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1 第 0 回 数 理 科 学 コンクール 解 説 と 講 評 総 合 メディア 基 盤 センター 植 田 毅

2 日 本 人 の 血 液 型 の 人 口 比 率 はおよそ 課 題 A 型 37.30% O 型 3.50% B 型 22.0% AB 型 9.0% となっている 血 液 型 の 遺 伝 法 則 はすでに 確 立 している ABO 式 血 液 型 の 遺 伝 因 子 はA B Oの3 種 があり その 中 のいずれか2つの 因 子 を 親 から 受 け 継 ぐことにより 個 人 の 血 液 型 が 決 定 される A 型 は(AA)か(AO) B 型 は(BB)か(BO) AB 型 は(AB) O 型 は(OO)の 場 合 である この 法 則 に 関 する 限 りA 型 とB 型 には 何 ら 優 劣 の 差 はない にもかかわらず 現 状 の 日 本 人 の 血 液 型 の 人 口 比 率 ではO 型 は 遺 伝 上 の 劣 勢 にもかかわらずB 型 よりも 多 く また AB 型 が 非 常 に 少 なくなってい る A 型 とB 型 の 人 口 比 の 差 の 原 因 は 何 であろうか?この 血 液 型 の 人 口 比 は 時 代 によって 変 化 するのであろうか? 大 昔 の 血 液 型 の 人 口 比 率 はどうなっていたのであろうか?また 未 来 で の 人 口 比 率 はどうなるであろう?A 型 ばかりになるのであろうか? A 型 とB 型 の 人 口 比 の 差 の 原 因 と 血 液 型 の 人 口 比 率 の 時 間 変 化 を 考 えてください ただし 以 下 のことを 条 件 とします. 現 実 には 血 液 型 で 男 女 の 相 性 を 占 い 結 婚 相 手 を 選 ぶときに 血 液 型 を 条 件 にすることもあ るが ここでは 結 婚 相 手 は 血 液 型 に 関 係 なくランダムに 選 ばれるものとする 2. 各 血 液 型 とも 男 女 の 比 率 は 同 じであるとする 3. 現 実 社 会 では 個 人 の 自 由 であるが ここでは 独 身 主 義 者 は 居 ないものとする 4. 現 在 の 首 都 圏 では 考 え 難 いが 各 夫 婦 は 平 均 二 人 の 子 供 を 生 むものとする 5. 突 然 変 異 で 血 液 型 が 変 化 する 可 能 性 も 考 えられるが ここでは 無 視 する

3 この 課 題 はジャンル 的 には 数 理 生 物 学 数 理 生 態 学 の 範 疇 に 入 るものです 数 理 物 理 学 の 守 備 範 囲 でもあります 生 物 の 振 る 舞 い 生 物 内 で 起 こる 現 象 は 複 雑 ですが その 振 る 舞 い 現 象 をいかにシンプルな 法 則 で 説 明 するかがポイ ントになります メンデルによる 生 物 の 遺 伝 の 法 則 は 非 常 にシ ンプルで 非 常 によく 現 象 を 説 明 できる 優 れた 理 論 です 血 液 型 も 突 然 変 異 など 特 別 な 状 況 を 除 けば 高 校 の 教 科 書 で 説 明 される 遺 伝 法 則 で 非 常 によく 説 明 できます

4 解 説 メンデルの 法 則 によると 人 の 血 液 型 の 遺 伝 因 子 はA B O 型 があり 各 個 人 はその 遺 伝 因 子 を 二 つずつ 与 えられていま す 持 っている 遺 伝 因 子 が(AA) (AO)の 組 み 合 わせのとき 表 現 型 はA 型 (BB) (BO)の 組 み 合 わせのときB 型 (AB)のとき のみAB 型 (OO)のときのみO 型 となります 遺 伝 因 子 は 両 親 それぞれが 持 つ 二 つの 遺 伝 因 子 のうちの 一 つずつを 受 け 継 ぎます これにより 世 代 間 の 血 液 型 の 現 れ 方 が 決 まります この 法 則 を 数 学 的 に 表 現 するために 第 世 代 の 固 体 数 ( 人 数 )を 各 遺 伝 子 型 の 人 数 を(AA) (AO) (BB) (BO) (AB) (OO) とする このとき となります ( AA) (AO) (BB) (BO) (AB) (OO)

