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1 問 題 を 見 ずに 問 題 を 解 く ~ 定 数 時 間 アルゴリズムとは? ~ 𠮷 田 悠 一 国 立 情 報 学 研 究 所 2014 年 1 月 22 日

2 自 己 紹 介 𠮷 田 悠 一 専 門 : 理 論 計 算 機 科 学 計 算 とは 何 かを 考 える 学 問 P vs NP 乱 数 暗 号 出 身 : 大 阪 府 枚 方 市 洛 南 高 校 京 都 大 学 (Preferred Infrastructure, Inc.) 国 立 情 報 学 研 究 所 4 日 後 に 結 婚 式!!

3 あらすじ ソーシャルグラフ: 六 次 の 隔 たり 六 次 の 隔 たりをどうやって 判 定 するか? 古 典 的 な 判 定 方 法 定 数 時 間 アルゴリズムとは 定 数 時 間 アルゴリズムによる 判 定 方 法 定 数 時 間 アルゴリズムのその 他 の 応 用 私 の 最 近 の 研 究

4 ソーシャルグラフ 好 きなSNSを 考 える(Facebook, Mixiなど) 以 下 の 様 にグラフを 作 る ユーザ 点 友 人 関 係 点 と 点 を 結 ぶ 枝

5 ソーシャルグラフ

6 グラフの 用 語 a d b c e 頂 点 数 = 5 枝 数 = 5 頂 点 aと 頂 点 cの 距 離 = 1 頂 点 aと 頂 点 eの 距 離 = 2 グラフの 直 径 = 2

7 六 次 の 隔 たり 友 人 関 係 を 高 々6 回 たどることで ( 殆 ど) 全 ての 人 に 到 達 することができる 直 径 が(ほぼ)6?? どう 確 認 すればよい??

8 ミルグラムの 実 験 (1967) アメリカ ネブラスカ 州 の160 人 に 以 下 の 手 紙 を 送 った 同 封 写 真 はボストン 在 住 の 株 式 仲 介 人 です 本 人 を 知 っていたらこの 手 紙 を 転 送 してください そうでなけれ ば 知 っていそうな 人 にこの 手 紙 を 転 送 してください

9 ミルグラムの 実 験 42 通 が 実 際 に 届 いた 途 中 で 経 由 した 人 数 の 平 均 値 は5.83 人 六 次 の 隔 たり!? 余 り 鵜 呑 みにはできない 25%しか 届 いていない 残 りは 遠 いから 届 かなかったのでは? ボストンは 都 会 なので 辿 り 着 きやすいかもしれない 追 試 も 出 来 ない

10 SNS 企 業 による 実 験 現 在 はSNSを 通 じてソーシャルグラフ 全 体 が 手 に 入 るので もう 少 し 正 確 な 実 験 が 可 能 平 均 距 離 ( 直 径 ) Facebook: 4.74 (2011 年 時 点 ) Twitter: 4.67 (2010 年 時 点 ) a d b c 何 故 直 径 を 発 表 しない? e

11 幅 優 先 探 索 一 点 vs 全 点 の 距 離 を 求 める b c a c d f i e g

12 幅 優 先 探 索 一 点 vs 全 点 の 距 離 を 求 める b c a c d f i 0 e g

13 幅 優 先 探 索 一 点 vs 全 点 の 距 離 を 求 める b c 1 a c d f i 0 1 e g

14 幅 優 先 探 索 一 点 vs 全 点 の 距 離 を 求 める b 1 c 2 a 0 c 1 d 2 f i e 2 g

15 幅 優 先 探 索 一 点 vs 全 点 の 距 離 を 求 める b 1 c 2 a 0 c 1 d 2 f 3 i e 2 g 3

16 幅 優 先 探 索 一 点 vs 全 点 の 距 離 を 求 める b 1 c 2 a 0 c 1 d 2 f 3 i 4 e 2 g 3 計 算 時 間 枝 数

