小・中・高等学校における統計教育の課題

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1 本 統 計 シリーズの 書 を 利 用 して 授 業 をされる 先 生 方 へ: 小 学 校 中 学 校 高 等 学 校 における 統 計 教 育 の 内 容 と 留 意 点 景 山 三 平 東 京 理 科 大 学 理 数 教 育 研 究 センター 目 次 はじめに 小 学 校 における 統 計 教 育 第 1 2 学 年 における 留 意 点 第 3 4 学 年 における 留 意 点 第 5 6 学 年 における 留 意 点 中 学 校 における 統 計 教 育 第 1 学 年 における 留 意 点 第 2 学 年 における 留 意 点 第 3 学 年 における 留 意 点 高 等 学 校 における 統 計 教 育 数 学 I(3 単 位 : 必 履 修 科 目 ) データの 分 析 での 留 意 点 授 業 上 の 留 意 点 数 学 A(2 単 位 ) 数 学 B(2 単 位 ) 数 学 活 用 (2 単 位 ) ものの 見 方 考 え 方 統 計 学 習 サイト 参 考 文 献

2 本 冊 子 は, 先 生 方 が 担 当 されているご 授 業 で 目 の 前 に 座 っている 生 徒 学 生 さん 達 が, 高 等 学 校 を 卒 業 するまでにどのような 統 計 の 内 容 を 学 んで 来 ているのかを 説 明 するも のです 自 分 たちが 昔 高 等 学 校 までで 習 った 内 容 とは 比 較 にならないぐらい 充 実 してい ます ぜひご 一 読 下 さい また,ここでは 現 在 の 教 育 現 場 で 行 われている 統 計 教 育 の 活 動 についての 提 案 も 記 述 していますが,これらの 提 案 は 今 から 10 年 以 上 前 から 広 く 言 われていることですので, 今 では 多 くの 教 育 現 場 で 実 践 されています したがって, 本 冊 子 に 紹 介 することとしました はじめに 社 会 の 急 速 な 情 報 化 に 伴 って, 統 計 的 なものの 見 方 考 え 方 の 有 用 性 は 一 層 拡 大 して きています 統 計 的 なものの 見 方 考 え 方 は, 実 証 研 究 を 行 うあらゆる 科 学 の 基 礎 とな っています このことは, 単 に 自 然 科 学 だけではなく, 人 文 科 学, 社 会 科 学 においても 同 様 で, 実 験, 調 査, 観 察 研 究 で 得 られるデータから 正 しく 推 論 を 行 う 力 は,すべての 学 問 分 野 で 必 要 とされ,この 点 からも, 統 計 教 育 の 重 要 性 は 高 いと 言 えます また,こ の 世 には 結 果 が 決 まり 切 っている 確 定 的 な 現 象 より,2 通 り 以 上 の 結 果 が 想 定 される 不 確 定 的 な 現 象 の 方 が,はるかに 多 いですよね そのような 不 確 定 的 な 現 象 の 中 で 生 活 し ている 我 々にとって, 統 計 的 な 知 識 は 国 民 の 大 切 な 素 養 の 一 つであると 私 は 考 えます 小 学 校 中 学 校 が 義 務 教 育, 高 等 学 校 は 義 務 教 育 ではないとしても 高 校 進 学 率 が 98% に 達 する 現 状 を 考 えますと, 多 くの 人 が 高 等 学 校 までの 内 容 は 学 んでいると 言 えます 平 成 20,21 年 に 改 訂 された 学 習 指 導 要 領 では, 小 学 校 中 学 校 および 高 等 学 校 で 学 ぶべ き, 統 計 に 関 する 多 くの 内 容 が 新 たに 盛 り 込 まれました 特 に 高 等 学 校 では, 中 学 校 で の 学 習 内 容 を 受 ける 形 で 必 履 修 科 目 数 学 I (3 単 位 )に, 数 と 式, 図 形 と 計 量, 二 次 関 数 とともに データの 分 析 という 内 容 が 入 りました 結 局, 現 在 では 小 学 校 1 年 から 中 学 校 そして 高 等 学 校 1 年 までの 10 年 間 はすべての 児 童 生 徒 が 系 統 的 に 統 計 教 育 を 受 けることになり, 統 計 教 育 の 内 容 が 一 層 充 実 することになりました すなわち, 小 学 校 でグラフ 作 成 表 示 等 の 作 業 を 通 して 記 述 統 計 を 学 び, 中 学 校 では 第 1 学 年 で 記 述 統 計 の 数 理 的 基 礎 を, 第 2 学 年 で 確 率 ( 数 学 的 確 率 および 統 計 的 確 率 )を, 第 3 学 年 で 推 測 統 計 の 基 礎 として, 母 集 団 と 標 本 との 関 係 の 中 で 標 本 調 査 の 有 用 性 を 学 んでいま す これらの 内 容 の 発 展 として, 高 等 学 校 1 年 の 統 計 教 育 では, 記 述 統 計 の 数 量 的 理 解 と 視 覚 的 理 解 の 総 合 化 を 目 指 しています 本 冊 子 では, 第 1, 2 節 において, 平 成 20 年 3 月 28 日 告 示 の 学 習 指 導 要 領 を 通 して, 小 学 校, 中 学 校 における 統 計 教 育 の 内 容 を 記 述 しています また 第 3 節 で 平 成 21 年 3 月 9 日 告 示 の 学 習 指 導 要 領 を 通 して, 高 等 学 校 における 統 計 教 育 の 内 容 構 成 について 概 観 しています その 中 で, 小 学 校, 中 学 校, 高 等 学 校 の1 年 生 までで 学 習 している 統 計 の 内 容 について 主 に 記 述 します 具 体 的 な 内 容 の 解 説 は 実 際 の 教 科 書 に 譲 り, 本 冊 子 で は,そこで 扱 うべき 統 計 的 用 語 の 列 挙 を 中 心 とした 教 授 活 動 などを 述 べます 2

3 現 在 の 学 習 指 導 要 領 の 下 での 教 育 活 動 は, 算 数, 数 学 に 関 しては, 補 助 教 材 を 用 いて の 先 行 実 施 が 小 学 校 中 学 校 とも 平 成 21 年 度 から, 高 等 学 校 では 平 成 24 年 度 から 始 まりました この 流 れで, 現 学 習 指 導 要 領 の 下 で 学 んだ 高 校 生 が 平 成 27 年 4 月 から 大 学 に 入 学 しています 平 成 27 年 度 用 のセンター 試 験 において, 統 計 では データの 分 析 の 内 容 が 必 修 問 題 として 新 たに 出 題 され, 確 率 は 選 択 問 題 として 出 題 されていまし た この 最 初 のセンター 試 験 での 統 計 に 関 する 必 修 問 題 の 内 容 が 今 後 の 高 等 学 校 におけ る 統 計 教 育 を 実 施 する 方 法 ( 授 業 内 容 構 成 )に 影 響 を 与 えると 思 います これらの 状 況 は, 大 学 や 社 会 での 統 計 教 育 や 統 計 学 習 にも 今 後 様 々な 影 響 を 与 えるでしよう 各 大 学 の 個 別 入 試 でも 統 計 の 内 容 が 出 題 されていました これにより 多 くの 人 が 統 計 に 関 心 を もつようになることを 期 待 したいところです 3

