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1 交 互 作 用 - 要 因 実 験 (factorial experiment) - 主 効 果 (main effect) - 交 互 作 用 (interaction effect) pg. 1

2 例 ) 小 麦 栽 培 農 家 が 2 品 種 の 小 麦 のうちどちらの 収 穫 量 が 多 いか またどれくらいの 播 種 密 度 で 最 大 の 収 穫 量 が 得 られるかを 知 りたがっている 実 験 区 画 は 24 ある どちらの 実 験 計 画 が 良 いか pg. 2

3 要 因 実 験 (factorial experiment) 処 理 をくみあわせる 実 験 - 説 明 変 数 間 の 交 互 作 用 を 検 出 できる - 交 互 作 用 が 認 められなくても 効 率 的 に 多 くの 反 復 数 を 達 成 できる pg. 3

4 例 ) 小 麦 栽 培 交 互 作 用 図 (interaction plot):2つのカテゴリー 型 説 明 変 数 の 交 互 作 用 を 視 覚 化 す るのに 大 変 便 利 wheat <- read.csv("wheat.csv") str(wheat) head(wheat) interaction.plot(wheat$sowrate, wheat$variety, wheat$yield) 交 互 作 用 はありそうか? pg. 4

5 例 ) 小 麦 栽 培 まず 最 大 モデルを 当 てはめる model01 <- lm(yield ~ factor(block) + factor(sowrate) + factor(variety) + factor(sowrate):factor(variety), data=wheat) 主 効 果 と 交 互 作 用 factor(block):ブロックの 主 効 果 factor(sowrate): 播 種 密 度 の 主 効 果 factor(variety): 品 種 の 主 効 果 factor(sowrate):factor(variety): 播 種 密 度 と 品 種 の 交 互 作 用 上 のモデル 式 はもっと 簡 略 化 して 書 ける model01 <- lm(yield ~ factor(block) + factor(sowrate)*factor(variety), data=wheat) R のモデル 式 では X1 + X2 + X1:X2 を X1*X2 と 簡 略 に 書 ける pg. 5

6 例 ) 小 麦 栽 培 summary(model01) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-12 *** factor(block) factor(block) factor(sowrate) factor(sowrate) factor(sowrate) factor(variety) factor(sowrate)2:factor(variety) factor(sowrate)3:factor(variety) factor(sowrate)4:factor(variety) 交 互 作 用 は 有 意 な 効 果 がなさそう pg. 6

7 例 ) 小 麦 栽 培 交 互 作 用 項 を 除 く model02 <- update(model01,.~.-factor(sowrate):factor(variety)) anova(model02, model01) Analysis of Variance Table Response: YIELD Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(block) factor(sowrate) ** factor(variety) * Residuals 交 互 作 用 項 を 除 いても 説 明 力 には 有 意 な 違 いがない pg. 7

8 例 ) 小 麦 栽 培 summary(model02) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-15 *** factor(block) factor(block) factor(sowrate) factor(sowrate) factor(sowrate) ** factor(variety) * --- BLOCK の 効 果 が 検 出 されていない 除 去 すべきか? pg. 8

9 例 ) 小 麦 栽 培 有 意 な 交 互 作 用 がないので 結 果 を 図 示 する 場 合 には 箱 ひげ 図 (あるいは 棒 グラフ) を2つ 描 けばよい boxplot(yield ~ SOWRATE, xlab=" 播 種 密 度 ", ylab=" 収 穫 量 ", data=wheat) boxplot(yield ~ VARIETY, xlab=" 品 種 ", data=wheat) pg. 9

10 交 互 作 用 とは 何 か pg. 10

11 例 )チューリップ 栽 培 チューリップ 栽 培 に 最 適 な 条 件 を 調 べる 実 験 花 の 数 (BLOOM)が 応 答 変 数 遮 光 量 (3 水 準 SHADE)と 散 水 量 (3 水 準 WATER)が 実 験 処 理 3 つの 花 壇 (BLOCK)を 用 意 し 各 花 壇 に 9 つの 区 画 を 設 けた 9 つの 処 理 の 組 み 合 わせがそれぞれ 1 つずつ 各 ブロックに 配 置 されるようにした 処 理 番 号 遮 光 量 1 遮 光 量 2 遮 光 量 3 散 水 量 散 水 量 散 水 量 実 験 計 画 ( 例 ) ブロック ブロック ブロック pg. 11

