2013年度 東京大・理系数学

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1 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 実数 a, b に対し平面上の点 P (, y ) を ( 0, y 0) (, 0) ( +, y+ ) ( a by, b+ ay) ( 0,,, ) によって定める このとき, 次の条件 (i), (ii) がともに成り立つような ( a, b) をすべて 求めよ (i) P0 P6 (ii) P 0, P, P, P, P 4, P5 は相異なる --

2 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a を実数とし, >0 で定義された関数 f ( ), g( ) を次のように定める f ( ) cos, g ( ) si+ a このとき y f( ) のグラフと yg( ) のグラフが >0 において共有点をちょう ど つもつような a をすべて求めよ --

3 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ A, B の 人がいる 投げたとき表裏が出る確率がそれぞれ のコインが 枚あり, 最初は A がそのコインを持っている 次の操作を繰り返す (i) A がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば A に 点を与え, コインは A がそのまま持つ 裏が出れば, 両者に点を与えず, A はコインを B に 渡す (ii) B がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば B に 点を与え, コインは B がそのまま持つ 裏が出れば, 両者に点を与えず, B はコインを A に 渡す そして A, B のいずれかが 点を獲得した時点で, 点を獲得した方の勝利とする たとえば, コインが表, 裏, 表, 表と出た場合, この時点で A は 点, B は 点を獲得 しているので B の勝利となる () A, B あわせてちょうど 回コインを投げ終えたときに A の勝利となる確率 () p( ) を求めよ p( ) を求めよ --

4 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ ABC において BAC 90, AB, AC とする ABC の内部の点 P が, PA PB + + PC PA PB PC 0 を満たすとする () APB, APC を求めよ () PA, PB, PC を求めよ -4-

5 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ次の命題 P を証明したい 命題 P 次の条件 (a),(b) をともに満たす自然数 ( 以上の整数 )A が存在する (a) A は連続する つの自然数の積である (b) A を0 進法で表したとき, が連続して99 回以上現れるところがある 以下の問いに答えよ () y を自然数とする このとき不等式 + y < ( + y )( + y)( + y+ ) < + (y+ ) が成り立つような正の実数 の範囲を求めよ () 命題 P を証明せよ -5-

6 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 6 解答解説のページへ 座標空間において, y 平面内で不等式, y により定まる正方形 S の4 つ の頂点をA(,, 0), B(,, 0), C(,, 0), D(,, 0) とする 正方形 S を, 直線 BD を軸として回転させてできる立体をV, 直線 AC を軸として回転させ てできる立体をV とする () 0 t< を満たす実数 t に対し, 平面 t によるV の切り口の面積を求めよ () V とV の共通部分の体積を求めよ -6-

7 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ + a b ( +, y+ ) ( a by, b+ ay) より, y + b a y ここで, a b 0 のとき, でP (0, 0) となり, 条件に反する そこで, r a + b > 0 として, cosθ a, siθ b とおくと, より, r r + cosθ siθ r y + siθ cosθ y 0 すると, y 0 0 より, cosθ siθ cosθ r r y siθ cosθ 0 siθ 6 さて, 条件 (i) より, y 0 なので, より, 6 r ( r ) となり, 6 cos6θ, si6θ 0 4 θ の範囲を π <θ π とすると, 4より, 6θ 0, ± π, ± 4 π, 6π となり, θ 0, ± π, ± π, π (a) θ 0 のとき P0 P となり, 条件 (ii) に反する (b) θ± π のとき条件 (ii) を満たし, ( ( ) ( )) ( ) ( a, b) cos ± π, si ± π, ± (c) θ± π のとき P0 P となり, 条件 (ii) に反する (d) θ π のとき P0 P となり, 条件 (ii) に反する (a)~(d) より, ( a, b ) (, ± ) [ 解説 ] 相似変換を題材にした問題ですが, これに気付かなければ, 時間がいくらあっても 足りません -- 電送数学舎 0

8 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ f ( ) cos, g( ) si+ a を連立すると, cos si+ a より, cos si a, cos si a さて, h( ) cos si とおくと, >0 において, y f( ) のグラフと yg( ) のグラフが共有点をちょうど つもつ条件は, y h( ) のグラフと直線 y a が共有点をちょうど つもつ条件に等しい ( si si cos ) (cos si ) h ( ) 4 cos cos + cos ここで, を0 以上の整数とすると, h ( ) 0 の解は, ( π π) h + ( ) ( ) + π+ π (+ ) π すると, h( ) の増減は下表のようになり, π 0 π π+ π となり, 5 π 7 π h ( ) h( ) ց π ր π ց 5π ր これから, h( ) は が偶数のとき負の極小値をもち, その値は の値の増加に伴 って増加する また, が奇数のとき正の極大値をもち, その値は の値の増加に伴 って減少する 以上より, 共有点をちょうど つもつ条件は, a, < a< 5π 7π π 7π ց [ 解説 ] 定数分離によって, 共有点の個数を調べるという頻出のタイプです なお, 解答例 では y h( ) のグラフは記していませんが, 下書きでは, しっかりと書いています -- 電送数学舎 0

