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1 知 能 情 報 処 理 制 約 充 足 (2) 制 約 をみたす 意 志 決 定 をするエージェント 局 所 整 合 と 局 所 探 索 (Local Consistency and Local Search) 局 所 整 合 アルゴリズム 局 所 探 索 アルゴリズム 1

2 制 約 充 足 問 題 (CSP)とは( 復 習 ) 問 題 変 数 (variable)の 集 合 X 各 変 数 の 領 域 (domain) D 変 数 間 の 制 約 (constraint)の 集 合 C 解 x 1 x 2 x n すべての 制 約 を 満 たすような 変 数 への 値 の 割 当 て D 1 D 2 D n C xy ={(a,b), (c,d), } 変 数 x-y 間 で 許 される 値 の 組 x 1 =a 1 x 2 =a 2 x n =a n 前 回 の 復 習 制 約 充 足 問 題 (CSP)は, 変 数 の 集 合, 各 変 数 の 領 域, 変 数 間 の 制 約 の 集 合 を 具 体 的 に 示 すことにより 定 義 される.CSPの 解 は,すべての 制 約 を 満 たすような 変 数 への 値 の 割 当 てである. 2

3 制 約 充 足 問 題 の 例 ( 復 習 ) n クイーン 問 題 (n queens problem) クロスワードパズル(crossword puzzles) グラフ 彩 色 問 題 (graph coloring) 線 画 解 釈 (interpretation of line drawings) レイアウト (layout) スケジューリング (scheduling) 前 回 の 復 習 CSPの 例 として,このようなものがある. 3

4 局 所 整 合 と 局 所 探 索 制 約 をすべて( 大 域 的 に) 満 たすのは 困 難 global 局 所 的 に 満 たしながら 大 域 に 拡 大 する local 局 所 整 合 アルゴリズム local consistency 局 所 的 にバックトラック 不 要 になるように 不 適 切 な 値 backtrack-free を 事 前 に 削 除 局 所 探 索 アルゴリズム local search 局 所 的 に 制 約 違 反 を 修 復 し,バックトラックをしない repair 一 般 に, 制 約 をすべて( 大 域 的 に) 満 たすのは 計 算 量 的 に 困 難 (NP 困 難 : 最 悪 のケー スは 指 数 オーダーの 計 算 時 間 となる)なので, 何 らかの 意 味 で 局 所 的 に 制 約 を 満 たしな がら,それを 大 域 的 に 拡 大 する 方 法 をとる. その 方 法 は, 基 本 的 につぎの2つに 大 別 できる. アルゴリズムは, 制 約 グラフの 局 所 的 な 制 約 違 反 を 事 前 に 解 消 するために, 変 数 の 領 域 から 明 らかに 不 適 切 な 値 を 削 除 して, 局 所 的 にバックトラック 不 要 になるよう に 問 題 を 変 換 する. アルゴリズムは, 局 所 的 に 制 約 違 反 を 修 復 し,バックトラックを(する 必 要 が あっても)しないで,すべての 制 約 を 満 たすことを 目 指 す.その 結 果, 解 があってもそれ を 発 見 する 保 証 ( )は 失 われる.しかし,たとえ 理 論 的 には 完 全 性 があっても, 事 実 上 は 実 用 的 な 時 間 内 で 解 を 発 見 できないような 非 常 に 難 しい 問 題 において,(いち かばちか) 実 用 的 な 時 間 内 で 解 を 発 見 する 可 能 性 を 追 求 する. 4

5 局 所 整 合 アルゴリズム (Local Consistency Algorithms) 1. アーク 整 合 arc consistency 2. 制 約 伝 播 constraint propagation 5

6 制 約 ネットワークと 制 約 グラフ C = {(0,0),(0,1),(1,1)} C = {(1, 0), (1,1)} xy x constraint network 制 約 ネットワーク y 許 された 値 の 組 を 辺 で 結 ぶ z 0 1 constraint graph yz 制 約 グラフ x y z 制 約 のある 変 数 ノード を 辺 で 結 ぶ X,D,Cからなる 制 約 充 足 問 題 (CSP)をこのスライドのような 図 で 表 現 した 場 合 に,それ を とは, 変 数 をノードとし, 制 約 のある 変 数 ノードを 辺 で 結 ぶことによって 得 られるグラフである. 制 約 ネットワークよりも 大 まかにCSP 全 体 の 構 造 を 把 握 するのに 役 立 つ. 6

