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1 5 章 基 本 統 計 量 3.5 節 で 量 的 データの 集 計 方 法 について 簡 単 に 触 れ 前 章 でデータの 分 布 について 学 びましたが データの 特 徴 をつの 数 値 で 示 すこともよく 行 なわれます これは 統 計 量 と 呼 ばれ 主 に 分 布 の 中 心 や 拡 がりなどを 表 わします この 章 ではよく 利 用 される 分 布 の 統 計 量 を 特 徴 で 分 類 して 説 明 します 数 式 表 示 を 統 一 的 に 行 なうために デー タの 個 数 を 個 とし それらを,, L, と 表 わすことにします ここで 学 ぶ 統 計 量 は 統 計 分 析 の 基 礎 となっており 基 本 統 計 量 とも 呼 ばれています 5. 分 布 の 中 心 を 表 わす 基 本 統 計 量 分 布 の 特 徴 を 表 わすには まず 分 布 の 中 心 がどこにあるのかを 示 さなければなりま せん この 分 布 の 中 心 を 表 わす 統 計 量 には 重 要 なものが3つあります. 平 均 値 (me, verge) これは 最 もよく 使 われている 中 心 を 表 わす 統 計 量 で 特 に 統 計 を 学 んでいなくても 知 ってい 重 心 ると 思 います 平 均 値 はデータから 以 下 のような 式 で 与 えられます 図 5. 平 均 値 ( + + L + ) この 定 義 は 図 5. のように ヒストグラムの 重 心 を 通 り 軸 に 下 ろされた 垂 線 の 座 標 を 表 わしています Ecel にもこの 統 計 量 を 求 める 以 下 の 関 数 があります 平 均 値 verge( 範 囲 ) 度 数. 中 央 値 (med) これは 中 間 値 またはメジアンとも 呼 ばれ デー タを 小 さい 方 から 大 きい 方 に 並 べた 真 中 の 値 で す 度 数 分 布 を 用 いると 面 積 が 度 数 を 表 わしま すので 図 5.b のように 左 右 の 面 積 の 等 しい 位 置 が 中 央 値 となります 例 として 以 下 のデータ の 中 央 値 を 求 めてみましょう 度 数 S S 図 5.b 中 央 値 5-

2 ,, 3, 5, 7, 8, 9,, 3, 4, 5, 7, 8, 9 最 初 のデータは 奇 数 個 ですから 中 央 値 は 5 です 番 目 のデータは 偶 数 個 で 中 央 値 は / 番 目 と / + 番 目 の 値 の 平 均 を 取 ります この 場 合 ( 4 + 5) 4. 5 となります Ecel にも 中 央 値 を 求 める 以 下 の 関 数 があります 中 央 値 med( 範 囲 ) ひん 3. 最 頻 値 (mode) 度 数 分 布 で 最 も 頻 度 の 高 い 値 を 最 頻 値 または モードといいます Ecel にも 最 頻 値 を 求 める 関 数 があります 最 頻 値 mode( 範 囲 ) しかし この 関 数 を 利 用 するときには 注 意 が 必 要 です 例 えば,, 4, 5, 6, 6 というデータで 最 頻 値 図 5.c 最 頻 値 を 求 めてみます このデータだと 6 が つ 他 は つですから 最 頻 値 は 6 というこ とになってしまいます データ 数 が 少 ない 場 合 や データが 多 くても 殆 ど 同 じ 値 を 持 たないとき 利 用 には 注 意 が 必 要 です 度 数 分 布 表 を 作 って 最 も 頻 度 の 高 い 値 を 最 頻 値 とするのが 無 難 なようです 度 数 5. 分 布 の 拡 がりを 表 わす 基 本 統 計 量 分 布 の 中 心 と 同 様 拡 がりも 分 布 の 特 徴 を 表 わす 大 切 な 指 標 です ここでは 分 布 の 拡 がりを 与 える 統 計 量 を 見 てみましょう. レンジ (rge) 最 も 単 純 な 分 布 の 拡 がりを 表 わす 統 計 量 は データの 最 大 値 と 最 小 値 の 差 です こ れをレンジまたは 範 囲 といいます R m( X ) m( X ) ここに X,, L, } { これは 単 純 な 定 義 で 分 かり 易 いのですが 飛 び 離 れたデータがある 場 合 には レンジ がそのデータによって 拡 がりすぎて 必 ずしも 現 実 の 拡 がりを 表 わしていると 言 えな くなります Ecel では 最 大 値 として m( 範 囲 ) 最 小 値 として m( 範 囲 ) という 関 数 があり 5-