5 この 課 題 で 与 えられた 条 件 を 考 えると 遺 伝 法 則 は 以 下 の ように 説 明 できます 例 えば 第 世 代 で(AA) 型 の 男 性 と(AB) 型 の 女 性 の 夫 婦 が できる 確 率 は (AA) 型 の 女 性 と(AB) 型 の 男 性 の 夫 婦 ができる 確 率 も 同 じで あるから 第 世 代 で(AA) 型 と(AB) 型 の 組 み 合 わせの 夫 婦 ができる 確 率 は 2(AA) (AB) となります 全 夫 婦 数 は 2であるから (AA) 型 と(AB) 型 の 組 み 合 わせの 夫 婦 の 数 は ( AA) (AB) となります この 夫 婦 からは(AA) 型 (AB) 型 が 同 じ 割 合 で 生 まれるので 各 夫 婦 が2 人 の 子 供 を 生 むとき この 組 み 合 わせの 夫 婦 から 生 まれる(AA) 型 の 子 供 の 数 は となります AA) 2 2(AB) 2 2 ( ( AA) (AB)

6 (AA) 型 の 子 供 が 生 まれる 夫 婦 の 型 の 組 み 合 わせは 他 に (AA) (AA) (AA) (AO) (AA) (AB) (AO) (AO) (AO) (AB) (AB) (AB) の6 通 りあります これらについても 同 様 の 計 算 を 行 い (AA) 型 の 子 供 の 数 を 全 て 足 せば+ 世 代 での(AA) 型 の 人 数 (AA) + が 求 まります 他 の 型 の 子 供 の 数 も 求 めると 以 下 の ようにまとめられます Z Y X (BO) (AO) 2(OO) (AB) (BO) 2(BB) (AB) (AO) 2(AA) Y X Z Y Z X Z Y X 2 (AB) 2 (BO) 2 (AO) 4 (OO) 4 (BB) 4 (AA) Z Z Y Y X X Z Y X 2

7 これらから 全 ての 遺 伝 子 型 の 人 数 も 世 代 によって 変 化 し ないことが 示 されます このことから この 法 則 のみから は 今 の 血 液 型 の 人 口 比 は 大 昔 から 引 き 継 がれているという 結 論 になります この 法 則 を 信 じる 限 り 人 類 誕 生 以 来 血 液 型 の 人 口 比 率 は 変 わっていないことになる しかし 世 界 にはO 型 の 比 率 が 最 も 高 い 国 も 少 なくなく この 差 が 突 然 変 異 のみに 原 因 があるとするには 無 理 がある そこで 982 年 北 海 学 園 大 学 の 世 戸 憲 治 氏 は 血 液 型 適 合 不 適 合 論 がキーポイントで はないかと 指 摘 しています 血 液 型 適 合 不 適 合 論 とは 胎 児 の 血 球 にある 血 液 型 抗 原 と 母 親 の 血 清 中 の 血 液 型 抗 体 とがの 不 適 合 により 抗 原 抗 体 反 応 を 起 こすため 妊 娠 中 流 産 し 易 かったり 生 まれてから 黄 疸 になることが 多 いということです

8 血 液 型 不 適 合 となる 胎 児 と 母 親 の 遺 伝 因 子 型 の 組 み 合 わせは 表 のようになります 胎 児 (OO) (AO) or (OO) (BO) or (AB) 母 親 (BO) (AO) (AA) or (BB) or (AO) or (BO) これから 胎 児 が(AB) 型 の 場 合 に 不 適 合 となる 組 み 合 わせが 最 も 多 く 胎 児 が(OO) 型 の 場 合 に 不 適 合 となる 組 み 合 わせはありません これが 実 際 にAB 型 が 少 なく O 型 が 多 い 原 因 ではないかと 考 えられます 世 戸 氏 は 簡 単 のために 不 適 合 の 組 み 合 わせの 場 合 に は そうでない 場 合 に 比 べ 出 生 率 が 一 律 にβ 倍 (β<)に なるものとしました

9 その 場 合 の 方 程 式 は となります ここで αは 総 人 口 が 全 ての 世 代 で 同 じにな るように 決 定 します この 方 程 式 を 解 くにはある 世 代 の 全 ての 遺 伝 因 子 型 の 割 合 が 必 要 となるが 現 在 の(AA)と(AO)の 比 (BB)と(BO) の 比 がどちらも:2であるとして β=0.9 (AA)= (AO)= (BB)= (BO)= (OO)=0.35 (AB)=0.090を 初 期 値 としてこの 式 を 解 くと 図 -の34 世 代 から450 世 代 の 部 分 の 解 が 得 られま す 計 算 は 遺 伝 因 子 型 で 計 算 していますが グラフは 血 液 型 の 表 現 型 の 割 合 を 示 しています Y X Y X Z Y Z X Z Y X 4 (AB) 2 (AB) 4 (BO) (BO) 4 (AO) (AO) 4 (OO) 4 (BB) 4 (AA) 2 2 2