7 1.アーク 整 合 (1) arc consistency 値 x=a は y にサポートをもつ support x y = ( b Dy)( a, b) C xy c a a' Dx Dy x=a のサポート x=c は y にサポートをもたない Dx から 値 c を 削 除 (アーク 整 合 アルゴリズム) 変 数 x,y 間 に 制 約 Cxy があるものとする.x への 値 の 割 当 て x=a に 対 して,y=b が ( 制 約 違 反 とならない)とき,y=b を y における x=a の と 呼 ぶ.その ような y=b が y の 領 域 に 存 在 するとき, 値 x=a は y にサポートをもつ という. このスライドの 状 況 では, 値 x=a および x=a' は y にサポートをもつ. しかし, x=c は y にサポートをもたないので,x=c がCSPの 解 に 含 まれることはあり 得 ない.yの 値 が 何 であっても 制 約 違 反 となるからである.したがって,x=c を x の 領 域 か ら 削 除 してよい.その 処 理 を 行 うのが, である. 7

8 アーク 整 合 (2) アーク(x, y) はアーク 整 合 している arc consistent =すべての x=a が y にサポートをもつ x y a Dx Dy (y, x) はアーク 整 合 していない (x, y) が 制 約 グラフのアーク( 有 向 辺 )であるとする. x の 領 域 に 含 まれるすべての x=a が y にサポートをもつとき, アーク (x, y)は している という. アークには 向 きがあるので,アーク (x, y)はアーク 整 合 していることと,その 逆 向 きの アーク(y, x)はアーク 整 合 していることは 別 である.このスライドの 状 況 では, (x, y)は アーク 整 合 しているが, (y, x) はアーク 整 合 していない. 8

9 アーク(x, y)の 整 合 アルゴリズム boolean REVISE(x, y) { changed false; for each a in Dx { if (x=a が y にサポートをもたない){ Dx から a を 除 去 する. changed true; } } return changed; 値 を1つでも 除 去 したら true } 計 算 量 ( 制 約 チェック 回 数 ) 2 Od ( ) d は 領 域 Dx,Dyの 要 素 数 の 最 大 値 アーク(x, y)の 整 合 アルゴリズムは,ここに 示 したとおりである.このアルゴリズムは, アーク (x,y)が 与 えられたとき,それがアーク 整 合 するように, 必 要 に 応 じて x の 領 域 か ら 値 を 削 除 する. 戻 り 値 は, 値 を1つでも 除 去 したら true,1つも 削 除 しなければ false である. 手 続 きは,すでに 学 んだアーク 整 合 の 定 義 のとおりである. 各 x=a について, x=a が y にサポートをもつかどうかを 判 定 し,サポートをもたなければ x=a を 領 域 から 除 去 する. サポートをもてば, 単 にその x=a をスキップする. このアルゴリズムの 計 算 量 を 考 察 しよう.ここでは, 制 約 チェックの 実 行 回 数 によって 時 間 計 算 量 を 評 価 する. 領 域 Dx, Dy のサイズ( 要 素 数 )が 高 々 d だとしよう.たとえば,3 色 によるグラフ 彩 色 問 題 では, 色 の 数 が3なので d=3 である. if 文 の 条 件 部 でx=a が yにサポートをもつかどうかの 判 定 には O(d) 回 の 制 約 チェック が 必 要 である.この if 文 はO(d) 回 実 行 されるので, 制 約 チェックの 総 回 数 はO(d^2) (d の2 乗 のオーダー)となる. 9

