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1 情 報 科 学 概 論 2 回 目 出 欠 確 認 課 題 モノとしての 情 報 情 報 を, 工 学 の 対 象 物 として 取 り 扱 うための 理 論 と 技 術 情 報 通 信 以 外 の 分 野 で, 情 報 理 論 の 技 術 や 考 え 方 が 利 用 できる 分 野, 技 術, 応 用,ビジネスを 考 えよ 情 報 を 測 る 情 報 の 量, 情 報 伝 達 系 の 性 能 を 数 値 として 測 る 確 率 論 をベースに, 人 間 の 直 観 にあった 定 式 化 を 行 う 情 報 を 伝 える 情 報 をできるだけコンパクトに 表 現 する 情 報 をできるだけ 確 実 に 伝 える 出 席 届 兼 用 の 用 紙 に 記 入, 本 講 義 終 了 時 に 提 出 知 識 を 問 うのではなく, 発 想 着 眼 点 を 評 価 します. ナルホド 面 白 い と 思 わせる 回 答 を 期 待 しています 情 報 の 学 生 に 対 する 注 意 : 今 回 の 内 容 は 情 報 理 論 のサブセット 上 記 課 題 について, 高 いレベルの 回 答 を 期 待 します 2 第 一 部 : 情 報 量 をどうとらえるか 情 報 の 獲 得 良 い 自 動 車 を 作 りたい... 時 間 や 距 離, 燃 料 の 量 などを 正 確 に 計 量 できないと 難 しい 良 い 情 報 システム を 作 りたい... 情 報 の 量 を 測 り, 数 値 として 表 現 することが 必 要 情 報 の 量 : 人 間 の 直 観 と 乖 離 した 定 義 では 意 味 がない 我 々が 漠 然 と 考 えている 情 報 量 にマッチする 定 義 が 必 要 どういうときに 情 報 を 得 た と 考 えるか? 情 報 を 得 る = 対 象 物 に 関 する 不 確 かさ が 減 少 すること 昨 日 の 野 球 の 試 合 結 果, 何 も 知 らないと, 勝 敗 はわからない 友 人 から 昨 日 の 試 合, 勝 てなかった と 聞 いた( 情 報 を 得 た) 情 報 を 得 る 前 : 勝 ち, 負 け, 引 き 分 けの3 通 り... 不 確 かさ 大 情 報 を 得 た 後 : 負 け, 引 き 分 けの2 通 り... 不 確 かさ 小 情 報 量 = 不 確 かさの 減 少 量 とするのが 自 然 不 確 かさ の 定 量 化 が 先 決 3 4

2 情 報 源 と 通 報 情 報 伝 達 の 例 情 報 伝 達 のモデル: 情 報 源 で 発 生 した 事 象 を, 通 信 路 が 伝 達 し, 観 測 者 が 受 信 事 象 を 表 現 する 具 体 的 な モノ... 通 報 と 呼 ぶ 通 報 情 報 である 点 に 注 意 e? 情 報 源 e 通 信 路 e 観 測 者 情 報 源 の 統 計 的 性 質 は 既 知, 実 際 に 発 生 する 通 報 は 未 知 通 信 路 は, 正 確 に 通 報 を 伝 達 しないかもしれない 情 報 伝 達 の 多 くは, 概 念 上, 前 スライドのモデルとして 表 現 可 能 イベント 通 信 路 の 出 力 : 野 球 の 試 合 結 果 友 人 からの 速 報 メール プログラムの 出 力 ファイルからの 読 み 出 しデータ 明 日 の 天 気 天 気 予 報 画 像 データ JPEG 圧 縮 データ 敵 軍 隊 の 指 令 文 書 盗 聴 で 得 た 暗 号 文 イベント 通 信 路 という 言 葉 にとらわれ 過 ぎる 必 要 はない 5 66 情 報 源 の 分 類 典 型 的 な 情 報 源 情 報 源 の 分 類 アナログ 情 報 源 vs. デジタル 情 報 源 通 報 がアナログ 的 か,デジタル 的 か 記 憶 のある 情 報 源 vs. 