「個別訪問」の所感⑦

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1 37 空 間 座 標 のあれこれ 単 元 等 数 学 B 空 間 のベクトル Contents ベクトル 方 程 式 の 良 さ 球 と 平 面, 球 と 球 の 交 わり 円 の 接 線 と 球 の 接 平 面 空 間 座 標 をイメージする 工 夫 授 業 の 内 容 () 球 面 の 方 程 式 の 説 明 () 球 面 の 方 程 式 に 関 する 問 題 演 習 授 業 を 見 ての 所 感 先 日 はお 忙 しい 中, 個 別 訪 問 で 授 業 を 見 せてい ただきありがとうございます. 先 生 は, 緊 張 して いたとおっしゃっていましたが,とても 落 ち 着 い て 授 業 を 行 っていたという 印 象 を 持 ちました. 教 師 がしゃべり 過 ぎたり,パフォーマンスに 走 り 過 ぎると,えてして 自 己 満 足 の 授 業 に 終 わるこ とが 多 いのですが, 先 生 は,きちんと 生 徒 に 向 き 合 って,ていねいな 誘 導 と,ポイントを 押 さえた 概 念 の 提 示 を 行 っていました.このような 中 で, 授 業 全 体 が 理 知 的 で 締 まった 雰 囲 気 を 醸 し 出 して いたように 思 います. 研 究 会 の 雰 囲 気 もとても 良 くて, 学 年 や 年 代 を 越 えて, 全 体 で 学 力 向 上 に 努 めている 姿 勢 を 感 じ ることができました. また, 訪 問 後 に 丁 寧 な fa をいただきましたが, 研 究 会 で 話 題 になったことを 早 速 実 践 されるなど, 先 生 の 授 業 力 向 上 への 真 摯 な 姿 勢 と, 誠 実 さを 感 じました. 先 生 はじめ, 数 学 科 の 先 生 方 の, 授 業 や 数 学 に 対 する 姿 勢 を 拝 見 して, 模 試 などの 成 績 が 好 調 で あるのも,さもありなんと 膝 を 打 ちました. 3 補 足 すること さて, 私 は, 個 別 訪 問 を 実 施 した 先 生 に 対 して, 授 業 ネタを 中 心 とした 情 報 提 供 を 行 っております. 今 回 は 空 間 座 標 に 関 する 話 題 について 尐 し 述 べ たいと 思 います. 尐 しでも 参 考 になれば 幸 いです. ベクトル 方 程 式 の 良 さ 直 線 の 方 程 式 をベクトルを 用 いて 表 すと OP OA tu (A を 通 りu に 平 行 ) OP soa tob( t などと 表 現 されます. s )( 点 A,B を 通 る) このベクトル 方 程 式 の 良 さは, 平 面 でも 空 間 でも, つまり 次 元 にかかわらず 成 り 立 つ 式 であるという ことです. 円 のベクトル 方 程 式 は CP r ( 中 心 が C で 半 径 r) から 出 発 するわけですが, 空 間 で 考 えれば 球 の 方 程 式 になるわけです. つまり, 定 点 から 等 距 離 である 点 の 集 合 全 体 を いわゆる 距 離 が 定 義 されている 空 間 ( n 次 元 ユー クリッド 空 間 )における 円 と 考 えれば, も 次 元 に 関 わらず 成 り 立 つ 式 と 考 えることができます. 先 生 の 授 業 では, CP r を 水 源 地 にして, 次 元 の 場 合 ( 点 になる), 次 元 の 場 合 ( 円 ),3 次 元 の 場 合 ( 球 )というように, 円 のアナロジー から 自 然 に 球 の 方 程 式 を 導 く 形 で 進 められてい て,とてもわかりやすい 展 開 でした. 例 えば, 空 間 といった 場 合, 我 々が 生 活 して いる 空 間,つまり 3 次 元 空 間 をイメージしがちで すが, 実 際 は 平 面 も 空 間 に 内 包 されているわけで す.ですから, CP r を 満 たすものを, 距 離 空 間 における 球 と 定 義 しておいてもいいのでは ないかと 思 います.(つまり, 次 元 距 離 空 間 にお ける 球 のことが 円 である) 先 生 の 導 入 からそんなことを 考 えておりました. 43

