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1 Square roots and real numbers( 平 方 根 と 実 数 ) 原 文 タイム 日 本 語 音 声 I have here a bunch of radical expressions, or square root expressions. And what I'm going to do is go through all of them and simplify them. And we'll talk about whether these are rational or irrational numbers. 0:00 根 号 つまり 平 方 根 を 含 む 計 算 を 練 習 しましょう ここに 用 意 したaからjの 式 を 計 算 して 簡 単 にするこ とが 目 標 です さらに これらが 有 理 数 か 無 理 数 かについても 説 明 しま す So let's start with A. A is equal to the square root of 25. 0:13 では 早 速 aから 始 めましょう aの 問 題 はルート 25( 25)です Well that's the same thing as the square root of 5 times 5, 00:20 ルート 25 はルート 5 かける 5( 25= (5*5))と 書 いても 同 じになります which is a clearly going to be 5. 00:26 だからこの 問 題 の 答 えは 5 です We're focusing on the positive square root 00:30 なお ここでは 正 の 平 方 根 を 扱 っています here. Now let's do B. B I'll do in a different color, for the principal root, when we say positive square root. 00:34 次 にbの 問 題 に 進 みます ペンの 色 を 変 えましょう 主 要 根 と 言 えば 正 の 平 方 根 を 指 します B, we have the square root of 24. So what you want to do, is you want to get the prime factorization of this number right here. 00:42 bの 問 題 はルート 24( 24)です こうした 計 算 では 根 号 の 中 の 数 の 素 因 数 分 解 をする といいでしょう So 24, let's do its prime factorization. 00:50 では 24 の 素 因 数 分 解 をします This is 2 times is 2 times 6. 6 is 2 times 3. 00:53 24 は 2 かける 12(2*12)です 12 は 2 かける 6(2*6)です 6 は 2 かける 3(2*3)です So the square root of 24, this is the same thing as the square root of 2 times 2 times 2 times 3. 1:03 よって ルート 24( 24)がどうなるかというと ルート 2 かける 2 かける 2 かける 3( (2*2*2*3))と 表 せま す That's the same thing as 24. 1:15 24 はこのように 書 いても 同 じです Well, we see here, we have one perfect 1:18 見 て 分 かるように ここに 完 全 平 方 が 1 つあります square right there. So we could rewrite this. This is the same thing as the square root of 2 times 2 times the square root of 2 times 3. 1:22 したがって これは 書 き 換 えられます ルート 2 かける 2 かけるルート 2 かける 3 ( (2*2)* (2*3))です Now this is clearly 2. This is the square root of 4. The square root of 4 is 2. 1:34 ルート 2 かける 2( (2*2))は 2 ですね 4 の 平 方 根 ですから 2 になります And then this we can't simplify anymore. We don't see two numbers multiplied by 1:39 ルート 2 かける 3( (2*3))は 簡 単 にできません 同 じ 数 を 2 回 かけていませんからね itself here. So this is going to be times the square root of 1:44 したがって 答 えは 2 ルート 6(2 6)になります 6. Or we could even wright this as the square 1:48 ルート 2 かけるルート 3( 2* 3)と 書 いても 同 じです root of 2 times the square root of 3. Now I said I would talk about whether things 1:51 さて これらが 有 理 数 か 否 かを 説 明 しましょう 1 / 6

2 are rational or not. This is rational. This part A can be expressed as the ratio of 2 integers. 1:54 aの 答 えは 有 理 数 です なぜかと 言 うと a で 求 められた 5 は 2 つの 整 数 の 比 で 表 すことができるからです Namely 5/1. 2:03 5 は 分 子 が 5 分 母 が 1 なので 有 理 数 です This is rational. This is irrational. This is irrational. I'm not going to prove it in this video. 2:07 一 方 で bの 2 ルート 6(2 6)は 無 理 数 です 無 理 数 ですが このビデオでは 証 明 はしません But anything that is the product of irrational numbers. 2:14 証 明 しませんが 無 理 数 の 積 は 必 ず 無 理 数 になりま す And the square root of any prime, any prime number is irrational. 2:19 また 素 数 の 平 方 根 は どんな 素 数 でも 無 理 数 です それについても ここでは 証 明 しません I'm not proving it here. This is the square root of 2 times the square root of 3. That's what the square root of 6 is. And that's what makes this irrational. 