10 アーク 整 合 (3) 制 約 ネットワーク はアーク 整 合 している =すべてのアーク(x, y) がアーク 整 合 している アーク 整 合 アルゴリズム =アーク 整 合 していない 制 約 ネットワークから 最 小 限 の 要 素 を 削 除 してアーク 整 合 させる. 空 の 領 域 が 生 じたら,CSPには 解 がない. y バックトラックなしで, 局 所 的 な( 長 さ2の) 部 分 解 を 求 められる. x アーク 整 合 していても 解 がないことがある z グラフ 彩 色 (2 色 ) 制 約 グラフが 閉 路 を 含 むとき さきほど 学 んだ アーク 整 合 する の 主 語 は アーク だったが,こんどは, 主 語 が 制 約 ネットワーク のときにも 使 える 言 葉 として 定 義 する. すべてのアーク(x, y) がアーク 整 合 しているとき, 制 約 ネットワーク は し ている という.アークには 向 きがあるので, 制 約 グラフのそれぞれの 無 向 辺 (x, y) ごと に,(x, y) と (y, x) のアークがあることに 注 意 しよう. アーク 整 合 アルゴリズム は,アーク 整 合 していない 制 約 ネットワークから 最 小 限 の 要 素 を 削 除 してアーク 整 合 させる.その 結 果, 空 の 領 域 が 生 じたら,CSPには 解 がないこと がわかる. 逆 は, 一 般 に 成 り 立 たない.CSPに 解 がなくても, 空 の 領 域 が 生 じないことがあるから である.このスライドの2 色 のグラフ 彩 色 問 題 はそのような 例 である.この 例 では,グラフ に 閉 路 が 含 まれていることに 注 意 しよう. 閉 路 が 含 まれていないときには,さきほどの 逆 が 成 り 立 つことを 後 に 説 明 する. 10

11 アーク 整 合 アルゴリズムの 動 作 例 1 X 2 X 制 約 伝 播 constraint propagation 3 4 X 5 X 7 X 6 X このスライドは,アーク 整 合 アルゴリズムの 動 作 例 をアニメーションで 示 している. 領 域 から 要 素 を1つ 削 除 したことの 影 響 が, 次 々と 隣 接 ノードに 伝 わっていく.これを という. 11

12 アーク 整 合 アルゴリズム AC-1 AC-1(CSP G) { Q Gのすべての 有 向 アークの 集 合. do { changed false; for each (x, y) in Q if ( REVISE(x, y) ) changed true; } while ( changed ); } 全 アークをそれぞれ 整 合 1か 所 だけ 変 化 しても, 全 アークをスキャンしなおすので 効 率 が 悪 い これは 最 も 素 朴 なアーク 整 合 アルゴリズムであり,ふつう,AC-1と 呼 ばれている. これはすべてのアーク (x, y) をスキャンしながら,すでに 学 んだ REVISE(x, y) によっ て,アークの 整 合 をとる.すべてをスキャンしても 全 く 変 化 がなかったら 終 了 する. このアルゴリズムが 非 効 率 的 なのは 明 らかである.スキャンのほとんどでは 変 化 がなく, 終 わりの 方 で1つだけ 変 化 があったとしよう.それでもこのアルゴリズムは, 全 アークをス キャンしなおすという 不 要 な 動 作 をしてしまう. 12

