Box-Jenkinsの方法

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1 Box-Jeks の 方 法 自 己 回 帰 AR 任 意 の 時 系 列 を 過 程 ARと 呼 ぶ で 表 す これが AR または AR m m m 個 の 過 去 の 値 に 依 存 する 時 これを 次 数 の 自 己 回 帰 ここで は 時 間 の 経 過 に 対 して 不 変 な 分 布 を 持 つ 系 列 相 関 のない 撹 乱 誤 差 項 である 期 待 値 一 定 の 分 散 σ また と Ε Ε Ε [ ] [ ] s s [ ] m σ s m である v は 無 相 関 である h h と 仮 定 される すなわち 移 動 平 均 MA 次 数 の 移 動 平 均 MAは 以 下 で 定 義 される MA の 符 号 はプラスで 表 現 する 場 合 もある の 条 件 は AR と 同 様 である 自 己 回 帰 移 動 平 均 ARMA AR と MA の 混 合 である 自 己 回 帰 移 動 平 均 ARMAは 以 下 で 定 義 される ARMA 時 系 列 の 自 己 相 関 時 系 列 の 観 測 点 は 確 率 変 数 であり 平 均 E 分 散 var の 確 率 分 布 に 従 う またラグ に 依 存 する と の 共 分 散 もあり それを 自 己 共 分 散 と 呼 び 以 下 で 表 す cov 特 別 な 場 合 として のとき

2 cov var である 同 様 に 自 己 相 関 は cov var var 分 散 が 時 間 の 経 過 と 共 に 変 化 しなければ var var であり 自 己 相 関 は 以 下 にな る cov var 自 己 相 関 の 計 算 MA 以 下 の 一 次 形 を 考 える 各 の 平 均 は だから もまた 平 均 を 持 つ 分 散 は var E E v ここで E E である また Ε [ ] である したがって var σ σ σ この E E の 分 散 は 時 刻 に 依 存 しない ラグ の 自 己 共 分 散 は 以 下 になる E σ の 分 散 とラグ の 自 己 共 分 散 が 求 まったので ラグ の 自 己 相 関 係 数 が 求 まる σ σ また である この 二 つの 式 は 一 次 の 移 動 平 均 に 対 する 自 己 相 関 係 数 の 全 体 を 定 めており 時 間 に 依 存 しないのでこの 移 動 平 均 は 弱 定 常 であるという 一 般 に 次 数 の 移 動 移 動 平 均 は 弱 定 常 であり 自 己 相 関 係 数 が 以 下 で 与 えられる MA に 対 して > ラグが 移 動 平 均 の 次 数 を 超 えれば 自 己 相 関 は になる

3 自 己 相 関 の 計 算 AR 一 般 的 な 次 の 自 己 回 帰 を 考 える のかわりに を 代 入 する をに 代 入 する [ ] さらに 代 入 を 繰 り 返 していくと [ ] となる 各 の 平 均 は だから var 4 var var var 4 σ σ σ. もまた 平 均 を 持 つ また は 無 相 関 であるので という 無 限 幾 何 級 数 になり 係 数 が < を 満 たすとき の 分 散 は 以 下 に 収 束 する σ var の 時 は は 定 常 でなく 爆 発 的 に 増 大 する 系 列 である また 自 己 共 分 散 は cov E E ここで E E ある すなわち の 平 均 は だから は や などの 関 数 であり とは 無 相 関 である 従 って E E ここで は より だけ 後 方 にある よって E であり 最 後 の 二 つの 式 から 自 己 相 関 は で

