三次元球面 $S^3$, レンズ空間 $L(2,1)$,$L(3,1)$ のT TitleViro-Ocneanu 不変量 ($6j$-symbolから導かれる位場の理論の研究 ) Author(s) 鈴木, 幸太郎 Citation 数理解析研究所講究録 (1998), 1053: I

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1 三次元球面 $S^3$, レンズ空間 $L(2,)$,$L(3,)$ のT TitleViro-Ocneanu 不変量 ($6j$-symbolから導かれる位場の理論の研究 ) Author(s) 鈴木, 幸太郎 Citation 数理解析研究所講究録 (998), 053: Issue Date URL Right Type Departmental Bulletin Paper Textversion publisher Kyoto University

2 , $L(2,),$ $L(3,)$ $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{v}-\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o}-\mathrm{o}_{\mathrm{c}}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{u}$ (Koutarou SUZUKI) $*$ $E_{6}6j$ -symbol Turaev-ViIo- Ocneanu $L(2,),$ $L(3,)$ [W] \mu (\rho ) $=d=+\sqrt{3},$ $\mu(\alpha)=\mu(id)=,$ $\omega=\mu^{2}(id)+\mu^{2}(\alpha)+$ $\mu^{2}(\rho)=6+2\sqrt{3}$ $6j- \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{b}_{\mathrm{o}}$ ( )E6 $6j$-symbol $E_{6}6j$-symbol [I] ( )E6 $6j$-symbol $0$ $c_{}= \frac{}{\sqrt{d}}e^{-\frac{5\pi}{6}\sqrt{-}}$, $c_{2}= \frac{}{\sqrt{2}}e^{\frac{7\pi}{2}\sqrt{-}}$, $c_{3}=- \frac{}{d}$, $c_{4}= \frac{}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}\sqrt{-}}$ $\rho\rho\rho s_{l}\rho\rho$ $S_{i} ^{-} S_{j}$ $\rho\rho\overline{s_{m}}\rho$ *The author was partially supported by Research Fellowships of the Japan Society for the Promotion of Science for Young Scientists e-m $a$ il : koutarou@msu-tokyoacjp

3 $\rho\rho\rho\underline{s_{i}}\rho\rho$ 3 $\rho\rho\rho\underline{s_{i}}\rho\rho$ $S_{j} $ $ S_{2}$ $S_{j} $ $ S_{}$ $\rho\rho\overline{s_{2}}\alpha$ $\rho\rho\overline{s_{}}id$ $\rho\rho\rho S_{2}\rho\alpha$ $S_{i} ^{-}$ $ U$ $\rho\rho \mathcal{t}_{j}\rho$ $\rho\rho\rho\underline{s_{i}}\rho\rho$ $\rho\rho\rho\underline{s_{i}}\rho\rho$ $S_{2} _{-} S_{j}$ $S_{} _{-}$ $ S_{j}$ $\alpha\rho $ $id\rho $ $\rho\rho\rho\underline{s_{2}}\rho\alpha$ $\rho\rho\rho\underline{s_{2}}\rho\alpha$ $\rho\rho\rho\underline{s_{\rho}}id$ $\rho\rho\rho\underline{s_{}}\rho id$ $S_{2} _{-} U$ $=- \frac{}{d}$ $S_{} U-$ $= \frac{}{d}$ $S_{2} - \cdot=\frac{}{d}$ $S_{} _{-} $ $= \frac{}{d}$ $\alpha\rho \rho$ $id\rho $ $\alpha\rho $ $id\rho $ $\rho\rho\alpha_{u}\rho\rho$ $\rho\rho\alpha_{u}\rho\rho$ $\rho\rho\alpha_{u}\rho\rho$ $s_{i} ^{-} s_{j}-$ $s_{} _{-}^{-} s_{2}=$ $S_{2} _{-}^{-} S_{}=$ $\rho\alpha U\rho$ $id\alpha \alpha$ $\alpha\alpha id$ $\rho\alpha\rho \rho\rho$ $\rho\alpha\rho \rho\rho$ $\rho\alpha\rho \rho\rho$ $U S_{j}--$ $U S_{2}-=-$ $U S_{}-=$ Si $\rho\rho\overline{s_{2}}\alpha$ $\rho\rho\overline{s_{}}id$ $\rho\rho id\rho\rho$ $\rho\rho id\rho\rho$ $\rho\rho id\rho\rho$ $S_{i} ^{-} S_{j}$ $6_{2}^{\gamma} l\mathrm{b}_{2}--\urcorner=$ $S_{} _{-}^{-}$ $ S_{}=$ $\rho id\overline{}\rho$ $\alpha id\alpha$ idid $id$ $\rho^{j}d\underline{\rho }\rho\rho$ $ $ $ S_{i}$ $\rho id\rho_{\frac{}{}}$ $\rho id\underline{\rho }\rho\rho$ $ $ $ S_{2}=$ $ $ $ S_{}$ $\rho\rho\overline{6}_{j}^{-}\rho$ $\rho\rho\overline{s_{2}}\alpha$ $\rho\rho\overline{s_{}}id$ $U $ $ $ $U ^{-}$ $ U$ $ _{-}^{-} U\cdot$ $\rho\alpha\alpha_{\underline{}\rho}id$ $\rho\alpha id\rho\alpha$ $\rho id\alpha \rho\alpha$ $\rho idi\underline{d}\rho id$ $=!$ $ _{-} _{-}$ $\rho\alpha\overline{u}\rho$ $\rho id\overline{}\rho$ $\rho\alpha U\rho$