12 例 )チューリップ 栽 培 tulips <- read.csv("tulips.csv") str(tulips) head(tulips) interaction.plot(tulips$water, tulips$shade, tulips$blooms) 交 互 作 用 は ありそうか? pg. 12

13 例 )チューリップ 栽 培 まず 最 大 モデルを 当 てはめる model01 <- lm(blooms ~ factor(bed) + factor(water)*factor(shade), data=tulips) summary(model01) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) factor(bed) * factor(bed) * factor(water) e-05 *** factor(water) e-07 *** factor(shade) factor(shade) factor(water)2:factor(shade) * factor(water)3:factor(shade) * factor(water)2:factor(shade) ** factor(water)3:factor(shade) *** --- 交 互 作 用 の 有 意 性 は 主 効 果 の 重 要 性 を 含 む SHADE の 係 数 が 有 意 とはなっていないが これは SHADE の 主 効 果 が 有 意 でないことを 意 味 しない pg. 13

14 例 )チューリップ 栽 培 anova(model01) Analysis of Variance Table Response: BLOOMS Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(bed) * factor(water) e-06 *** factor(shade) ** factor(water):factor(shade) ** Residuals pg. 14

15 例 )ハンセン 病 治 療 - ハンセン 病 は 桿 菌 が 原 因 で 発 病 する - 桿 菌 指 数 を 減 らすための3つの 治 療 法 を 比 較 し 最 も 有 効 な 治 療 法 を 見 つけたい - それぞれの 治 療 群 に 10 人 の 患 者 を 配 置 し 治 療 後 の 桿 菌 指 数 を 3 群 間 で 比 較 する - 桿 菌 指 数 は 治 療 前 の 病 気 の 進 行 具 合 にもよるであろうから 初 期 病 状 の 違 いも 考 慮 して 比 較 する つまり 桿 菌 指 数 の 初 期 の 違 いを 考 慮 したうえで 最 終 の 桿 菌 指 数 は 治 療 法 の 違 いに よってどのように 異 なるか? データ:Leprocy.csv BACAFTER: 治 療 後 の 桿 菌 指 数 ( 連 続 型 応 答 変 数 ) BACBEF: 治 療 前 の 桿 菌 指 数 ( 連 続 型 説 明 変 数 ) TREATMT: 治 療 法 (カテゴリカル 型 説 明 変 数 ) pg. 15

16 例 )ハンセン 病 治 療 交 互 作 用 を 考 える 説 明 変 数 の 一 方 が 連 続 型 なので interaction.plot は 用 いない #subset(x, 条 件 )はデータフレーム X から 条 件 を 満 たす 行 だけを 抜 き 出 したデータフレームを 作 成 する plot(bacafter ~ BACBEF, type="n", data=leprosy) points(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==1)) abline(lm(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==1))) points(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==2), pch=2) abline(lm(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==2)), lty=2) points(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==3), pch=16) abline(lm(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==3)), lty=3) legend("bottomright", legend=c("1", "2", "3"), pch=c(1, 2, 16), lty=c(1, 2, 3)) pg. 16

17 例 )ハンセン 病 治 療 相 互 作 用 はありそうか? pg. 17

18 例 )ハンセン 病 治 療 まず 最 大 モデルを 当 てはめる model01 <- lm(bacafter ~ factor(treatmt)*bacbef, data=leprosy) summary(model01) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) factor(treatmt) factor(treatmt) BACBEF ** factor(treatmt)2:bacbef factor(treatmt)3:bacbef 交 互 作 用 項 が 有 意 でない pg. 18

19 例 )ハンセン 病 治 療 交 互 作 用 項 を 除 く model02 <- update(model01,.~.-factor(treatmt):bacbef) anova(model02, model01) Analysis of Variance Table Model 1: BACAFTER ~ factor(treatmt) + BACBEF Model 2: BACAFTER ~ factor(treatmt) * BACBEF Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) summary(model02) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) factor(treatmt) factor(treatmt) * BACBEF e-06 *** --- pg. 19

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