2 球 と 平 面, 球 と 球 の 交 わり 球 は, 円 を 対 称 軸 に 関 して 回 転 して 得 られる 図 3 個 の 球 が 点 で 交 わる 性 質 は,GPS 機 能 や, 地 震 の 震 源 地 を 求 める 手 法 に 活 かされています. 形 と 考 えることもできます. すると, 球 と 平 面 が 交 わるときの 切 り 口 は, 図 のように, 平 面 上 で 円 に 交 わる 直 線 AB を 描 き, それを 回 転 させて 考 えてもよいことがわかります. つの 球 の 交 わりも 円 になります. 地 震 の 震 源 地 について 尐 し 触 れたいと 思 います. まず,P 波 と S 波 の 到 達 時 間 から 震 源 までの 距 離 が 測 定 できます( 雷 がピカッとなってからゴロ ゴロが 来 るまでの 時 間 を 調 べるのと 同 じ 原 理 ).す ると, 震 源 地 は, 空 中 には 震 源 地 はないので, 観 測 値 を 中 心 とする 半 球 上 にあることがわかります. これを 3 か 所 で 行 えば,その3 球 の 交 わりが 震 源 地 ( 上 図 右 の P 地 点 )とわかります. 3つの 球 を 平 面 で 切 ったとき, 上 図 左 のように なっていますが,3つの 円 の 共 通 弦 はただ 点 で フラットランドというとても 面 白 い 本 がありま す. 平 面 しか 認 識 できない 人 々が 住 んでいる 国 で す.フラットランドは 一 体 どこにあるのかを SF 的 交 わります( 方 べきの 定 理 で 証 明 できる).この 共 有 点 を 震 央 と 呼 びます. 震 源 の 深 さ OP は, 三 平 方 の 定 理 か 方 べきの 定 理 で 求 めることができます. に 空 想 してみます. 例 えば, 我 々が 住 んでいる 宇 宙 空 間 を 膨 らむ 球 と 考 えてみます.そこで,もう 一 つ 別 の 宇 宙 が 存 在 していたとすると,つの 膨 らむ 球 の 交 わりが 広 がる 円 つまりフラットランドとなると 考 えられま す. 余 計 な 話 でした. 因 みに,フラットランド 人 は, 球 とは 時 間 的 に 大 きさが 規 則 的 に 変 化 する 円 と 捉 えるしかありま せんね. さて,では 3 個 の 球 が 交 わっている 場 合 はどう なるでしょうか. 個 の 球 で 作 られる 平 面 が3つ 交 わっている 形 なので,3 個 の 球 は 点 で 交 わっていることがわか ります. 3つの 平 面 はただつの 点 を 決 定 する というのは 空 間 における 結 合 公 理 のつです. ( 現 在 は 加 速 度 の 考 えから 観 測 地 点 から 震 源 までの 距 離 を 出 すらしい) 今, 本 県 で 実 施 している 基 礎 力 確 認 調 査 のアン ケートを 見 ると, 数 学 は 役 に 立 つ と 回 答 してい る 生 徒 が 非 常 に 尐 ない 状 況 があります( 国 語, 英 語 に 次 いで 3 番 目 ). 例 えば, 地 震 の 震 源 地 を 求 める 際 にも,こんな に 数 学 が 使 われているということ,つまり 数 学 の 有 用 性 について 私 たちは 様 々な 機 会 を 捉 えて 示 す ことも 必 要 ではないかと 思 います. 44