4 $\alpha\rho\rho\underline{s_{i}}\alpha\rho$ 32 $ $ $ $ $\alpha\rho\rho\underline{s_{2}}\alpha\alpha$ $\alpha\rho\rho\underline{s_{\alpha i}}d$ $ $ $ $ $ $ $ $ $\rho\rho\overline{s_{j}}\rho$ $\rho\rho\overline{s_{}}id$ $\rho\rho\overline{s_{2}}\alpha$ $\alpha\rho\alpha_{u}\alpha\rho$ $\alpha\alpha\rho \alpha\rho$ $\alpha\alpha\alpha \alpha id$ $ _{-}^{-} $ $=-$ $ _{-}^{-} $ $ _{-}^{-} $ $\rho\alpha U\rho$ $id\rho $ $id\alpha \alpha$ $\alpha\rho id\alpha\rho$ $\alpha\alpha id\alpha\alpha$ $\alpha idi\dot{\mathrm{a}}\alpha id$ $\alpha id\underline{\rho }\alpha\rho$ $\alpha id\alpha \alpha\alpha$ $ ^{-} $ $ _{-}^{-} $ $ _{-}^{-} $ $ _{-} $ $ _{-}^{-} $ $\rho id\overline{}\rho$ ididl $id$ $\alpha id\alpha$ $\alpha\rho $ $\alpha\alpha id$ $id\rho\underline{\rho Si}id\rho$ $id\rho\underline{\mathcal{b}_{2}}id\alpha$ $id\rho\underline{\mu^{\gamma}}idid$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $\rho\rho\overline{s_{j}}\rho$ $\rho\rho\overline{s_{2}}\alpha$ $\rho\rho\overline{s_{}}id$ $id\rho\alpha\underline{u}id\rho$ $id\alpha\underline{\rho }id\rho$ $id\alpha\alpha $ ldid, $ _{-} $ $ _{-} $ $ _{-}^{-} $ $\rho\alpha U\rho$ $\alpha\rho $ $\alpha\alpha id$ $id\rho i\underline{d}id\rho$ $id\alpha idid\alpha$ ididica idid $idid\underline{\rho }id\rho$ $idid\alpha id\alpha$ $ $ $ $ $ _{-}^{-} $ $ _{-}^{-} $ $ _{-} $ $ _{-}^{-} $ $\rho id\overline{}\rho$ $\alpha id\alpha$ idid $id$ $id\rho $ $id\alpha \alpha$ 2 - $6j$-symbol $6j$-symbol $( \frac{}{\sqrt{\mu(e)}\sqrt{\mu(d)}})^{2}\cross\mu(a)\mu(b)\mu(c)\mu(d)\mu(e)\mu(f)=\mu(a)\mu(b)\mu(c)\mu(f)$ 4 $abccad$ $<S^{3}>=\omega^{-4}$ $\sum$ $\mu(a)\mu(b)\mu(c)\mu(f)\cross A $ $ B ^{2}$ coloring $ec\overline{d}f$