3 その 差 がレンジを 表 わしています レンジ m( 範 囲 ) m( 範 囲 ). 分 散 (vrce) レンジは 飛 び 離 れた つのデータに 大 きく 左 右 されるのが 欠 点 でした この 欠 点 を 除 いて 現 在 最 もよく 利 用 されている 統 計 量 は ここで 述 べる 分 散 (または 不 偏 分 散 ) と 分 散 から 得 られる 標 準 偏 差 です 分 散 は 各 データの 平 均 からのずれの 乗 を 合 計 して データ 数 で 割 ったもので 以 下 の 式 によって 与 えられます ( ) + ( ) [ + L + ( ) ] ( ) 我 々は 分 散 を という 表 式 で 表 わします 分 散 はデータのばらつきが 平 均 からずれて いるほど 大 きな 値 となります また つのデータの 寄 与 は ( ) ですので 全 体 に 対 してレンジのように 大 きな 影 響 はありません また 分 散 は 以 下 のようにも 変 形 できます ( + + L + ) これはコンピュータでプログラムする 際 にデータを 読 みながら 平 均 と 分 散 が 同 時 に 計 算 できる 便 利 な 公 式 です Ecel では 分 散 を 求 める 以 下 のような 関 数 が 用 意 されています 分 散 vrp( 範 囲 ) 名 前 は vrce から 取 られています 3. 不 偏 分 散 (ubed etmtor of vrce) 分 散 にはもう つの 定 義 があり 不 偏 分 散 と 呼 ばれています 場 合 によってはこち らの 定 義 の 方 がよく 利 用 されているかも 知 れません Ecel で 分 散 というとこの 不 偏 分 散 を 示 しています 我 々は 不 偏 分 散 を 分 散 と 区 別 して 表 わすためにu という 記 号 を 用 います 不 偏 分 散 の 定 義 と 通 常 の 分 散 との 関 係 は 以 下 のように 与 えられます u ( ) 分 散 と 不 偏 分 散 はどのように 使 い 分 けるのでしょうか 通 常 母 集 団 の 分 散 は 通 常 の 分 散 を 標 本 から 母 集 団 の 分 散 を 推 測 する 場 合 は 不 偏 分 散 を 使 います Ecel には 不 偏 5-3

4 分 散 を 表 わす 以 下 のような 関 数 があります 不 偏 分 散 vr( 範 囲 ) 4. 標 準 偏 差 (tdrd devto) 分 散 はデータと 平 均 との 差 の 乗 を 取 ったせいで データの 単 位 の 乗 の 単 位 を 持 っていますので( 例 えばデータが cm なら 分 散 は cm ) これから 直 接 データの 広 がり を 見 ることはできません そこで データの 単 位 に 合 わせるために 分 散 の 平 方 根 を 取 って 標 準 偏 差 と 呼 びます これにより 分 布 の 拡 がりという 意 味 がはっきりとします また 標 準 偏 差 には 分 散 から 求 められるものと 不 偏 分 散 から 求 められるものがあります 我 々はそれらを 区 別 するために それぞれ とu の 記 号 を 用 いて 表 わします 分 散 または u 不 偏 分 散 Ecel にもこれらを 表 わす 関 数 が 以 下 のように 与 えられています 名 前 は tdrd devto から 取 られています 標 準 偏 差 tdevp( 範 囲 ) または tdev( 範 囲 ) Ecel では 通 常 標 準 偏 差 というと 不 偏 分 散 から 得 られるものを 指 しており 後 者 がそ れに 当 ります 5.3 分 布 の 形 を 表 わす 基 本 統 計 量 分 布 の 中 心 と 広 がりは 分 かりましたが 分 布 の 形 についてはこれらの 統 計 量 からは 推 測 できません そこである 程 度 分 布 の 形 が 分 かるような 統 計 量 も 考 案 されています が 頻 繁 に 利 用 されているかというとそうでもないようです. 歪 わいど 度 (kewe) 分 布 の歪 ゆが みを 表 わす 統 計 量 には 歪 度 と 呼 ばれるものがあります これは 以 下 のよ うな 定 義 で 与 えられます 3 3 この 値 は 裾 が 右 に 伸 びている 場 合 に 正 左 に 伸 びている 場 合 に 負 になります Ecel の 関 数 は 以 下 の 尖 度 ともに 定 義 が 少 し 異 なっていますので ここでは 省 略 します. 尖 せんど 度 (kurto) 次 に 分 布 の尖 とが り 方 を 示 す 統 計 量 を 紹 介 します 尖 度 と 呼 ばれる 値 で 以 下 の 式 によ って 表 わされます 5-4