4 1. 小 学 校 における 統 計 教 育 小 学 校 において 統 計 に 関 する 教 育 は 主 に 算 数 科 で 実 施 されていますが, 理 科, 社 会, 国 語 などの 教 科 でも 実 際 されています 算 数 科 には, 数 と 計 算, 量 と 測 定, 図 形,そし て 数 量 関 係 の 4 つの 学 ぶ 内 容 ( 領 域 )があります 本 節 では, 算 数 科 の 領 域 数 量 関 係 において 扱 われている 統 計 の 内 容 資 料 の 整 理 と 読 み について 記 述 します 数 量 関 係 には, 他 に 関 数 の 考 え, 式 の 表 現 と 読 みの 内 容 があります 算 数 科 においては, 算 数 的 言 語 力 の 育 成 および 活 用 能 力 を 高 めることを 目 指 し,その 中 で 不 確 定 的 な 現 象 の 捉 え 方,その 現 象 を 分 析 するためのデータ 収 集 の 必 要 性 の 理 解, データ 整 理 能 力, 分 析 結 果 の 読 み 方 見 方, 結 果 の 活 用 能 力 を 身 に 付 けることが 目 標 に なっています 実 に 盛 り 沢 山 です このことは 小 学 校 の 算 数 科 において 醸 成 すべき 統 計 的 リテラシーを 数 ( 量 ),グラフを 読 み 取 る 能 力 や 作 成 する 能 力 と 定 義 づけることで 妥 当 化 できます これは, 中 学 校 の 第 1 学 年 の 新 しい 領 域 資 料 の 活 用 で 達 成 される べき 目 標 につながっています まず, 小 学 校 の6 年 間 において 学 ぶ 統 計 の 内 容 のキーワードを 表 1に 列 挙 します( 太 字 は 筆 者 が 強 調 するためにつけました) 表 1 数 量 関 係 資 料 の 整 理 と 読 み 学 年 キーワード 指 導 の 内 容 1 学 年 絵 グラフ ものの 個 数 を 絵 や 図 などを 用 いて 表 したり 読 み 取 ったりする 2 学 年 資 料 の 整 理, 表, 絵 グラフ 身 の 回 りにある 数 量 を 分 類 整 理 し, 簡 単 な 表 やグラフを 用 いて 表 したり 読 み 取 ったりする 3 学 年 資 料 の 分 類, 整 理 ( 一 次 元 の 表, 簡 単 な 二 次 元 の 表 の 作 成 と 読 み 方 棒 グラフの 読 み 方 や 書 き 方 ) 資 料 の 分 類 整 理 ( 正 の 字 で 表 し, 表 に 整 理 する) 棒 グラフの 読 み 方 や 書 き 方 簡 単 な 二 次 元 の 表 2 つの 棒 グラフの 比 較 表 グラフなどの 資 料 の 読 み 取 り 4 学 年 資 料 の 収 集, 分 類, 整 理 ( 二 次 元 の 表 の 作 成 と 考 察 ) 気 温 や 体 温 の 変 化 について ( 折 れ 線 グラフの 読 み 方 や 書 き 方 折 れ 線 グラフの 読 み 方 ; 変 わり 方 の 大 小 とグラフの 傾 き 2 つの 折 れ 線 グラフ; 折 れ 線 グラフの 書 き 方 波 線 の 使 い 方 資 料 を 2 つの 観 点 で 分 類 整 理 し,2 次 元 の 表 にまとめる 表 を 使 って 問 題 を 解 決 する 折 れ 線 グラフでの 変 化 の 比 較 ) 4

5 学 年 キーワード 指 導 の 内 容 5 学 年 平 均 ( 単 位 量 あたり, 混 みぐあい, 人 口 密 度 割 合, 百 分 率, 歩 合 割 合 のグラフ ( 帯 グラフ, 円 グラフ)) 平 均 の 意 味 平 均 を 求 め, 問 題 解 決 に 活 用 する 部 分 の 平 均 から 全 体 の 平 均 を 求 める 歩 幅 による 概 測 と 利 用 仮 平 均 ; 飛 び 離 れた 値 についての 処 理 帯 グラフ 円 グラフの 読 み 方 と 書 き 方 ; 相 対 度 数, 累 積 度 数 表 やグラフを 目 的 に 応 じて 適 切 に 選 ぶ 問 題 表 グラフなどの 資 料 の 読 み 取 り 6 学 年 資 料 の 収 集, 分 類, 整 理 資 料 の 平 均 度 数 分 布 表 柱 状 グラフ, 柱 状 グラフでの 比 較 標 本 調 査 の 素 地 資 料 を 表 ( 度 数 分 布 表 )に 整 理 する 資 料 を 柱 状 グラフに 表 す 表 や 柱 状 グラフによる 2 つの 集 団 の 特 徴 の 考 察 人 口 の 散 らばりを 工 夫 されたグラフで 読 み 取 る 表 グラフなどの 資 料 の 読 み 取 り 工 夫 されたグラフ 起 こり 得 る 場 合 の 調 べ 算 数 的 活 動 ( 第 3 学 年 ) 資 料 を 表 を 用 いて 表 す 活 動 ( 第 4 学 年 ) 身 の 回 りの 数 量 の 関 係 を 調 べる 活 動 ( 第 5 学 年 ) 目 的 に 応 じて 表 やグラフを 選 び 活 用 する 活 動 次 に,これらのキーワードそのものの 学 習 を 通 して 統 計 の 内 容 が 理 解 できるように, 小 学 校 において 授 業 中 に 留 意 されているポイントを 述 べます 1.1 第 1 2 学 年 における 留 意 点 低 学 年 においても 領 域 数 量 関 係 が 新 たに 設 定 されたことにより, 小 学 校 のすべて の 学 年 において 資 料 の 整 理 と 読 み に 関 する 目 標 と 内 容 が 示 されました しかし,そ の 中 にはそれらの 算 数 的 活 動 の 例 示 はありません そこで, 具 体 的 な 算 数 的 活 動 を 第 1.3 節 に 6 年 間 分 をまとめて 提 案 します これらの 新 たな 活 動 は 前 述 の 統 計 的 リテラシ ーの 醸 成 に 有 効 であることより 多 くの 小 学 校 で 実 施 されています 1.2 第 3 4 学 年 における 留 意 点 棒 グラフと 折 れ 線 グラフについて, 児 童 は 折 れ 線 グラフの 点 と 点 の 間 の 点 を 確 定 的 な 値 として 読 む 傾 向 があります この 傾 向 は, 第 4 学 年 において, 関 数 的 な 関 係 を 折 れ 線 グラフに 表 したり, 折 れ 線 グラフから 関 数 的 な 関 係 を 読 み 取 ったりする 学 習 によって, 一 層 強 固 なものとなる 危 険 性 をはらんでいます それを 防 ぐために, 棒 グラフと 折 れ 線 5

6 グラフの 関 連 性 および 相 違 について, 折 れ 線 グラフを 導 入 するために 棒 グラフを 一 時 的 に 利 用 するのではなく, 同 じ 資 料 の 時 系 列 的 な 棒 グラフと 折 れ 線 グラフを 重 ねて 表 現 し たり,また 両 グラフを 比 較 したりする 場 を 経 験 させることで, 棒 グラフと 折 れ 線 グラフ の 関 連 性 および 相 違 を 明 確 に 理 解 できるようになっています 特 に 折 れ 線 グラフについ ては 次 の 3 つの 活 動 を 通 して 進 められています 1) 折 れ 線 グラフの 線 上 の 点 が 意 味 をもつ 場 合 ( 連 続 量 データ)と 意 味 をもたない 場 合 ( 離 散 量 データ)のグラフを 比 較 しながら, 折 れ 線 グラフの 点 と 点 を 結 ぶ 線 上 の 点 の 意 味 について 考 えさせる 2) 線 上 の 点 が 意 味 をもつ 場 合 においても, 折 れ 線 グラフの 線 上 の 点 の 示 す 値 と 実 際 の 測 定 値 を 比 較 する 活 動 を 通 して, 線 上 の 点 は 実 際 の 数 量 を 確 定 するものではないこと についての 認 識 を 深 める 3) 関 数 的 な 関 係 を 折 れ 線 グラフに 表 したり, 折 れ 線 グラフから 関 数 的 な 関 係 を 読 み 取 ったりする 学 習 において, 既 習 の 統 計 グラフとしての 連 続 量 についての 折 れ 線 グラフ を 提 示 し, 相 違 点 を 考 える 活 動 を 行 う これは, 確 定 的 な 現 象 と 不 確 定 的 な 現 象 の 捉 え 方 の 相 違 の 理 解 につながる 1.3 第 5 6 学 年 における 留 意 点 平 均 および 度 数 分 布 について, 第 5 学 年 で, 領 域 量 と 測 定 に 測 定 値 の 平 均 につ いて 知 ること が 新 たに 位 置 付 けられたことにより, 平 均 の 学 習 が 2 学 年 2 領 域 にわた って 行 われています 具 体 的 には, 第 5 学 年 においては 測 定 値 の 平 均 について 学 び, 第 6 学 年 においては 資 料 の 代 表 値 としての 平 均 について, 資 料 の 散 らばりとの 関 連 におい て 学 ぶことになり, 平 均 についてはこのスパイラル 性 を 通 して 理 解 を 深 めています 第 6 学 年 においては, 度 数 分 布 を 表 す 表 やグラフについて 知 ること が 新 たな 内 容 として 明 記 されました これら 統 計 的 な 考 察 や 表 現 は, 中 学 校 の 第 1 学 年 の 領 域 資 料 の 活 用 の 素 地 となるもので, 中 学 校 においては, 小 学 校 第 6 学 年 の 内 容 に 基 づくスパ イラルな 学 習 が 可 能 となっています また, 中 学 校 の 内 容 から 具 体 的 な 事 柄 について, 起 こりうる 場 合 を 順 序 よく 整 理 し て 調 べることができるようにする が 移 行 されました この 内 容 は, 第 5 学 年 までの 分 類 整 理 して 考 える 活 動 の 上 に, 起 こりうる 全 ての 場 合 を 適 切 な 観 点 から 分 類 整 理 して, 順 序 よく 列 挙 できるようにすること ( 学 習 指 導 要 領 )をねらいとしたものですが, 中 学 校 の 第 2 学 年 の( 数 学 的 ) 確 率 の 学 習 への 接 続, 高 等 学 校 科 目 数 学 A の 数 え 上 げ の 原 則, 順 列 組 合 せの 学 習 を 意 識 した 活 動 が 可 能 となっています 第 6 学 年 の 度 数 分 布 表 については, 小 学 校 第 3 4 学 年 のグラフ 学 習 との 関 連 や, 中 学 校 第 1 学 年 の 領 域 資 料 の 活 用 の 学 習 との 関 連 についての 記 述 はなく, 学 年 間, 学 校 種 間 の 系 統 性 およびスパイラルな 指 導 内 容 が 明 確 にされていません これらの 問 題 点 を 解 決 するための 具 体 的 な 方 策 として, 資 料 の 整 理 と 読 み における 算 数 的 活 動 につ いての 記 述 がない 第 6 学 年 でも,たとえば 下 記 のような 活 動 を 行 ってくれれば, 有 意 な 6