13 アーク 整 合 アルゴリズム AC-3 AC-3(CSP G) { Q Gのすべての 有 向 アークの 集 合. while ( Q が 空 でない ) { Qから 先 頭 のアークを 取 り 出 し, (x, y) とする. if ( REVISE(x,y) ) for each z in y を 除 く xの 隣 接 ノードのすべて{ Qの 末 尾 にアーク (z,x) を 追 加 する. } } } Qは First-In First-Out のキュー( 待 ち 行 列 ) (x, y) の 整 合 の 結 果,x の 領 域 から 要 素 が 削 除 されたら x へ 向 かうすべての 有 向 アーク (z, x) (ただし,z y)をqに 追 加 する. z x y 計 算 量 ( 制 約 チェック 回 数 ) X X 高 々 d 回 Qに 追 加 2 3 Od ( de) = Ode ( ) d は 領 域 の 要 素 数 の 最 大 値 e は 制 約 グラフのアーク 数 AC-3 は,AC-1 の 改 良 版 で,1つの 変 更 が 周 辺 に 影 響 を 及 ぼす 制 約 伝 播 の 様 子 を 素 直 に 表 現 したもので,じゅうぶんに 実 用 的 なアルゴリズムである.ポイントは, 将 来 に 整 合 性 をチェックすべきアークを Qに 保 持 しておくことである. 最 初 は, 全 アークをQに 保 持 する.アルゴリズムのメインループは,Qからアーク (x, y) を 取 り 出 し,REVISE(x, y) で 整 合 させる.もし,x の 領 域 に 変 化 がなければ,スキップ. もし,x の 領 域 から 値 が 削 除 されたなら,その 影 響 を 受 ける 可 能 性 のあるアーク (z, x) をQに 追 加 する.これによって, 整 合 性 をチェックする 必 要 性 のあるアークのみがQに 保 持 され, 順 々に 取 り 出 されてはチェックされることになる. このアルゴリズムの 計 算 量 を 考 察 してみよう.ここでは, 制 約 チェックの 回 数 によって 時 間 計 算 量 を 評 価 する.このアルゴリズムで 制 約 チェックが 行 われるのは,REVISE(x, y) の 実 行 の 中 だけである.すでに 学 んだように,その 計 算 量 はO(d^2) なので,あとは, REVISEが 最 大 で 何 回 実 行 されるかを 求 めて, 両 者 の 掛 け 算 をすればよい. REVISEの 実 行 回 数 は,その 直 前 に,Qからアークを 取 り 出 す 回 数 と 一 致 する.アルゴ リズムが 終 了 するときにはQは 空 なので,その 回 数 は,Qにアークを 追 加 する 回 数 と 一 致 する. これを 求 めよう.まず, 初 期 設 定 のときに,Qに 2e 本 のアークを 追 加 している.(アーク は 向 きが2 通 りあるので2 倍 している.)つぎに, 特 定 のアーク (z, x) について 考 えると, これがQに 追 加 されるのは 高 々 d 回 である.なぜなら,x の 領 域 ( 要 素 数 は 高 々 d)から 値 を1 個 削 除 するときに 限 って 追 加 されるからである.これは 他 の2e 本 のすべてのアー クについても 当 てはまる. 以 上 から,Qに 追 加 されるアーク 数 は, 高 々 2e+d*2e = O(de) となる.したがって, 制 約 チェックの 総 数 は,O(d^d)*O(de) = O(d^3 e) となる.d が 定 数 のときには,アーク 数 に 比 例 した 線 形 時 間 で 制 約 ネットワーク 全 体 のアーク 整 合 が 完 了 することになる. 13

14 アーク 整 合 の 利 用 法 前 処 理 バックトラック 法 で, 変 数 の 値 を 選 択 したときに, フォワードチェックのかわりに 使 う x y z X X X X 制 約 グラフが 木 のときに, バックトラックなしで 解 を 求 める backtrack-free 制 約 グラフが 木 であるCSPは アーク 数 についての 線 形 時 間 で 解 くことができる この 例 では,z の2つの 値 を 削 除 して, 失 敗 を 早 期 に 検 知 できる アーク 整 合 は, 単 独 で 用 いるより, 他 のアルゴリズムの 補 助 として 用 いられることが 多 い. CSPは 一 般 にNP 完 全 問 題 であるため,それを 解 くアルゴリズムの 計 算 量 は 最 悪 で 指 数 オーダーである.したがって, 線 形 オーダーで 処 理 の 済 むアーク 整 合 は, 効 率 を 改 善 するための 補 助 手 段 として 手 軽 である. まず,いかなる 制 約 充 足 アルゴリズムを 使 うにしても,アーク 整 合 をその に 使 う のが 得 策 である. 簡 単 な 問 題 の 場 合 には,この 処 理 だけで 空 の 領 域 が 生 じて 解 なし と 判 定 できることもある. また,バックトラック 法 で, 変 数 の 値 を 選 択 したときに,フォワードチェックのかわりに 使 うこともできる.このスライドの 図 では,xの 値 を 選 択 したときに, 他 のxの 値 を 領 域 から 削 除 し,アーク 整 合 アルゴリズムを 実 行 した 様 子 である.x-z 間 に 直 接 の 制 約 はないので, フォワードチェックだと,yの 要 素 を 削 除 できるが,zの 要 素 は 削 除 できない.しかし,フォ ワードチェックのかわりにアーク 整 合 を 使 うと,zの 値 をすべて 削 除 することができるので, xの 値 の 選 択 が 間 違 いであることがすぐにわかる. ただし,フォワードチェックは,アーク 整 合 よりもさらに 軽 い 処 理 なので,どちらが 性 能 向 上 に 寄 与 するかは 一 概 に 判 断 はできない. 特 別 な 場 合 として, 制 約 グラフが ( 閉 路 をもたないグラフ)のときには,アーク 整 合 ア ルゴリズムを 単 独 で 用 いて 解 が 求 められる 場 合 がある.アーク 整 合 の 後 に 空 の 領 域 が 生 じていなければ, 任 意 の 変 数 を1つ 選 び,その 領 域 から 任 意 の 値 を1つ 選 ぶ.この 変 数 を 根 とする 木 を 作 る 感 じで, 選 択 された 値 のサポートを 次 々とたどっていけば,アーク 整 合 の 定 義 により, (backtrack-free)で,o(e)の 時 間 ですべての 変 数 の 値 を 制 約 違 反 なしで 決 定 することができる.したがって, 制 約 グラフが 木 であるC SPはアーク 数 についての 線 形 時 間 で 解 けることがわかる. 14

