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1 第 回 の 演 習 問 題 1. シリコン Si は 原 子 番 号 14の 原 子 である シリコンの 原 子 軌 道 を 記 せ. 近 似 的 波 動 関 数 ψ を 用 いて 見 積 もった 基 底 状 態 エネルギー E r * ψ Hψdr r dr = * ψψ と 厳 密 な 基 底 状 態 エネルギー E 0 を 比 べるとき 常 に E E 0 となることを 証 明 せよ. 3. 酸 素 分 子 の 電 子 配 列 について 論 じよ. 化 学 的 二 重 結 合 のときに 結 合 強 度 が 最 大 に なるのはなぜか? 酸 素 分 子 が 常 磁 性 的 に 振 る 舞 う 理 由 は?また 酸 素 分 子 イオンO + が 安 定 なイオンである 理 由 についても 述 べよ 4. 右 の 図 は 面 心 立 方 格 子 fcc と 体 心 立 方 格 子 bcc 構 造 を 示 したものである fcc 構 造 を 剛 体 球 モデルによって 考 えたとき 原 子 の 間 のすきまは 何 %になるか bcc 結 晶 ではどうか 剛 体 球 モデル: 原 子 を 半 径 r の 球 として 取 り 扱 う このとき 半 径 r はとりうる 最 大 の 半 径 とする fcc 構 造 bcc 構 造

2 第 3 回 の 演 習 問 題 1. a) 等 間 隔 a で 正 負 のイオンを 直 線 上 に 並 べたイオン 鎖 のMardelung 定 数 A の 値 を 求 めよ. b) 次 の 方 法 で NaCl 型 結 晶 格 子 のMardelung 定 数 (A=1.7476) の 値 を 近 似 的 に 計 算 せよ. 中 心 イオンを 取 り 囲 む 一 辺 ma (a は 最 隣 接 イオン 間 距 離 )の 立 方 体 を 考 え 隅 のイオンはこの 立 方 体 に 1/8 だけ 属 しているとしてその 電 荷 を 1/8 とし 陵 の 上 のイオンは 1/4 面 上 のイオンは 1/ とする.このとき 立 方 体 内 の 電 荷 の 総 量 は0となる.この 立 方 体 に 対 しMardelung 定 数 を 求 めよ.. NaCl 型 結 晶 の 格 子 エネルギーの 表 式 q B 1 U( r) = N A+ n n 4πε 0r r i j p ij を 用 いて この 格 子 の 等 温 体 積 弾 性 率 κ = V p V ( ) T およびイオン 対 あたりの 格 子 エネルギーを 決 定 せよ.また n=9 という 値 に 対 して U(r) が 平 衡 間 隔 r = a で 最 小 をとる 条 件 からBの 値 を 決 定 せよ 3. よく 知 られているように 食 塩 (NaCl)は 容 易 に 水 に 溶 け 溶 液 中 で Na と Cl は 正 または 負 のイオンとして 存 在 する. 水 は 大 きな 誘 電 率 をもち クーロンポテンシャルをよく 遮 蔽 する. 水 中 で NaCl が 結 晶 として 存 在 しうるとすれば その 結 合 エネル ギーは 自 由 イオンの 平 均 熱 エネルギーよりも 小 さくなることを 示 せ.また このような 仮 想 的 な 水 中 の NaCl 結 晶 の 平 衡 イオン 間 隔 を 求 め これが 水 分 子 の van der Waals 半 径 よりも 大 きいことを 示 せ. 同 時 に NaCl の 溶 解 度 の 議 論 のためにこ こで 用 いた 近 似 の 妥 当 性 について 述 べよ. 4. CsCl 構 造 で 陰 イオンの 半 径 を 一 定 に 保 ちつつ 陽 イオン 半 径 を 小 さくするとき 結 合 エネルギーに 生 じる 変 化 について 述 べ ある 限 度 以 下 にイオン 半 径 が 小 さくなると NaCl 構 造 の 方 が 安 定 になることを 示 せ. 陽 イオン 半 径 をさらに 小 さくすると ZnS 構 造 ( Mardelung 定 数 A=1.638)の 結 合 エネルギーが 最 大 となることを 例 をあげて 説 明 せよ. 5. 次 のことに 基 づいて 氷 の 零 点 エントロピーを 近 似 的 に 計 算 せよ. 氷 の 結 晶 構 造 では 酸 素 原 子 が 六 方 晶 構 造 を 形 成 し 最 近 接 酸 素 原 子 同 士 は 水 素 結 合 で 結 ばれている. 酸 素 原 子 1つあたりに 個 ある 水 素 原 子 を 4つの 最 近 接 酸 素 原 子 へのび た4 本 のボンドに 分 配 する 方 法 がいくつあるかによって 零 点 エントロピーが 決 定 されることに 注 意 せよ. Boltzmann