7 スパイラルな 学 習 ができます( 下 記 参 照 ; 学 習 指 導 要 領 に 第 3,4,5 学 年 においての 活 動 例 の 記 述 はある) もし 提 案 しているような 活 動 がなされれば,これによって 第 1, 2 学 年 で 提 案 した 新 たな 活 動 とあわせて 6 年 間 すべての 学 年 にわたって 統 計 内 容 資 料 の 整 理 と 読 み に 関 する 算 数 的 活 動 が 実 施 できます これらの 活 動 を 通 して, 小 学 校 に おける 統 計 的 リテラシーの 醸 成 が 可 能 となります ここで 6 年 間 にわたる 資 料 の 整 理 と 読 み に 関 する 算 数 的 活 動 をまとめると, 次 のようになります 重 ねて 述 べますが, 多 くの 小 学 校 で 実 際 には 実 践 されているようです 第 1 学 年 第 2 学 年 第 3 学 年 第 4 学 年 第 5 学 年 第 6 学 年 絵 や 図 を 用 いた 数 量 をまとめ 読 み 取 る 活 動 ( 絵 や 図 を 用 いたいろいろな 数 量 を, 目 的 に 適 するようにまとめ, 表 に 表 すことを 通 して 読 み 取 る 活 動 ) いろいろな 数 量 をまとめ 表 現 し 読 み 取 る 活 動 (いろいろな 数 量 を 目 的 に 応 じてまとめ,それを 表 やグラフに 表 し, 課 題 を 解 決 する 活 動 ) 資 料 を 分 類 整 理 し 表 を 用 いて 表 す 活 動 身 の 回 りの 数 量 の 関 係 を 調 べる 活 動 目 的 に 応 じて 表 やグラフを 選 び 活 用 する 活 動 収 集 した 資 料 を 統 計 的 に 活 用 し 課 題 を 探 究 する 活 動 ( 身 の 回 りの 現 象 に 関 心 をもち,それを 統 計 的 に 見 つめ 分 析 し 話 し 合 う 活 動 を 中 心 とする) また 第 5 6 学 年 での 学 習 について,さらに 下 記 の 4 つの 視 点 を 学 ばせることが 重 要 となります 1) 第 5 学 年 の 平 均 において, 測 定 値 の 平 均 の 意 味 理 解 と 計 算 処 理 技 能 の 定 着 を 図 るとともに, 分 布 の 散 布 度 は 異 なるが 平 均 の 値 が 等 しくなることがあるという 経 験 を もたせる 2) 第 6 学 年 の 平 均 において, 平 均 のみで 集 団 の 傾 向 を 捉 えることがないように, 分 布 の 散 布 度 は 異 なるが 平 均 の 値 が 等 しくなる 資 料 を 比 較 考 察 するなどして, 分 布 全 体 との 関 連 において 平 均 を 捉 える 活 動 を 行 わせる 3) 第 6 学 年 の 度 数 分 布 を 表 す 表 やグラフ については, 視 覚 的 な 理 解 を 促 す 図 的 表 現 に 基 づき, 度 数 分 布 表 や 柱 状 グラフ(ヒストグラム)に 表 す 活 動 を 行 わせる この 中 で, 主 に 視 覚 的 な 理 解 を 通 して 資 料 全 体 の 分 布 の 様 子 や 特 徴 を 把 握 させ, 表 現 する 活 動 を 大 切 にする その 経 験 を 素 地 としたスパイラルな 学 習 として, 中 学 校 の 第 1 学 年 に おいて 数 量 的 な 理 解 を 図 る( 平 均 値, 中 央 値, 最 頻 値, 相 対 度 数, 範 囲 などの 値 を 通 し て 資 料 の 傾 向 を 読 み 取 る)ことが 学 びの 系 統 性 として 大 切 である 4) 棒 グラフとヒストグラムの 違 いについて 資 料 を 通 して 理 解 する 活 動 を 行 わせる ( 棒 グラフとヒストグラムの 違 いを 説 明 できない 者 が 依 然 として 多 いことに 驚 いてい ます) 7

8 このように, 小 学 校 の 統 計 教 育 では, 入 手 ( 収 集 )した 資 料 を 図, 表,グラフなどに 整 理 し 表 現 するという 工 夫 の 経 験 を 通 して, 現 象 を 視 覚 的 に 理 解 するということを 中 心 に 統 計 的 なものの 見 方 考 え 方 を 身 に 付 けています さらに,それらの 数 量 的 理 解 はス パイラルとして 中 学 校 での 学 習 として 位 置 付 けられています また 扱 う 資 料 (データ)は, 原 則 第 1 学 年 から 第 5 学 年 までは 質 的 データで, 第 6 学 年 で 量 的 データを 扱 った 展 開 になっています 8

9 2. 中 学 校 における 統 計 教 育 中 学 校 で 学 ぶ 領 域 の 構 成 は, 従 前 の 3 領 域 数 と 式, 図 形, 数 量 関 係 から 次 の 4 領 域 に 分 類 され, 確 率 以 外 の 統 計 の 内 容 が 新 たに 第 1,3 学 年 に 入 り, 不 確 定 的 な 現 象 を 取 り 上 げる 領 域 が 位 置 付 けられました 数 と 式, 図 形, 関 数, 資 料 の 活 用 ただ, 新 たに 位 置 付 いた 数 学 的 活 動 と 今 回 の 統 計 的 活 動 における 活 動 方 法 の 違 いは, 学 習 指 導 要 領 には 明 確 に 記 述 されていません 思 考 法 の 構 造 は 同 一 ではありませんので, その 違 いを 的 確 に 理 解 することは 大 切 ですが, 教 育 現 場 では 意 外 と 認 識 されていないと 思 っています( 第 4 節 参 照 ) このような 中 で 領 域 資 料 の 活 用 のキーワードとその 内 容 を 学 習 指 導 要 領 に 見 ますと 表 2のようになっています( 太 字 や 下 線 は 筆 者 が 強 調 す るためにつけました) 表 2 資 料 の 活 用 学 年 キーワード 指 導 の 内 容 1 学 年 資 料 の 散 らばりと 代 表 値 ヒストグラムや 代 表 値 の 必 要 性 と 意 味 を 理 解 する ヒストグラムや 代 表 値 を 用 いて 資 料 の 傾 向 をとら え 説 明 する 誤 差 や 近 似 値,a 10 n の 形 の 表 現 を 取 り 扱 う 用 語 記 号 : 平 均 値, 中 央 値, 最 頻 値, 相 対 度 数, 範 囲, 階 級 2 学 年 確 率 確 率 の 必 要 性 と 意 味 を 理 解 し, 簡 単 な 場 合 につい て 確 率 を 求 める 確 率 を 用 いて 不 確 定 な 事 象 をとらえ 説 明 すること 3 学 年 標 本 調 査 標 本 調 査 の 必 要 性 と 意 味 を 理 解 する 簡 単 な 場 合 について 標 本 調 査 を 行 い, 母 集 団 の 傾 向 をとらえ 説 明 する 用 語 記 号 : 全 数 調 査 次 に,これらのキーワードそのものの 学 習 を 通 して 統 計 の 内 容 が 理 解 できるように, 各 単 元 の 目 標 と 中 学 校 において 授 業 中 に 留 意 されているポイントを 述 べます 2.1 第 1 学 年 における 留 意 点 資 料 の 散 らばりと 代 表 値 は, 高 等 学 校 での 従 前 の 科 目, 数 学 基 礎, 数 学 B から 移 行 した 内 容 です 目 的 に 応 じて 資 料 を 収 集 し,コンピュータを 用 いたりするなどし て 表 やグラフに 整 理 し, 代 表 値 や 資 料 の 散 らばりに 着 目 してその 資 料 の 傾 向 を 読 み 取 る 9

