロープが長くなると二つのモデルの結果は異なり, モデル 1 の運動の方が少し高い振動数で低い振幅であることが分かる. しかし, 吊荷の重さが増えるとその差異が減少し, 同じような運動になる. これは固有振動数が近づくことと符合している. Fig. 12 ime history of the position in x direction of the hoisted load when L=5 m

13 Fig. 13 ime history of the position in x direction of the hoisted load when L=10 m Fig. 14 ime history of the position in x direction of the hoisted load when L=15 m Fig. 15 ime history of the position in z direction of the hoisted load when L=5 m

14 Fig. 16 ime history of the position in z direction of the hoisted load when L=10 m Fig. 17 ime history of the position in z direction of the hoisted load when L=15 m 5 4 吊荷の軌道 二つのモデルで計算した吊荷の軌道を比較し,xy 平面の軌道と xz 平面の軌道を図 18 から 23 に示す. 二つの 吊荷の軌道の差はロープが長い場合は大きく, 吊荷の質量が大きい場合は小さい. Fig. 18 rajectory of the hoisted load in xy plane when L=5 m

15 Fig. 19 rajectory of the hoisted load in xy plane when L=10 m Fig. 20 rajectory of the hoisted load in xy plane when L=15 m Fig. 21 rajectory of the hoisted load in xz plane when L=5 m Fig. 22 rajectory of the hoisted load in xz plane when L=10 m

16 Fig. 23 rajectory of the hoisted load in xz plane when L=15 m 最後に, モデル 1 およびモデル 2 で使ったシミュレーションの平均計算時間は 889 s および 70 s であった. この計算時間の違いは, モデル 1 はモデル 2 に比べ条件数が大きく, また, 一般化座標の数が約 2 倍となっているためと考えられる. これらの計算結果の比較により, モデル 2 はモデル 1 に比べ 13 分の 1 の時間で計算でき, その計算結果の差異が大きく出るロープが長く吊荷の質量が軽い場合でも差異は僅かであることがわかった. そのため, 特にロープの変形に注目する場合にはモデル 1 を用いるべきであるが, ロープの変形を詳細に必要としない場合にはモデル 2 を用いることにより, 実用的に十分な精度で高速に計算機シミュレーションが可能であることが分かった. 特に, リアルタイムシミュレーションを行うためには, モデル 2 の使用が必須である. 6. 結言本研究では移動式クレーンの動力学モデルのロープの慣性の影響を検証することを目的とした. ロープの慣性を考慮する条件と考慮しない条件の移動式クレーンの動力学モデルを柔軟多体系によって作成し, シミュレーションを行った. 得られた結果を以下に示す. (1) 慣性を考慮するロープのモデルを用いればクレーンの運転中のロープの曲げが表示でき. この変形はブームの柔軟性にも影響を受ける. また, ロープが長くなると吊荷の運動がロープの曲げ変形に影響する可能性もある. (2) 二つのモデルで計算した吊荷の軌道の差はロープが長くなると存在するが, 差異の大きさは僅かであり, 吊荷の質量が増加するにつれて軌道の差が減少する. (3) 慣性を考慮しないロープのモデルの計算時間は慣性を考慮するロープのモデルの約 13 分の 1 である. 謝 辞 本研究は株式会社タダノの助成を受けて行われたものである. 文 献 Baumgarte, J., Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems, Elsevier, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.1, No.1 (1972), pp De Veubeke, B. F., he dynamics of flexible bodies, Elsevier, International Journal of Engineering Science, Vol.14, No.10 (1976), pp Feyrer, K., Wire ropes: tension, endurance, reliability (2007), pp.1-69, Springer-Verlag. Kiliçaslan, S., Balkan,. and Ider, S. K., ipping load of mobile cranes with flexible boom, Academic press, Journal of Sound and Vibration, Vol.223, No.4 (1999), pp Maczyski, A. and Wojciech, S., Dynamics of a mobile crane and optimisation of the slewing motion of its upper structure, Kluwer Academic, International Journal of Nonlinear Dynamics, Vol.32, No.3 (2003), pp

