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1 計 算 幾 何 学 特 論 : 計 算 折 り 紙 入 門 上 原 隆 平 北 陸 先 端 科 学 技 術 大 学 院 大 学 情 報 科 学 研 究 科 教 授 11 月 26 日 ( 水 ) 10:30 12:00 13:00 14:30 14:50 16:20 11 月 27 日 ( 木 ) 10:30 12:00 13:00 14:30 14:50 16:20

2 石 川 県 手 取 川 白 山 山 系

3 JAISTの 特 徴 ( 上 原 私 見 ) 大 学 院 大 学 なので 学 部 がない 研 究 に 強 い 大 学 院 ( 教 員 が 研 究 をする 時 間 が 比 較 的 ある) セメスター 制 : 授 業 は2カ 月 単 位 で 進 む( 週 に2 回 15 回 ) 学 生 と 教 員 の 距 離 が 近 い

4 自 己 紹 介 所 属 : 北 陸 先 端 科 学 技 術 大 学 院 大 学 情 報 科 学 研 究 科 教 授 DBLP 情 報 : 専 門 分 野 : 理 論 計 算 機 科 学 アルゴリズム 特 にグラフアルゴリズム 計 算 量 特 にパズル/ゲームの 計 算 量 計 算 幾 何 学 特 に 計 算 折 り 紙 エルデシュ 数 =2 (Pavol Hell 氏 と 共 著 ) JAIST ギャラリーの 今 日,ここにいる 理 由

5 計 算 折 り 紙 (Computational ORIGAMI)とは? 折 り 紙 (ORIGAMI) 1500 年 代,おそらく 紙 の 普 及 とともに 自 然 発 生 的 に?アジアで 現 在,ORIGAMI はすでに 英 語 化 していて, 書 店 にも ORIGAMI コーナーがあ る. 折 り 紙 っぽいものも

6 計 算 折 り 紙 (Computational ORIGAMI)とは? 折 り 紙 の 急 激 な 発 展 1980 年 代 ~1990 年 代, 折 り 紙 が 急 速 に 複 雑 化 した. 前 川 の 悪 魔 1980 年 頃 発 表 ( 正 方 形 1 枚 から 折 れる!) 川 崎 ローズ 1985 年 頃 発 表 ( 正 方 形 1 枚 から 折 れる!) Robert Lang のハト 時 計 1987 年 頃 発 表 (1 10の 長 さの 長 方 形 の 紙 1 枚 から 折 れる!)

7 計 算 折 り 紙 (Computational ORIGAMI)とは? コンピュータの 利 用 と 折 り 紙 への 応 用 1990 年 代 以 降,コンピュータを 用 いた 折 り 紙 デザインが 発 展 Robert Lang のハト 時 計 1987 年 頃 発 表 (1 10の 長 さの 長 方 形 の 紙 1 枚 から 折 れる!) 舘 知 宏 のOrigamizer 三 谷 純 の 回 転 対 称 な 折 り 紙 2007 年 発 表 2010 年 頃 発 表 ( 長 方 形 の 紙 1 枚 から ( 長 方 形 の 紙 1 枚 から 折 れる) 10 時 間 くらいで 折 れる)

8 折 り 紙 とコンピュータサイエンス 近 年 むしろ 海 外 で 脚 光 をあびている 方 法 論 の 確 立 とソフトウェアの 開 発 : 1980 年 代 : 前 川 さんの 悪 魔 CAD 的 に パーツ を 組 み 合 わせる コンプレックス 折 り 紙 の 発 祥 2000 年 代 :Lang さんの TreeMaker 与 えられた 木 構 造 ( 距 離 つき) を 正 方 形 上 に 展 開 するソフト さまざまな 最 適 化 問 題 を 現 実 的 な 時 間 で 計 算

9 折 り 紙 とコンピュータサイエンス 折 り 紙 の 科 学 に 特 化 した 国 際 会 議 : 1989 年 12 Italy The International meeting of Origami Science and Technology 1994 滋 賀 県 大 津 2001 年 3 The International meeting of Origami Science, Mathematics, and Education (3OSME) 2006 年 9 月 8 日 ~10 4OSME 2010 年 7 月 13 日 ~17 シンガポール 5OSME 2014 年 8 月 10 日 ~13 東 大 6OSME

10 計 算 折 り 紙 (Computational ORIGAMI)とは? Computational Origami の 提 案 1990 年 代 ~ 計 算 幾 何 学 の 分 野 で 計 算 幾 何 や 最 適 化 問 題 として 折 り の 問 題 を とらえ 始 める この 分 野 の 超 著 名 な 研 究 者 :Erik D. Demaine 1981 年 生 まれ 20 歳 でカナダで 博 士 号 を 取 得 し, そのままMITの 教 員 になり, 現 在 に 至 る 彼 の 博 士 論 文 のテーマが 計 算 折 り 紙 であった.