17 直 径 の 求 め 方 全 ての 頂 点 から 幅 優 先 探 索 する 全 点 vs 全 点 の 距 離 が 手 に 入 る a b c... i a b c : : i 一 番 大 きい 距 離 が 直 径

18 全 体 の 計 算 時 間 直 径 の 計 算 に 必 要 な 計 算 ステップ 数 頂 点 数 枝 数 最 近 のFacebook ユーザ 数 : 10 億 人 頂 点 数 10 億 一 人 あたりの 平 均 友 人 数 : 130 枝 数 650 億 最 近 のコンピュータの 速 度 は 大 体 計 算 ステップ 数 =1 億 1 秒

19 全 体 の 計 算 時 間 計 算 ステップ 数 = 頂 点 数 枝 数 = 6500 京 2 万 年 遅 すぎて 使 い 物 にならない! 少 しぐらい 間 違 っても 良 いので 劇 的 に 速 く 出 来 ないか? 定 数 時 間 アルゴリズム

20 考 察 : 直 径 は 不 安 定 なパラメータ 直 径 は11 だが 殆 ど4みたいなもの

21 考 察 : 直 径 は 不 安 定 なパラメータ 直 径 高 々Dなグラフ に 近 い 直 径 D 直 径 高 々Dなグラフ から 遠 い 直 径 D

22 直 径 高 々D との 距 離 直 径 高 々Dとの 距 離 : 直 径 をD 以 下 にするのに 足 すべき 枝 の 本 数 直 径 D 距 離 1 直 径 D 距 離 7

23 性 質 検 査 の 考 え 方 直 径 高 々Dなグラフ 直 径 D 直 径 高 々Dなグラフから 遠 い この 二 つを 区 別 することに しよう 直 径 D

24 性 質 検 査 直 径 Dからε -far: 直 径 Dなグラフとの 距 離 が ε ( 頂 点 数 ) 以 上 直 径 Dという 性 質 に 対 する 検 査 アルゴリズム: グラフ 全 体 直 径 D ( 高 い 確 率 で)Yes 何 を 答 えても 良 い ε -far ( 高 い 確 率 で)No

25 性 質 検 査 の 狙 い Dを 正 確 に 求 めるには( 頂 点 数 ) ( 枝 数 )ステップ 必 要 グラフが 大 きくなればなるほど 遅 くなる グラフのε 割 合 の 誤 差 を 許 すことで 速 くなるかも? 多 くの 検 査 アルゴリズムは グラフのサイズに 依 らない 時 間 ( 定 数 時 間 ) で 動 作 する 注 : ε =0.01などに 固 定

26 何 故 定 数 時 間 になる? 直 径 Dと 区 別 つきにくいが ε -farではないので 何 を 出 力 してもよい 直 径 D 直 径 Dからε -farなのでnoと 出 力 しないといけない し かし 端 の 頂 点 は 簡 単 に 見 つかる 直 径 D

27 更 に 問 題 を 緩 める 直 径 Dと 直 径 Dからε -farを 区 別 するのは 難 しい 直 径 Dと 直 径 4D+2からε -farを 区 別 する 直 径 D 直 径 D からε -far 直 径 4D+2 からε -far グラフ 全 体 ( 高 い 確 率 で)Yes ( 高 い 確 率 で)No

28 検 査 アルゴリズム 概 要 入 力 : グラフG 誤 差 パラメータε パラメータkとsを 適 切 に 設 定 D v 1 k 頂 点 ある 次 へ v 2 v 3 k 頂 点 ない No k 頂 点 ある 次 へ s 回 繰 り 返 し 全 て 周 りにk 頂 点 有 る Yes

29 検 査 アルゴリズム 入 力 : グラフG 誤 差 パラメータε 以 下 の 様 に 設 定 s = 6/ε k = 2/ε アルゴリズム: 頂 点 v 1,,v s をランダムに 選 ぶ for i = 1 to s v i から 半 径 D 以 内 をk 頂 点 だけ 幅 優 先 探 索 if k 頂 点 みつからなかった then Noと 出 力 Yesと 出 力