5 33 : : $<S^{3}>=\omega^{-4}(8+32d^{2}-+24d^{3}+2d^{4})=\omega-$ 3 $L(p, )$ $L(p, )$ $L(p, )$ $\epsilon\cdot \text{ }$ where $b_{0}=b_{p},$ $b_{}=b_{p+},$ $A_{}=A_{p+},$ $B_{}=B_{p+}$ $6j$-symbol $ab_{0}cb_{}$ $ab_{}$ $ab_{}cb_{2}ab_{2}$ $ab_{i-^{cb_{i}}}$ $ab_{i}$ $ab_{p-}cb_{p}$ $ab_{p}$ $A_{} _{-}^{-} A_{2}$ $A_{2} _{-}^{-} A_{3}$ : $A_{i_{-}^{-}\}i+}^{\cdot}4$ $A_{p} _{-}^{-}\{4_{p+}$ $b_{}cb_{2}$ $b_{2}$ $b_{2}cb_{3}$ $b_{3}$ $b_{i^{c}}b_{i+}b_{i+}$ $b_{p}cb_{\mathrm{p}+}bp+$ where $b_{0}=b_{p},$ $b_{}=b_{p+},$ $A_{}=A_{p+},$ $B_{}=B_{p+}$ $, \prod_{i=}^{p}(\frac{}{\sqrt{\mu(b_{i})}})^{2}\cross\mu(a)\mu(_{c)\square (a}i=p\mu(bi)=\mu)\mu(c)$ $L(p, )$ 2 $L(p, )$ $ab_{i-}cb_{i}$ $ab_{i}$ $<L(p,,)>= \omega^{-2}\sum_{coloring}^{\cdot}:)\mu(a\mu(c)\cross\prod_{i=}^{p}$ $b_{i^{c}}\overline{b_{i+i}}a_{i} \dagger b4_{i+}+$

6 $\alpha id$ $$ $\alpha$ $\alpha id$ $$ $\alpha$ 34 $ab_{i-}=b_{i},$ $b_{i}-c=b_{i}$ $(i=, \cdots,p)$ $a=id$ $a=\alpha$ $L(p, )$ $a=\rho$ $L(2,),$ $L(3,)$ 3 $a=id$ $a=id$ $a=id,$ $b_{}=\cdots=b_{p}=id,$ $c=id$ ididid idid ididid idid $ _{-}^{-} $ $ _{-}^{-} $ idid $id$ idid $id$ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross \cross ^{p-2}=\omega$ 2 $a=id,$ $b_{}=\cdots=b_{p}=\alpha,$ $c=id$ $id\alpha id$ $id\alpha$ $id\alpha id$ $id\alpha$ $ _{-}^{-} $ $ _{-}^{-} $ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross \cross ^{p-2}=\omega$ 3 $a=id,$ $b_{}=\cdots=b_{p}=\rho,$ $c=id$ $id\rho id$ $id\rho$ $id\rho id$ $id\rho$ $ _{-}^{-} $ $ _{-}^{-} $ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross \mathrm{x}^{p2}=\omega^{-}$