9 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () A が 回目にコインを投げ, それが 回目の表である場合を考える (i) B が得点を獲得せず, A が勝利するとき まず, A が 点目を獲得するのは 回目, 回目, 5 回目,, 回目のいず れかであり, 点目を獲得するのは 回目である すると は偶数となり 点目の獲得回の選び方が 通りより, この確率は, ( ) ( ) + (ii) A, B の順に 点ずつを獲得した後, A が勝利するとき A, B の順に 点ずつを獲得するのは, 回目, 回目, 5 回目,, 回目か ら 回を選び, 前を A が 点目を獲得する回, 後を B が 点目を獲得する回に 対応させる また, A が 点目を獲得するのは 回目である すると は奇数となり 点目の獲得回の選び方が C 通りより, この確率は, ( ) ( ) ( ) + C ( )( )! これは,, のときも成立している (iii) B, A の順に 点ずつを獲得した後, A が勝利するとき B, A の順に 点ずつを獲得するのは, 回目, 4 回目, 6 回目,, 回目か ら 回を選び, 前を B が 点目を獲得する回, 後を A が 点目を獲得する回に 対応させる また, A が 点目を獲得するのは 回目である すると は奇数となり 点目の獲得回の選び方が C 通りより, この確率は, ( ) ( ) ( ) + C ( )( )! これは,, のときも成立している 以上より, A の勝利となる確率 p( ) は, を偶奇に分けて, ( ) + p( ) ( が偶数 ) + + p( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( が奇数 ) k+ ( ) k p k k k 4 ( k+ ( ) ()( 4) ) ( )( ) ( k p k k k k k ) 4 () k を自然数とすると, () より, ( ) ( ) さて, S S p( k) とおくと, k { p( k) + p(k )} (k 5k+ 4) ( ) 4 k k k -- 電送数学舎 0

10 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 ここで, a, b, c を定数として, 次式が成り立つようにこれらの値を求める + (k 5k+ 4) { a( k+ ) + b( k+ ) + c} ( ak + bk+ c) 係数を比較すると, ( ) ( ) ( ) k k k a 4a 8, a+ b 4b 0, a+ b+ c 4c 6 これより, a 8, b 44, c 4 となり, S ( ) ( ) { a( + ) + b( + ) + c} ( a+ b+ c) 4 4 ( a+ b+ c) ( + ) ( ) ( ) + S 6 + S+ p(+ ) S+ ( ) ( ) 7 以上より, p( ) 6 である 7 [ 解説 ] () は文系と共通です 問題の設定状況を把握するのにたいへん時間がかかってし まい, 難度がかなり高く感じられました また, 理系で追加された () ですが, いろい ろな解法があるものの, どれをとっても計算量が半端ではありません 解答例では, 階差数列を設定するという方法ですが, かなり時間がかかりました なお, r < の とき limr 0 などを, いきなり利用していますが, 余裕があれば二項定理でも用 いて証明した方がよいでしょう -4- 電送数学舎 0

11 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ ցցց ցցց ցցց () PA a, PB b, PC c とおくと, A PA ցցց PB ցցց ցցց + + PC a b c 0 ցցց ցցց ցցց P より, PA+ PB PC a b c ցցց ցցց ցցց B 両辺の大きさをとって, PA+ PB PC C a b c ցցց ցցց ցցց ցցց ցցց ցցց PA+ PB, PA + PA PB+ PB, + abcos APB + a b a a b b ab よって, cos APB より, APB 0 ցցց ցցց ցցց また, より, PA+ PC PB とすると, 同様にして, APC 0 a c b () () より, BPC 0 となり, APB, BPC, CPA に余弦定理を適用して, より, a + b + ab, ( a b)( a + b + ab) a b, 4 より, 同様にすると, b c 4( b c) 6, b + c + bc 4, a b a b 5 c a ( c a) より, a+ b c 0, c a+ b 8-4 より, 89 より, b a + c( b a) 9 b a + ( a+ b)( b a), 0より, b 6ab 0, b a に代入すると, 7a から, a となり, 8より, 7 b, c ցցց ցցց ցցց 以上より, PA, PB, PC 4 である c + a + ca 4 a + 4b 5ab 0 [ 解説 ] () は, 余弦定理から得られた連立方程式を解くという方針を立てました ただ, あまりにも解きにくく, 頂点 A を原点とする座標系を設定しようかと心が揺らぎましたが, 敢えて初心を貫きました -5- 電送数学舎 0

