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ありさあくや
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1 Research on Nonlinear Oscillation in the Field of Electrical, Electronics, and Communication Engineering Tetsuro ENDO.,.,, (NLP), (1973 ),. (, ),..., 191, 1970, ,,, ,, ,,, ( ), ( ), ( ),,. Tetsuro ENDO, Fellow (Department.of Electronics and Bioinformatics, Kawasaki-shi, Japan). Fundamentals Review Vol. No. pp , 1973,.,,,,,,..,,, 10, 1 3, 4.,,. 198,,,,,.,,,, ,,,. ( ),,.,.., Fundamentals Review Vol. No. 31

2 1 ( ) 191/1/ /03/31 196/04/ /03/ /04/ /03/ /04/ /03/ /04/ /03/ /04/ /03/ /04/ /03/ /04/01-197/03/ /04/ /03/ /04/ /07/31 197/04/ /03/ /07/ /03/ /04/ /03/ /04/01-198/03/ /04/01-198/03/ /04/ /03/31 198/04/ /09/30 198/04/ /03/ /04/01-198/0/ /10/ /09/ /04/ /03/31 198/0/ /0/1 1986/04/ /0/0 1986/10/ /0/ /0/ /0/ /0/1-1989/0/ /0/0-1990/0/ /0/0-1991/0/ /0/0-199/0/ 1990/0/ /0/ /0/18-199/0/ 1991/0/ /0/1 199/0/3-1993/0/1 199/0/3-1994/0/ /0/ /0/ /0/ - 199/0/ /0/14-199/0/ /0/ /0/17 199/0/0-1996/0/17 199/0/0-1997/0/ /0/ /0/ /0/ /0/ 1997/0/ /0/ 1997/0/ /0/1 1998/0/3-1999/0/1 1998/0/3-000/0/1 1999/0/ - 000/0/1 1999/0/ - 001/0/9 000/0/ - 001/0/9 000/0/ - 00/0/7 001/0/30-00/0/7 001/0/30-003/0/7 00/0/8-003/0/7 00/0/8-004/0/8 003/0/8-004/0/8 003/0/8-00/0/7 004/0/9-00/0/7 004/0/9-006/0/7 00/0/8-006/0/6 00/0/8-007/0/4 006/0/7-007/0/4 006/0/7-008/0/4 007/0/ - 008/0/4 007/0/ - 008/0/7-008/0/7 -,,,,.,,,.,,.,.,. 4..,.,., , (a), (b). 1 (a), 1(b) 3 Fundamentals Review Vol. No.

3 (a) ( ) ε = (b)., i = g 1 v + g 3 v 3, g 1,g 3 > 0.,,. π/ π/,.,. 1 (a). ẍ + x = ε Ω (1 x )ẋ + Ω 1 x αy Ω ÿ + y = k ε Ω (1 y )ẏ + Ω k y k αx Ω, x v 1, y v, Ω, α (0 α 1), ε (> 0).,. (1) ε.,,, x = a cos(τ ϕ), ẋ = a sin(τ ϕ) y = b cos(τ θ), ẏ = b sin(τ θ). a, b, ϕ, θ (, ε ), 1, (= )., () x y 1. (1) (= ) ( )., (1),, Ω, k 1 (, ), α (1) (). (1).,. ( ) ȧ = εa 1 a + αb sin(θ ϕ) Ω 4 ϕ = Ω 1 Ω ḃ = k εb Ω ( θ = Ω k Ω αb cos(θ ϕ) a ) k αa sin(θ ϕ) 1 b 4 k αb b cos(θ ϕ), ȧ, ϕ, ḃ, θ =0 (a e, ϕ e, b e, θ e ),,. (3) ( δ =0 ) ( δ =0 ),. α δ., δ (k 1)/k σ (Ω 1)/Ω., 3, 4.,,, (= ),.,. α,.. 1(b). (3) Fundamentals Review Vol. No. 33