15 15

16 局 所 探 索 アルゴリズム (Local Search Algorithms) 1. 山 登 り 法 hill climbing 2. 制 約 違 反 最 小 化 min-conflicts 3. 焼 きなまし 法 simulated annealing 16

17 反 復 改 良 の 考 え 方 iterateive improvement Q Q Q Q Q Q Q Q すべての 変 数 に (ランダムに) 初 期 値 を 設 定 改 良 をくりかえす ( 後 戻 りはしない) 一 般 には 完 全 性 がない Q Q Q Q (local search)アルゴリズムに 共 通 した 考 え 方 は, というものである. バックトラック 法 のように 変 数 への 割 当 てが 部 分 的 にしか 決 まっていない 状 態 を 考 えるの ではなく, 制 約 違 反 があってもよいから,すべての 変 数 に 値 を 割 り 当 てる. ふつうは, 初 期 状 態 として,すべての 変 数 にランダムな 初 期 値 を 設 定 する. それを 反 復 的 に 改 良 していくプロセスがそのアルゴリズムである.そのプロセスでは バックトラックを 行 わない. そのため, 特 別 なメカニズムを 用 意 しない 限 りは, 基 本 的 に, 反 復 改 良 アルゴリズムに は はない.すなわち, 解 があっても 見 つける 保 証 はない.また, 解 がない 場 合 で も,そのことを 判 定 できず, 限 りなく 反 復 が 継 続 するか,または,それ 以 上 の 改 良 ができ ない 状 態 で 止 まってしまう. しかし, 非 常 に 難 しい 問 題 で,かつ, 必 ず 解 が 存 在 するような 問 題 では,バックトラック 法 やそれを 多 少 改 善 したものよりも 効 率 よく 解 が 求 められることが 多 い. 17

18 評 価 関 数 z=f(x,y) の 山 を 登 る z 最 適 解 局 所 最 適 解 からの 脱 出 局 所 最 適 解 y 最 適 化 問 題 x 反 復 的 に 改 良 するということは, 数 学 的 には, 現 在 の 状 態 ( 仮 に (x, y) とする)の 良 さを 表 す z =f(x, y) が 与 えられており,(x, y) を 少 しずつ 変 更 しながら,z の 最 大 値 を 探 す 問 題 となる. このような 問 題 は 一 般 に と 呼 ばれている. このような 問 題 を 解 くときの 難 しさは, の 存 在 である.これは 最 大 値 ではな い,いわゆる, 極 大 値 のことで, 局 所 的 なピークを 形 成 しているものである.その 近 傍 で は z の 値 が 相 対 的 に 小 さくなっているので, (x, y)を 少 し 改 善 したくらいでは,zの 値 は 現 在 より 大 きくならないので, 改 良 が 難 しい 状 態 になっている. 局 所 最 適 解 からいかに するかが,アルゴリズム 設 計 のポイントとなる. 18