2:26 ルート 2 かけるルート 3( 2* 3)がルート 6( 6) になっています だからルート 6( 6)は 無 理 数 なのです I cannot express this as any type of fraction. 2:32 これを 分 数 の 形 に 表 すことはできません I can't express this as some integer over 2:36 分 子 と 分 母 を 整 数 にすることができないのです some other integer like I did there. And I'm not proving it here. aの 答 えと 違 います 証 明 はせず 計 算 の 練 習 だけにとどめておきます I'm just giving you a little bit of practice. And a quicker way to do this. You could say, hey, 4 goes into this. 4 is a perfect square. Let me take a 4 out. This is 4 times 6. The 2:46 素 早 く 解 くなら 24 は 完 全 平 方 の 4 で 割 り 切 れて 4 か ける 6(4*6) ルート 4( 4)は 2 で 6 が 残 り 2 ルート 6(2 6)と 求 められます square root of 4 is 2, leave the 6 in, and you would have gotten the 2 square roots of 6. Which you will get the hang of it eventually, but I want to do it systematically first. 2:56 いずれは こうして 解 けるようになりますが 最 初 のうちは 手 順 に 従 って 計 算 してください Let's do part C. Square root of 20. 3:01 cの 問 題 に 進 みましょう ルート 20( 20)を 計 算 します Once again, 20 is 2 times 10, which is 2 times 5. 3:06 同 じ 方 法 で 求 めます 20 は 2 かける 10(2*10)で 10 は 2 かける 5(2*5)です So this is the same thing as the square root of 2 times 2, right, times 5. 3:12 そうするとこの 問 題 は ルート 2 かける 2 2 かける 2 は かっこでくくって かける 5( ((2*2)*5))となります Now, the square root of 2 times 2, that's clearly just going to be 2, just going to be2. 3:21 ルート 2 かける 2( (2*2))が 2 であることは すぐに 分 かるでしょう It's going to be the square root of this times square root of that. 2 times the square root 3:25 ルート 2 かける 2 かけるルート 5( (2*2)* 5)なの で 2 ルート 5(2 5)です of 5. And once again, you could probably do that in your head with a little practice. The square root of the 20 is 4 times 5. The square root of 4 is 2. 3:29 これも 頭 の 中 で 計 算 する 練 習 をしておきましょう 20 は 4 かける 5(4*5)で ルート 4( 4)は 2 根 号 の 中 に 残 るのは 5 となります 2 / 6

3 You leave the 5 in the radical. So let's do part D. Part D. We have to do the square root of 200. Square root of :39 では 次 の 問 題 に 進 みます dはルート 200 ( 200)を 計 算 しなければなりません ルート 200 ( 200)です Same process. 3:47 やり 方 は 同 じで まず 素 因 数 分 解 をします Let's take the prime factors of it. So it's 2 times 100, which is 2 times 50, which is 2 times 25, which is 5 times 5. 3: は 2 かける 100(2*100)です 100 は 2 かけ る 50(2*50) 50 は 2 かける 25(2*25)です ね 25 は 5 かける 5(5*5)となります So this right here, we can rewrite it. Let me scroll to the right a little bit. 4:01 これでルート 200( 200)を 書 き 換 えられます 画 面 を 少 しずらしましょう This is equal to the square root of 2 times 2, 4:05 dの 式 を 書 き 換 えると ルート 200 はルート 2 かける 2 2 times 2 times 2 times 5 times 5. か け る 2 か け る 5 か け る 5 ( 200= (2*2*2*5*5))となります Well we have one perfect square there, and 4:18 完 全 平 方 が 1 つあります そして もう 1 つありますね we have another perfect square there. So if I just want to write out all the steps, this would be the square root of 2 times 2 times the square root of 2 times the square root of 4:23 飛 ばさずに 段 階 を 踏 んで 計 算 していきましょう ルート 2 かける 2 かけるルート 2 かけるルート 5 かける 5( (2*2)* 2* (5*5)) と 書 き 換 えられます 5 times 5. The square root of 2 times 2 is 2. The square root of 2 is just the square root of 2. The square root of 5 times 5, that's the square root of 25, that's just going to be 5. 4:35 ルート 2 かける 2( (2*2))は 2 です ルート 2( 2)は そのままにします ルート 5 かける 5( (5*5))はルート 25( 25)な ので 5 です So you can rearrange these. 2 times 5 is square roots of 2. 