4 σ= 1 δ a =b =4 1 1± ε sin(ϕ θ) = σ α 1 σ α δ ( δ) ϕ θ (6) π また, 安定条件は a > 4 となる. 抵抗結合の場合の位相特性, 振幅特性を図示するとそれぞれ図, 6 のようになる. この場合には図 3 振幅特性 (コンデンサ結合) ε = 0.0. コンデンサ結合の場合とは異なって同期周波数, 振幅, 位相差及び参考文献 1 より転載安定性は直接求められる. 抵抗結合の場合には同期状態はただ一つだけ存在し, 同期周波数は両発振器の固有周波数の間の値をとる. また同期しているときは両発振器の振幅は常に等しく (> ), かつ両発振器の固有周波数が異なるとき最大となる位相差は同期範囲内において, π/ から π/ まで連続的に変化し, 両発振器の固有周波数が等しいとき位相差は０となる. 図 4 位相特性 (コンデンサ結合) ε = 0.0. 図位相特性 (抵抗結合) 参考文献 1 より転載 x +x= ε Ω 1 α (1 x )x + x + y Ω Ω Ω k ε Ω k k α (1 y )y + x y + y = y+ Ω Ω Ω 参考文献 1 より転載 (4) コンデンサ結合の場合と同様に, 式 (4) の右辺の各項は ε オーダの微少量であるとする. このとき, 右辺の微少量を０としたときの解は式 () のようになる. これを基に ε = 0 における解を平均化法により求めると次の平均化された 1 階の微分方程式が得ら図 6 振幅特性 (抵抗結合) 参考文献 1 より転載れる. a = εa Ω 1 a 4 + αb cos(ϕ θ) Ω 4. 発振器の結合系の研究 ϕ = Ω 1 αb sin(ϕ θ) Ω Ωa k εb b = Ω 1 b 4 () + k αb cos(ϕ θ) Ω Ω k k αb θ = sin(ϕ θ) + Ω Ωb 次に図 7 に示す発振器のインダクタンスによる結合系の解析をとは別のやり方で解析してみよう. この系は基本的に図 1(a) の系において両発振器の固有周波数が等しい場合と同じである. この系を適当に正規化すると次のような階の連立微分方程式が得られる. θ = 0 として漸近安定な平衡点を求めると次上式より, a, ϕ, b, x 1 ε(1 x1 )x 1 + x1 αx = 0 のような定常解が得られる. x ε(1 x )x + x αx1 = 0 34 (7) Fundamentals Review Vol. No.

5 (7) α ε ε (1). (7). ẍ + Bx = εẋ 1 3 εẋ c [ ] x =[x 1,x ] T, x c =[x 3 1 α α 1,x3 ]T, B = α 1 α (8) : x = Py, P 1. (8) ÿ +(P 1 BP)y = εẏ 1 3 ε(p 1 ẋ c ) (9) B λ 1 = 1 α, λ = 1 + α., λ 1 1 p 1 = [ 1/, 1/ ] T, λ 1 [ p = 1/, 1/ ] T, P =[p1, p ] R, P 1 BP,. [ ] P 1 BP = P T λ 1 0 BP = (10) 0 λ B, P 1 P T. (9). ÿ 1 + ω 1 y 1 = εf 1 (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) ÿ + ω y = εf (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) ω 1 λ 1, ω λ f 1 (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) ẏ εg 1(y 1,y, ẏ 1, ẏ ) f (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) ẏ 1 3 εg (y 1,y, ẏ 1, ẏ ). (1) g 1, g. [g 1,g ] T = P 1 ẋ c = d(pt x c ) dt. 1 1 ( 1 P T = 1 1, x c = ( 1 y y y 1 1 y (11) (1) (13) ) 3 ) 3 g 1 = g 3 y 1ẏ1 + 3 ẏ1y +3y 1y ẏ 3 y ẏ + 3 ẏy 1 +3y y 1 ẏ 1, f 1,f. f 1 ẏ 1 1 y 1ẏ1 1 ẏ1y y 1y ẏ = f ẏ 1 y ẏ 1 (14) ẏy1 y y 1 ẏ 1 (11) ε =0 y 1 = ρ 1 sin(ω 1 t + θ 1 ), ẏ 1 = ρ 1 ω 1 cos(ω 1 t + θ 1 ) y = ρ sin(ω t + θ ), ẏ = ρ ω cos(ω t + θ ) (1). ε = 0, (1) ρ i ρ i (t),θ i θ i (t), (11) ρ i sin ψ i + ρ i θi cos ψ i =0 ρ i ω i cos ψ i ρ i ω i θi sin ψ i = f i (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) ψ i ω i t + θ i, i =1,,. ρ i = ε ω i f i (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) cos(ω i t + θ i ) θ i = ε ω i ρ i f i (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) sin(ω i t + θ i ),i=1, (16) y i, ẏ i,i =1, (1) sin, cos t. (16) ε>0, ρ i,θ i. ρ i = θ i = i =1, lim T lim T ε ω i T ε ω i ρ i T T 0 T 0 f i (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) cos(ω i t + θ i )dt f i (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) sin(ω i t + θ i )dt (17),., ψ i (t) =ω i t+θ i,i=1,, (14), (1) (17). ρ i = ε ω i [ω i ρ i cos ψ i 1 ω iρ 3 i sin ψ i cos ψ i 1 ω iρ i ρ i+1 cos ψ i sin ψ i+1 ] ω i+1 ρ i ρ i+1 sin ψ i sin ψ i+1 cos ψ i cos ψ i+1 θ i = ε ω i [ ω i sin ψ i cos ψ i 1 ω iρ i sin3 ψ i cos ψ i 7 1 ω iρ i ρ i+1 cos ψ i sin ψ i sin ψ i+1 ] ω i+1 ρ i+1 sin ψ i sin ψ i+1 cos ψ i cos ψ i+1 Fundamentals Review Vol. No. 3