10 ことができること ( 学 習 指 導 要 領 )が 目 標 になっています すなわち, 記 述 統 計 の 考 え 方 でデータが 示 す 現 状 を 把 握 することを 目 指 しています 集 団 としての 特 性 を 記 述 す るために, 観 測 対 象 となった 各 個 体 について 調 査 実 験 を 通 して 観 測 し, 得 られたデー タを 整 理 要 約 することが 中 心 となります この 際,データの 視 覚 化 数 量 化 の 手 法 が 重 要 です これらの 基 礎 的 能 力 は 学 習 指 導 要 領 の 下, 小 学 校 ですでに 培 われています つまり, 学 校 種 にまたがるスパイラル 学 習 になっています 小 学 校 とは 異 なり, 中 学 校 ではコンピュータを 用 いて 処 理 時 間 を 短 縮 し, 統 計 資 料 の 中 から 本 来 の 価 値 ある 情 報 の 読 み 取 りや 知 見 の 活 用 に 授 業 時 間 をどの 程 度 確 保 できる かが 課 題 になっています 集 団 を 把 握 するための 適 切 なヒストグラムの 作 成 では, 階 級 数 の 変 更 による 作 業 が 容 易 にできるコンピュータソフトウエアを 積 極 的 に 利 用 したい ものです( 第 5 節 参 照 ) またこの 学 年 でどうしても 実 施 させておいてほしいことは,3 つの 代 表 値 ( 平 均 値, 中 央 値, 最 頻 値 ) 間 の 関 係 やそれぞれの 有 用 性 についての 考 察 お よびヒストグラムとの 対 応 の 理 解 です 量 的 データの 分 布 の 比 較 も 大 切 です このこと は, 高 等 学 校 科 目 数 学 I のデータ 分 析 や 数 学 B での 確 率 分 布 の 理 解 につながっ ています 2.2 第 2 学 年 における 留 意 点 確 率 は, 小 学 校 の 第 6 学 年 の 算 数 科 において, 具 体 的 な 事 柄 について, 起 こり 得 る 場 合 を 順 序 よく 整 理 して 調 べることを 学 習 していることと, 中 学 校 の 第 1 学 年 での 相 対 度 数 を 理 解 していることを 前 提 とした 内 容 になっています 不 確 定 な 事 象 について の 観 察 や 実 験 などの 活 動 を 通 して, 確 率 について 理 解 し,それを 用 いて 考 察 し 表 現 する ことができること ( 学 習 指 導 要 領 )が 目 標 になっています すなわち, 蓋 然 性 の 理 解 が 中 心 です くり 返 し 観 測 できる 現 象 という 仮 定 があることの 認 識 が, 確 率 の 意 味 を 理 解 する 上 で 大 切 になります ここでの 確 率 はその 数 値 を 普 遍 的 に 求 めやすいという 意 味 ( 同 様 に 確 からしいという 仮 定 の 下 )で 数 学 的 確 率 ( 古 典 的 確 率, 先 験 的 確 率 )を 扱 い ますが,その 意 味 付 けは, 統 計 的 確 率 ( 経 験 的 確 率, 頻 度 論 的 確 率 )の 考 えで 説 明 され ています 統 計 的 確 率 とは, 多 数 回 試 行 可 能 な 不 確 定 的 な 事 象 の 起 こりやすさの 指 標 で す 確 率 の 値 の 解 釈 で 大 切 なことは,その 数 値 はある 事 象 が 実 際 に 起 こる(または 起 こ らない) 直 前 までの 状 況 を 示 しているのであって, 実 際 にその 時 が 来 れば,その 事 象 は 生 起 したか 生 起 しなかったかのどちらかで,100%か 0%のどちらかであることです これが 確 率 というものを 実 際 に 扱 うときの 理 解 のポイントとなります 確 率 の 数 値 は 人 間 が 行 動 する 際 に 意 志 決 定 するための 事 前 の 参 考 情 報 だと 思 います これらの 理 解 は, 高 等 学 校 の 科 目 数 学 A の( 数 学 的 ) 確 率 の 内 容 を 通 してさらに 深 めます 推 測 統 計 における 議 論 の 客 観 性 の 根 拠 を 保 証 する 概 念 は 確 率 ( 無 作 為 性 へつながるもの)である と 理 解 させることは, 第 3 学 年 で 行 っています 10

11 2.3 第 3 学 年 における 留 意 点 標 本 調 査 は, 高 等 学 校 での 従 前 の 科 目, 数 学 基 礎, 数 学 C から 移 行 した 内 容 で す コンピュータを 用 いたりするなどして, 母 集 団 から 標 本 を 取 り 出 し, 標 本 の 傾 向 を 調 べることで, 母 集 団 の 傾 向 が 読 み 取 れることができること ( 学 習 指 導 要 領 )を 目 標 にしています すなわち, 無 作 為 に 抽 出 した 一 部 のデータから 全 体 を 理 解 するという 推 測 統 計 の 有 用 性 将 来 予 測 の 考 えに 体 験 を 通 して 気 付 かせることを 目 指 しています これらの 標 本 調 査 の 考 えは, 我 々が 自 然 に 日 常 生 活 の 中 で 利 用 しているということに 気 付 くことが 大 切 です たとえば, 書 店 での 立 ち 読 み,みそ 汁 作 成 中 における 味 見,など です その 際, 極 端 に 偏 った 一 部 分 から 全 体 を 類 推 すると 偏 見 につながるので, 注 意 が 必 要 です 全 体 の 適 正 な 縮 図 となるようなデータを 選 び 出 す( 抽 出 する)ことが 大 切 で, それができれば,あとは 調 査 目 的 に 照 らして 特 性 を 調 べればよくなります 調 べるべき 適 正 な 一 部 分 をどのように 抽 出 するかは,ものの 見 方 の 根 幹 にかかわる 問 題 です この 保 証 は, 第 2 学 年 で 学 習 する 確 率 を 用 いて 説 明 する 無 作 為 性 で 与 えているため,すでに 理 解 していると 思 います また, 大 数 の 法 則 の 理 解 につながる, 取 り 出 す 標 本 の 数 の 問 題 も 大 切 になります ここで 実 行 したいことは, 生 徒 に 実 際 の 調 査 の 前 に 結 果 を 予 測 さ せ, 実 際 の 調 査 結 果 とのズレを 感 じさせる 活 動 です このことにより 誤 差 というものに 対 する 認 識 ができるようになり, 推 測 統 計 という 根 本 的 な 考 え 方 を 醸 成 させることにつ ながります もし 場 合 によって 全 数 調 査 ができる 場 合 には, 本 当 の 誤 差 が 評 価 できるこ とになります このように, 新 しい 領 域 資 料 の 活 用 が 設 けられた 理 由 は, 中 学 校 の 数 学 での 従 前 の 確 率 や 統 計 の 内 容 の 学 習 が, 計 算 が 中 心 となる 資 料 の 整 理 に 重 きをおく 傾 向 にあった ことを 見 直 し, 整 理 した 結 果 の 意 味 を 用 いて 考 えたり 議 論 したり 判 断 したりすることの 学 習 を 重 視 していることを 伝 えるためと 思 われます つまり 活 用 の 充 実 です この 点 は 教 育 現 場 では 十 分 に 意 識 されているはずです 大 きく 言 えば, 中 学 校 の 3 年 間 で 学 ぶ 統 計 を 通 して, 統 計 的 なものの 見 方 考 え 方 を 理 解 できるような 仕 組 みになっています そのためには, 教 師 は 第 3 学 年 で 学 ぶ 母 集 団 と 標 本 の 設 定 で, 実 践 を 通 して 思 考 する 推 測 統 計 の 扱 う 基 本 的 構 造 をまずイメージした 上 で, 生 徒 に 統 計 を 理 解 させることが 大 切 です このことは, 第 1 学 年 では 標 本 を 資 料 と 見 なした 目 の 前 のデータの 現 状 の 分 析 を 行 い, 第 2 学 年 では 推 論 の 客 観 性 を 保 証 する ための 確 率 の 概 念 ( 無 作 為 性 )の 重 要 性 を 認 識 し, 第 3 学 年 では( 一 部 の 情 報 から 全 体 の 性 質 を 把 握 する) 統 計 的 推 論 での 予 測 の 神 髄 の 一 端 を 理 解 するという 流 れで, 達 成 で きると 考 えています 11