4:45 もう 少 し 計 算 できます 2 かける 5(2*5)は 10 ですから 10 ルート 2 (10 2)です And once again, this it is irrational. You can't express it as a fraction with an 4:51 これも 無 理 数 なのがわかりますか? なぜなら 分 数 で 表 そうとしても 分 子 も 整 数 にできず integer and a numerator and the 分 母 も 整 数 にはできないからです denominator. And if you were to actually try to express this number, it will just keep going on and on and 5:01 この 数 を 小 数 で 表 そうとすると 無 限 に 続 き 数 字 は 循 環 しません on, and never repeating. Well let's do part E. The square root of :08 それでは 続 いてeの 問 題 に 移 りましょう 次 の 問 題 はルート 2000( 2000)です I'll do it down here. 5:13 下 にずらします Part E, the square root of Same exact process that we've been doing so far. Let's do the prime factorization. 5:16 eの 問 題 はルート 2000( 2000)ですね ここまでの 問 題 と 同 じ 手 順 で 計 算 していきます つまり 初 めにやることは 素 因 数 分 解 です That is 2 times 1000, which is 2 times 500, which is 2 times 250, which is 2 times 125, which is 5 times 25, which is 5 times 5. 5: は 2 かける 1000(2*1000)です 1000 は 2 かける 500(2*500)です 500 は 2 かける 250 ( 2*250 ) になります 250 は 2 かける / 6

4 And we're done. (2*125)です 125 は 5 かける 25(5*25)で す 25 は 5 かける 5(5*5)となります できました So this is going to be equal to the square root of 2 times 2-- I'll put it in parentheses-- 2 times 2, times 2 times 2, times 2 times 2, times 5 times 5, times 5 times 5, right? 5:50 すると この 問 題 の 根 号 の 中 は 書 き 換 えることができま す まず 2 かける 2(2*2)と 書 いてかっこでくくりま す かっこ 2 かける 2 かける かっこ 2 かける 2 かける かっこ 5 かける 5((2*2)*(2*2)*(5*5)) We have 1, 2, 3, 4, 2's, and then 3, 5's, times 5. 6:09 2 が 4 つで 5 が 3 つなので 最 後 にかける 5(*5)を 書 きます Now what is this going to be equal to? 6:15 さて 計 算 するとどうなるでしょうか? Well, one thing you might see is, hey, I could write this as, this is a 4, this is a 4. So we're going to have a 4 repeated. 6:18 これを 見 るとすぐに 気 づくと 思 いますが 2 かける 2 (2*2)は 4 です もう 1 つ 2 かける 2(2*2)があ って 4 です だから 4 を 2 回 かけています And so this the same thing as the square root 6:27 すると 書 き 直 すことができて ルート 4 かける 4 かけるル of 4 times 4 times the square root of 5 times ー ト 5 か け る 5 か け る ル ー ト 5 5 times the square root of 5. ( (4*4)* (5*5)* 5)となります So this right here is obviously 4. This right here is 5. And then times the square root of 5. 6:39 ルート 4 かける 4( (4*4))は 4 ルート 5 かける 5( (5*5))は 5 そして 最 後 にルート 5( 5)をかけます So 4 times 5 is 20 square roots of 5. 6:47 4 かける 5(4*5)は 20 で 答 えは 20 ルート 5 (20 5)となりました And once again, this is irrational, irrational. 6:52 これも 無 理 数 ですね Well, let's do F. The square root of 1/4, F, square root of 1/4, F is the square root of 1/4, 6:58 続 いてfの 問 題 に 進 みましょう fの 問 題 は 何 かというと ルート 4 分 の 1( (1/4)) です すなわち 4 分 の 1(1/4)の 平 方 根 を 求 めよと いう 問 題 です so F is the square root of 1/4, 7:12 では 書 きましょう ルート 4 分 の 1( (1/4))ですね which we can view this is the same thing as the square root of 1 over the square root of 4, which is equal to 1/2. 7:15 これは 分 子 をルート 1( 1) 分 母 をルート 4 ( 4)と 書 いても 同 じです つまり 分 子 は 1 で 分 母 は 2 になります Which is clearly rational. It can be expressed as a fraction. So that's clearly rational. 7:24 これは 有 理 数 です 分 数 で 表 すことができているので 有 理 数 であると 言 え るわけです Part G, part G is the square root of 9/4, square root of 9/4. 7:33 次 はgの 問 題 を 見 てみましょう gはルート 4 分 の 9 ( (9/4))という 問 題 ですね Same logic. This is equal to the square root of 9 over the square root of 4, which is equal 7:44 やり 方 は 同 じです 分 子 がルート 9( 9)で 分 母 が ルート 4( 4)と 書 けるので 分 子 は 3 分 母 は 2 です to 3/2. Let's do part H. Part H. The square root of :53 次 はhの 問 題 です hの 問 題 では ルート 0.16( 0.16)を 求 めます Now you could do this in your head if you immediately recognize that, gee, if I multiply 0.4 times 0.4, I'll get this. 8: かける 0.4(0.4*0.4)が 0.16 になると 分 かれ ば この 問 題 は 頭 の 中 で 計 算 できるかもしれません 4 / 6