3 円 の 接 線 と 球 の 接 平 面 原 点 中 心 半 径 r の 円 の 周 上 の 点 における 接 線 の 方 程 式 は 次 のようになります. 式 の 左 辺 に ( 0,0,5) を 代 入 してみると つまり, ( 0,0,5) は 平 面 の 上 側 にある 点 であること がわかります.ということは,A 地 点 から 見 え る ことがわかりました. 余 談 ですが, 私 は 昨 年 まで 年 間 八 戸 市 内 の 高 校 に 勤 務 していて, 素 人 ながらバレーボール 部 の 顧 問 を 務 めておりました. 生 徒 から 教 わったのですが,バレーでは,アンダ より なので ーハンドレシーブを 行 う 際,ボールが 当 たる 両 手 首 の 部 分 に 下 敷 きなどを 使 って 面 をつくる こ とを 意 識 するらしいのです.つまり,ボールが 向 かってくるベクトルに 対 し, 接 平 面 を 考 えるとい うことになるのだなあと 感 心 したことがあります. では, 原 点 中 心 半 径 r の 球 面 上 の 点 における 接 平 面 の 方 程 式 を 考 えてみましょう. 空 間 座 標 をイメージする 工 夫 空 間 の 問 題 を 考 える 際, 次 元 上 に 3 次 元 を 表 現 しなければならないので, 無 理 が 生 じ,イメージ 化 がとても 難 しくなります. そこで,いくつかの 工 夫 を 考 えてみたいと 思 い ます. () 鳥 瞰 図 三 面 図 空 間 座 標 は, 図 の 右 中 間 スタンド 型 で 表 現 されることが 多 いのですが, 場 面 によっては, 一 より 塁 側 スタンド 型 や,バックネット 裏 型 などを 使 う のもいいかもしれません. なので 球 の 方 程 式 を y z 4 とします. 今, 球 面 に 住 んでいる 人 ( 球 から 見 て 非 常 に 小 さ いと 考 える)が A 地 点 A(,,3 ) にいるとします. すると,A における 接 平 面 の 方 程 式 は, y 3z 4 となります. このとき, 例 えば ( 0,0,5) という 地 点 に 人 工 衛 星 が あったとき,A 地 点 からそれは 見 えるでしょうか. 右 中 間 スタンド 型 一 塁 側 スタンド 型 ライトファール 席 型 バックネット 裏 型 45

4 私 がよく 使 うのは, 鳥 瞰 図 型 です.まず, 最 初 に, 下 図 左 のように 土 台 となる y 平 面 を 描 きます. とりあえず 鳥 瞰 図 で 描 いてみましょう. そして,その 上 に 下 図 右 のように 図 を 構 築 してい くようにすればイメージしやすいのではないかと 思 います. これでは 共 通 部 分 がどんな 図 形 かイメージでき ません.そこで 三 面 図 を 用 います. 三 面 図 については,994 年 の 東 大 の 問 題 で 説 明 します. 空 間 において 条 件 を 満 たす 点 の 全 体 からなる 立 体 を 考 える.この 立 体 の 体 積 をとし に 対 し, 軸 と 直 交 する 平 面 による 切 り 口 の 面 積 をとする. とおくとき,をで 表 せ. ただし とする. の 値 を 求 めよ. < 正 面 図 > ( 側 面 図 は 省 略 ) ここで, OP k, OQ k < 上 面 図 > なので, POQ=θ であることがわかります.これで まず, y z ( 0 z )の 図 形 が 何 であるかがポイントですね. z 0 のとき y 0 z のとき y 4 面 積 関 数 が 求 まります. S( k) k k sin S ( k) cos sin cos あとはこれを 定 積 分 すればよい,つまり,イメー z のとき y などというこ ジを 離 れ, 計 算 の 世 界 にバトンタッチできたとい とから, 円 錐 (を 逆 さにしたもの)と 考 えること うことですね( 以 下 の 計 算 は 略 ). ができます. 