17 Park, K.-P., Cha, J.-H. and Lee, K.-Y., Dynamics factor analysis considering elastic boom effects in heavy lifting operations, Elsevier, Ocean Engineering, Vol.38, No.10 (2011), pp Posiadala, B. and Cekus, D., Discrete model of vibration of truck crane telescopic boom with consideration of the hydraulic cylinder of crane radius change in the rotary plane, Elsevier, Automation in Construction, Vol.17, No.3 (2008), pp Shabana, A. A., Flexible multibody dynamics: review of past and recent development, Kluwer Academic, Multibody System Dynamics, Vol.1, No.2 (1997), pp Sun, G. and Kleeberger, M., Dynamics responses of hydraulic mobile crane with consideration of the drive system, Elsevier, Mechanism and Machine heory, Vol.38, No.12 (2003), pp akehara, S., erumichi, Y. and Sogabe, K., Motion of a submerged tether subject to large deformations and displacements, he Japan Society of Mechanical Engineers, Journal of System Design and Dynamics, Vol.5, No.2 (2011), pp 日本機械学会編, マルチボディダイナミクス 1 基礎理論, コンピュータダイナミクス 3, コロナ社 (2006). 日本機械学会編, マルチボディダイナミクス 2 数値解析と実際, コンピュータダイナミクス 4, コロナ社 (2007). rąbka, A., Dynamics of telescopic cranes with flexible structural components, Elsevier, International Journal of Mechanical Sciences, Vol.88 (2014), pp rąbka, A., Influence of flexibilities of cranes structural components on load trajectory, Springer, Journal of Mechanical Science and echnology, Vol.30, No.1 (2016), pp Vinod Kumar, A. S. and Ganguli, R., Violin string shape functions for finite element analysis of rotating imoshenko beams, Elsevier, Journal of Finite Elements in Analysis and Design, Vol.47, No.9 (2011), pp References Baumgarte, J., Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems, Elsevier, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.1, No.1 (1972), pp De Veubeke, B. F., he dynamics of flexible bodies, Elsevier, International Journal of Engineering Science, Vol.14, No.10 (1976), pp Feyrer, K., Wire ropes: tension, endurance, reliability (2007), pp.1-69, Springer-Verlag. Kiliçaslan, S., Balkan,. and Ider, S. K., ipping load of mobile cranes with flexible boom, Academic press, Journal of Sound and Vibration, Vol.223, No.4 (1999), pp Maczyski, A. and Wojciech, S., Dynamics of a mobile crane and optimisation of the slewing motion of its upper structure, Kluwer Academic, International Journal of Nonlinear Dynamics, Vol.32, No.3 (2003), pp Park, K.-P., Cha, J.-H. and Lee, K.-Y., Dynamics factor analysis considering elastic boom effects in heavy lifting operations, Elsevier, Ocean Engineering, Vol.38, No.10 (2011), pp Posiadala, B. and Cekus, D., Discrete model of vibration of truck crane telescopic boom with consideration of the hydraulic cylinder of crane radius change in the rotary plane, Elsevier, Automation in Construction, Vol.17, No.3 (2008), pp Shabana, A. A., Flexible multibody dynamics: review of past and recent development, Kluwer Academic, Multibody System Dynamics, Vol.1, No.2 (1997), pp Sun, G. and Kleeberger, M., Dynamics responses of hydraulic mobile crane with consideration of the drive system, Elsevier, Mechanism and Machine heory, Vol.38, No.12 (2003), pp akehara, S., erumichi, Y. and Sogabe, K., Motion of a submerged tether subject to large deformations and displacements, he Japan Society of Mechanical Engineers, Journal of System Design and Dynamics, Vol.5, No.2 (2011), pp he Japan Society of Mechanical Engineers ed., Multibody dynamics 1 fundamental theory, computer dynamics series 3 (2006), Corona Publishing (in Japanese). he Japan Society of Mechanical Engineers ed., Multibody dynamics 2 numerical analysis and problems, computer dynamics series 4 (2007), Corona Publishing (in Japanese).