7 35 4 $a=id,$ $b_{}=\cdots=b_{p}=\rho,$ $c=\alpha$ $id\rho\alpha U$ $id\rho$ $id\rho\alpha U$ $id\rho$ $ _{-} $ $ _{-} $ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross \cross ^{p-2}=\omega$ 5 $a=id,$ $b_{}=\cdots=b_{p}=\rho,$ $c=$ \rho $id\rho\rho 6^{\urcorner}i_{}id\rho$ $id\rho\rho S_{i_{2}}id\rho$ $id\rho\rho S_{i_{p}}id\rho$ $ _{-}^{-} $ $ _{-}^{-} $ $\cdot$ $ _{-}^{-}$ $ $ Si 2 $\rho\rho S_{i_{3}}$ $\rho\rho S_{i_{}}$ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\mathrm{x}d\cross tra^{p}=\omega^{-}\mathrm{x} \mathit{2}d2$ $id\rho\rho S_{i}$ $id\rho$ $A$ $(i-2, i^{-} 2)$ $ _{-}^{-} $ $s_{i}$ $\mathrm{a}=$ $\text{ }\omega^{-}(2++++\mathit{2}d)=\omega^{-}$ 32 a=\alpha $a=\alpha$ $a=\alpha,$ $b_{}=\cdot\cdot\cdot=b_{p}=\rho,$ $c=id$ $\alpha\rho id$ $\alpha\rho$ $\alpha\rho id$ $\alpha\rho$ $ _{-}^{-} $ $\cdot$ $ _{-}^{-} $ $\rhoid$ $$ $\rho id\cdot ^{\cdot}\rho$ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross \cross ^{p}=\omega^{-2}$ 2 $a=\alpha,$ $b_{}=\cdots=b_{p}=\rho,$ $c=\alpha$

8 $\alpha\rho\alpha$ $\alpha\rho$ $S_{i_{2}}$ $6_{i_{3}}^{\gamma}$ $S_{i_{}}$ 36 $\alpha\rho\alpha$ $\alpha\rho$ $ _{-} $ $ _{-} $ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross \mathrm{x}(-)^{p}=\omega^{-}\dot{\mathrm{x}}2(-)^{p}$ 3 $a=\alpha,$ $b_{}=\cdots=b_{p}=\rho,$ $c=\rho$ $\alpha\rho\rho S_{i_{}}$ $\alpha\rho$ $\alpha\rho\rho S_{i_{2}}$ $\alpha\rho$ $\alpha\rho\rho S_{i_{p}}$ $\alpha\rho$ $ _{-}^{-} $ $ _{-}^{-} $ $ _{-}^{-} $ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross d\chi trb^{p}=\omega-2\mathrm{x}(+(-)^{p})d$ $\alpha\rho\rho S_{i}$ $B$ $(i-2, i^{-}\mathit{2})$ $ _{-} $ $\alpha\rho$ $S_{j}$ $A=$ $P$ $a=id,$ $b_{}=id,$ $b_{2}=\alpha,$ $\cdots b_{p-}=id,$ $b_{p}=\alpha,$ $c=$ \alpha $\alpha id\alpha $ $\alpha\alpha$ $\alpha\alpha\alpha $ $\alpha id$ $\alpha id\alpha $ $\alpha\alpha$ $\alpha\alpha\alpha $ $\alpha id$ $ _{-} $ $ _{-} $ $ _{-} $ $ _{-} $ $\alpha\alpha$ $id$ $id\alpha$ $\alpha$ $\alpha\alpha$ $id$ $id\alpha$ $\alpha$ $p$ $\text{ }b_{i}$ $2\cross\omega^{-2}\cross \cross ^{p}=2\mathrm{x}\omega-2$ $P$ $\omega^{-2}(+(-)+0)=0$ $\omega^{-2}(++2d+\mathit{2})=\omega^{-}\text{ }$