3 第 4 回 の 演 習 問 題 r r r 1. 格 子 ベクトルを a, b, c とするとき 単 位 胞 の 体 積 は r r r a b c ( ) で 与 えられることを 示 せ. 図 1は 面 心 立 方 格 子 (fcc) 図 は 体 心 立 方 格 子 (bcc)の 慣 用 単 位 胞 ( 実 線 )と 基 本 単 位 胞 ( 点 線 )を 示 したものである r r r 図 1 (1) 基 本 単 位 胞 の 格 子 ベクトルを 慣 用 単 位 胞 の 格 子 ベクトル a, b, c で 表 せ () 基 本 単 位 胞 を 囲 む 面 のミラー 指 数 を 慣 用 単 位 胞 の 格 子 ベクトルをもとに 表 せ (3) 慣 用 単 位 胞 を 囲 む 面 のミラー 指 数 を 基 本 単 位 胞 の 格 子 ベクトルをもとに 表 せ (4) 基 本 単 位 胞 の 体 積 を 慣 用 単 位 胞 の 体 積 と 比 較 せよ (5) fcc, bcc 格 子 のウィグナー ザイツ 胞 の 多 面 体 を 構 成 する 面 の 形 を 調 べ 各 稜 の 長 さ を 計 算 せよ 3. 図 3は 六 方 晶 を 示 したものである (1) ミラー 指 数 (h k j l) をもつ 格 子 面 の 面 間 隔 を 求 めよ () 最 密 六 方 構 造 (hcp)における 格 子 定 数 a と c の 関 係 を 求 めよ 4. 格 子 定 数 a の 立 方 晶 の x, y, z 軸 をそれぞれ 0a, 5a, 15a および 16a, 0a, 1a で 切 る 平 行 なつの 格 子 面 を 考 える これらの 格 子 面 のミラー 指 数 を 記 せ このつの 面 の 間 に 何 枚 の 平 行 な 格 子 面 が 介 在 するか 図 図 3

4 第 5 回 の 演 習 問 題 1., 3, 4 及 び 6 回 軸 に 対 する 次 元 行 列 表 現 を 与 えよ また どの 表 現 が 可 約 であるかについても 述 べよ.(1) 結 晶 に 外 部 から 応 力 を 加 えると 誘 導 分 極 が 生 じる 効 果 をピエゾ( piezo ) 効 果 と 言 う また 反 転 中 心 を 持 つことを 中 心 対 称 性 を 持 つという 43 を 除 いた 中 心 対 称 性 を 持 たない 点 群 に 属 する 結 晶 はすべてピエゾ 効 果 を 示 す ピエゾ 効 果 を 示 す 結 晶 の 対 称 性 (3 点 群 の 要 素 )を 列 記 せよ ()ある 温 度 以 下 で 自 発 分 極 を 持 つ 結 晶 を 焦 電 気 ( pyroelectric ) 結 晶 と 呼 ぶ 中 心 対 称 性 を 持 たない 点 群 において ステレオ 投 影 図 で 北 半 球 (あるいは 南 半 球 )のみにしか 一 般 点 が 存 在 しない 点 群 を 極 性 を 持 つ 点 群 と 呼 ぶ 極 性 を 持 つ 点 群 に 属 する 結 晶 は 焦 電 気 結 晶 であることから 焦 電 気 結 晶 の 可 能 な 対 称 性 (3 点 群 の 要 素 )を 列 記 せよ 3. 反 転 中 心 も 鏡 映 面 も 存 在 せず 右 手 系 と 左 手 系 とが 混 在 していない 点 群 をエン アンチモーフィック (enantimorphic ) な 点 群 と 言 う エンアンチモーフィック な 点 群 を 列 記 せよ