12 3. 高 等 学 校 における 統 計 教 育 高 等 学 校 数 学 の 学 習 内 容 が, 従 前 の 数 学 7 科 目, 数 学 I, 数 学 II, 数 学 III, 数 学 A, 数 学 B, 数 学 C, 数 学 基 礎 の 構 成 から 次 の 6 科 目 構 成 に 再 編 されました 数 学 I 数 学 II 数 学 III 数 学 A 数 学 B 数 学 活 用 統 計 に 関 する 内 容 の 一 部 が 共 通 必 履 修 化 され, 科 目 数 学 I (3 単 位 )の 中 に 入 りま した 基 礎 的 な 統 計 活 用 能 力 の 育 成 を 重 要 視 していますが,これは 中 学 校 1 学 年 との 接 続 や 内 容 の 系 統 性 を 一 層 重 視 したことが 理 由 だと 思 います また, 科 目 数 学 A (2 単 位 )には( 数 学 的 ) 確 率 が 入 りました 数 学 B (2 単 位 )では, 中 学 校 3 学 年 の 内 容 の 発 展 として, 確 率 分 布 と 統 計 的 推 測 を 統 合 新 設 し, 統 計 活 用 力 を 重 視 しています しかし,これらは 選 択 履 修 内 容 ですので, 高 校 生 による 実 際 の 履 修 がどのようになるの かは 分 かりません 従 前 の 数 学 B という 科 目 では, 結 果 的 に 統 計 の 内 容 はほとんど 教 えられていませんでした その 1 つの 理 由 は,ほとんどの 大 学 の 個 別 入 試 問 題 の 出 題 範 囲 から 統 計 が 除 外 されたからだと 思 います( 平 成 24 年 ~ 平 成 26 年 の 3 年 間 も 同 様 な 状 況 にあったと 聞 いています) 他 に,ほとんどの 生 徒 が 学 ばないであろう 数 学 活 用 の 中 でもデータの 分 析 を 扱 っています このように 高 等 学 校 では, 推 測 統 計 の 考 え 方 の 誠 の 醸 成 は 科 目 数 学 B の 中 でなさ れますので, 不 確 定 的 な 現 象 をくり 返 し 観 測 する 中 で 不 変 なことを 見 つけるという 行 為 を 指 す, 統 計 的 なものの 見 方 考 え 方 を 高 等 学 校 の 第 1 学 年 までで 育 むことは 困 難 なこ とと 考 えています 3.1 数 学 I(3 単 位 : 必 履 修 科 目 ) 中 学 校 での 学 習 内 容 についての 4 領 域 ( 数 と 式, 図 形, 関 数, 資 料 の 活 用 )に 対 応 し て 設 けられた 必 履 修 科 目 数 学 I の 構 成 は, 次 のようになっています 数 と 式, 図 形 と 計 量, 二 次 関 数,データの 分 析 この 中 の, データの 分 析 という 領 域 が 中 学 校 の 領 域 資 料 の 活 用 に 対 応 してお ります ここでは, 中 学 校 で 扱 っている 資 料 の 平 均 や 散 らばりの 考 えをさらに 発 展 させ, データのばらつきや 偏 り,2 変 量 データの 相 関 を 学 ぶことになっています キーワード とその 内 容 を 学 習 指 導 要 領 に 見 ますと 表 3となっています( 太 字 は 筆 者 が 強 調 するため につけました) 表 3 データの 分 析 目 標 : 統 計 の 基 本 的 な 考 えを 理 解 するとともに,それを 用 いてデータを 適 宜 コンピュータなどを 用 い 整 理 分 析 し 傾 向 を 把 握 できるようにする データの 散 ら ばり データの 相 関 四 分 位 偏 差, 分 散 および 標 準 偏 差 などの 意 味 について 理 解 し,それらを 用 いてデータの 傾 向 を 把 握 し, 説 明 する 散 布 図 や 相 関 係 数 の 意 味 を 理 解 し,それらを 用 いて 二 つのデータの 相 関 を 把 握 し 説 明 する 12

13 また 用 語 として, 中 学 校 での 表 現 資 料 が 高 等 学 校 ではより 汎 用 性 のある データ という 表 現 を 用 い, 従 前 の 相 関 図 は 散 布 図 という 表 現 になっています 個 人 的 には, 四 分 位 範 囲 の 値 の 方 が 分 布 の 散 布 度 の 尺 度 としての 意 味 がより 理 解 できるため, データの 散 らばりとして 上 記 の 四 分 位 偏 差 よりはむしろ 四 分 位 範 囲 に 注 目 した 展 開 に すべきと 考 えています 次 に,これらのキーワードそのものの 学 習 を 通 して 統 計 の 内 容 が 理 解 できるように, 高 等 学 校 おいて 授 業 中 に 留 意 されているポイントを 述 べます データの 分 析 での 留 意 点 高 等 学 校 1 年 まではすべての 児 童 生 徒 が 系 統 的 に 統 計 教 育 を 受 けていると 述 べまし たが,その 数 学 I の 内 容 である 記 述 統 計 に 関 しては, 中 学 校 の 第 1 学 年 で 学 んだ 内 容 からつながるものであり,2 年 間 の 空 白 の 後 の 学 習 になっています 中 学 校 の 第 1 学 年 では 高 等 学 校 での 従 前 の 科 目, 数 学 基 礎, 数 学 B から 移 行 した 内 容 を 学 んでいます これをベースに 数 学 I データの 分 析 では 記 述 統 計 の 内 容 を さらに 学 びますが, 統 計 の 神 髄 である 推 測 統 計 の 内 容 ではありません 中 学 校 での 学 習 の 内 容 などを 第 2 節 でみましたが,そこでは,3 つの 代 表 値 ( 平 均 値, 中 央 値, 最 頻 値 ) の 関 係 やそれぞれの 有 用 性 についての 考 察 までしか 学 んでいません このような 背 景 の 下 でデータの 分 析 の 内 容 について 考 えますと, 分 布 の 特 徴 を 捉 える 種 々の 統 計 量 ( 特 性 値 )について, 次 のことが 留 意 されていることがわかります (1)1 次 元 分 布 において,1 つの 変 量 の 変 動 の 中 心 的 な 位 置 を 表 す 量 として, 平 均 値, 中 央 値 ( 第 2 四 分 位 数 ), 最 頻 値 が,またその 量 の 回 りの 散 らばり 度 合 いを 示 す 量 とし て, 分 散, 標 準 偏 差 や 範 囲, 第 1 四 分 位 数, 第 3 四 分 位 数, 四 分 位 範 囲 (= 第 3 四 分 位 数 第 1 四 分 位 数 )が 考 えられています この 際 に, 最 小 値, 第 1 四 分 位 数, 中 央 値, 平 均 値, 第 3 四 分 位 数, 最 大 値 を 一 つの 図 で 同 時 表 示 している 箱 ひげ 図 を 通 して 分 布 の 特 徴 を 多 角 的 に 理 解 できることが 大 切 になります その 中 で, 高 等 学 校 では 特 にヒスト グラムの 形 状 と 箱 ひげ 図 の 対 応 関 係 を 明 確 に 把 握 できるようになることが 重 要 になっ ています 箱 ひげ 図 を 利 用 して 分 布 が 比 較 できるようになればよい( 四 分 位 数 の 値 の 計 算 については 第 節 を 参 照 )と 思 います 実 際 は,データに 外 れ 値 がある 場 合 の 箱 ひげ 図 の 表 現 については 注 意 が 必 要 ですが, 高 等 学 校 では 残 念 ながら 扱 われていません ( 高 等 学 校 では,ひげの 長 さは 単 に 最 小 値 と 最 大 値 の 値 までで 表 示 しています) 高 等 学 校 では,2 つの 分 布 の 散 布 度 の 適 切 な 比 較 の 際 に 有 用 な 場 合 が 多 い, 変 動 係 数 も 扱 わ れていません (2)2 次 元 分 布 において,2 つの 周 辺 分 布 は1 次 元 なので 前 述 の 特 性 値 が 使 えますが, 2 つの 変 量 についての 変 動 を 同 時 に 考 えるための 概 念 として, 相 関 という, 関 係 性 を 捉 えるものを 学 んでいます これを,2 つの 変 量 の 共 分 散 を 標 準 化 した 区 間 [-1,+1]の 値 を とる 相 関 係 数 r として, 数 量 的 に 表 現 しています この 尺 度 は,2 つの 変 量 の 間 の 線 形 的 な 関 係 を 測 る 量 で,データが 示 す 現 状 を 分 析 するものです この 量 を 基 にして, 線 形 13