11 計 算 折 り 紙 (Computational ORIGAMI)とは? 文 献 紹 介 Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra by J. O Rourke and E. D. Demaine, Authors I, translated it to Japanese (2009)

12 今 日 のトピック 今 日 : 複 数 の 凸 多 面 体 が 折 れる 展 開 図 の 研 究 展 開 図 と 立 体 のとても 悩 ましい 関 係 : 最 大 の 未 解 決 問 題 与 えられた 展 開 図 を 折 って 作 れる( 凸 ) 立 体 明 日 : 折 り のアルゴリズムと 計 算 量 の 関 係 折 り 紙 の 基 本 操 作 折 り 紙 のアルゴリズムと 計 算 量 1 次 元 の 紙 における 効 率 のよい 折 り 方 (アルゴリズムと 計 算 量 ) 1 次 元 の 紙 における 計 算 不 能 性 ( 計 算 の 理 論 )

13 ( 辺 ) 展 開 図 とは? ( 一 般 ) 展 開 図 : 多 面 体 の 表 面 を 切 って 平 面 上 に 広 げた 多 角 形 連 結 であること 重 なりを 持 たない 単 純 多 角 形 であること( 便 宜 上 直 線 の 集 まりとする) ( 辺 ) 展 開 図 : 多 面 体 の 辺 に 沿 って 切 り 広 げた 多 角 形 展 開 の 境 界 部 分 は 多 面 体 の 辺 からなる 今 日 は 展 開 図 といえば 一 般 の 展 開 図 という 意 味 なので 注 意

14 展 開 図 の 簡 単 な 歴 史 アルブレフト デューラーの 画 家 マニュアル (1525) 数 多 くの 立 体 を 辺 展 開 図 で 記 述 していた どうも 以 下 の 成 立 を 予 想 していた? 未 解 決 予 想 : 任 意 の 凸 多 面 体 は 辺 展 開 図 を 持 つ

15 展 開 図 の 簡 単 な 歴 史 未 解 決 予 想 : 任 意 の 凸 多 面 体 は 辺 展 開 図 を 持 つ ( 今 日 はやらない) 未 解 決 予 想 の 周 辺 の 結 果 : 反 例 らしいものすら 見 つかっていない( 当 然?) 凹 多 面 体 なら 反 例 がある (どんな 辺 展 開 も 重 なってしまう) 辺 展 開 でなく 一 般 展 開 なら 可 能 ( 一 般 の 点 から 各 頂 点 に 最 短 路 を 描 いて 切 るという 方 法 ) ランダムな 凸 多 面 体 をランダムに 展 開 すると 実 験 的 にはほぼ 確 率 1で 重 なってしまう もし 興 味 があれば まとめ: 展 開 図 に 関 してわかっていることは ほとんどない

16 展 開 図 の 簡 単 な 歴 史 未 解 決 予 想 : 任 意 の 凸 多 面 体 は 辺 展 開 図 を 持 つ まとめ: 展 開 図 に 関 してわかっていることは ほとんどない 本 研 究 の 興 味 の 対 象 : 多 角 形 Pが 与 えられたとき Pから 折 ることのできる ( 凸 ) 多 面 体 Qの 特 徴 づけ アルゴリズム ( 凸 ) 多 面 体 Qが 与 えられたとき 展 開 して 得 られる 多 角 形 Pの 特 徴 づけ アルゴリズム もし 興 味 があれば

17 展 開 図 の 簡 単 な 歴 史 ポイント: 展 開 図 に 関 してわかっていることは ほとんどない 本 研 究 の 興 味 の 対 象 : 多 角 形 Pが 与 えられたとき Pから 折 ることのできる( 凸 ) 多 面 体 Qの 特 徴 づけ アルゴリズム ( 凸 ) 多 面 体 Qが 与 えられたとき 展 開 して 得 られる 多 角 形 Pの 特 徴 づけ アルゴリズム 演 習 問 題 : 何 が 折 れるでしょう? (1) (2) ちなみにこの ラテンク ロス からは85 通 りで 23 種 類 の 異 なる 凸 多 面 体 が 折 れることが 知 られている.

