鍛造解析に用いられる

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1 1. はじめに 鍛 造 解 析 におけるメッシュ 生 成 法 に 関 する いくつかの 考 察 Some investigations of mesh generation scheme used in forging analysis 岡 田 達 夫 * * 理 化 学 研 究 所 VCADシステム 研 究 プログラム 加 工 成 形 シミュレーションチーム t-okada@riken.jp 任 意 の 次 元 幾 何 形 状 の 自 動 要 素 分 割 方 法 は 多 くの 研 究 が 行 われており, 四 面 体 要 素 では 比 較 的 質 の 良 い 要 素 が 生 成 されるようになっている.しかしながら, 鍛 造 解 析 での 使 用 を 考 えた 場 合, 四 面 体 次 要 素 では 非 圧 縮 の 拘 束 条 件 により 良 好 な 解 析 結 果 が 得 られない, 四 面 体 次 要 素 では 素 材 と 工 具 の 接 触 の 取 扱 いが 難 しい 等 の 問 題 がある. 鍛 造 解 析 に 適 した 六 面 体 要 素 の 生 成 法 には, 最 初 に 四 面 体 要 素 を 生 成 し,それを 六 面 体 に 幾 何 学 的 に 変 換 するindirect 法 と, 直 接 六 面 体 を 生 成 するdirect 法 がある [1].direct 法 としては,grid-based 法 [2],medial surface 法 [3],plastering[4] 等, 様 々な 手 法 が 研 究 されて いる.しかしながら,いずれの 方 法 にも 得 失 があり, 現 状 では 幾 何 形 状 によらず 常 に 品 質 の 良 い 六 面 体 が 生 成 できる 方 法 はないと 言 わざるを 得 ない.VCADシステム 研 究 プログラムにおいては,gridbased 法 の 一 つとして, 双 対 格 子 (Dual Grid)を 用 いた 六 面 体 生 成 法 が 研 究 されている[5].この 方 法 は 高 速 かつ 確 実 な 要 素 生 成 が 可 能 で, 構 造 解 析 では 良 好 な 成 果 を 上 げている. 一 方, 他 のgrid-based 法 と 同 様 に, 物 体 表 面 付 近 にやや 質 の 劣 る 要 素 が 生 成 される 場 合 があり, 鍛 造 のような 大 変 形 問 題 の 解 析 に 使 用 するには 未 だ 十 分 とは 言 えない[6]. 本 研 究 では, 双 対 格 子 を 基 礎 とする 六 面 体 生 成 法 において, 表 面 付 近 に 現 れる 非 凸 要 素 のより 良 い 細 分 割 方 法 を 検 討 する 第 一 段 階 として, 非 凸 六 面 体 の 分 類 を 行 った.また, 部 位 ごとの 非 凸 六 面 体 の 発 生 状 況 を 詳 細 に 観 察 し,その 原 因 について 検 討 した. 2. 双 対 格 子 を 基 礎 とする 六 面 体 生 成 法 2.1 現 在 の 非 凸 六 面 体 細 分 割 方 法 現 在 のV-DualGridでは, 生 成 された 非 凸 六 面 体 はFig.1に 示 すように,ピラミッド 形 状 と 四 面 体 形 状 の 凸 要 素 に 細 分 割 され,それらを 全 て 縮 退 六 面 体 として 取 り 扱 う 方 法 が 採 用 されてい る. 縮 退 六 面 体 を 用 いても 解 析 精 度 にはさほど 影 響 しないことが 著 者 の 過 去 の 研 究 から 明 らか になっているが[6], 現 状 の 細 分 割 方 法 で 得 ら れる 縮 退 六 面 体 は 品 質 が 良 くないことがほとん どであり, 容 易 に 非 凸 リメッシュの 繰 返 しと なって, 解 析 が 事 実 上 進 まなくなる 場 合 がある. Fig.1 Subdivision scheme of concave hexahedron 2.2 非 凸 六 面 体 の 分 類 非 凸 六 面 体 が 生 成 されることを 前 提 にして,その 後 の 非 凸 六 面 体 の 細 分 割 により, 凸 化 要 素 品 質 向 上 を 目 指 す 戦 略 をとるならば,どの 部 位 にどのような 非 凸 六 面 体 が 生 成 されるかを 把 握 することは 重 要 である.そこで, 本 研 究 では 六 面 体 を 構 成 する8 節 点 のうち,どの 節 点 が 非 凸 になっているか, すなわち, 節 点 位 置 におけるJacobianの 正 負 に 着 目 して, 非 凸 六 面 体 を 分 類 した. 一 般 的 には 非 凸 な 節 点 の 数 が 多 いほど 要 素 品 質 が 低 く,その 後 の 細 分 割 が 困 難 になると 考 えられる. 分 類 された 要 素 の