10 図 - この 結 果 00 世 代 後 にはO 型 の 人 の 割 合 が95%を 超 え 他 の 血 液 型 の 人 は 極 めて 稀 となることが 分 かります では 逆 に 過 去 の 血 液 型 の 比 率 はどうなっていたか?こ の 方 程 式 を 過 去 に 遡 って 解 けばいいのだが 方 程 式 は 非 線 形 であるためそれは 簡 単 ではない 世 戸 氏 はさまざまな 過 去 の 血 液 型 比 率 を 仮 定 して 方 程 式 を 解 き 現 在 の 血 液 型 比 率 を 再 現 するものを 見 つけました

11 その 結 果 が 図 -の0 世 代 から34 世 代 までのグラフです これから 過 去 においてはAB 型 が 最 も 多 く O 型 はほとんど いない A 型 B 型 はほとんど 同 じ 割 合 ですが わずかに 差 があります X Y ZではX= Y= Z=0.2となり ます この 極 僅 かなA 型 B 型 の 割 合 の 差 が 現 在 の 差 を 生 ん でいます このような 初 期 では 非 常 に 僅 かな 差 でも 時 間 がた つと 大 きな 差 に 拡 大 する 現 象 は 非 線 形 な 方 程 式 で 記 述 される 複 雑 系 (complex systems) カオス 系 の 特 徴 です しかし これらの 結 果 はここで 説 明 した 条 件 仮 定 でのも ので 現 実 にそうなるかどうかは この 模 型 が 本 質 を 突 いて いるかに 依 ります 正 確 な 記 述 を 目 指 すならば 突 然 変 異 など 他 の 効 果 も 検 討 しなければなりません 参 考 文 献 世 戸 憲 治 :`` 血 液 型 の 数 理 '' 数 理 科 学 O.223 JAUARY 982 pp. 6-2

12

13 講 評 血 液 型 の 遺 伝 の 法 則 は 高 校 の 生 物 で 習 うものなので 中 学 生 には 難 しい 課 題 だったかもしれません それでも 地 道 に しっかりと 各 世 代 で 人 口 比 がどのようになるのか 試 みた 解 答 が 見 受 けられました それでもやはり 高 校 生 の 方 が 有 利 で 高 校 生 の 中 には 遺 伝 法 則 では 人 口 比 が A:B:AB:O=3:3:2: に なり 世 代 変 化 しないことを 見 出 した 個 人 グループがあり ました 中 には 類 人 猿 の 血 液 型 構 成 について 考 察 したものもあり ました これについては 人 間 の 血 液 型 の 比 率 の 初 期 状 態 がど うなっていたかを 考 える 上 では 非 常 に 重 要 なアプローチです チンパンジー ゴリラなどは 人 間 ( 世 界 的 に 見 れば 日 本 人 と は 血 液 型 の 構 成 がまったく 異 なるのだが...)の 血 液 型 構 成 と は 異 なるので 他 に 何 か 血 液 型 が 世 代 変 化 する 法 則 があること が 推 定 されます

14 しかし 高 校 生 を 含 めても 世 代 間 の 方 程 式 ( 漸 化 式 )を 用 いて 記 述 解 析 した 例 はほとんど 見 られませんでした 高 校 数 学 で 取 り 扱 う 数 列 漸 化 式 はこのような 問 題 を 取 り 扱 うためにある 大 学 に 入 ればこのような 問 題 を 解 析 しな ければならないので 高 校 で 数 列 漸 化 式 を 学 習 するのだと 認 識 してください

15 課 題 2 飛 込 競 技 を 題 材 にしたコミックやテレビドラマも 現 れ 次 第 に 身 近 に なってきた 飛 込 競 技 は 弾 力 性 のある 飛 び 込 み 板 より 跳 ね 上 がって 飛 び 込 む 飛 び 板 飛 び 込 み ( 高 さはmと3m)と 弾 力 のない 飛 び 込 み 台 か ら 飛 び 込 む 高 飛 び 込 み ( 高 さは5m 7.5m 0m)の 二 種 類 がある い ずれの 競 技 でも 落 下 中 に 空 中 で 回 転 したり ひねりを 加 えたり 体 を 丸 めたりといった 様 々な 演 技 を 行 い 得 点 を 得 る 得 点 を 大 きく 左 右 する ポイントが 着 水 時 に 如 何 に 水 しぶきを 小 さくするかということです 入 水 時 の 姿 勢 により 水 しぶきの 立 ち 方 が 変 わります では なぜ 水 しぶきが 立 つのでしょうか? 水 しぶきの 立 ち 方 は 落 下 物 の 形 で 決 まるのでしょうか? 問 題 を 単 純 化 するために 落 下 物 の 形 大 きさ 飛 び 込 む 速 さが 同 じ 場 合 を 考 えるとして 何 がしぶきの 立 ち 方 を 左 右 するのか しぶきを 小 さ くするためにはどのようにすればいいのか 考 えてください 実 験 用 に 水 槽 とスーパーボールなどを 用 意 してあります 自 由 な 発 想 で 実 験 をして 答 えを 出 してください