14 予 測 式 の 作 成 につながる 回 帰 の 概 念 は, 大 変 興 味 深 い 考 え 方 ですが, 残 念 ながら 高 等 学 校 では 扱 われていません( 科 目 数 学 活 用 では 扱 うことはできます 第 3.4 節 参 照 ) 現 在 高 校 教 育 現 場 で 使 用 中 の 教 科 書 数 学 I は, 平 成 27 年 度,5 社 が 発 行 している 教 科 書 によって 占 められています 各 社 が 扱 っている データの 分 析 の 内 容 を 読 みま したが, 各 社 様 々で 工 夫 されています 一 部 の 教 科 書 で 用 語 の 表 現 が 適 切 とは 言 えない ものもありますので 少 し 整 理 統 一 して 理 解 したいと 思 います たとえば, 相 関 に 関 す る 事 項 については, 以 下 のように 統 一 表 現 をしてほしいものです (ア)r =±1 に 近 いとき 強 い 正 ( 負 )の 相 関 がある このとき 散 布 図 の 点 は 右 上 ( 下 ) がりの 直 線 に 沿 って 分 布 する 傾 向 が 強 くなる (イ)r が 0 に 近 いとき 相 関 は 弱 い 誤 解 を 生 じると 懸 念 される 他 の 用 語 の 表 現 も 教 科 書 上 には 見 られますので, 相 関 以 外 の 内 容 についても, 理 解 の 異 なる 生 徒 がいるかもしれません( 第 節 も 参 照 ) 高 等 学 校 の 段 階 で 大 切 なことは, 単 位 の 統 一 や, 単 位 を 無 く( 無 名 数 化, 標 準 化 )し て 解 釈 比 較 を 意 味 あるものにするために, 分 散 に 対 しては 標 準 偏 差, 共 分 散 に 対 して は 相 関 係 数 が 利 用 されていること, 相 関 係 数 の 値 はデータの 線 形 1 次 変 換 に 関 して 不 変 であることを 理 解 することです 相 関 係 数 の 値 r の 推 測 統 計 的 な 解 釈 ( 相 関 係 数 の 統 計 的 仮 説 検 定 )は, 数 学 I の 段 階 ではできませんので, 記 述 統 計 の 枠 組 の 中 で 解 釈 としての 一 応 の( 公 的 に 使 われている) 目 安 を 示 すことは 親 切 な 提 示 だと 思 います たとえば, r 0.2 : ほとんど 相 関 がない 0.2 r 0.4 : やや 相 関 がある 0.4 r 0.7 : かなり 相 関 がある 0.7 r : 高 い 相 関 がある と 一 般 には 言 われていますが, 利 用 にあたっては 注 意 深 い 扱 いが 大 切 となります ここ で 一 つ 注 意 したいことがあります それは, 相 関 係 数 について, 以 下 のような 分 類 をす ることです 1 r -0.8 : 強 い 負 の 相 関 がある 0.8 < r -0.6 : かなり 負 の 相 関 がある 0.6 < r -0.4 : やや 負 の 相 関 がある 0.4 < r -0.2 : 弱 い 負 の 相 関 がある 0.2 < r < 0.2 : ほとんど 相 関 がない 0.2 r < 0.4 : 弱 い 正 の 相 関 がある 0.4 r < 0.6 : やや 正 の 相 関 がある 0.6 r < 0.8 : かなり 正 の 相 関 がある 0.8 r 1 : 強 い 正 の 相 関 がある これは 言 葉 表 現 も 含 めて 不 適 切 なものだと 考 えます 先 生 方 はそう 思 いませんか? 14

15 また 特 性 値 の 必 要 性 と 求 め 方 およびその 意 味 と 特 徴 を 理 解 することも 大 切 です たと えば, 平 均 の 概 念 はすべてのデータが 同 じウェイト( 重 要 度, 意 味 づけなど)をもつと きに 有 用 なものであることは, 加 重 平 均 ( 重 み 付 き 平 均 )から 説 明 すると 分 かりやすい と 思 います このように 考 えると, 分 布 に 偏 りがある, 例 えば 日 本 のサラリーマンの 年 間 所 得 額 の 分 布 での 中 心 的 傾 向 を 表 す 特 性 値 には, 平 均 値 より 中 央 値 が 適 切 であること がわかります 時 間 があれば,はずれ 値 (これは 小 学 校 5 学 年 で 学 習 しています), 標 準 化 ( 偏 差 値 ), 相 関 関 係 と 因 果 関 係 の 話 題 にも 触 れている 学 校 もあります 授 業 上 の 留 意 点 前 述 のように 数 学 I は4つの 分 野 の 内 容, 数 と 式, 図 形 と 計 量,2 次 関 数,デー タの 分 析 で 構 成 されていて,3 単 位 としては 内 容 の 量 が 多 く 授 業 時 間 が 不 足 しがちな 科 目 です その 中 で,データの 分 析 では, 中 学 校 との 接 続 を 意 識 し, 分 散 や 標 準 偏 差, 散 布 図 や 相 関 係 数 などを 扱 い,データを 整 理 分 析 し,データの 傾 向 を 把 握 するための 基 礎 的 な 知 識 や 技 能 を 身 につけることを 目 指 しています ここで 特 に 大 切 なことは,2 つ のデータの 関 係 の 把 握 に, 相 関 係 数 の 値 でみる 数 量 的 理 解 ( 特 性 値 の 必 要 性 とその 値 の 意 味 )と 散 布 図 を 用 いての 視 覚 的 理 解 (ヒストグラム, 箱 ひげ 図 や 散 布 図 の 特 性 値 に 対 応 した 適 切 な 解 釈 )を 同 時 に 行 うことだと 思 います この 思 考 展 開 を 的 確 に 行 えば, 相 関 という 直 線 的 な 関 係 の 把 握 に 誤 解 が 生 ずるようなことはありません これは, 今 回 の 学 習 指 導 要 領 の 改 訂 の 趣 旨 に 一 番 合 致 する 活 動 になっています 高 等 学 校 に 今 回 新 たに 登 場 してきた 四 分 位 数 についてもう 少 し 述 べます まず, 定 義 の 仕 方 はただ 一 通 りです( 誤 って 複 数 あると 記 述 している 教 科 書 もある)が,その 求 め 方 は 複 数 存 在 することに 注 意 が 必 要 です このことから, 教 科 書 の 方 法 で 求 めた 値 と 表 計 算 ソフトで 求 めた 値 が 異 なることがありますが,それは 間 違 いではないという 認 識 が 必 要 です これらの 数 値 のわずかな 違 いに 一 喜 一 憂 しないことが 大 切 です 現 在 のすべ ての 教 科 書 において, 四 分 位 数 の 求 め 方 は, 離 散 型 的 データ(ほとんどが 整 数 値 表 示 ) に 対 してのみ 扱 われ, 各 社 同 じ 方 法 を 記 述 しています この 種 のデータに 対 しては, 教 科 書 に 説 明 されている 求 め 方 は, 標 準 的 で 適 切 です しかし, 将 来 身 長, 体 重 のような 連 続 型 データのヒストグラム 表 示 下 での 四 分 位 数 の 求 め 方 まで 必 要 になると, 値 の 求 め 方 に 対 する 補 間 方 法 などといった 別 の 問 題 が 生 じます 実 際 には,そのようなデータを 扱 うことが 多 いのですから, 教 科 書 でも 果 敢 に 取 り 上 げ 記 述 し 説 明 してほしかったもの です また, 四 分 位 範 囲 は, 四 分 位 偏 差 と 違 って, 散 布 度 の 一 つの 尺 度 として 従 前 の 範 囲 以 上 に 十 分 な 意 味 が 見 出 せます 度 数 分 布 表 からの 四 分 位 数 の 導 出 計 算 は,5 社 中 1 社 のみでなされています また 他 の1 社 の 記 述 に 四 分 位 偏 差 の 適 切 とは 思 えない 図 的 表 示 がありますが,それは 無 視 して いただいて,ここでは 四 分 位 範 囲 を 用 いた 散 布 度 の 説 明 で 十 分 です 15

