コンピュータ 囲 碁 に 起 きた 革 命 2008 年 3 月 末 パリ 囲 碁 トーナメントのエキシビショ ンでプロ 対 コンピュータの 対 戦 が 実 現 ( プロ:タラヌ カタリン 五 段 ( 日 本 棋 院 中 部 総 本 部 所

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1 コンピュータ 囲 碁 における モンテカルロ 法 ~ 理 論 編 ~ 美 添 一 樹

2 コンピュータ 囲 碁 に 起 きた 革 命 2008 年 3 月 末 パリ 囲 碁 トーナメントのエキシビショ ンでプロ 対 コンピュータの 対 戦 が 実 現 ( プロ:タラヌ カタリン 五 段 ( 日 本 棋 院 中 部 総 本 部 所 属 ) コンピュータ:MoGo 9 路 盤 はハンデなしで3 局 対 戦 MoGoの1 勝 2 敗 19 路 盤 はMoGoが9 子 のハンデをもらい 1 局 対 戦 カタリン 五 段 の 勝 利 ここが 革 命 です 念 のため

3 コンピュータの 強 さ 囲 碁 だけが 弱 かった 主 な 二 人 零 和 完 全 情 報 ゲームの 中 で 囲 碁 だけが 他 と 比 較 し て 際 立 って 人 間 優 勢 だった コンピュータが 勝 利 したのは 正 式 に 用 いられる19 路 盤 ではなく コ ンピュータ 有 利 と 思 われる9 路 盤 だが 公 の 場 でプロにコンピュータが 勝 利 するというのは3 年 前 の 状 況 からは 想 像 できない 快 挙 である チェッカー オセロ チェス 将 棋 囲 碁 1994 年 に 世 界 チャンピオンに 勝 利 (2007 年 に 初 期 配 置 の 引 き 分 け 証 明 ) 1996 年 に 世 界 チャンピオンに 完 勝 1997 年 にIBMのDeepBlueが 当 時 世 界 チャンピオンのKasparovを 破 る アマトップレベルの 強 さと 言 われている アマ 初 段 をようやく 超 えた 程 度 主 なゲームにおける コンピュータの 強 さ

4 快 挙 の 原 動 力 は? 2006 年 に 登 場 した 画 期 的 なアルゴリズム 通 称 モンテカルロ 木 探 索 評 価 関 数 不 要 な 探 索 アルゴリズム どのようなアルゴリズムか? なぜ 囲 碁 に 有 効 なのか?

5 コンピュータプレイヤーの 進 歩 囲 碁 だけが 難 しかった つまり 他 のゲームで 有 効 だった 手 法 が 囲 碁 に は 通 用 しなかった なぜか? まず 他 のゲームのコンピュータプレイヤー のアルゴリズムについて 説 明 する

6 mini-max 探 索 +αβ 枝 刈 り αカット βカットにより 探 索 が 省 略 される 候 補 手 が 理 想 的 な 順 番 にソー トされていれば 探 索 ノード 数 は 元 のツリーのノード 数 のほ ぼsqrtになる[Moore and Knuth 1975] Max node 探 索 順 序 Min node

7 囲 碁 のルール 黒 白 交 互 に 交 点 に 石 を 置 いていく 19x19の 盤 が 普 通 最 終 的 に 地 が 大 きいほうが 勝 ち 地 とは 一 方 の 色 の 石 だけで 囲 われた 範 囲 のこ と

8 囲 碁 のルール : 囲 んだら 取 れる のところに 黒 が 打 つ と 白 石 を 取 れる 空 点 が 無 くなると 取 ら れる 空 点 のことを 呼 吸 点 ダメ などと 言 う つながっている 石 は 一 蓮 托 生 になっている 取 られるときはまとめて 取 られる つながっている 石 の 集 合 を 連 という

9 囲 碁 のルール : 着 手 禁 止 点 と 例 Aに 打 つと 反 則 そのまま 取 られる 場 所 には 打 てない Bには 打 って 良 い 打 った 瞬 間 に 黒 石 を 取 れるから 外