5 これは これから 学 ぶ 標 準 的 な 分 布 ( 正 規 分 布 )より 裾 が 伸 びている 場 合 に3 以 上 の 値 になることが 分 かっています 問 題 分 散 の 以 下 の つの 表 式 が 同 等 であることを 示 せ ) ( 解 答 ) ( ) ( 問 題 ) 以 下 のデータで 分 散 を 定 義 に 従 って 求 めよ ) Ecel の 関 数 を 使 って 以 下 のデータの 平 均 値 中 央 値 レンジ 分 散 不 偏 分 散 それぞれの 標 準 偏 差 を 求 めよ 身 長 (cm) 7, 8, 7, 66, 7, 75, 68, 74, 7, 70 解 答 ) No. - (-) 平 均 7 分 散 5. まず データ を 入 力 し 平 均 を 求 める それを として を 計 算 する さらに

6 ( ) を 求 め それを 平 均 して 分 散 の 値 を 求 める ) 平 均 値 7 分 散 5. 中 央 値 7.5 標 準 偏 差 レンジ 5 不 偏 分 散 標 準 偏 差 変 量 の 関 係 を 表 わす 統 計 量 3.4 節 でつの 量 的 データの 関 係 を 表 わす 量 として 相 関 係 数 を 紹 介 しましたが ここ ではこの 相 関 係 数 について 少 し 詳 しく 説 明 したいと 思 います 今 以 下 のような 対 に なったつの 変 数 を 考 えます, ), (, ), L, (, ) ( この 変 数 の 間 の 相 関 係 数 は 以 下 のように 与 えられます r ( ), ( ), ( )( ) は と の 共 分 散 と 呼 ばれる 量 です ここに と は 変 数 と の 標 準 偏 差 で さて 相 関 係 数 はどのような 値 を 取 るのでしょうか 図 5. を 見 て 下 さい r- -<r<0 r 0 0<r< r 図 5. 相 関 係 数 と 散 布 図 これは 変 数 を 横 軸 に を 縦 軸 にして 各 データを 点 で 表 示 した 散 布 図 です 相 関 係 数 は つの 変 数 間 に 完 全 な + b の 線 形 関 係 があるとき の 正 負 に 応 じて r ±となるように 作 られています そしてそれから 外 れるごとに 0 に 近 づいて 行 き 軸 のスケールを 適 当 にとることによりデータが 球 状 に 分 布 するときほとんど 0 になり ます 5-6

7 相 関 係 数 は 上 の 定 義 から 単 位 が 分 子 と 分 母 で 打 ち 消 されており どんな 単 位 を 使 っても( 例 えば m か cm, kg か g 等 )その 値 は 変 化 しません 問 題 ) 以 下 の 対 になった 身 長 と 体 重 のデータで 相 関 係 数 の 定 義 に 従 ってその 値 を Ecel で 計 算 せよ ) Ecel の 関 数 を 利 用 して これらのデータの 基 本 統 計 量 及 び 相 関 係 数 を 求 めよ 身 長 (cm) 体 重 (kg) 解 答 ) No. - (-)^ -b (-b)^ (-)(-b) 平 均 まず と のデータを 入 力 し それぞれの 平 均 を 求 める それらの 平 均 を, b と して と b を 求 める それらの 乗 ( ), ( b) とそれらの 積 ( )( b) を 求 めて それぞれ 平 均 を 計 算 する その 値 を 使 って 相 関 係 数 を 求 める r 4.9 / ) 特 によく 利 用 されるものだけ 結 果 を 示 す 最 頻 値 はこのようなデータでは 意 味 を 持 たない 平 均 値 7, 66 分 散 5.0, 7.6 相 関 係 数 0.77 中 央 値 7.5, 65.5 標 準 偏 差 3.90, 5.5 レンジ 5, 6 不 偏 分 散 6.89, 標 準 偏 差 4.,

8 興 味 ある 人 に [Skp OK] 相 関 係 数 は r の 値 を 取 ると 言 いましたが これを 証 明 してみましょう まず c を 何 らかの 数 として 以 下 の 式 を 考 えます { c( ) ( ) } c c + 0 ここで c とすると この 式 は 以 下 のように 変 形 できます これから r となり r が 示 されます 問 題 分 布 図 のデータが 完 全 に 直 線 + b の 上 に 並 ぶとき 相 関 係 数 r の 値 は の 正 負 により r ± となることを 示 せ 解 答 b (, L, )とする + [( + b) ( + b)] ( ) ( )[( + b) ( + b)] ( ) より r となり の 正 負 により r ± となる 5-8

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経営統計学 5 章基本統計量 3.5 節で量的データの集計方法について簡単に触れ 前章でデータの分布について学びましたが データの特徴をつの数値で示すこともよく行なわれます これは統計量と呼ばれ 主に分布の中心や拡がりなどを表わします この章ではよく利用される分布の統計量を特徴で分類して説明します 数式表示を統一的に行なうために データの個数を 個とし それらを,,, と表わすことにします ここで学ぶ統計量は統計分析の基礎となっており

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