5 第 6 回 の 演 習 問 題 1.(a) 面 心 立 方 格 子 の 基 本 ベクトルを 次 のようにとったとき 逆 格 子 の 基 本 ベクトルを 求 めよ ur a a a1 =,, 0 uur a a a = 0,, uur a a a3 =, 0, (b) 面 心 立 方 格 子 の 構 造 因 子 S hkl を 求 めよ S hkl が0となる 場 合 はどのようなときか また 慣 用 単 位 胞 の 逆 格 子 点 との 対 応 を 調 べよ. 六 方 最 密 構 造 (hcp) の 構 造 因 子 S hkl を 求 めよ 3.ダイヤモンド 構 造 の 構 造 因 子 S hkl を 求 めよ ur r uur r uur 4.ブラッグ 反 射 の 起 こる 条 件 G = k k 0 を 満 足 するすべてのベクトル 対 k, k0 の 始 点 はブリ ルアン ゾーンの 境 界 面 上 にあることを 示 せ

6 第 7 回 の 演 習 問 題 1. 電 子 の 運 動 が 次 元 1 次 元 に 限 定 されたときの 状 態 密 度 を 求 めよ.(a) 電 子 密 度 が 一 定 である 自 由 電 子 気 体 に 対 する 化 学 ポテンシャルの 温 度 依 存 性 を 近 似 的 に 計 算 せよ なお x 1.5 で 次 の 近 似 式 が 成 り 立 つ 0 y π dy x 1 y x + + e x (b) 同 様 に 電 子 の 運 動 が 次 元 1 次 元 に 限 定 されたときの 化 学 ポテンシャルの 温 度 依 存 性 を 近 似 的 に 計 算 せよ 3. 金 属 中 の 自 由 電 子 は 外 界 に 対 して w の 位 置 エネルギーをもつと し 0 o K におけるフェルミ 準 位 μ 0 は 外 界 より φ だけ 低 いとする 有 限 な 温 度 では フェルミ 分 布 にしたがい 高 いエネルギーをもつ 電 子 は 表 面 から 逃 れ 出 ることができる この 金 属 を 陰 極 とし 適 当 に 電 位 差 を 与 え それらの 電 子 をすべて 陽 極 に 引 き 付 ける 場 合 この 熱 電 子 流 ( 単 位 面 積 あたり)が kt B I = AT e φ (Richardsonの 式 ) であたえられることを 示 せ ( φ はふつう 1eV の 程 度 で k B T に 比 べて1 桁 から 桁 大 きい ) φ μ 0 金 属 w 外 界

7 第 8 回 の 演 習 問 題 1.( 大 きな 数 ) N 個 の 原 子 からなる1 次 元 格 子 ( 原 子 間 距 離 a ばね 定 数 f 原 子 の 質 量 m )に 対 する 運 動 方 程 式 を 書 き 下 し 変 位 s n (t) を sn ( t) = u( q) exp i( qna ωt) とおいてこの 方 程 式 を 解 け a) 得 られた 分 散 式 ω(q) を 原 子 1 次 元 格 子 に 対 する 式 と 比 較 せよ b) フォノンの 全 運 動 量 N d m sn () t d n= 1 がゼロになることを 示 せ c) 長 波 長 ( q << a -1 ) に 対 して この1 次 元 格 子 に 対 する 運 動 方 程 式 を 変 位 s n (t) = s(x = na, t), s n+1 (t), s n-1 (t) を a でテーラー 展 開 すると 弾 性 波 に 対 する 波 動 方 程 式 になることを 示 せ d) 得 られた 波 の 速 度 を 長 い 棒 を 伝 わる 音 波 の 速 度 と 比 較 し 実 効 弾 性 率 を 求 めよ ( 長 い 棒 の 音 速 は 弾 性 率 を E 密 度 を ρ とすると c= E ρ で 表 わされる. 問 題 1の1 次 元 格 子 において 位 置 n = 0 の 原 子 の 質 量 M が 他 の 原 子 の 質 量 m と 異 なる 場 合 の 固 有 振 動 数 を 変 位 を s ( ) exp n t = s0 κ ( ω) n iωt と 表 わすことにより 計 算 せよ どのような M の 範 囲 に 対 して 局 在 振 動 が 存 在 するか 3. 各 原 子 が 最 近 接 原 子 とばねで 結 合 している fcc 結 晶 を 考 え この [100] 方 向 に 沿 った 縦 および 横 モード フォノンに 対 する 分 散 関 係 を 計 算 せよ 4.fcc 結 晶 の [100] 方 向 に 伝 わる 縦 および 横 音 響 モードの 音 速 を 計 算 せよ 結 晶 の 弾 性 理 論 によると 密 度 を ρ として 音 速 は c l = (c 11 /ρ) 1/, c t = (c 44 /ρ) 1/ で 表 わされる 最 近 接 原 子 間 のばね 定 数 を 用 いて 弾 性 定 数 c 11, c 44 を 計 算 せよ 最 大 振 動 周 波 数 が 8.85THz (ニッケルの 値 )となるばね 定 数 を 用 い 音 速 の 数 値 を 計 算 せよ 実 験 値 は 縦 波 横 波 に 対 してそれぞれ 5300m/s と 3800m/s である