9 $ l5_{i}^{\gamma}$ 37 4 $L(2,)$ $L(2,)$ $a=\rho$ $a=\rho,$ $b_{}=\rho,$ $b_{2}=id,$ $c=$ \rho : $\rho id\rho ^{\cdot}\rho\rho$ $\rho\rho\rho S_{} \rho\dot{i}d$ $ _{-}^{-} S_{}$ $s_{} _{-}^{-},$ $ $ $\cdot$ $S_{}$ $id$ $id\rho$ $\mathit{2}\cross\omega^{-2}\cross$ $b_{}$ $b_{2}$ $d^{2}\cross d^{-}=\mathit{2}\cross\omega-2d\cross$ $:\cdot$, 2 $a=\rho,$ $b_{}=\rho,$ $b_{2}=\alpha,$ $c=$ \rho $\sim\rho\alpha$ $\rho\rho\rho$ $S_{2}$ $U _{-} S_{2}$ $S_{2} _{-}: U$ $6_{2}^{\gamma}$ $\alpha$ $\alpha\rho$ $\mathit{2}\cross\omega^{-2}\cross$ $b_{}$ $b_{2}$ $d^{2}\cross d^{-}=\mathit{2}\cross\omega^{-2}\mathrm{x}d$ 3 $a=\rho,$ $b_{}=\rho,$ $b_{2}=\rho,$ $c=id$ $\rho\rho id$ $\rho\rho id$ $S_{i} _{-} S_{j}$ $s_{i} _{-}$ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross d\cross trc2=\omega-2\cross 2d$ $\rho\rho id$ $C$ [ $(i-2, i^{-}\mathit{2})$ Si $ _{-} S_{j}$ $C=$ 4 $a=\rho,$, c=\alpha $b_{}=\rho,$ $b_{2}=\rho$

10 $\rho\rho\alpha$ $ 6_{i}^{\urcorner}$ 38 $\rho\rho\alpha$ $s_{i}^{\gamma} _{-} ^{(^{\urcorner}}\llcorner j$ $\overline{\mathrm{b}}_{j} _{-} 6_{i}^{\gamma}$ $\cdot\rho$ $\cross d\cross trd^{2}=\omega^{-}\cross 22d$ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\rho\rho\alpha$ $D$ $(i-2, i^{-} 2)$ Si $ _{-}$ $D=(\sqrt{-}0$ $-\sqrt{-}0)$ 5 $a=\rho,$ $b_{}=\rho,$ $b_{2}=\rho,$ $c=$ \rho $\rho\rho\rho$ $S_{l}$, $\rho\rho\rho s_{m}$ $S_{i} _{-} \overline{6}_{j} $ $S_{j} _{-} S_{i}$ $s_{m}$ $S_{l}$ $\mathrm{x}d2_{\chi}tre2-=\omega \mathrm{x}d^{2}2\cross 4d-2-=\omega 2\cross 4$ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\rho\rho\rho S_{l}$ $E$ $(2(i-3)+(l- 2), 2(i-3)+(m-2))$ $S_{i} _{-} S_{j}$ $\rho\rho s_{m}^{\urcorner}$ $E=(\sqrt{-}c_{4}c_{0}03$ $-\sqrt{-}cc_{4}003^{\cdot}-\sqrt{-}c_{4}c_{3}00$ $\sqrt{-}c_{3}c_{4}00)$ \mbox{\boldmath $\omega$}-2(2d+2d+2d+2d+4) $=\omega^{-}(+\sqrt{3})$ $L(\mathit{2},)$ $<L(2,)>= \omega^{-}+\omega-+\omega-(+\sqrt{3})=\frac{}{2}$