10 囲 碁 のルール : 同 型 反 復 禁 止 右 図 の 形 になったら 簡 単 に 無 限 反 復 が 生 じる 取 られてもすぐに 取 り 返 して はいけない 取 り 返 すと 反 則

11 生 き 死 に という 概 念 着 手 禁 止 点 が 二 つある 石 は 絶 対 に 取 られる 事 はない 絶 対 に 取 られない 石 を 生 きてい る と 言 う 着 手 禁 止 点 のことを 眼 と 言 う 二 眼 あると 生 き

12 実 戦 例 とある 商 用 ソフトと 私 が 打 った 例 これは 終 局 図 先 手 の 黒 が 有 利 なた め それを 是 正 するた めに 黒 にハンデを 負 わせるのが 普 通 それをコミという 19 路 盤 でも9 路 盤 でも 6.5 目 か7.5 目 が 普 通

13 囲 碁 の 難 しさ その1 探 索 空 間 が 大 きい 19 路 盤 囲 碁 は 探 索 空 間 が 巨 大 チェッカーは 初 期 局 面 が 引 き 分 けになることが 解 明 された(2007 年 ) 同 様 に 5 路 盤 の 囲 碁 は 最 善 手 順 が 完 全 解 明 されている チェッカー オセロ チェス ところで 9 路 盤 の 探 索 空 間 はチェス 以 下 それでも2005 年 までは 弱 かった どっちもアマ 初 段 くらい おかしい だって 他 のゲームだと 性 質 の 似 たゲームなら 探 索 空 間 が 小 さい 方 が コンピュータ 有 利 将 棋 チェス 中 国 将 棋 などの 比 較 チェッカー(8 路 )とドラフト(10 路 )の 比 較 なぜ 19 路 盤 と9 路 盤 の 強 さに 差 が 無 いの? 将 棋 囲 碁 (9 路 盤 ) 囲 碁 (19 路 盤 ) 探 索 空 間 ( 可 能 な 局 面 数 )

14 この 数 値 はゲームのスコア 囲 碁 の 難 しさ その2 評 価 関 数 が 作 れない しかし 実 際 のスコアは 勝 敗 が つくまで 深 く 探 索 しなければ 分 からない よって 探 索 を 途 中 で 打 ち 切 り その 時 点 でのスコアを 近 似 する 評 価 関 数 を 用 意 する 評 価 関 数 はどうやって 作 るもの?

15 オセロ 評 価 関 数 の 例 囲 碁 以 外 のゲーム 隅 や 辺 の 重 要 な 箇 所 のパターンを 学 習 して 評 価 関 数 を 作 成 チェスや 将 棋 駒 の 価 値 玉 の 安 全 度 駒 が 自 由 に 動 けるか 等 チェスの 例 :ポーン1 点 ビショップとナイト3 点 ルーク 5 点 クイーン9 点 キング 点 ボナンザメソッドなどもあり

16 囲 碁 の 評 価 関 数 の 難 しさ 石 の 価 値 は 平 等 駒 の 価 値 などは 用 いることができない 領 域 の 広 さを 競 うなら 広 さを 基 準 にする? 領 域 が 確 定 するのはゲームの 最 後 オセロのような 明 らかに 特 徴 のある 箇 所 が 少 ない 特 に19 路 盤 で 顕 著 局 所 的 な 最 善 手 が 全 局 的 な 最 善 手 になりにくい 石 を 取 るのは 局 所 的 には 得 捨 石 は 基 本 的 なテクニッ ク

17 人 間 はどうやってプレイしてるの? 説 明 不 能 です 特 に 中 盤 は 難 しいです 石 が 厚 かったり 薄 かったり 形 が 良 かったり 悪 かったり 味 が 良 かったり 悪 かったり 石 が 軽 かったり 重 かったり 初 段 くらい 無 いと 用 語 の 意 味 が 通 じません