16 相 関 に 関 して 留 意 しておきたいことがあります それは, 関 係 表 現 に 相 関 がある と 相 関 関 係 がある の 2 通 りが 教 科 書 上 にあることです 後 者 の 表 現 が 多 いのですが, 相 関 は 関 係 を 表 す 言 葉 ですので, 前 者 の 表 現 がより 適 切 であると 考 えます 別 の1 社 で は, 相 関 係 数 の 値 が±1 のときの 解 説 に 完 全 な 相 関 関 係 である と 記 述 され, 同 時 に その( 直 線 の) 散 布 図 まで 記 載 されています 統 計 は 不 確 定 的 な 現 象 を 考 察 対 象 として おり, 誤 差 を 含 んでいることが 前 提 であるため, 数 学 としては 間 違 いではありませんが, 統 計 の 内 容 としては 不 適 切 です また 表 計 算 ソフトやグラフ 電 卓 を 使 用 する 記 述 の 説 明 があるのは2 社 の 教 科 書 のみです 今 後, 記 述 内 容 の 更 なる 充 実 と 改 善 を 期 待 したいと ころです 3.2 数 学 A(2 単 位 ) 数 学 I の 補 完 の 位 置 付 けでもある 科 目 数 学 A の 中 には, 場 合 の 数, 確 率 があり,それは 従 前 の 科 目, 数 学 A と 数 学 C の 一 部 とを 合 わせた 内 容 になっています そのキーワードと 内 容 を 学 習 指 導 要 領 に 見 ますと 表 4 となっています( 太 字 は 筆 者 が 強 調 するためにつけました) ここでの 確 率 は, 起 こりうる 事 象 が 同 様 に 確 からしいとい う 仮 定 の 下 で 導 入 される, 数 学 的 確 率 ( 中 学 校 で 扱 う 確 率 と 同 じ)を 意 味 しています 数 学 A は, 標 準 単 位 数 が 2 単 位 で, 他 の 二 つの 数 学 内 容 整 数 の 性 質 図 形 の 性 質 と 合 わせて, 適 宜 選 択 することになっていますが,ほとんどの 学 校 ですべての 内 容 が 教 えられているようです また 現 実 には, 数 学 の 内 容 について 大 学 入 試 出 題 範 囲 に 確 率 を 含 めている 大 学 は 多 いようです 表 4 場 合 の 数, 確 率 目 標 : 場 合 の 数 を 求 めるときの 基 本 的 な 考 え 方 や 確 率 についての 理 解 を 深 め,それらを 事 象 の 考 察 に 活 用 できる 場 合 の 数 数 え 上 げの 原 則 ( 集 合 の 要 素 の 個 数 に 関 する 基 本 的 な 関 係 や 和 の 法 則, 積 の 法 則 について 理 解 する), 順 列 組 合 せ( 具 体 的 な 事 象 の 考 察 を 通 して 順 列 および 組 合 せの 意 味 につい て 理 解 し,それらの 総 数 を 求 める) 確 率 確 率 とその 基 本 的 な 法 則 ( 確 率 の 意 味 や 基 本 的 な 法 則 についての 理 解 を 深 め,それらを 用 いて 事 象 の 確 率 を 求 める また, 確 率 を 事 象 の 考 察 に 活 用 する), 独 立 な 試 行 と 確 率 ( 独 立 な 試 行 の 意 味 を 理 解 し, 独 立 な 試 行 の 確 率 を 求 める また,それを 事 象 の 考 察 に 活 用 す る ), 条 件 付 き 確 率 ( 条 件 付 き 確 率 の 意 味 を 理 解 し, 簡 単 な 場 合 について 条 件 付 き 確 率 を 求 める また,それらを 事 象 の 考 察 に 活 用 する) 用 語 記 号 : npr, ncr, 階 乗,n!, 排 反 中 学 校 の 第 2 学 年 の 項 でも 種 々 記 述 しましたが, 確 率 の 実 際 的 意 味 を 真 に 理 解 できて いるのかは 次 の 問 に 的 確 に 解 答 できるか 否 かで 判 断 できます 16

17 5 本 の 中 に 当 たりが 2 本 入 っているくじがある 5 人 が 順 にくじを 引 くとする 最 初 に 引 いても 後 から 引 いても 当 たる 確 率 は 2/5 でみんな 等 しい と 言 われても 何 かすっ きりしない 実 際 に,もし 最 初 の 2 人 が 当 たりくじを 引 いたら,それ 以 後 の 人 は 絶 対 に 当 たらない その 外 れた 人 たちの 不 満 をどう 解 消 すればよいか この 種 の 問 への 正 解 を 導 ける 人 は 意 外 と 少 ない これは, 高 等 学 校 での 確 率 に 関 する 授 業 が 計 算 に 終 始 しており, 確 率 の 意 味 まで 理 解 させていない 証 拠 の 一 つだと 思 います ほかにも 留 意 したい 点 があります 中 学 校 の 第 2 学 年 の 項 でも 述 べましたが, 確 率 に ついては, 数 学 的 確 率, 統 計 的 確 率 が 導 入 されています しかし,それぞれの 確 率 の 定 義 にはその 値 を 求 める 際 に 次 に 示 すような 気 持 ちの 悪 さがあります 1) 同 程 度 に 確 からしいことを 誰 が 保 証 するのか 2) 無 限 に 試 行 を 続 けることができるのか 実 際 はどちらも 実 行 不 可 能 です しかし, 数 学 という 教 科 の 中 での 内 容 であると 意 識 すると, 公 理 論 的 確 率 として, 完 全 に 数 学 として 公 理 からスタートし 扱 うことが 可 能 で あることを 十 分 理 解 すべきです その 上 で 学 校 教 育 の 場 では( 入 試 問 題 でも), 確 率 の 実 際 的 な 値 の 導 出 をしなければならないので,ある 仮 定 ( 同 様 に 確 からしい)の 下 で 普 遍 的 に 計 算 ができる, 数 学 的 確 率 を 採 用 しているという 理 解 は 大 切 です これらを 総 合 的 に 捉 え 考 えるのが, 蓋 然 性 の 健 全 な 理 解 につながると 思 っています 3.3 数 学 B(2 単 位 ) 科 目 数 学 B の 中 では, 従 前 の 数 学 C から 移 行 した 内 容 確 率 分 布, 正 規 分 布, 統 計 的 推 測 が 扱 われています これは, 確 率 分 布 と 統 計 的 な 推 測 という 内 容 の 中 で 扱 われており, 学 習 指 導 要 領 の 一 番 目 に 位 置 付 けられています また, 従 前 の 数 学 A で, 生 徒 に 最 も 分 かりにくいとされた 期 待 値 が 数 学 B に 移 行 され, 確 率 分 布 と 合 わせて 扱 うことになりました{この 移 行 にも 係 わらず, 平 成 27 年 度 用 大 学 入 試 で 数 学 A の 中 に 期 待 値 を 求 める 問 題 を 出 題 した 大 学 が 見 られたのは 残 念 であった} 簡 単 に その 内 容 のキーワードをあげると, 表 5 のようにできます( 太 字 は 筆 者 が 強 調 するため につけました) 最 後 は 区 間 推 定 まで 含 まれています 表 5 確 率 分 布 と 統 計 的 な 推 測 確 率 分 布 正 規 分 布 統 計 的 な 推 測 確 率 変 数 と 確 率 分 布, 二 項 分 布 二 項 分 布 の 近 似 母 集 団 と 標 本, 統 計 的 な 推 測 の 考 え このことからわかるとおり, 高 等 学 校 では, 数 学 Bの 内 容 確 率 分 布 と 統 計 的 な 推 測 を 学 べば 基 本 的 な 統 計 的 手 法 に 関 しては, 多 くのものを 理 解 できる 構 成 になっています はじめに の 節 で 述 べたように, 統 計 的 なものの 見 方 考 え 方 は 多 方 面 にわたって 有 17