一 般 に, 空 間 において, y r 東 大 の 問 題 は 空 間 図 形 をイメージ 化 させる 問 題 が 直 円 柱 であることがわかっていれば, 円 錐 もイ がとても 多 いと 思 います. 頭 の 中 に 空 間 図 形 が 思 メージできるのではないかと 思 います. 次 に, z ( 0 z )は, z とい う 次 関 数 を 考 えて, 更 に y は 任 意 なので 放 物 柱 ともいうべき 図 形 であることがわかります. い 浮 かんで 自 在 に 動 かしたり, 切 断 したりできる 人 ならばいいのですが( 実 際 そういう 人 もいる!), 一 般 人 はそんなことはできないので,このような 三 面 図 などで 分 解 して 考 えることでイメージ 作 り をするのが 一 つの 方 法 ではないかと 思 います.で すから, 例 えば ( ) y ( z ) 9 な どという 球 も 一 度, 三 面 図 上 ではどうなるかを 図 示 して 見 るのもよいのかもしれません. 46

5 () 名 刺 で 空 間 座 標 最 後 に, 空 間 座 標 のモデルを 作 って 視 覚 化 する ことも,よい 数 学 的 活 動 ではないかと 思 いますの で, 紹 介 したいと 思 います. 写 真 のように, 待 針 を 使 って, 点 の 座 標 を 取 り,y 平 面, yz 平 面, z 平 面 の 対 称 な 点 の 座 標 を 考 え させたりするとよいイメージづくりになると 思 い ます. 図 のような 3 枚 の 紙 に L 字 型 の 切 れ 目 を 入 れ, それを 組 み 合 わせて 空 間 座 標 を 作 ります. 長 方 形 の 縦 横 の 比 が, 名 刺 のように 黄 金 比 (: 5 )になっ ているとき,AB=BC と なり, ABD も BCD も 正 三 角 形 になります.すると, 長 方 形 の 頂 点 を 結 んでできる 立 体 が 正 0 面 体 になります. ( 工 作 用 紙 6cm 0cm が 手 頃 ) 名 刺 で 作 る 空 間 座 標 の 話 を, 前 任 校 の 八 戸 西 手 順 : 枚 の 長 方 形 を 上 写 真 左 のように 結 合 手 順 : 残 ったもう 枚 の 長 方 形 を, 切 れ 目 の 具 合 を 考 慮 して,3つの 平 面 が 点 で 交 わるように 組 み 込 む.(ここが 難 しいが 面 白 いところ) 手 順 3:それぞれつの 平 面 が 作 る 直 線 をマッチ 高 でしたら, 講 師 の I 先 生 という 方 が,とても 感 動 してくれて, 更 に 工 夫 して, 工 作 用 紙 にうま く 切 れ 目 を 入 れたものを 作 ってくれました. ( 何 と!クラス 全 員 分 を 工 作 用 紙 で 作 って 授 業 を 行 った) 紹 介 いたします. の 軸 で 軸, y 軸, z 軸 と 印 をつける. 出 来 上 がった 座 標 空 間 を 見 ると,8つの 象 限 に 分 かれていることがわかります. 47

6 数 学 と 音 楽 といえばこれはもう 切 っても 切 れな COFFEE BREAK 0 い 縁 があって, 古 代 から 数 学 者 は 音 楽 の 研 究 者 で もありました.ピタゴラスは 数 学 的 な 手 法 によっ て ピタゴラス 音 階 を 作 り,これが 現 在 の 音 階 数 学 と 音 楽 の 基 礎 になっています.また,ケプラーやオイラ ーなど 多 くの 数 学 者 物 理 学 者 が 現 在 の 平 均 率 と は 異 なる 音 階 を 作 っています. モーツアルト 作 曲 k56 番 ハ 長 調 の 前 半 部 分 宇 多 田 ヒカルがホームページ 上 で, 自 分 が 作 詞 する 時 のスタンスを, 数 学 を 引 き 合 いに 出 しなが ら 述 べているものがありました. 歌 う,ってことは, 言 葉 の 意 味 を 表 現 するのはもちろ ん, 言 葉 が 言 葉 でないくらい 一 音 一 音 を 解 体 していく 作 業 でもあります.