18 つまり 囲 碁 は 難 しい チェスや 将 棋 の 駒 得 のような 明 らかな 評 価 基 準 がない 何 かの 要 素 の 足 し 算 で 局 面 の 優 劣 を 評 価 す るのは 難 しい 評 価 関 数 は 速 く 正 確 である 必 要 がある 囲 碁 の 評 価 関 数 は 遅 いか 不 正 確 である 両 方 という 説 も

19 従 来 の 囲 碁 プログラムの 例 GNU Go 商 用 ソフトの 中 身 は 分 からないので オープ ンソースの 囲 碁 プログラム GNU Goについて 説 明 GNU Goは 最 強 の 商 用 プログラムよりも 少 し 弱 い 多 数 の 複 雑 な 評 価 関 数 を 用 いている コードはCで 約 80,000 行 パターンデータベースがテキストで 約 52,000 行 棋 力 はアマ 初 段 より 少 し 弱 い 19 路 でも9 路 でも

20 GNU Goの 着 手 選 択 職 人 芸 の 結 晶 (?) 盤 面 の 状 況 を 分 析 する 連 絡 切 断 をある 程 度 調 査 それから 石 の 安 全 度 を 調 査 パターンデータベースにマッチする 手 を 発 見 し 評 価 値 を 割 当 てる 着 手 の 目 的 別 に 候 補 手 を 生 成 し 評 価 値 を 割 当 てる 目 的 : 自 分 の 石 を 守 る / 相 手 の 石 を 攻 める / 自 分 の 領 域 を 広 げる など 複 数 の 評 価 値 の 依 存 関 係 を 調 査 一 番 評 価 値 の 高 い 手 をプレイする

21 モンテカルロ 木 探 索 によるプログラム 囲 碁 の 評 価 関 数 は 難 しい これは 本 当 であ る しかし 囲 碁 でも 終 局 した 状 態 なら 簡 単 に 勝 敗 の 判 定 が 可 能 この 性 質 をうまく 利 用 したプログラムが2006 年 に 登 場 した CrazyStone

22 原 始 モンテカルロ 囲 碁 乱 数 を 用 いて 囲 碁 をプレイする [Brügmann][Bouzy][Cazenave] 囲 碁 は 終 盤 に 近 づくに 連 れて 合 法 手 が 減 少 する 合 法 手 の 中 からランダムに 選 んで 打 つだけのプ レイヤーでも 終 局 可 能 ただし 少 し 制 約 が 必 要 自 分 の 眼 には 打 たないようにする 二 つ 眼 を 持 つ 石 は 取 られない

23 プレイアウトとは 乱 数 を 用 いて 終 局 までプレイすることをプレ イアウトと 呼 ぶ

24 プレイアウトによる 局 面 評 価 要 するに たくさんプレイアウトを 行 って 勝 て そうな 手 を 選 ぶ

25 もちろん 原 始 モンテカルロは 弱 い 深 さが2 段 以 上 の 木 に 対 しては 最 善 手 を 返 す 保 証 は 無 い 相 手 がミスをしたら 得 だが 正 しく 応 じられると 損 をする 手 があるとする 正 解 の 手 が 少 なければプレイアウト 中 には 正 解 を 打 つ 確 率 は 低 い 相 手 がミスをすることに 期 待 して その 手 を 打 つ どれくらい 弱 いのか 調 べた 論 文 あり GNU Go 相 手 の 勝 率 は1 割 くらいでした H. Yoshimoto, K. Yoshizoe, T. Kaneko, A. Kishimoto and K. Taura, Monte Carlo Go Has a Way to Go, AAAI-06, pp

26 CrazyStone 2006 年 のComputer Olympiad 囲 碁 9 路 盤 部 門 優 勝 プログラム [Rémi Coulom 2006] 原 始 モンテカルロ 囲 碁 を 改 良 したアルゴリズムを 用 いた それがモンテカルロ 木 探 索