2 一 覧 をFig.2に 示 す. Fig.2 Classification of the concave elements by the number of concave nodes and their configurations 双 対 格 子 を 基 本 にする 六 面 体 要 素 生 成 では,8つの 節 点 は 各 々が 隣 接 した 独 立 な 主 セル 内 に 生 成 さ れるという 拘 束 条 件 が 存 在 し,さらに, 主 セルが 非 境 界 セルであった 場 合 には,セル 中 心 に 節 点 が 生 成 されるので,どのような 場 合 にもFig.2の 全 ての 要 素 タイプが 生 成 され 得 るわけではない.そこで, Fig.3に 示 す5つの 場 合 について,どの 要 素 タイプが 生 成 され 得 る 可 能 性 があるのかを 数 値 実 験 により 検 討 した.Case 1は 主 セル8 個 のうち7 個 が 境 界 セルとなる 場 合,Case 2は6 個,Case 3は4 個,Case 4は 2 個,Case 5は1 個 が 境 界 セルとなる 場 合 である.なお, 生 成 し 得 る 要 素 を 調 べる 方 法 は, 既 報 に 示 し た 数 え 上 げ 手 法 [7]を 拡 張 して 行 った. Fig.3 Configuration of the boundary cells in the 8 primal (VCAD) cells Table 1 Generated concave types Concave type Case Case Case Case Case

3 結 果 をTable.1に 示 す. が 生 成 される 可 能 性 のある 非 凸 要 素 タイプである. 物 体 のエッジ( 特 徴 線 ) 近 傍 ではCase 1 あるいはCase 2になることが 予 想 され,いずれも 非 常 に 多 くの 種 類 の 非 凸 要 素 が 生 成 される 可 能 性 があることがわかる.しかしながら,8つの 主 セルに 占 める 非 境 界 セルの 数 が 増 えれば, 生 成 され 得 る 非 凸 要 素 の 種 類 は 大 きく 減 少 している.したがって, 主 セルを 部 分 的 に 変 形 ( 切 断 位 置 を 移 動 )して 主 セルに 占 める 非 境 界 セルの 数 を 増 やすことができれば,その 後 の 細 分 割 は 容 易 になる ものと 考 えられる. 2.3 実 モデルによる 非 凸 六 面 体 の 生 成 状 況 Fig.4に 示 す3つの 実 モデルに 対 してVobj2Dheを 適 用 し, 実 際 の 非 凸 六 面 体 の 生 成 状 況 を 調 査 した. (A)は 座 標 軸 に 沿 った 円 柱.CADデータをvobj 表 現 したもので, 微 小 な 凹 凸 を 持 たない 理 想 的 な 凸 包 である.(B)もCADデータのvobj 表 現 であり, 一 部 にRや 凹 形 状 を 有 しているものの, 大 部 分 が 座 標 軸 に 対 して直 交 する 面 で 構 成 されている.(C)は 側 方 押 出 し 加 工 の 途 中 段 階 の 形 状 である.FEMで 解 析 された 要 素 表 面 の 形 状 をパッチデータとして 抽 出 したものであり, 同 一 節 点 が 複 数 の 法 線 ベクトルを 持 つ. Fig.4 Test models represented by vobj 結 果 について 述 べる.(A)のモデルでは 要 素 数 が 少 ない 場 合 は 非 凸 要 素 は 生 成 されないが, 要 素 数 が 多 くなると 非 凸 要 素 が 生 成 されるようになる(Fig.5). 生 成 される 部 位 はx 軸 (y 軸 )から 円 周 方 向 に45 度 回 転 した 付 近 で,エッジ 部 にType10あるいはType20, 側 面 に 沿 った 縦 壁 に 連 続 してType20が 現 れ る.sharp featureを 保 存 しない 場 合 も, 数 は 減 少 するものの 傾 向 は 同 様 である.(A)は 完 全 な 凸 形 状 で あるから, 理 論 上 は 非 凸 な 要 素 は 生 成 されないはずであるが, 実 際 には 生 成 される.これは, 要 素 数 が 多 くなると( 要 素 が 小 さくなると)45 度 付 近 に 生 成 される 要 素 形 状 がFig.6(a)に 示 すプリズム 形 に 近 くなり, で 表 される 節 点 の 生 成 座 標 が,わずかな 計 算 誤 差 により1 点 がプリズムの 内 側 に 入 れば Type10,2 点 とも 入 ればType20が 発 生 するものと 推 測 できる.Fig.6 (b)はプリズムの 三 角 形 面 の 模 式 図 である.この 図 から,プリズムを 縮 退 六 面 体 に 細 分 割 した 場 合, 主 セルの 位 置 によっては 平 面 に 近 い 形 状 の 要 素 が 生 成 される 可 能 性 があることがわかる.したがって,このような 場 合 には, 凸 な 縮 退 六 面 体 に 細 分 割 するよりも,この 要 素 全 体 を6 節 点 プリズム 要 素 あるいは6 節 点 の 縮 退 六 面 体 にしてしま う 方 が 良 好 な 結 果 になるものと 思 われる. Fig.5 Generated mesh of model (A) Fig.6 Prism-type hexahedral element and its top view