19 1. 山 登 り 法 hill climbing 近 傍 の 状 態 のうち 評 価 値 が 最 大 の 状 態 に 進 む. 決 して 下 り 坂 を 降 りない. 近 傍 neighborhood は,( 何 らかの 意 味 での) 近 傍 の 状 態 のうち 評 価 値 が 最 大 の 状 態 に 進 む. 決 して 下 り 坂 を 降 りることはしない. 19

20 山 登 り 法 の 欠 点 高 原 それにもかかわらず 有 効 なことがある 局 所 最 適 局 所 最 適 解 で 停 止 する. 対 策 :ランダムな 初 期 状 態 から 再 出 発 する ( random restart) など. 高 原 では 進 むべき 方 向 を 判 断 できない. 山 登 り 法 には, 局 所 最 適 解 で 停 止 したり, 評 価 値 が 一 定 の 高 原 と 呼 ばれる 広 い 範 囲 においては 進 むべき 方 向 を 判 断 できないというような 欠 点 がある. しかし,それにもかかわらず, (random restart)などと 組 み 合 わせて, 非 常 に 難 しい 問 題 の 解 を 求 められることがある. 20

21 2. ヒューリスティック 修 復 法 heuristic repair 山 登 り 法 により 制 約 違 反 を 反 復 的 に 改 善 する 許 される 値 の 組 現 在 の 状 態 は, 山 登 り 法 の 一 般 的 な 考 え 方 を 制 約 充 足 問 題 に 適 用 したもので,ただ1つの 変 数 の 値 を 変 えることにより 制 約 違 反 を 反 復 的 に 改 善 する. 21

22 制 約 違 反 最 小 化 ヒューリスティック min-conflicts 制 約 違 反 =2 制 約 違 反 =2 制 約 違 反 =1 これを 選 ぶ 変 数 は,ランダムに 選 ぶ. 値 は, 制 約 違 反 の 数 が 最 小 のものを 選 ぶ. ヒューリスティック 修 復 法 で 良 く 用 いられるのが, ヒューリスティック (min-conflicts)である. この 方 法 は, 変 数 を1つランダムに 選 び,その 値 として, 制 約 違 反 の 数 が 最 小 となるも のを 選 ぶ. 22

23 制 約 違 反 最 小 化 の 実 績 百 万 クイーン 問 題 : 平 均 50ステッフ ハッブル 天 体 望 遠 鏡 の 観 察 スケジュール 3 週 間 から10 分 に 短 縮 簡 単 なヒューリスティックであるにもかかわらず, 制 約 違 反 最 小 化 ヒューリスティックの 実 績 には,このスライドに 書 かれているように, 目 をみはるものがある. 23

24 3. 焼 きなまし 法 Simulated Annealing (SA) 近 傍 の 状 態 から 次 の 状 態 をランダムに 選 ぶ. エネルギが 減 少 するなら, 必 ずそこに 進 む. エネルギが 増 加 するなら, 温 度 に 応 じた 確 率 でそこに 進 む. エネルギ 最 小 化 すべき 関 数 をエネルギと 呼 ぶ 局 所 解 を ある 確 率 で 脱 出 できる 局 所 最 適 解 最 適 解 は, 粒 子 の 分 子 運 動 のような 物 理 学 のモデルからの 類 推 によって 設 計 されたアルゴリズムである. 鋼 などの 固 い 金 属 を 作 るために, 金 属 が 溶 解 している 状 態 から 徐 々に 温 度 を 冷 やして 固 化 させていく 焼 きなまし(annealing) という 技 術 がある. それのシミュレーションから 発 想 されたアルゴリズムなので,simulated annealing (SA) と 呼 ばれている. 焼 きなまし 法 の 慣 例 では, 評 価 関 数 による 評 価 値 は と 呼 ばれ,これを 最 小 化 する 最 適 化 問 題 になっている. 山 登 り 法 との 違 いは,まず, 近 傍 の 状 態 から1つをランダムに 選 ぶことである. さらに, 選 んだ 状 態 へ 進 むかどうかは, 現 在 の 状 態 とのエネルギー 差 に 依 存 する. エネルギが 減 少 するときには, 必 ずそこに 進 む.これは 山 登 り 法 の 考 え 方 に 通 じてい る. 特 徴 的 なのは,このアルゴリズムは と 呼 ばれるパラメータを 持 っており, 次 状 態 で エネルギが 増 加 するなら, 温 度 に 応 じた 確 率 でそこに 進 むことである.これによって, 局 所 最 適 解 でストップすることなく,そこからの 脱 出 をはかっている. 24