6 (18),, p(t) = T lim T 0 p(t)dt (19)., i =1, 3 1. (18)., ω 1,ω (, ). ω 1 /ω = m/n m, n,. cos ψ i = + 1 cos ψ i(t) = 1 sin ψ i cos ψ i = sin ψ i(t) =0 sin ψ i cos ψ = cos 4ψ i(t) = 1 8 sin ψ i+1 cos ψ = cos ψ i(t) cos ψ i+1 (t) cos ψ i (t) cos ψ i+1 (t) = 1 4 sin ψ i sin ψ i+1 cos ψ i cos ψ i+1 = 4 sin ψ i(t) sin ψ i+1 (t) =0 sin ψ i = 1 cos ψ i(t) = 1 sin 3 ψ i cos ψ i = 4 sin ψ i(t) 1 8 sin 4ψ i(t) =0 sin ψ i cos ψ i sin ψ i+1 = 4 sin ψ i(t) 1 4 sin ψ i(t) cos ψ i+1 (t) =0 sin ψ i sin ψ i+1 cos ψ i+1 = 4 sin ψ i+1(t) 1 4 sin ψ i+1(t) cos ψ i (t) =0 (0) (0) i =1, i (18) (0), ρ 1, θ 1, ρ, θ. ρ 1 = 1 16 ερ 1(8 ρ 1 ρ ) (1a) ρ = 1 16 ερ (8 ρ ρ 1) (1b) θ 1 = 0 (1c) θ = 0 (1d) 0, (1) y 1 y ω 1 ω,, θ 1 (t),θ (t)., (1a), (1b),. 0.,. (ρ 1s,ρ s )=(0, 0), (, 0), (0, ), ( 8/3, 8/3) ().. J. [ ] J = 1 16 ε 8 3ρ 1s ρ s 4ρ 1s ρ s (3) 4ρ 1s ρ s 8 ρ 1s 3ρ s, ε>0, (, 0), (0, ),. (, 0) y y 1 = sin(ω 1 t + θ 1 ),y = 0, (0, ) y 1 =0,y = sin(ω t + θ ). x 1 1 x = Py, P = 1 1. (, 0) (= ) : x 1 = x = sin(ω 1 t + θ 1 ) (0, ) (= ) : x 1 = x = sin(ω t + θ ) ω 1 = 1 α, ω = 1+α, θ 1,θ. 0 <ε 1, ,.,, 3 4., I V i = g 1 v g 3 v 3 + g v,g 1,g 3,g > 0, 9. 7 N,. ẍ 1 + ε(1 βx 1 + x4 1 )ẋ 1 + x 1 αx =0 ẍ + ε(1 βx + x4 )ẋ + x αx 1 =0 (4) 0 < ε 1, 36 Fundamentals Review Vol. No.