記 憶 のない 情 報 源 発 生 する 通 報 に 相 関 があるか, 独 立 しているか 定 常 情 報 源 vs. 非 定 常 情 報 源 統 計 的 な 振 舞 いが, 時 間 に 対 して 不 変 か,そうでないか 定 常 で 記 憶 のない,デジタル 情 報 源 通 報 の 集 合 は 離 散 集 合 により 与 えられる 発 生 する 通 報 は, 以 前 の 通 報 とは 独 立 して 決 定 される 時 刻 をシフトしても, 通 報 の 発 生 確 率 は 変 化 しない サイコロの 目 やコイン 投 げの 結 果 を 想 定 すれば 良 い 現 実 世 界 では, 記 憶 のある 情 報 源 もかなり 多 い 人 間 が 使 う 自 然 言 語 画 像, 音 声 等 のデータ... 基 本 的 に, 本 講 義 では( 最 初 に 少 ししか) 扱 わない 7 8

3 情 報 源 のエントロピー エントロピーの 計 算 例 S: 以 下 の 通 報 発 生 確 率 を 持 つ( 記 憶 の 無 い 定 常 ) 情 報 源 a a... 通 報 2 a M M 元 情 報 源... 確 率 p p 2 p M 情 報 源 S の 一 次 エントロピー (first-order entropy): H M ( S) p i log 2 p i (ビット, bit) i この 項 は 非 負 エントロピーは 常 に 以 上 例 : コイン 投 げのエントロピー: 表, 裏 とも 確 率 /2...M = 2, p =p 2 =.5 H ( S ).5log.5.5log.5 log(/ 2) ビット ( 9 例 2:サイコロの 目...コイン 投 げより, 結 果 予 想 は 難 しいはず 通 報 確 率 /6 /6 /6 /6 /6 /6 H ( S) log log log 例 3:イカサマ 賭 博 のサイコロ 通 報 確 率 ビット 6.2 H( S).9 log.9.2log log.2 一 個 の 指 標 で, 予 測 の 難 しさの 大 小 関 係 を 定 義 可 能.7ビット 記 憶 のある 情 報 源 マルコフ 情 報 源 のエントロピー 記 憶 のある 情 報 源 は 多 種 多 様 比 較 的 シンプルなモデルとして,マルコフ 情 報 源 がある /.9 /. 状 態 間 を 遷 移 しながら 通 報 発 生 直 観 的 には, 双 六 のイメージ スタート,ゴールはない /.4 /.6 十 分 時 間 が 経 過 した 後 ( 定 常 状 態 ) 通 報 / 確 率 での 振 舞 いを 議 論 することが 多 い 上 の 例 の 場 合, 十 分 な 時 間 が 経 過 すると... 8%の 確 率 で 状 態,2%の 確 率 で 状 態 を 取 っているはず ( 実 際 は, 漸 化 式 を 立 てて 計 算 を 行 う) /.9 /. /.4 /.6 8%の 確 率 で 状 態 2%の 確 率 で 状 態 が 発 生 する 確 率 =.8 8 が 発 生 する 確 率 =.2 エントロピーは 8log8.8log.8 2log2=722bit.2log 通 報 を ブロック 化 すると, 興 味 深 い 振 舞 いが 見 られる ( 情 報 源 からの 通 報 を 複 数 個 まとめて, 一 個 の 通 報 とみなす) 2

