Higher Order Grammar の話

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1 Higher-Order Grammar のススメ at ngcom (Sep ) 稲 葉 一 浩

2 自 己 紹 介 稲 葉 一 浩 ~ : Windows 用 ツール 作 り 2002~ : プログラミング 言 語 いじり 趣 味 など

3 自 己 紹 介 2004 ~ : 東 大 <XML 処 理 の 理 論 的 基 礎 > 2009 ~ : NII < 双 方 向 グラフ 変 換 > 2011 ~ : Google <Chrome OS>

4 今 日 のお 話 この 頃 やった 話 Inaba and Maneth, The Complexity of Tree Transducer Output Languages, FSTTCS 2008 Inaba, Complexity and Expressiveness of Models of XML Translations, PhD Thesis, 2009 の 一 部 (の 一 部 (に 関 連 する)) 話 注 意 事 項 XML 一 切 関 係 ない いまのところ 純 粋 に 理 論 の 話 です 2004 ~ : 東 大 <XML 処 理 の 理 論 的 基 礎 >

5 Chomsky 階 層 [1956] Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 A B ::= C + D A E B A ::= C C C ( 左 辺 に2 文 字 以 上 あっていい 文 法 ) 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法 E ::= T E + T T ::= ( E ) 0 1 (a b)*c(d e* f)

6 Chomsky 階 層 [1956] Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 GOOD 表 現 力 高 い BAD 文 法 として 書 きにくい BAD Parsing 等 の 計 算 量 が 重 い 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法 GOOD 使 いやすい (yacc, grep, ) BAD 表 現 力 低 め

7 Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 色 々な 拡 張 文 法 文 脈 自 由 文 法 多 重 文 脈 自 由 文 法 TAG ET0L-System PEG 正 規 文 法

8 Aho [1968] Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 添 字 文 法 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法

9 Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 Fischer [1968] 添 字 文 法 = Lazyマクロ 文 法 Eagerマクロ 文 法 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法

10 マクロ 文 法 とは 文 脈 自 由 文 法 の 非 終 端 記 号 が パラメータを 取 る 文 法 例 1: インデントでブロックを 表 現 (Python 風 ) BLOCK(x) ::= STATEMENT(x) STATEMENT(x) BLOCK(x) STATEMENT(x) ::= S_IF(x) S_WHILE(x) S_EXPR(x) S_IF(x) ::= x if EXPR n BLOCK(x t) S_WHILE(x) ::= x while EXPR n BLOCK(x t) S_EXPR(x) ::= x E E ::= E + E E * E PROGRAM ::= BLOCK()

11 マクロ 文 法 とは 文 脈 自 由 文 法 の 非 終 端 記 号 が パラメータを 取 る 文 法 例 2: 正 規 表 現 の 後 方 参 照 的 な /<([a-z]+)> </ 1>/ XML ::= ELEMENT( [a-z]+ ) ELEMENT(tag) ::= < tag > </ tag >

12 マクロ 文 法 とは Parser Generator の 実 装 があるかどうかは 知 らない 論 文 はあった index 長 に 依 存 した 長 さの 先 読 みを 行 う 構 文 解 析 器 生 成 系 東 達 軌, 山 口 文 彦, 山 崎 克 典 ( 東 京 理 科 大 ), 2008 インデントによるブロック 表 現 に 特 化 した 特 殊 な 添 字 文 法 を 扱 う

13 Eager と Lazy ( 遅 延 評 価 ) S にマッチする 文 字 列 を 選 びなさい( 複 数 選 択 可 ) <a,a> <a,b> <b,a> <b,b> AORB ::= a b PAIR(x) ::= < x, x > S ::= PAIR( AORB )

14 Eager と Lazy AORB ::= a b PAIR(x) ::= < x, x > S ::= PAIR( AORB ) S にマッチする 文 字 列 を 選 びなさい( 複 数 選 択 可 ) <a,a> Eager Lazy <a,b> Lazy <b,a> Lazy <b,b> Eager Lazy

15 Eager と Lazy AORB ::= a b PAIR(x) ::= < x, x > S ::= PAIR( AORB ) S PAIR( AORB ) PAIR( a b ) PAIR(a) または PAIR(b) <a,a> または <b,b> S PAIR( AORB ) < AORB, AORB > < (a b), AORB > < a, AORB > または < b, AORB> <a,a> <a,b> <b,a> <b,b>

16 Eager と Lazy Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 添 字 文 法 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法 どちらにも そっちでしか 書 けない 文 法 がある = Lazyマクロ 文 法 Eagerマクロ 文 法 正 確 には 文 法 用 語 では Lazy のことを OI Eager のことを IO と 呼 びます

17 Eager と Lazy の 使 い 分 け どちらでも 変 わらない (インデントは tab 1 固 定 ) PROGRAM ::= BLOCK() BLOCK(x) ::= S(x) S(x) BLOCK(x) S(x) ::= x if EXPR n BLOCK(x NEST) NEST ::= t Eager ( 任 意 個 のspace ただし 同 じブロックは 同 じ 深 さで) NEST ::= NEST Lazy (インデントは tab 1 または space 8 を 同 一 視 ) NEST ::= t

18 他 の 例 (Lazy) データ 型 の 宣 言 data List a = Nil Cons a (List a) List(a) ::= Nil Cons(a, List(a)) Bool ::= False True List(Bool) にマッチするデータ Nil Cons(False, Nil) Cons(True, Cons(False, Nil))...