5 But I'll show you a more systematic way of doing it, if that wasn't obvious to you. 8:10 しかし すぐに 分 からないときのために 順 序 立 てて 計 算 する 方 法 を 示 します So this is the same thing as the square root of 16/100, right? That's what 0.16 is. 8:16 ルート 0.16( 0.16)は ルート 100 分 の 16 ( (16/100))と 書 いても 同 じであることが 分 かるでし ょうか? 0.16 を 分 数 で 表 しました So this is equal to the square root of 16 over the square root of 100, which is equal to 4/10, which is equal to :25 これは 分 子 がルート 16( 16)で 分 母 がルート 100( 100)となり 分 子 は 4 で 分 母 は 10 になるの で 計 算 すると 0.4 です Let's do a couple more like that. OK. Part I was the square root of 0.1, 8:37 もう 少 し 練 習 しましょう 次 の 問 題 に 進 みますよ iの 問 題 はルート 0.1 ( 0.1)です which is equal to the square root of 1/10, which is equal to the square root of 1 over the square root of 10, which is equal to 1 8:45 これは ルート 10 分 の 1( (1/10))です だから 分 子 がルート 1( 1)で 分 母 がルート 10( 10) と 書 いても 同 じです すると 分 子 は 1 ですね over-- now, the square root of is just 2 times 5. So that doesn't really help us much. So that's just the square root of 10 8:56 分 母 のルート 10( 10)は 10 が 2 かける 5 (2*5)なので これ 以 上 はどうしようもなく ルート 10 ( 10)のままにしておくしかありません like that. A lot of math teachers don't like you leaving that radical in the denominator. But I can 9:05 数 学 の 先 生 方 は 分 母 に 根 号 を 残 しておくことを 嫌 がり ます しかし これは 無 理 数 だとすでに 言 いましたね already tell you that this is irrational. Irrational. You'll just keep getting numbers. You can try it on your calculator, and it will never repeat. 9:12 無 理 数 を 電 卓 で 計 算 すると 循 環 しない 数 字 が 続 き 近 似 値 しか 分 かりません 正 確 な 値 を 出 そうにも 小 数 点 以 下 の 位 が 無 限 にある Your calculator will just give you an のです approximation. Because in order to give the exact value, you'd have to have an infinite number of digits. But if you wanted to rationalize this, just to 9:23 念 のため 有 理 化 する 方 法 を 示 しておきましょう show you. If you want to get rid of the radical in the denominator, you can multiply this times the square root of 10 over the square root of 10, 9:27 分 母 から 根 号 をなくすには 分 子 がルート 10( 10) で 分 母 がルート 10( 10)の 分 数 をかけます この 分 数 は 1 です right? This is just 1. So you get the square root of 10/10. These are equivalent statements, but both of 9:34 すると 分 子 がルート 10( 10)で 分 母 が 10 になりま す これらは 等 しく どちらも 無 理 数 です them are irrational. You take an irrational number, divide it by 9:41 無 理 数 を 10 で 割 っても やはり 無 理 数 です 10, you still have an irrational number. Let's do J. J, We have the square root of :45 jの 問 題 に 進 みます jはルート 0.01( 0.01)を 求 めよという 問 題 です This is the same thing as the square root of 9:54 これはルート 100 分 の 1( (1/100))に 等 しいです 5 / 6

6 1/100. ね Which is equal to the square root of 1 over the square root of 100, which is equal to 1/10, or :57 さらに 分 子 がルート 1( 1)で 分 母 がルート 100 ( 100)と 書 き 換 えられ 分 子 は 1 分 母 は 10 にな るので 答 えは 0.1 と 出 ます Clearly once again this is rational. It's being written as a fraction. 10:07 明 らかに これは 有 理 数 です 分 数 で 表 すことができますからね This one up here was also rational. It can be written expressed as a fraction. 10:13 jも 有 理 数 でした なぜなら 分 数 の 形 になるからです Translator: Seiko Tachi Khan Academy 元 映 像 -and-real-numbers KhanAcademyJapanese 6 / 6

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