30 アルゴリズムの 計 算 時 間 の 解 析 計 算 ステップ 数 sk = 12/ε 2 グラフのサイズに 依 らない= 定 数 時 間 Facebookの 場 合 : ε = 0.01 計 算 ステップ 数 = ミリ 秒 ε = ミリ 秒 ε = 秒

31 アルゴリズムの 正 しさの 解 析 良 い 頂 点 : 距 離 D 以 内 にk 頂 点 以 上 存 在 悪 い 頂 点 : 距 離 D 以 内 にk 頂 点 未 満 しか 存 在 しない ( 注 : 悪 い 頂 点 が 一 つでも 見 つかるとNoと 出 力 ) 以 下 を 示 す 直 径 Dの 時 全 ての 頂 点 が 良 い 直 径 4D+2からε -farの 時 多 くの 頂 点 が 悪 い

32 直 径 Dの 時 どの 頂 点 の 周 りにも 距 離 D 以 内 にn 頂 点 存 在 する 全 ての 頂 点 が 良 い 直 径 D

33 直 径 4D+2からε -farの 時 [ 定 理 ] 悪 い 頂 点 がt 個 ある 時 t+n/k 本 の 枝 を 追 加 することで 半 径 4D+2に 出 来 る 良 い 良 い 良 い D 良 い 良 い D 悪 い

34 直 径 4D+2からε -farの 時 ε -far 少 なくともε n 本 枝 を 足 さないといけない t + n/k ε n t ε n/2 (k=2/ε より) 一 度 も 悪 い 頂 点 を 選 ばない 確 率 : (1 (ε n/2)/n) s = (1-ε /2) s (1-ε /2) 6/ε e -3 (1 - x e -x より) % 以 上 の 確 率 でNoと 出 力 する

35 まとめ Facebookの 様 な 巨 大 なグラフの 直 径 Dを 正 確 に 求 める と2 万 年 必 要 直 径 Dと 直 径 4D+2からε -farを 区 別 するので 良 いの であれば 数 秒 で 済 んでしまう しかも 後 者 はグラフの 大 きさに 依 らない 計 算 時 間 何 故 定 数 時 間 で 済 むのか? 許 す 誤 差 がグラフの 大 きさに 依 存 しているから しかし 直 径 の 様 な 問 題 の 時 はむしろ 妥 当 直 径 Dと 直 径 D+4からε -farの 区 別 をすることも 可 能

36 常 に 同 じ 大 きさの 部 分 だけ 見 て 問 題 を 見 ずに 問 題 を 解 く ~ 定 数 時 間 アルゴリズムとは? ~ 𠮷 田 悠 一 国 立 情 報 学 研 究 所 2014 年 1 月 22 日

37 性 質 検 査 のその 他 の 応 用

38 その 他 のグラフの 性 質 に 対 する 検 査 三 彩 色 性 k 枝 連 結 性 k 全 て 定 数 時 間 で 検 査 可 能 平 面 性

39 性 質 検 査 の 適 用 事 例 1. 入 力 データが 巨 大 2. 入 力 データは 小 さいが 問 題 を 解 くのが 難 しい 3. 同 じ 問 題 を 大 量 に 正 確 に 解 きたい

40 入 力 データが 巨 大 例 :DNA 配 列 ソーシャルグラフ ウェブグラフ 全 体 を 読 み 込 むだけで 時 間 がかかる 1. 例 え 完 全 なデータが 有 っても 数 分 はかかる 2. 完 全 なデータが 手 に 入 らないかもしれない 性 質 検 査 ならば 定 数 サイズを 読 むだけで 良 い 1. 数 分 から 数 秒 さらに 短 い 時 間 へ 2. 検 査 アルゴリズムを 走 らせながらデータ 取 得

41 入 力 データは 小 さいが 問 題 を 解 くのが 難 しい 例 : 三 彩 色 性 NP 完 全 問 題 最 速 アルゴリズムの 計 算 ステップ 数 = 約 2 n n = 秒 n = 秒 n = 秒 n = 40 3 時 間 n = 日 n = 年 n = 兆 年 性 質 検 査 ならば 定 数 時 間 で 解 ける!