12 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへ () が正の実数, y が自然数のとき, とおくと, > 0, 次に, P ( + y )( + y)( + y+ ) ( + y ) P ( + y) ( + y) ( + y ) y + y y (y ) + y y y > 0, y y 0 より, P> 0 はつねに成立する Q ( + y )( + y)( + y+ ) { + (y+ ) } とおくと, Q ( + y) ( + y) (y+ ) y + y y + (y ) + y y Q< 0 であることより, > 0, ( y y) 0 より, (y ) ( y y) > 0 4 y + 9y + 4y 6y 4y+ > よって, P>0 かつ Q<0 を満たす正の実数 の範囲は である () () より, のもとで, + y < ( + y )( + y)( + y+ ) < + (y+ ) 98 さて, が連続して99 回現れる99 桁の整数 m は, 9 の 倍数であるので, y を自然数としてm y とおくことができる そこで, を十分に大きな整数として, 0 とおくと, を満たし, + y 0 + m 0 (0 + m) 0 このとき, + (y+ ) 0 + ( m+ ) 0 (0 + m+ ) 0 (0 + m) 0 は が連続して99 回現れ, また(0 + m+ ) 0 は が連続して 98 回現れた次に が 回現れる すると, より, 与えられた条件 (a), (b) をともに満たす連続する つの自然数の 積 ( + y )( + y)( + y+ ) で表される自然数が存在する [ 解説 ] 008 年に雰囲気の似た問題がありますが, 考えにくさについては, 各段の相違があります とらえどころのない難問です なお, () では, 与えられた不等式をみて, の値として, 0, 00, 000, と考えていきました -6- 電送数学舎 0

13 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 6 問題のページへ () 正方形 S を直線 BD を軸として回転させてできる立 体 V は, 中心 O で半径 の円を底面とし, 高さ の 直円錐を底面で つ結合したものである ここで, 点 B を頂点とする円錐面上の点をP(, y, z) とすると, ցցց ցցց ցցց ցցց BP BO BP BO cos45 ( + y 0) ցցց ցցց すると,BP (, y, z), BO (,, 0) なので, より, ( ) ( y ) ( ) + ( y ) + z y+ ( ) + ( y ) + z y+ 0 として, 両辺を 乗すると, y 4 4y+ 4 y+ z + z y+ + y 0 (0 + y ) 次に, 点 D を頂点とする直円錐面上の点をQ(, y, z) とすると, ցցց ցցց ցցց ցցց DQ DO DQ DO cos45 ( + y 0) ցցց ցցց ここで, DQ ( +, y+, z), DO (,, 0) なので, より, 同様にして, + y+ ( + ) + ( y+ ) + z + y+ 0 として, 両辺を 乗すると, z y y 0 ( + y 0) 4 さて, 平面 t(0 t<) によるV の切り口を考える より, z 4 より, z ty+ t+ y 0(0 t+ y ) から, ( t)( y ) y z ( t y t) 5 t z z ty t y 0( t+ y 0) から, (+ t)( y+ ) y+ z ( t y t) 6 + t 平面 t によるV の切り口の面積 S( t) は, 対称性を考えて, 0 t ( ) z z ±( ) ( )} S( t) + t + t t ( ) 0 t z ( ) dz dz z z ( t ) A ( t ) 0 y O D t z t B C ( t ) ( t ) y -7- 電送数学舎 0

14 0 東京大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 ( t ) 4 ( t ) 8 t () 立体をV と直線 AC を軸として回転させてできる立 体 V は z 平面に関して対称となるので, V とV の共 ( t) z 通部分を, 平面 t(0 t<) で切断した切り口は右図 の網点部のようになる この面積を S( t) とすると, t t y 0 ( t) z ± } S( t) 4 ( t ) dz 4 z z 6( t) ( t) 0 ( t) 4 ( t) 4 ( t) 8 t V とV はyz 平面について対称なので, この共通部分の体積 V は, 0 0 V S( t) dt 6 ( t) 9 [ 解説 ] 東大で頻出している立体の体積を求める問題です ただ, 今年のものは計算量がかなり多めとなっています なお, 円錐面の方程式については, ピンポイントレクチャー を参照してください -8- 電送数学舎 0

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