19 Polymorphic Recursion data Pair a b = P a b data Pow2Seq a = S a B (Pow2Seq (Pair a a)) Pair(a,b) ::= P(a,b) Pow2Seq(a) ::= S(a) B(Pow2Seq(Pair(a,a)) Pow2Seq(Bool) にマッチするデータ S(False) B(S(P(False,True))) B(B(S(P(True,True),P(True,False)))) B(B(B(S(...8 個... )))) Polymorphic Recursion で 表 せ る 制 約 = CbNマクロ 文 法 で 表 せる 制 約

20 ここから 本 題

21 高 階 マクロ 文 法 [Engelfriet&Schmidt 1977] Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 Lzy 3 rd マクロ Lzy 2 nd マクロ Egr 3 rd マクロ Egr 2 nd マクロ 添 字 = Lzy 1 st マクロ Egr 1 st マクロ 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法

22 マクロ 文 法 の パラメタ を 高 階 にしてみよう! TYPE1(h, b) ::= h { b } TYPE2(h, b) ::= h begin b end SS(t) ::= S(t) SS(t) S(t) ::= IF(t) WHILE(t) UBE IF(t) ::= t(if E, SS(t)) WHILE(t) ::= t(while E, SS(t)) UBE ::= beginend S(TYPE2) PROGRAM ::= SS(TYPE1) if x<3 { beginend while x<100 begin if x%2==0 begin... end end while x<200 {... } }

23 未 解 決 (だった) 問 題 この 人 達 は 文 脈 依 存 文 法 に 入 りますか? Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 Lzy 3 rd マクロ Lzy 2 nd マクロ Egr 3 rd マクロ Egr 2 nd マクロ 添 字 = Lzy 1 st マクロ Egr 1 st マクロ 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法

24 Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 Eager なら Yes [Maneth 02] Lzy 3 rd マクロ Lzy 2 nd マクロ 添 字 = Lzy 1 st マクロ Egr 3 rd マクロ Egr 2 nd マクロ Egr 1 st マクロ 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法

25 Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 Lazy でも Yes!! [Inaba&Maneth 08] Lzy 3 rd マクロ Lzy 2 nd マクロ 添 字 = Lzy 1 st マクロ Egr 3 rd マクロ Egr 2 nd マクロ Egr 1 st マクロ 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法

26 別 の 見 方 : 構 文 解 析 の 計 算 量 こいつらの NSPACE(n) EXPTIME 以 下 の 構 文 解 析 アルゴリズムは 作 れるか? Type-0 (Turingマシン) 文 脈 依 存 NSPACE(n) Lzy 3 rd マクロ Lzy 2 nd マクロ Egr 3 rd マクロ Egr 2 nd マクロ 文 脈 自 由 P 添 字 = Lzy 1 st マクロ NP 完 全 Egr 1 st マクロ P 2k 正 規 文 法 DSPACE(1) k th マクロ 文 法 の 2^2^ ^n 時 間 構 文 解 析 はわりと 簡 単 に 作 れる も 少 しマシになりませんか?

27 定 理 [Inaba 09] [Inaba&Maneth 08] Higher-Order Macro Grammar は DSPACE(n) O(n) の 空 間 計 算 量 で 構 文 解 析 できる せいぜい 指 数 時 間 で 構 文 解 析 できる ( 理 論 上 は) 文 脈 依 存 文 法 に 書 き 直 せる NP 完 全 (P=NP でない 限 り) 多 項 式 時 間 で 解 析 するのは 難 しい 文 脈 依 存 言 語 の 全 てを 書 けるわけではない NP 完 全 なので 難 しいと 言 えば 難 しいけど そこまで 絶 望 的 に 難 しいわけではない!