42 同 じ 問 題 を 大 量 に 正 確 に 解 きたい 例 : 画 像 検 索 性 質 検 査 を 枝 刈 りに 使 う farでないものだけ 正 確 に 解 く データベース クエリ Kleiner et al., Applying Property Testing to an Image Partitioning Problem, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. 33, no. 2, pp

43 私 の 最 近 の 研 究 内 容 (のグラフ 版 )

44 性 質 検 査 という 研 究 分 野 の 最 終 目 標 定 数 時 間 で 検 査 可 能 な 性 質 とは 何 かを 明 らかにする 定 数 時 間 で 検 査 可 能 な 性 質??? 定 数 時 間 で 検 査 不 可 能 な 性 質 局 所 的 な 性 質 と 大 域 的 な 性 質 の 関 係 を 明 らかにする 例 : 悪 い 頂 点 の 個 数 と 半 径 4D+2にするのに 足 すべき 枝 数 の 関 係

45 Szemerédiの 正 則 性 補 題 任 意 のグラフは 等 しい 大 きさの 部 分 V 1,,V k に 分 けるこ とができ 各 ペア(V i, V j )は 密 度 η ij のランダムな 二 部 グラフ に 見 える G V 1 V i V j V 5 V 2 U i U j V 4 V 3 V i -V j 間 の 枝 の 本 数 η ij V i V j U i -U j 間 の 枝 の 本 数 η ij U i U j

46 定 数 時 間 で 検 査 可 能 な グラフの 性 質 の 特 徴 付 け 性 質 Pからε -far: 性 質 Pを 満 たすには 枝 をε ( 頂 点 数 ) 2 本 追 加 もしくは 削 除 しなければならない 性 質 Pが 定 数 時 間 で 検 査 可 能 性 質 Pが 満 たされるか 否 かは 密 度 の 集 合 {η ij }だけで 決 まる [Alon et al. SICOMP]

47 三 彩 色 可 能 性 は 定 数 時 間 で 検 査 可 能 G V 1 G V 5 V 2 V 4 V 3 Gが 三 彩 色 可 能 かを 判 定 するには G が 三 彩 色 可 能 かを 調 べれば 良 い 三 彩 色 可 能 性 は 定 数 時 間 で 検 査 可 能

48 私 の 最 近 の 研 究 関 数 f: F pn {0, 1}の 性 質 の 検 査 例 : 線 形 性 低 次 の 多 項 式 か 有 る 形 に 因 数 分 解 でき るか etc. 定 数 時 間 で 検 査 可 能 な 必 要 十 分 条 件 を 得 た 加 法 的 組 み 合 わせ 論 ( 高 階 ) 調 和 解 析 などの 数 学 的 道 具 を 使 用

49 まとめ 問 題 を 正 確 に 解 くのではなく ε 割 合 の 誤 差 を 許 すこと で 計 算 時 間 を 定 数 まで 減 らすことが 出 来 る 数 学 的 な 興 味 から 生 まれた 分 野 現 実 の 応 用 から 着 想 を 得 ることで 更 に 豊 かな 分 野 に なると 期 待 ご 清 聴 有 り 難 うございました

表紙

表紙 現 況 の 指 定 容 積 率 をすべて 使 い 切 った 場 合 に 現 況 容 積 率 の 2.25 倍 以 上 になるかどうかを 確 認 する 現 況 の 街 区 面 積 は 3,569,759m2 延 べ 床 面 積 は 3,569,759m2であるから 目 標 とする 延 べ 床 面 積 はその 2.25 倍 の 8,031,958m2である 一 方 指 定 容 積 率 をすべて 使 い

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