8 第 9 回 の 演 習 問 題 1.fcc および bcc 結 晶 の 第 1ブリルアンゾーン( 右 図 )において 原 点 Γ より X, K, L または H, N, P までの 距 離 を 求 めよ それらの 点 までの 距 離 を 半 径 とする k 空 間 の 球 内 に 含 まれる 軌 道 数 を 求 めよ.bcc 結 晶 の 空 格 子 近 似 による 自 由 電 子 のエネルギーを 還 元 ゾー ン 形 式 で 描 け 単 位 胞 あたり z 個 の 伝 導 電 子 があるときのフェルミ 準 位 を 書 き 込 め fcc X X Γ Λ Σ L Δ U K W X Γ Σ P Λ Δ N bcc H 3.クローニッヒ ペニーのモデルと 呼 ばれる 周 期 的 な1 次 元 井 戸 型 ポテンシャルを 考 える N を 整 数 として 区 間 N ( a + b ) ~ N ( a + b ) + a のポテンシャルは 0 N ( a + b ) + a ~ ( N + 1) ( a + b ) の 間 のポテンシャルを U とし 波 動 方 程 式 ( x) h d ψ + U x x = x m dx ( ) ψ ( ) εψ ( ) の 解 を 求 めたい 解 の 形 をそれぞれの 領 域 で ( ) exp( ) ψ = Aexp ikx + B ikx の 形 にとって 境 界 で ψ, dψ /dx が 連 続 であるという 条 件 を 課 する このとき 解 が 存 在 する 条 件 として Q K sinh Qb sin Ka + cosh Qb cos Ka = cos k ( a + b) QK m となることを 示 せ ただし k はブロッホ 関 数 の 波 数 ベクトルで Q = ( U ε である Qab を 一 定 とし ) P = h て b 0, U とした 場 合 解 の 存 在 条 件 は P sin Ka+ cos Ka = cos ka Ka K となる これにより 許 される K の 値 を 求 め ε = h m によって 許 されるエネルギー ε の 範 囲 と k = nπ /a のと ころでエネルギーギャップが 生 じることを 示 せ P = 3π / の 場 合 のエネルギー ε と 波 数 k の 関 係 を 図 示 せよ

9 第 10 回 の 演 習 問 題 1.Siにおける 伝 導 帯 の 電 子 の 等 エネルギー 面 は 楕 円 体 をしており 楕 円 体 の 中 心 に 波 数 の 原 点 をとると h h E = k + k + k m x y z l mt ( ) と 表 わすことができる 伝 導 帯 の 電 子 の 状 態 密 度 を 求 め これを 自 由 電 子 の 状 態 密 度 と 比 べ 状 態 密 度 に 対 する 有 効 質 量 が ( mm ) 13 で 与 えられることを 示 l t せ.ドナー 濃 度 cm -3 のN 型 Si 半 導 体 における 伝 導 電 子 とホールの 密 度 を 温 度 の 関 数 としてプロットせよ 3.アクセプタ 濃 度 cm -3 のP 型 Si 半 導 体 とドナー 濃 度 10 1 cm -3 のN 型 Si 半 導 体 による PN 接 合 がある 室 温 における 真 性 キャリヤ 密 度 を 1.45x10 10 cm -3 として 以 下 に 答 えよ (1) P 型 半 導 体 N 型 半 導 体 のフェルミ 準 位 を 真 性 フェルミ 準 位 を 基 準 にして 求 めよ () このPN 接 合 のビルトイン ポテンシャルの 値 を 求 めよ (3) 空 乏 層 はキャパシタと 見 ることができる 単 位 面 積 当 たりのキャパシタを 求 め PN 接 合 に 加 える 電 圧 によりどのように 変 化 するか 図 示 せよ