4 である すなわちこれは 指 数 関 数 的 に 減 衰 する 等 比 級 数 で である 次 数 の 一 般 的 な 自 己 回 帰 に 関 しても 類 似 した 関 係 が 示 せる > これは 次 の 差 分 方 程 式 である 自 己 相 関 の 計 算 ARMA ARMA 過 程 ARMA は 最 初 の 個 の 系 列 に 関 して 複 雑 な 自 己 相 関 係 数 を 持 つ しかし に 対 して は MA の 影 響 がなくなり AR と 同 じ 差 分 方 程 式 を 満 足 する > 自 己 相 関 の 要 約 時 系 列 モデル 自 己 相 関 係 数 MA > AR > ARMA > の 複 雑 な 関 係 と 非 定 常 系 列 の 差 分 ARIMA 差 分 を 回 取 ると 非 定 常 系 列 が 定 常 な になると 仮 定 する その 時 回 の 加 え 合 わせによって 元 の 系 列 を 再 現 できる これを 積 分 された AMRA 系 列 と 呼 び それを と 表 現 する d ARMA d ARIMA d ARIMA モデルの 推 定 と 予 測 現 実 の 時 系 列 を ARIMA モデルで 構 成 するためには 次 の 段 階 が 必 要 である. 特 定 化 又 は 識 別 差 分 の 数 ラグ と の 大 きさの 決 定 d

5 . パラメータ の 推 定 と. 当 てはめたモデルが 適 当 かどうかを 確 かめるための 診 断 特 定 化 非 定 常 系 列 が 定 常 系 列 になるまで 差 分 を 繰 り 返 して d を 決 める ラグ と を 決 めるため には 要 約 統 計 量 を 用 いる サンプルの 自 己 相 関 係 数 を 以 下 で 定 義 する これは cov var var からきている ラグ に 関 するこの 値 を 見 て 特 定 化 するが いずれも 厳 密 な 方 法 で はない パラメータ 推 定 ARMA 過 程 のパラメータ 推 定 を 行 う 自 己 相 関 係 数 が に 対 して サンプルの 自 己 相 関 係 数 の 値 にちょうど 等 しくなるように 個 のパラメータ と を 選 ぶ これは 個 の 未 知 変 数 からなる 本 の 非 線 形 方 程 式 である しかしこの 方 法 は 予 測 を 意 識 していないので 以 下 の 別 の 方 法 を 取 る AR の 場 合 の 時 は 撹 乱 項 の 現 在 の 値 わち とは 独 立 であり のみに 影 響 される 従 って は 過 去 の すな AR に OLS を 適 用 することによって の 一 致 推 定 量 が 得 られる ARMA の 場 合 通 常 は 小 さく が 小 さければ OLS の 特 別 な 場 合 が 推 定 法 として 利 用 可 能 である の 場 合 を 考 える

6 ARMA 左 辺 は の 線 形 変 換 なので と 表 す すなわち が 線 形 なので も 線 形 である 従 って とすると となる 他 に 情 報 がないため 期 待 値 を とおくを 初 期 値 として この 式 から 系 列 を 再 現 する その 際 パラメータ の 試 験 的 な 値 も 与 える ここで を 以 下 に 書 き 換 える は 任 意 の 系 列 に 適 用 できるので 系 列 にも 適 用 できる つまり 先 ほど 作 られた 系 列 を 用 いて OLS によりパラメータ を 推 定 する この 自 己 回 帰 からの 推 定 された 残 差 を 乗 し 加 え 合 わせて 以 下 の 基 準 を 作 る S つまり 試 験 的 なパラメータ はパラメータ の 推 定 された 組 と 残 差 二 乗 和 を 与 える S あらゆる を 試 し を 最 小 にする S および を 決 定 する ARMA モデルの 予 測 に 対 するデータが ARMA

7 を 当 てはめるために 用 いられていると 仮 定 する 一 番 近 い 将 来 の 値 を 予 測 するためには 論 理 式 として 以 下 を 得 る ここで 推 定 されたパラメータ 残 差 と 推 定 された 残 差 を 用 いる 将 来 の は 期 待 値 が であることしかわからないので は 知 られているので 以 下 で 予 想 できる その 次 の 将 来 の 値 とする 過 去 の 値 と を 予 測 するためには 論 理 式 として 以 下 を 用 いる であり また 同 様 に って とも 推 定 し は 直 前 の 式 から 推 定 される したが さらにもう 一 つの 将 来 の 値 を 予 測 するためには 同 じ 議 論 により であり ここに 至 って 移 動 平 均 の 部 分 がなくなって 予 測 は 純 粋 に 自 己 回 帰 となる