27 モンテカルロ 木 探 索 Monte Carlo Tree Search 変 更 点 は2つ 有 利 な 手 に 多 くのプレイアウ トを 割 当 てる プレイアウトの 回 数 が 閾 値 を 超 えたら 木 が 生 長 する さらに 以 下 の 工 夫 が 重 要 プレイアウトが 返 す 値 は ス コアでなく 勝 ち/ 負 け スコア 差 ではなく 勝 率 を 最 大 化 するようにプレイする リードしているときは 安 全 に 負 けている 時 は 無 理 な 手 も 勝 率 最 大 化 により 対 GNU Go 勝 率 が3 割 台 から6 割 以 上 に 跳 ね 上 がった

28 理 論 的 背 景 Multi-Armed Bandit 問 題 統 計 学 や 機 械 学 習 の 分 野 で 研 究 されてきた Multi-Armed Bandit とは? 腕 が 複 数 あるスロットマシンのこと( 空 想 上 の 存 在 ) One-Armed Bandit とはスロットマシンの 俗 称

29 Multi-Armed Bandit 問 題 与 えられた 枚 数 のコインで できるだけ 多 くの 報 酬 を 得 るための 戦 略 を 考 えよ

30 最 善 の 戦 略 は? Multi-Armed Bandit 問 題 の 最 善 の 戦 略 は 知 られている [Lai and Robbins 1985] しかし 計 算 量 メモリ 消 費 ともに 大 きいために 実 際 にはあまり 用 いられない 各 確 率 分 布 同 士 のKL 情 報 量 を 計 算 する 必 要 がある よって 計 算 量 が 小 さく かつ 性 能 もそれほど 悪 くない 戦 略 が 求 められる

31 全 部 に 同 じ 枚 数 を 投 入 しよう! そして 平 均 を 比 べればいい? 原 始 モンテカルロ 囲 碁 と 同 様 の 戦 略 つまり 全 然 ダメ

32 UCB1という 戦 略 各 マシンについてUCB1 値 という 値 (Upper Confidence Bound)を 計 算 [Auer, Cesa-Bianchi, Fischer 2002] UCB1 値 が 最 大 になるマシンにコインを 投 入 X j : j 番 目 のマシンの 報 酬 の 期 待 値 X j + c 2log n n j n :それまでに 投 入 したコイン 数 の 合 計 n j : j 番 目 のマシンに 投 入 したコインの 数 c : 期 待 値 の 値 域 によって 決 まる 定 数

33 有 望 なマシンにたくさんコインを 投 入 しよう! それがつまりUCB1 有 望 な 手 に 多 くの プレイアウトを 割 当 てる

34 UCT (UCB applied to Trees) CrazyStoneの 成 功 を 受 けて 提 案 された 木 探 索 アル ゴリズム [Kocsis and Szepesvári 2006] UCB1を 木 探 索 に 応 用 UCB1 値 の 高 い 候 補 手 を 辿 って 探 索 を 行 う 末 端 の 候 補 手 でプレイアウトの 回 数 が 閾 値 を 超 えると そ の 手 を 展 開 する 探 索 回 数 nが 大 きくなると UCB1 値 が 以 下 のように 期 待 値 に 収 束 することが 証 明 されている X j 2log n æ log n ö + c X + ç n j O è n ø j

35 UCTを 使 えば 深 さ2 以 上 の 木 でも 最 善 手 に 到 達 する! 最 初 にUCTを 取 り 入 れた 囲 碁 プログラムが MoGo ( 冒 頭 でプロと 対 戦 ) [Gelly et al. 2006]

36 その 後 の 進 歩 MoGoがUCTを 採 用 して 猛 威 を 奮 って 以 降 CrazyStoneを 含 め 多 くのプログラムがUCTを 採 用 Computer Olympiad 電 通 大 で 開 催 されたUEC 杯 コンピュータ 囲 碁 大 会 などでモンテカルロ 木 探 索 を 用 いたプログラムが 上 位 を 独 占 全 て UCTか 又 は 同 様 に 木 が 成 長 するモンテカルロ 木 探 索 を 用 いて いる 19 路 盤 でも 強 くなった 当 初 は9 路 盤 はアマ3 級 程 度 19 路 盤 では 非 常 に 弱 かった 現 在 では19 路 盤 でもアマ 有 段 者 並 み(CrazyStoneはKGSという 囲 碁 サイトで2 級 = 普 通 の 碁 会 所 なら 二 段?) 何 が 改 良 されたのか 説 明 したい