10 第 11 回 の 演 習 問 題 1. (a) 電 場 E = 100 V/cm, 格 子 定 数 a = 3 A として ブロッホ 振 動 の 周 期 を 計 算 せよ (b) Cu の 室 温 での 電 気 伝 導 度 は 5.88x10 5 Ωcm -1 である m* = m 0 ( 自 由 電 子 の 質 量 ) とし 電 子 濃 度 n = 8.45 x 10 cm -3 を 用 いて 緩 和 時 間 τ を 求 めよ (c) 上 の 結 果 を 比 較 してどのようなことがわかるか. pn 接 合 にかかる 電 圧 が 低 いとき 空 乏 層 領 域 では 電 子 ホールの 濃 度 はほとんど0 と 見 なすことができる Shockley-Read-Hall 再 結 合 において この 領 域 では 電 子 ホールの 生 成 を 表 す エネルギー ギャップの 中 央 付 近 にエネルギーをもつトラップ が 電 子 ホールの 生 成 に 最 も 寄 与 することを 示 せ この 電 子 ホールの 生 成 はpn 接 合 の 電 流 にどのような 影 響 を 及 ぼすか 3. 有 効 質 量 m* の 電 子 において 緩 和 時 間 τ と 考 えた 運 動 方 程 式 m * d x dt = ee i t において 交 流 電 場 E = Ee ω を 加 えたとき 単 位 体 積 あたりの 分 極 P が P = nex 0 と 与 えられることを 考 慮 して 比 誘 電 率 が ω p ε = 1 ω ne ω p = ε m で 与 えられることを 示 せ ( ω p :プラズマ 振 動 数 ) n = 5x10 cm -3 として ω p に 対 す る 光 の 波 長 はどのくらいか 更 に 緩 和 時 間 を 考 慮 したときどのようになるか 0 *

11 第 1 回 の 演 習 問 題 1. 半 無 限 空 間 を 占 める 金 属 を 考 え 表 面 上 の 点 に 大 きさが 無 視 できる 小 さなコンタクトを 設 ける 磁 場 B を 表 面 に 平 行 に かつつのコンタクトを 結 ぶ 線 に 垂 直 にかける 一 方 のコンタクトは 金 属 へ 電 子 を 注 入 することに 用 いられ 第 のコンタクトは 検 出 器 として 用 いる 電 子 の 運 動 が 散 乱 を 受 けないと 仮 定 して その 軌 跡 を 描 け どのような 磁 場 B の 値 に 対 して 検 出 器 に 達 する 信 号 が 最 大 になるのか? この 信 号 強 度 を B の 関 数 として 計 算 せよ. 次 の 手 順 で サイクロトロン 共 鳴 実 験 の 半 古 典 的 モデルを 考 えよ ただし 固 体 中 のほとんど 自 由 な 粒 子 (すなわち 電 子 とホール)は 有 効 質 量 m* と 緩 和 時 間 τ で 記 述 されるものとする a) サイクロトロン 振 動 数 ω c を 求 めよ b) 磁 場 (0, 0, B ) と 高 周 波 電 場 E = ( Ae iωt, Ae iωt+iπ /, 0 ) が 同 時 に 存 在 する 場 合 に この 中 を 運 動 す る 電 子 の 運 動 方 程 式 を 導 け ただし E に 付 随 する 高 周 波 磁 場 の 効 果 は 無 視 しうるものとする c) x 方 向 の 電 流 密 度 から 伝 導 度 σ = j x / E x を 求 めよ d) 伝 導 度 σ の 実 部 は 電 場 の 減 衰 率 を 表 わす ωτ = 0., 1, 3 の 各 場 合 に 伝 導 度 σ の 実 部 を ω c / ω の 関 数 としてプロットし 結 果 を 吟 味 せよ e) 電 子 の 共 鳴 とホールの 共 鳴 を 区 別 するにはどうしたらよいか f).4 x Hz の 高 周 波 を 発 生 するクライオストロンがある 磁 場 B z = 8.6 x 10 - T に 対 して 最 大 振 幅 の 共 鳴 が 観 測 された この 共 鳴 に 関 与 しているキャリアの 質 量 比 m* / m 0 を 求 めよ( m 0 は 自 由 な 電 子 の 質 量 ) 緩 和 時 間 τ と 移 動 度 μ のどの 範 囲 で 共 鳴 が 観 測 されるだろうか

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