16 この 課 題 は 身 近 な 現 象 でさえ 世 界 の 第 一 線 の 研 究 対 象 に なっている 未 解 明 なことがあることを 分 かってもらうた めに 出 題 しました 水 の 中 に 物 が 落 ちる 落 ちれば 水 しぶ きが 発 生 する この 日 常 茶 飯 事 に 起 こる 何 の 変 哲 もない 現 象 にも 重 要 な 物 理 法 則 が 潜 んでいます 液 体 に 物 が 落 ちる 時 に 発 生 する 水 しぶきは 落 下 する 物 の 大 きさ 形 表 面 状 態 に 依 存 します この 課 題 では 大 き さ 形 の 効 果 はおいておき 形 大 きさが 同 じ 場 合 に 何 が 水 しぶきの 大 きさを 決 めるのか 考 えてもらいました

17 解 説 こ の 現 象 を 解 明 し た 論 文 が ature physics と い う 科 学 誌 の 2007 年 3 月 号 に 掲 載 されました この 論 文 でフランスクロード ベルナールリヨン 第 一 大 学 のデュ エツ 博 士 ら( CYRIL DUEZ CHRISTOPHE YBERT CHRISTOPHE CLAET AD LYDERIC BOCQUE)は 水 面 に 球 体 が 着 水 する 瞬 間 をハイスピード カメラで 撮 影 し 発 生 する 音 も 録 音 しました( 図 2-) 図 2-

18 その 結 果 球 体 は 水 に 入 ると 水 を 押 しのけ 水 中 に 空 洞 を 作 る その 空 洞 がつぶれるときに 大 きなはね 返 りが 生 じ ることを 見 出 しました そのため 球 体 が 同 じ 大 きさ 同 じ 速 さで 落 ちるときには 球 体 がどれだけ 水 中 に 空 気 を 引 き 込 むかによって 水 しぶきの 大 きさが 決 まります では 何 が 水 中 に 引 き 込 む 空 気 の 量 を 決 めるか? 彼 らは 球 面 の 濡 れ という 性 質 に 注 目 しました つまり 球 体 表 面 がどのくらい 親 水 性 か 撥 水 性 かによると 考 えました そこで 濡 れ の 程 度 の 変 化 により 水 中 に 空 気 の 空 洞 ができる 最 小 速 度 がどのように 変 化 するかを 測 定 しました

19 図 2-2 親 水 性 の 場 合 は 最 小 速 度 は 濡 れ の 程 度 にはよらず 撥 水 性 の 場 合 は 撥 水 性 が 強 く なるにしたがって 最 小 速 度 は 減 少 することを 発 見 しました ( 図 2-2) また その 最 小 速 度 は 液 体 の 摩 擦 と 表 面 張 力 の 比 ( 摩 擦 )( 表 面 張 力 )に 比 例 すること も 見 出 しました

20 親 水 性 の 球 と 撥 水 性 の 球 が 水 に 落 下 する 様 子 の 時 間 変 化 は 図 2-3のようになります 図 2-3 ( 図 は 全 て CYRIL DUEZ CHRISTOPHE YBERT CHRISTOPHE CLAET AD LYDERIC BOCQUE : ``Makig a splash with water repellecy'' ature physics VOL 3 MARCH 2007 pp )

21 講 評 提 出 された 解 答 は 大 きさ 形 を 変 えた 実 験 を 行 ったもの が 多 く 見 受 けられました 課 題 をよく 読 んでいなかったの かもしれませんね その 他 入 射 角 度 を 変 化 させたものも 見 られました その 効 果 も 興 味 深 いものですが いきなり 難 しい 現 象 を 理 解 しようとせず よりシンプルな 状 況 から 理 解 して 次 第 に 複 雑 にしていくことが 肝 心 です この 何 気 ない 現 象 を 科 学 的 に 記 述 するには 系 統 的 な 測 定 が 必 要 です その 現 象 においてどのようなパラメータ( 変 数 )が 重 要 かを 見 抜 いて それらの 変 化 により 現 象 がどの ように 変 化 していくかを 以 下 に 系 統 だって 観 測 測 定 する ことが 必 要 です 実 験 器 具 の 制 約 もあるのである 程 度 は 仕 方 ありませんが 残 念 ながら 実 験 結 果 が 系 統 的 に 整 理 され ていた 例 は 少 なかったように 思 われます

22 実 験 を 行 う 場 合 には 何 に 興 味 を 持 ち どのよう なパラメータを 変 化 させ 何 を 測 定 すればどのよう な 現 象 が 期 待 できるのか 事 前 に 実 験 の 計 画 と 立 て るよう 心 がけてください

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