11 39 5 $L(3,)$ $L(3,)$ a=\rho $a=\rho,$ $b_{}=\rho,$ $b_{2}=\rho,$ $b_{3}=id$, c=\rho $\rho id\rho $ $\rho\rho\rho S_{m}\rho\rho$ $\rho\rho\rho S_{}\rho id$ $ _{-}^{-} S_{i}$ $s_{i} _{-}^{-} s_{}$ $S_{} _{-}^{-} $ $\rho\rho S_{m}$ $\rho\rho S_{}$ $id$ $id\rho^{:}$ $b_{},$ $b_{2},$ $b_{3}$ $3\cross\omega^{-2}\cross d^{2}\mathrm{x}c_{2}(-\sqrt{-})d-=3\mathrm{x}\omega^{-2}\mathrm{x}c_{2}(-\sqrt{-})d$ 2 $a=\rho,$ $b_{}=\rho,$ $b2=\rho,$ $b_{3}=\alpha$, C=\rho $\rho\alpha\rho $ $\rho\rho\rho s_{m}^{\gamma}\rho\rho-$ $\rho\rho\rho 6_{2}^{\gamma}$ $U _{-}^{-} $ Si $s_{i} _{-}^{-} s_{2}$ $S_{2}^{\cdot} _{-}^{-} U$ $\rho\rho s_{m}$ $\rho\rho S_{2}$ $\alpha$ $\alpha\rho$ $b_{},$ $b_{2},$ $b_{3}$ $3\cross\omega^{-2}\cross d^{2}\cross C_{2}(\iota-\sqrt{-})d^{-}3=\mathrm{X}\omega-2_{\mathrm{X}C2}(-\sqrt{-})d$ 3 $a=\rho,$ $b_{}=\rho,$ $b_{2}=\rho,$ $b_{3}=\rho,$ $c=id$ $\rho\rho id$ $\rho\rho id$ $$ $\rho\rho id$ $$ $6_{i _{-}^{-} s_{j}}^{\gamma}$ $s_{j} _{-}^{-} s_{k}$ $S_{k} _{-} 6_{i}^{\gamma}-$ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross d\cross trc3\omega=-2\mathrm{x}\mathit{2}d$ ( $C$ ) 4 $a=\rho,$ $b_{}=\rho,$ $b_{2}=\rho,$ $b_{3}=\rho,$ $c=\alpha$ $\rho\rho\alpha U$ $\rho\rho\alpha\cdot U$ $\rho\rho\alpha U$ Si $ _{-}^{-} 6_{j}^{\gamma}$ $6_{j}^{\urcorner} _{-}^{-} 6_{k}^{\urcorner}$ $s_{k} _{-}^{-} s_{i}$

12 40 \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $\cross d\cross trd^{3}=0$ ( $D$ ) 5 $a=\rho,$ $b_{}=\rho,$ $b_{2}=\rho,$ $b_{3}=\rho$, c=\rho $\rho\rho\rho$ $S_{l}$ $\rho\rho\rho 6_{m}^{\gamma}$ $\rho\rho\rho S_{n}$ $S_{i} _{-} S_{j}$ $S_{j} _{-} S_{k}$ $S_{k} _{-} S_{i}$ $s_{m}$ $s$ $6_{l}^{\gamma}$ \mbox{\boldmath $\omega$}-2 $2+3\sqrt{-})d$ ( $E$ ) $\cross d^{23}\cross tre=\omega^{-2}\mathrm{x}d2\mathrm{x}(-\frac{2}{d^{3}}+\frac{3}{d}\sqrt{-})=\omega^{-}2_{\mathrm{x}}(\sqrt{3}-$ $\omega^{-2}(3c_{2}(-\sqrt{-})d+3c2(-\sqrt{-})d+2d+0+(\sqrt{3}-2+3\sqrt{-})d)$ $= \omega^{-}\frac{}{2}\{(+\sqrt{3})+(3+\sqrt{3})\sqrt{-}\}$ $L(3,)$ $<L(3,)>= \omega^{-}+\omega^{-}\frac{}{2}\{(+\sqrt{3})+(3+\sqrt{3})\sqrt{-}\}=\frac{+\sqrt{-}}{4}$ 6 References [W], $E_{6}$ $6j$ 3 $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{v}^{- \mathrm{v}}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o}^{-\mathrm{o}\mathrm{c}}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{u}$, [I] Masaki Izumi, Subalgebras of Infinite $C^{*}$ -Algebras with Finite Watat $a\mathrm{n}\mathrm{i}$ Indices I Cuntz Algebras, CommunMathPhys55(993),57-82

~ ご 再 ~

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