25 熱 的 なノイズによるランダムな 揺 れの 表 現 ΔE エネルギ 確 率 = 温 度 e ΔE/T 1 y = e x 確 率 =1 確 率 大 温 度 はじょじょに 下 げていく エネルギ 増 加 分 ΔE 温 度 T 小 大 次 状 態 での をΔE, をTとする. すでに 述 べたように, ΔE 0ならば, 確 率 1でその 状 態 に 進 む. ΔE>0のときには, 物 理 学 ( 熱 力 学 )で 知 られている 結 果 からの 類 推 から 定 義 された 確 率 exp(-δe/t)でその 状 態 に 進 む.その 状 態 に 進 まないときには, 再 度 近 傍 から 状 態 を 選 び 直 す. (ここで, exp(-δe/t)という 式 は, 自 然 対 数 の 底 e= の-ΔE/T 乗 という 意 味 だが,eであることは 重 要 ではなく,かわりに2を 用 いてもよい.) この 遷 移 確 率 は,エネルギー 差 ΔEが 小 さいほど 大 きい.また, 温 度 Tが 大 きいほど 大 きい.それは 物 理 学 では, 温 度 が 高 いほど 粒 子 の 運 動 エネルギーが 大 きく, 活 発 に 運 動 しており, 運 動 エネルギーを 多 少 減 少 させることによって 位 置 エネルギーの 増 大 する 方 向 に 飛 び 跳 ねる 確 率 が 大 きいからである. 25

26 冷 却 スケジュール: 徐 々に 冷 やしていく T = schedule (k), k=1,2, T 線 形 冷 却 指 数 冷 却 Tk = Tk c T k +1 = 対 数 冷 却 = c / log( k + 1) ct +1 k T k k 焼 きなまし 法 の 技 術 的 なポイントは 温 度 パラメータTの 管 理 である. 温 度 を 低 く 保 てば, 山 登 り 法 と 同 じ 効 果 しか 得 られない.といって, 温 度 を 高 くしたままでは, 粒 子 の 運 動 が 激 しく, 最 適 解 に 収 束 して 停 止 するのは 望 めない. そこで, 計 算 の 初 期 段 階 では 温 度 を 高 くしておき, 時 間 とともに, 温 度 を 徐 々に 低 くし ていく 制 御 がなされる.その 具 体 的 な 方 法 を としい, 代 表 的 にはこの スライドで 示 したようなものがある.よく 使 われるのは である. 26

27 焼 きなまし 法 の 最 適 性 温 度 T を 十 分 ゆっくり 下 げるならば, 確 率 1 で 大 域 的 最 適 解 を 見 つける. 対 数 冷 却 T k =c/log(k+1) はこの 条 件 を 満 たすが, 収 束 時 間 はO(n!)より 長 い. 温 度 はすごくゆっくり 下 げていく 驚 くべきことに,ある 条 件 のもとで, 焼 きなまし 法 には がある.つまり, 大 域 的 な 最 適 解 があれば, 必 ずそれを 見 つけることができる. その 条 件 は, 温 度 T を 十 分 ゆっくり 下 げるということである.これは 数 学 的 にあいまいな 表 現 だが, 前 のスライドで 示 した はそのような 条 件 を 満 たすことが 知 られている. しかし, 残 念 なことに 対 数 冷 却 は 温 度 が 十 分 に 下 がるまでの 収 束 時 間 は 指 数 関 数 的 に 長 いものであり, 実 用 的 ではない.ふつうは, 指 数 冷 却 の 範 囲 でなるべくゆっくり 冷 却 し, 最 適 性 をあきらめる. 27

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