18 益 なものですので, 俗 に 言 う 文 系 理 系 を 問 わず,ぜひ 多 くの 生 徒 が 履 修 し, 統 計 的 な ものの 見 方 考 え 方 を 豊 かにしてほしいと 思 っています ここでの 内 容 は, 中 学 校 の 第 3 学 年 で 学 習 する, 標 本 調 査 のさらなる 発 展 内 容 になっ ています この 科 目 の 標 準 単 位 数 も 2 単 位 で, 他 に 二 つの 数 学 内 容 数 列 ベクトル があり,これらの 中 から 適 宜 選 択 し 履 修 することになっています 高 等 学 校 での 数 学 の( 統 計 学 の) 履 修 について 想 定 される 最 悪 のケースは, 高 等 学 校 で 数 学 I 以 外 ではまったく 確 率 統 計 の 内 容 を 学 ばない 生 徒 が 出 てくることです 生 徒 の 実 態 や 単 位 数 等 に 応 じて 内 容 を 適 宜 選 択 させる 数 学 A 数 学 B での 確 率 統 計 内 容 の 扱 いは 微 妙 な 位 置 付 けになっていますが, 各 高 等 学 校 による 選 択 の 方 向 性 は, 大 学 入 学 試 験 での 出 題 範 囲 の 指 定 動 向 で 決 まると 思 います そのため 確 かに 確 率 分 布 と 統 計 的 な 推 測 は 多 くの 学 校 で 教 えられていないようです 3.4 数 学 活 用 (2 単 位 ) 従 前 の 科 目, 数 学 基 礎 ( 必 履 修 科 目 としての 選 択 ;5% 程 度 の 実 施 率 であった)とは 履 修 形 態 は 異 なりますが, 選 択 科 目 数 学 活 用 ( 標 準 単 位 数 2 単 位 ;1つの 学 年 では 約 2%の 実 施 率 と 思 われます)の 中 にも, 社 会 生 活 における 数 理 的 な 考 察 という 統 計 に 関 する 内 容 があります 社 会 生 活 における 数 理 的 な 考 察 では,データの 分 析 が あり,この 中 で, 身 近 な 事 象 に 対 して 目 的 に 応 じてデータを 収 集 し, 表 計 算 用 のソフ トウエアなどを 用 いて 処 理 し,データ 間 の 傾 向 を 捉 え 予 測 や 判 断 できること ( 学 習 指 導 要 領 )を 目 指 しています そこでは, 例 えば, 気 温 とある 商 品 の 売 り 上 げとの 関 係 に ついて, 散 布 図 や 相 関 係 数 を 用 いて 調 べたり, 変 数 間 に 関 数 関 係 があると 見 なして 処 理 し, 商 品 の 売 り 上 げを 予 測 したりする,などと 記 述 されています これは 暗 に 回 帰 分 析 をイメージしていると 考 えられます 多 くの 高 校 生 に, 数 学 I とともにぜひ 履 修 し てほしいものです しかし, 数 学 の 社 会 的 活 用 を 記 述 する 科 目 にもかかわらず, 平 成 27 年 度 は2 冊 の 教 科 書 のみしか 出 版 されていません その 内 1 冊 には 回 帰 についての 記 述 があります 18

19 4. ものの 見 方 考 え 方 統 計 的 なものの 見 方 考 え 方 は, 個 人 の 経 験 に 基 づく 知 識 や 知 恵 を 多 面 的 に 用 いなが ら, 目 的 に 沿 った 適 切 で 有 効 な 情 報 を 選 択 し, 利 用 活 用 することによってなされる 活 動 です すなわち, 収 集 した 情 報 の 中 に 新 しい 価 値 を 見 出 すことです 今 回, 中 学 校 で 各 学 年 の 内 容 に 数 学 的 活 動 が 位 置 づいたことには 大 きな 意 味 がありますが, 数 学 的 活 動 ( 確 定 的 な 現 象 が 主 な 考 察 対 象 )と 統 計 的 活 動 ( 不 確 定 的 な 現 象 が 考 察 対 象 )における 活 動 方 法 の 違 いが 学 習 指 導 要 領 に 明 確 には 記 述 されていないことは 残 念 です どちらが どちらを 包 括 するという 関 係 ではなく, 規 則 性 ( 不 変 性 )を 見 つけるという 意 味 では 同 じですが, 思 考 プロセスは 同 一 ではないことの 理 解 が 大 切 となります すなわち, 数 学 は 基 本 的 には 演 繹 的 思 考 で 展 開 されますが, 統 計 は 帰 納 的 思 考 が 主 です 統 計 学 の 本 質 は, 帰 納 的 推 論 の 中 に 演 繹 的 論 理 の 過 程 を 導 入 することにより, 科 学 的 な 結 論 が 導 ける 点 にあります まさに, 統 計 は 不 確 実 性 の 数 理 です 論 理 的 な 考 え 方 は 演 繹 的 推 論 につ きるという 捉 え 方 は 適 切 ではありませんが, 従 前 の 演 繹 的 論 理 だけで 統 計 の 内 容 を 教 え れば, 統 計 的 なものの 見 方 考 え 方 を( 生 徒 学 生 が) 正 しく 理 解 することはできない と 考 えます 要 は, 統 計 の 内 容 を 数 学 を 教 えるような 方 法 だけで 教 えないことが 肝 要 で す 19

20 5. 統 計 学 習 サイト 統 計 を 学 習 するにあたって, 利 用 可 能 なデータ, 表 の 作 り 方,グラフの 描 き 方, 種 々 の 統 計 値 の 計 算 の 仕 方 など 知 りたいことについて 多 くのサイトがあります それらの 利 用 も 実 際 に 行 われています たとえば, 総 務 省 統 計 局 ( 見 ると,その 中 で 小 学 校 高 学 年 から 中 学 生 向 けとして なるほど 統 計 学 園 ( 高 校 生 向 けとして How to 統 計 ( 小 中 高 校 の 先 生 向 けとして ( などが 挙 げられます 事 前 学 校 登 録 が 必 要 ですが 生 徒 参 加 型 でデータ 活 用 授 業 支 援 サイト も 有 用 のようです 自 らもデータ 収 集 に 参 加 でき,またデータによっては 国 別 比 較 など もでき 興 味 深 いもののようです また,エクセルと 比 べても 簡 単 に 色 々なヒストグラムが 作 れる SimpleHist も 使 われています それは 以 下 のアドレスから( 無 料 )ダウンロードできます 参 考 文 献 景 山 三 平 (2011). 小 中 高 等 学 校 における 統 計 教 育 の 課 題 新 学 習 指 導 要 領 から 見 え るものー. 広 島 工 業 大 学 紀 要 教 育 編, 第 10 巻, 景 山 三 平 (2012). 新 学 習 指 導 要 領 に 基 づく 高 校 教 科 書 数 学 I の 統 計 記 述 内 容 および その 評 価. 広 島 工 業 大 学 紀 要 教 育 編, 第 11 巻, 景 山 三 平 (2012). 数 学 I の 新 内 容 データの 分 析 について. じつきょう 数 学 資 料 No.64,1-3. 教 科 書 数 学 I (2012). 実 教 出 版, 数 研 出 版, 東 京 書 籍, 啓 林 館, 第 一 学 習 社. 教 科 書 数 学 活 用 (2012). 実 教 出 版, 啓 林 館. 松 浦 武 人 景 山 三 平 (2003). 小 学 校 における 統 計 教 育 の 歴 史 的 考 察 と 今 日 的 課 題 統 計 教 育 カリキュラム 改 善 への 提 言. 日 本 数 学 教 育 学 会 誌, 第 85 巻 第 4 号, 文 部 科 学 省 (2008). 小 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説 算 数 編. 東 洋 館 出 版 社,8 月. 文 部 科 学 省 (2008). 中 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説 数 学 編. 教 育 出 版,9 月. 文 部 科 学 省 (2009). 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説 数 学 編. 実 教 出 版 株 式 会 社,12 月. ( 平 成 27 年 9 月 改 訂 ) 20