37 探 索 部 分 の 改 良 Progressive Widening 囲 碁 の 知 識 を 用 い 良 さそうな 手 から 順 に 候 補 手 をソート しておく それを 徐 々に 探 索 木 に 加 えていく AMAF (All Moves As First) プレイアウト 中 に 打 たれた 初 手 のみを 用 いるのが 通 常 の 考 え 方 だが AMAFでは 全 ての 手 を 初 手 に 打 ったとみな す UCTのパラメータの 調 整 UCTよりも 最 善 手 を 優 遇 する 探 索 手 法

38 プレイアウトの 改 良 初 期 のCrazyStoneのプレイアウトは 単 純 19 路 盤 では 非 常 に 弱 かった パターンを 用 いてプレイアウトを 改 良 速 度 は 数 分 の1になったが 棋 力 は 大 幅 に 向 上 初 期 のCrazyStone ( 秒 間 4 万 回 程 度?) 強 化 版 CrazyStone ( 秒 間 1 万 回 程 度?)

39 なぜ 囲 碁 に 有 効 なの? プレイアウトで 普 通 に 終 局 するゲームだから チェスや 将 棋 では 普 通 に 終 局 を 迎 えるのは 難 しい 現 在 プレイアウトと 探 索 を 組 み 合 わせる 研 究 などが 行 われてい る オセロや 五 目 並 べは 終 局 に 至 る 囲 碁 同 様 に 有 効 であると 思 われるがまだ 研 究 途 上 囲 碁 では 最 善 手 と 次 善 手 の 価 値 の 差 が 小 さい(ことが 多 い) 手 順 に 関 係 なくある 位 置 を 占 めておけば 有 利 という 点 が 多 い

40 モンテカルロ 木 探 索 の 弱 点 細 く 長 い 正 解 手 順 がある 場 合 最 善 手 が1 手 だけある という 局 面 が 長 手 順 連 続 すると 確 率 的 に 正 解 にたどり 着 かない 例 シチョウ : プレイアウトをパターンで 強 化 して 回 避 死 活 攻 め 合 い : まだ 対 処 法 は 不 明 山 下 さんは 探 索 との 組 合 せなどを 試 しているらしい

41 今 後 の 展 望 モンテカルロ 木 探 索 の 利 点 単 純 に 強 い プログラミングの 労 力 が 少 ない 探 索 部 分 とプレイアウトの 実 装 だけ プレイアウトの 強 化 には 機 械 学 習 も 有 効 多 くの 研 究 者 が 参 入 機 械 学 習 のプロなど 並 列 化 の 研 究 も 行 われている 冒 頭 のMoGoは256コアのクラスタを 用 いていた 現 在 も 日 々 強 化 されている 今 後 が 非 常 に 楽 しみです

42 参 考 文 献 P. Auer, N. Cesa-Bianchi and P. Fischer, Finite-time analysis of the multi-armed bandit problem, Machine Learning, vol. 47, pp , R. Coulom, Computing Elo Ratings of Move Patterns in the Game of Go, Computer Games Workshop, S. Gelly, Y. Wang, R. Munos and O. Teytaud, Modification of UCT with patterns in Monte-Carlo Go, Technical Report No.6062, INRIA, L. Kocsis and C. Szepesvári, Bandit Based Monte-Carlo Planning, LNCS vol.4212 (ECML 2006), pp , T. L. Lai and H. Robbins, Asymptotically efficient adaptive allocation rules, Advances in Applied Mathematics, vol. 6, pp. 4-22, H. Yoshimoto, K. Yoshizoe, T. Kaneko, A. Kishimoto and K. Taura, Monte Carlo Go Has a Way to Go, AAAI-06, pp , 2006.

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