4 (B)のモデルでは 中 央 凹 部 の 角 R 縦 壁 でType20, 角 R 底 部 でType10が 発 生 した. 角 R 部 は 凹 形 状 であ るから,(A)のモデルとは 逆 に, 要 素 が 小 さくなればそこに 生 成 される 要 素 はプリズム 形 に 近 くなり, 品 質 は 改 善 される 方 向 に 向 かう.また, 他 の 凹 部 には 要 素 数 を 変 化 させても 非 凸 要 素 は 全 く 生 成 され ず, 座 標 軸 に 直 交 する 面 で 構 成 される 場 合 は, 凹 部 であっても 比 較 的 安 定 した 要 素 生 成 が 可 能 である ことがわかった. (C)のモデルではFig.7に 示 すように, 非 常 に 多 くの 非 凸 タイプが 生 成 される.そのほとんどが Type10と20であるものの,それ 以 外 にも,3,000 要 素 程 度 でType21, 30, 31, 32, 40, 42, 43, 50が 生 成 され, 30,000 要 素,100,000 要 素 と 要 素 数 が 増 えるにつれて,Type22, 41, 51なども 生 成 されるようになる. 要 素 数 が 増 えるにつれて 質 の 良 くない 非 凸 要 素 が 増 える 傾 向 は(A)のモデルの 場 合 とほぼ 同 様 である. また, 非 凸 要 素 は 全 面 に 渡 って 分 布 しているものの, 面 が 座 標 軸 に 対 して 垂 直 に 近 い 部 分 では 比 較 的 少 なく, 一 方, 面 の 向 きと 座 標 3 軸 との 角 度 が 大 きい 部 分 では 非 凸 節 点 の 多 い 要 素 が 生 成 されている ことがわかる.この 原 因 は(A)のモデルの 場 合 と 同 様 に 考 えることができる.すなわち, 要 素 が 小 さ くなると,Fig.8に 一 例 を 示 すように,この 付 近 で 生 成 される 六 面 体 の7個 の 節 点 が 平 面 に 近 い 状 態 に 位 置 するようになり, で 表 される 節 点 の 生 成 座 標 がその 平 面 の 内 側 に 入 ることによって1~4 個 の 節 点 が 非 凸 となる.この 問 題 の 解 消 には 今 後 更 なる 検 討 が 必 要 である. Fig.7 Generated mesh of model (C) Fig.8 Tetrahedron-type hexahedral element 3. まとめ 双 対 格 子 を 基 礎 とする 六 面 体 生 成 法 において, 表 面 付 近 に 現 れる 非 凸 要 素 のより 良 い 細 分 割 方 法 を 見 出 すため, 非 凸 六 面 体 の 分 類 を 行 うとともに, 部 位 ごとの 非 凸 六 面 体 の 発 生 状 況 を 観 察 し,その 原 因 について 検 討 した.その 結 果, 次 のような 知 見 が 得 られた.(1) 節 点 位 置 におけるJacobianの 正 負 に 着 目 すると, 非 凸 六 面 体 は21 種 類 に 分 類 できる.(2) 非 凸 六 面 体 は 凸 な 表 面 にも 生 成 されることがあ り, 面 の 法 線 ベクトルと 座 標 3 軸 とのなす 角 が 大 きい 部 位 に 多 く 発 生 する.(3) 要 素 数 が 多 いほど, 品 質 の 劣 る 非 凸 六 面 体 が 生 成 される 傾 向 がある.(4) その 理 由 は,8 節 点 のうち, 多 数 の 節 点 が 同 一 平 面 に 近 い 場 所 に 位 置 するようになるためである. 4. 参 考 文 献 [1] S. Owen, A survey of unstructured mesh generation technology, 7th international Mesh Roundtable, (1998), pp [2] R. Schneiders, A grid-based algorithm for the generation of hexahedral element meshes, Engineering With Computers, (1996), Vol.12, pp [3] M. Price and C. Armstrong, Hexahedral mesh genaration by medial surface subdivision: Part I, Int. J. Numer. Meth. Engng, (1995), Vol.38, pp [4] T. Blacker and R. Myers, Seams and wedges in plastering: a 3D hexahedral mesh generation algorithm Engineering With Computers, (1993), Vol.2, pp [5] 大 竹 豊, 双 対 格 子 によるVCADデータから 縮 退 六 面 体 メッシュ 生 成, ものつくり 情 報 技 術 統 合 化 研 究 ( 第 5 回 ), (2005), p.259 [6] 岡 田 達 夫, V-DualGridによる 六 面 体 要 素 生 成 とそれを 用 いた 非 圧 縮 大 変 形 解 析, VCADシステム 研 究 2007, (2007), p.212

5 [7] 岡 田 達 夫, 凹 要 素 の 数 え 上 げ, VCADシステム 研 究 2006, (2006), p.156