18 rąbka, A., Dynamics of telescopic cranes with flexible structural components, Elsevier, International Journal of Mechanical Sciences, Vol.88 (2014), pp rąbka, A., Influence of flexibilities of cranes structural components on load trajectory, Springer, Journal of Mechanical Science and echnology, Vol.30, No.1 (2016), pp Vinod Kumar, A. S. and Ganguli, R., Violin string shape functions for finite element analysis of rotating imoshenko beams, Elsevier, Journal of Finite Elements in Analysis and Design, Vol.47, No.9 (2011), pp 付録 A 慣性を考慮するロープのモデルの有限要素式 本研究には慣性を考慮するロープのモデルは 4 番目の物体になり,5 つの要素で作成した. 慣性を考慮するロ ープの一般化柔軟座標は式 (A-1) に示す. q f,4 = [e 4,1 e 4,2 e 4,3 e 4,4 e 4,5 e 4,6 e 4,29 e 4,30] (A-1) 式 (A-1) 中の e i,6j 5 は要素 j 番の軸方向変形,e i,6j 4 は要素 j 番の横方向 (y) の曲げ変形,e i,6j 3 は要素 j 番の縦方向 (z) の曲げ変形,e i,6j 2 は要素 j 番のねじり変形,e i,6j 1 は要素 j 番の縦方向 (z) の曲げ変形の傾 き,e i,6j は要素 j 番の横方向 (y) の曲げ変形の傾きである ( ロープの場合,i = 4,j = 1,2,3,4,5). 式 (2) の各要素の変換行列,B ij, は式 (A-2) から (A-6) に示す. B 41 = [ I ] (A-2) B 42 = [I ] (A-3) B 43 = [ I ] (A-4) B 44 = [ I ] (A-5) B 45 = [ I ] (A-6) ただし,0 n m は n m の零行列である. 付録 B ブームのモデルの有限要素式 ブームのモデルは 3 番目の物体になり,3 つの要素で慣性を考慮するロープのモデルと同法によって作成した. 従ってブームの一般化柔軟座標は式 (B-1) に示す. q f,3 = [e 3,1 e 3,2 e 3,3 e 3,4 e 3,5 e 3,6 e 3,17 e 3,18] (B-1) ブームのモデルの各要素の変換行列は式 (B-2) から (B-4) に示す. B 31 = [ I ] (B-2) B 32 = [I ] (B-3) B 33 = [ I ] (B-4)

19 全体座標系の原点から見たブーム上の任意点 P までの位置ベクトル及び慣性行列と剛性行列は式 (1) から (9) まで, 又は式 (B-1) から (B-4) までで計算できる. 付録 C 慣性を考慮しないロープのモデルの一般化力 モデル 2 のロープのモデルはばねとして考え, 全体座標系から見たロープのベクトル,l rope, は図 C-1 に示す. Fig. C-1 Rope vector in global coordinate system 又は全体座標系の原点から見たブーム先端の位置ベクトルは式 (C-1) のように示す. r 3,tip = R 3 + A 3 (u o,33,tip + S 33,tip B 33 q f,3 ) = R 3 + A 3 u 33,tip (C-1) u o,33,tip はブームの物体座標系の原点から見た先端の重心の位置ベクトル. 従ってロープのベクトルは式 (C-2) のように示す. 又は S 33,tip = S 33 (x 33 = L 33, y 33 = 0, z 33 = 0) である. l rope = R 3 + A 3 u 33,tip R 5 (C-2) 式 (C-2) を用いてロープ全体座標系の原点見た弾力ベクトルは式 (C-3) に示す. F rope = k rope (l rope l rope,0 )l rope (C-3) ただし,l rope はロープベクトルの長さ,l rope,0 はロープの初期条件の長さ,l rope はロープの単位ベクトル. 全体座標系の原点見たロープのベクトル式 (C-2), ロープの弾力ベクトル式 (C-3) 及び仮想仕事式により, モ デル 2 のロープの一般化力は式 (C-4) のように示す. Q rope = F rope (F rope A 3 u 33,tip ) (F rope A 3 S 33,tip B 33 ) F rope ] [ (C-4)

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