28 証 明 の 方 針 おおざっぱに 言 うと 構 文 木 のプリティプリンタ を 考 える 構 文 解 析 とはその 逆 計 算 であると 考 える 頑 張 って( 計 算 量 爆 発 しないように) 逆 計 算

29 高 階 マクロ 文 法 の 構 文 木 (Eagerの 場 合 ) 普 通 の 文 脈 自 由 文 法 と 同 じ どの 構 文 規 則 を 使 ったか をノードにした 木 TYPE1(h, b) ::= h { b } TYPE2(h, b) ::= h begin b end SS(t) ::= S(t) SS(t) S(t) ::= IF(t) WHILE(t) UBE IF(t) ::= t(if E, SS(t)) WHILE(t) ::= t(while E, SS(t)) UBE ::= beginend S(TYPE2) PROGRAM ::= SS(TYPE1) beginend if x<100 begin end S[3] SS[2] PROGRAM SS[1] TYPE1 beginend S[1] IF TYPE2 t if E SS[1] t

30 プリティプリンタ 単 に 構 文 木 を interpret する 関 数 [Theorem: Engelfriet&Vogler 1988] 高 階 関 数 を 使 わず n 階 関 数 だけを 実 行 してn-1 階 関 数 のみに 落 とす n-1 階 関 数 だけ 実 行 してn-2 階 関 数 のみに 落 とす... 1 階 関 数 を 実 行 して 普 通 のCFGの 構 文 木 に 落 とす という n 個 の 一 階 関 数 の 合 成 で 書 ける pr 0 pr 1 pr n t n t n-1 t n-2 t 0 string

31 計 算 量 1 段 階 pretty print 関 数 pr i の 入 出 力 テスト 問 題 Input: tree x and tree y Output: f(x) = y? が 時 間 計 算 量 O( t( x + y ) ) 空 間 計 算 量 O( s( x + y ) )で 解 けるなら ( 非 決 定 性 TMを 使 えば) 全 体 はその 総 和 で 解 ける pr 0 pr 1 pr n t n t n-1 t n-2 t 0 string

32 計 算 量 1 段 階 pretty print 関 数 pr i の 入 出 力 テスト 問 題 を 効 率 よく 解 きたい Theorem: Eager なら P DSPACE(n) Theorem: Lazy なら NP-complete DSPACE(n) 途 中 に 出 てくる 木 のサイズを 確 実 に 小 さくしたい pr 0 pr 1 pr n t n-2 t 0 string t n t n-1

33 計 算 量 途 中 に 出 てくる 木 のサイズを 小 さくしたい pr 0 pr 1 pr n t n t n-1 t n-2 t 0 string Theorem: できる PR 0 PR 1 PR n t n t n-1 t n-2 t 0 string

34 ところで 何 に 使 うの? ( 応 用 ) 文 法 やその 理 論 の 主 な 応 用 先 1. 自 然 言 語 向 けの 文 の 構 文 解 析 2. プログラミング 向 けの ソース/データの 構 文 解 析 3. プログラミング 言 語 の 挙 動 の 静 的 解 析, Verification 4. バイオなど 向 けの 遺 伝 子 情 報 などの 解 析

35 ところで 何 に 使 うの 文 法 やその 理 論 の 主 な 応 用 先 高 階 関 数 や オブジェクトを 使 う 言 語 だと 必 然 的 に 高 階 になる 1. 自 然 言 語 向 けの 文 の 構 文 解 析 2. プログラミング 向 けの ソース/データの 構 文 解 析 3. プログラミング 言 語 の 挙 動 の 静 的 解 析, Verification 4. バイオなど 向 けの 遺 伝 子 情 報 などの 解 析

36 文 法 を 使 った 解 析 の 例 リソース 使 用 法 解 析 FILE* fp = fopen(filename, r ); while(!feof(fp) ) {... fread(... );...} fclose(fp); PROG ::= fopen LOOP fclose LOOP ::= feof feof fread LOOP PROG fopen ( feof fwrite fread ftell )* fclose?

37 interface Stream { String readline(); void close(); } class FileStream extends Stream {... } void processfile( String name, Fun<void(Stream)> f ) { FileStream fp = new FileStream(name); f(fp); fp.close(); } void echo( Stream input ) { while( String line = input.readline() ) println(line); input.close(); } void main() { processfile( foo.txt, echo); } PROCESSFILE(f) ::= fopen f( fread, fclose ) ECHO(rd, cl) ::= LOOP(rd, cl) cl LOOP(rd, cl) ::= rd rd LOOP(rd, cl) MAIN() ::= PROCESSFILE(ECHO) MAIN fopen ( feof fwrite fread ftell )* fclose?

38 ところで 何 に 使 うの こっちの 応 用 考 えたい 文 法 やその 理 論 の 主 な 応 用 先 1. 自 然 言 語 向 けの 文 の 構 文 解 析 2. プログラミング 向 けの ソース/データの 構 文 解 析 3. プログラミング 言 語 の 挙 動 の 静 的 解 析, Verification 4. バイオなど 向 けの 遺 伝 子 情 報 などの 解 析

39 Type-0 文 法 文 脈 依 存 文 法 Lzy 3 rd マクロ Lzy 2 nd マクロ 添 字 = Lzy 1 st マクロ Egr 3 rd マクロ Egr 2 nd マクロ Egr 1 st マクロ 文 脈 自 由 文 法 正 規 文 法

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