18 今 日 の 予 定 1. 展 開 図 の 基 礎 的 な 知 識 1. 正 多 面 体 の 共 通 の 展 開 図 1 時 間 目 ~2 時 間 目 2. ペタル 型 の 紙 で 折 るピラミッド 型 :2 時 間 目 ~3 時 間 目 3. 複 数 の 箱 が 折 れる 共 通 の 展 開 図 :3 時 間 目

19 1. 展 開 図 の 基 礎 知 識 (1) S 凸 多 面 体 Sの 頂 点 と 辺 から 構 成 されるグラフをGとする [ 全 域 木 定 理 (その1)] Sの 辺 展 開 におけるカットラインは G 上 の 全 域 木 である 系 :すべての 辺 展 開 においてカット の 長 さは 同 じ [ 証 明 ] すべての 点 を 訪 れること: カットされない 頂 点 があると 平 坦 に 開 けない 閉 路 をもたないこと: 閉 路 があると 展 開 図 がばらばらになってしまうため 連 結 にならない G [ 全 域 木 定 理 (その2)] Sの 一 般 展 開 におけるカットラインは S 上 ですべての 頂 点 を 張 る 木 である

20 1. 展 開 図 の 基 礎 知 識 (2) P 正 4 面 体 の( 一 般 ) 展 開 図 に 関 する 特 徴 づけ [ 正 4 面 体 の 展 開 図 定 理 ( 秋 山 2007)] 正 4 面 体 の 展 開 図 Pは 以 下 の 条 件 を 満 たすタイリングであり 逆 も 成 立 する (1) P は p2 タイリング つまり180 回 転 で 敷 詰 め 可 能 (2) 回 転 中 心 の 4 頂 点 が 正 三 角 格 子 をなす (3) この4 頂 点 は タイリング 上 で 同 値 な 位 置 にない 参 考 : 正 4 面 体 の 辺 展 開 図 は 二 種

21 1. 展 開 図 の 基 礎 知 識 (2) P 正 4 面 体 の( 一 般 ) 展 開 図 に 関 する 特 徴 づけ [ 正 4 面 体 の 展 開 図 定 理 ( 秋 山 2007)] 正 4 面 体 の 展 開 図 Pは 以 下 の 条 件 を 満 たすタイリングであり 逆 も 成 立 する (1) P は p2 タイリング つまり180 回 転 で 敷 詰 め 可 能 (2) 回 転 中 心 の 4 頂 点 が 正 三 角 格 子 をなす (3) この4 頂 点 は タイリング 上 で 同 値 な 位 置 にない Tile Makers and Semi Tile Makers, Jin Akiyama, The Mathematical Association of America, Monthly 114, pp , [ 直 感 的 な 説 明 ] 平 面 上 で 正 4 面 体 を4 回 上 手 に 転 がすと 元 に 戻 る 各 面 にインクをつけて 転 がすと 平 面 全 体 にスタンプを 押 せる

22 1. 展 開 図 の 基 礎 知 識 (3) 4 単 面 体 (Tetramonohedron): 4つの 面 が 合 同 な4 面 体 P 4 単 面 体 の( 一 般 ) 展 開 図 に 関 する 特 徴 づけ [4 単 面 体 の 展 開 図 定 理 ( 秋 山 奈 良 2007)] 4 単 面 体 の 展 開 図 Pは 以 下 の 条 件 を 満 たすタイリングであり 逆 も 成 立 する (1) P は p2 タイリング つまり180 回 転 で 敷 詰 め 可 能 (2) 回 転 中 心 の 4 頂 点 がその 単 面 による 三 角 格 子 をなす (3) この4 頂 点 は タイリング 上 で 同 値 な 位 置 にない 参 考 :4 単 面 体 の 辺 展 開 図 は 二 種 [ 直 感 的 な 説 明 ] 正 三 角 形 を 全 体 にゆがませればよい

23 1. 展 開 図 の 基 礎 知 識 : 演 習 問 題 正 多 面 体 の 一 般 展 開 図 の 最 短 カットの 長 さは? 正 4 面 体 にはわりと 美 しい 最 適 解 があります 最 適 解 とその 証 明 ができればなおよし 正 8 面 体 と 正 6 面 体 最 適 解 を 見 つけるのは なんとかなると 思 う 最 適 性 を 示 すのは 手 間 がかかります 正 20 面 体 と 正 12 面 体 最 適 解 を 見 つけるのはちょっと 大 変 かも

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