7 f i (y 1,y, ẏ 1, ẏ ) ẏ i βg i(y 1,y, ẏ 1, ẏ ) 1 h i(y 1,y, ẏ 1, ẏ ) (7b). g 1,g,h 1,h. (a) [g 1,g ] T = P 1 ẋ c = d(pt x c ) dt [h 1,h ] T = P 1 ẋ f = d(pt x f ) dt (8) (b) 8 (3) 0 α 1, β.. ẍ + Bx = εẋ εβẋ c 1 εẋ f (a) x =[x 1,x ] T, x c =[x 3 1,x3 ]T, x f =[x 1,x ]T [ ] 1 α (b) B = α 1. (a) : x = Py, P 1. ÿ +(P 1 BP)y = εẏ εβ(p 1 ẋ c ) 1 ε(p 1 ẋ f ) (6) B λ 1 =1 α, λ =1+α. 4.,.. g 1 = g h 1 = h 3 y 1ẏ1 + 3 ẏ1y +3y 1y ẏ 3 y ẏ + 3 ẏy 1 +3y y 1 ẏ 1 y4 1ẏ1+ 1 y 1ẏ1y + 10 y 3 1 y ẏ y4 ẏ+ 1 yẏy y 3y 1ẏ 1 + ẏ1y y 1 y 3 ẏ ẏy y y 3 1ẏ1 (9) (7a) (1), ρ i ρ i (t),θ i θ i (t) ρ θ (16) (7b) f 1,f., ω 1,ω,. U i ρ i,i=1,. U 1 = εu 1 (1 1 8 βu βu U U U 1U ) U = εu (1 1 8 βu 1 4 βu U U U U 1 ) θ 1 =0 θ =0 ÿ i + ω i y i = εf i (y 1,y, ẏ 1, ẏ ),i=1, ω i λ i (7a) (30) 0, y 1,y.. 9 ( ). (U 1s,U s )=(0, 0), (β ± β 8, 0), (0, β ± β 8), ( ) 3β ± 9β 80, 3β ± 9β 80 (β ± 16 β,β 16 β ) (31) 9 I V,,. Fundamentals Review Vol. No. 37

8 (U 1s,U s )=(0, 0), (β + β 8, 0), (0, β + β 8), ( ) 3β + 9β 80, 3β + 9β 80 D ( ). (3) (0, 0)., y y 1 = β + β 8 sin(ω 1 t + θ 1 ),y = 0 (33) y 1 =0,y = β + β 8 sin(ω t + θ ) (34) 10. 3, x, x 1 = y 1 / +y /, x = y 1 / y /. (β + β 8, 0) (= ): β > 8 x 1 = x = β + β 8 sin(ω 1 t + θ 1 ) (0, β + β 8) (= ): β > 8 x 1 = x = β + β 8 sin(ω t + θ ). ((3β + 9β 80)/, (3β + 9β 80)/) (= ): 4 /3 <β<4 x 1 = 0.3β +0.3 β 80 9 sin(ω 1t + θ 1 ) + 0.3β +0.3 β 80 9 sin(ω t + θ ) x = 0.3β +0.3 β 80 9 sin(ω 1t + θ 1 ) 0.3β +0.3 β 80 9 sin(ω t + θ ) ω 1 = 1 α, ω = 1+α, θ 1,θ. 0 <ε 1, 8, β =3.3 (30), 11 S:, R:, D:, ( ), 4. 1, α 0,., ( ), 4. ( α ), (,, )., 4. 3 ( ),, ( )., 4. 3,,. 38 Fundamentals Review Vol. No.

9 , 1 α, ()., ( ),,,.,,,,,.., ( ),, 0 180, x 1,x.,,,,. α., α, α., ε,,.,. 7 T. Miyano and T. Tsutsui, Data synchronization in a network of coupled phase oscillators, Phys. Rev. Lett., vol.98, 0410, 007. ( ) PLL IEEE Circuits & Systems 006 IEEE.,,.,. 6, 7..,.. 1,,,, vol. 48,no.9, pp.11-17, 196. T. Endo and S. Mori, Mode analysis of a multimode ladder oscillator, IEEE Trans. Circuits Syst., vol.cas3, no., pp , ,,,, T. Endo and T. Ohta, Multimode oscillations in a coupled oscillator system with fifth-power nonlinear characteristics, IEEE Trans. Circuits Syst., vol.cas7, no.4, pp.77-83, Y. Uwate and Y. Nishio, Synchronization phenomena in van der Pol oscillators coupled by a time-varying resistor, Int. J. Bifurcation Chaos, vol.17, no.10, pp , M. Yamauchi, M. Wada, Y. Nishio, and A. Ushida, Wave propagation phenomena of phase states in oscillators coupled by inductors as a ladder, IEICE Trans.Fundamentals, vol.e8-a, no.11, pp.9-98, Nov Fundamentals Review Vol. No. 39