< 中 略 > 歌 詞 が 完 成 するまでパズルみ たいに 考 えるのさ!< 中 略 >これを 制 約 と 思 う 人 もいる かもしれないけど, 工 夫 が 必 要 というのは 創 造 するうえ ですごくよい 刺 激 だよ. 作 詞 も 作 曲 も, 歌 うことも, 想 像 力 や 感 情 が 大 事 なのはもちろん, 科 学 的 思 考 が 肝 心 だ と 思 います!とくに 音 楽 と 数 学 って 密 接 な 関 係 があるん じゃないかな.ここ 数 年 アメリカで, 費 用 削 減 の 対 策 と して 音 楽 の 授 業 をやめる 学 校 が 増 えちゃったの.で,そ れはいかん! 音 楽 を 救 え!という 運 動 にテレビの 音 楽 専 門 チャンネルの VHも 参 加 しているんだ. 幼 い 頃 から 楽 器 を 習 ったり 音 楽 を 勉 強 している 子 のほうが 数 学 や 他 の 勉 強 の 成 績 も 高 いっていうデータもあるらしいんで す.それすごく 納 得! 数 学 の 方 程 式 を 解 いていて くそ ーなんじゃこりゃー 難 しい!けど 面 白 い! 絶 対 解 いてや る! って 感 じたときの 脳 のピリピリ 感, 作 詞 している ときも 感 じるもん.ほら, 私 がこよなく 愛 する Sting は 数 学 の 先 生 の 肩 書 きか 資 格?を 持 っているし,B s の 稲 葉 さんも 確 かそうだよね? こんなの 学 校 以 外 で 使 わない じゃーん とかぬかして 数 学 をないがしろにする 子 はも ったいないことをしていると 思 うなあ. 好 きな 子 を 口 説 くとき,ラブレターを 書 くとき,はたまたロックンロー ラーかシンガーソングライターを 志 した 時 に,その 脳 の 部 分 が 働 くかもしいれないのにっっ! (モーツアルトの 作 ではないという 説 もある)は サイコロの 音 階 などとも 呼 ばれていて, 各 小 節 にアルファベットが 割 り 振 られていて,ある 英 文 の 並 びに 従 って 小 節 を 並 べ 替 えることで 何 とお りもの 音 楽 ができる 仕 掛 けになっています.この ような 音 楽 のアナグラム は 6 世 紀 にずいぶん 流 行 ったようですが,そのきっかけを 作 ったのは フランスの 数 学 者 メルセンヌといわれています. このメルセンヌは 数 学 者 であるとともに, 音 楽 理 論 の 研 究 家 でした. 過 去 の 音 楽 理 論 を 研 究 し 数 学 的 に 理 論 づけた 最 初 の 人 ともいわれています. 彼 は, 振 動 する 弦 が 同 時 に 数 個 の 音 を 発 する 理 由 を 考 えたり, 弦 の 長 さと 振 動 数, 張 力 の 関 係 式 p lf を 求 めたりしています. 彼 が 636 年 に m 出 した 普 遍 的 調 和 : 音 楽 の 理 論 と 実 際 を 含 む には 皆 さんが 組 み 合 わせで 使 っている 階 乗 計 算 も 登 場 していて, オクターブの8 音 を 並 べ 替 えてで きる 全 ての 音 階 (8!=4030 通 り)が 記 述 されたり しています. よく 数 学 なんか 人 生 の 役 に 立 たない という 人 がいます. そんなことに 熱 中 して 何 の 意 味 があ るの 世 界 が 平 和 になるわけじゃないし までい ったりする 人 もいます.それはある 意 味 その 通 り かもしれません.でも,それって 凄 い 誉 め 言 葉 か も.そんな 自 由 で 役 に 立 たないくらい 面 白 い 数 学 だからこそ, 音 楽 を 発 展 させたりすることができ るんだなとも 思 うのです. 48

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