4 ブロック 化 の 例 : 記 憶 のない 場 合 マルコフ 情 報 源 とブロック 化 コイン 投 げ2 回 分 の 通 報 を,ブロックにまとめる 場 合... 通 報 は { 表 表, 表 裏, 裏 表, 裏 裏 } の4 通 り 通 報 表 表 表 裏 裏 表 裏 裏 確 率 /4 /4 /4 /4 H (S 2 )=log 4 = 2ビット... 結 果 予 想 は 一 個 の 場 合 の2 倍 難 しい H (S 2 )は,S の 通 報 2 個 分 のエントロピー S の 通 報 個 分 に 換 算 すると,H (S 2 )/2 = ビットビ ト 記 憶 のない 情 報 源 では,ブロック 化 してもエントロピーは 変 化 なし n 個 まとめて 予 想 する 難 しさ = n ( 個 だけ 予 想 する 難 しさ) /.9 /. /.4 /.6 8%の 確 率 で 状 態 2%の 確 率 で 状 態 が 発 生 する 確 率 = が 発 生 する 確 率 =.8 が 発 生 する 確 率 =8.4.8 が 発 生 する 確 率 =.2 エントロピーは.294bit... 一 文 字 あたりでは.6457 bit ブロック 化 しないときは.722bit だった ブロック 化 により,エントロピーが 小 さくなった 3 4 記 憶 のある 情 報 源 のエントロピー 第 一 部 : 折 り 返 し 地 点 一 般 に, 記 憶 のある 情 報 源 では... H (S n ) / n( 通 報 一 個 あたりのエントロピー)は, 単 調 減 少 する H (S n )/n n は,ある 一 定 の 値 H(S) に 収 束 していく H(S) H ( (S n ) / n n H ( (S n ) / n < H ( (S) n 個 まとめて 予 想 する 難 しさ < n ( 個 だけ 予 想 する 難 しさ) ある 程 度, 通 報 の 出 現 パターンが 読 める 自 然 語 だと, qu は 高 頻 出, qz は,まず 出 現 しない 無 記 憶 の 場 合 より, 振 舞 いが 予 想 しやすい エントロピー 小 5 ここまでは, 情 報 源 の 予 測 の 難 しさ の 定 量 化 ここからは 情 報 量 の 定 義 6

5 通 報 の 持 つ 情 報 量 野 球 の 試 合 の 例 では 阪 神 タイガースの 試 合 があったが, 結 果 をまだ 知 らない 阪 神 が 勝 つ 確 率, 負 ける 確 率, 引 き 分 ける 確 率 は, 全 部 /3 巨 人 ファンの 友 人 Aからメイル: 阪 神 は 負 けなかった 友 人 Aのメイルに 含 まれる 情 報 の 量 は? メイルを 受 け 取 る 前 : 結 果 に 関 する 不 確 かさが 大 きい P( 勝 ) = /3. P( 引 ) = /3, P( 負 ) = /3 メイルを 受 け 取 った 後 : 結 果 に 関 する 不 確 かさが 小 さくなった P( 勝 ) = /2. P( 引 ) = /2, P( 負 ) = 不 確 かさの 減 少 量 = 情 報 量 と 定 義 したい メイルを 受 け 取 る 前 :P( 勝 ) = /3. P( 引 ) = /3, P( 負 ) = /3 エントロピーは log log log log メイルを 受 け 取 った 後 :P(( 勝 ) = /2. P( 引 ) = /2, P( 負 ) = 条 件 付 きエントロピーは log log log 阪 神 は 負 けなかった というメイルに 含 まれる 情 報 量 :.585 =.585 ビット 7 8 情 報 量 とエントロピー 気 まぐれな 友 人 の 場 合 (case ) 離 れたところにある 情 報 源 S の 出 力 ( 通 報 )を 知 りたい 通 報 の 確 率 分 布 はわかるが, 何 が 実 際 出 力 されたか 知 りたい S の 出 力 に 関 し,なんらかの ヒント を 入 手 したとする ヒントにより, 通 報 の 確 率 分 布 が, 別 の 情 報 源 S の 確 率 分 布 と 一 致 することがわかったとする このとき,ヒント( 通 報 )がもたらした 情 報 量 (information) は H(S) H(S ) ビット 右 図 の 行 動 を 取 る 友 人 Bが.5 勝 ち 勝 ったよ 言 いたくない と 言 った 時 の.5. 引 分 言 いたくない 情 報 量 は? 5.5 負 け.5 負 けたよ P( 言 いたくない) = 2/3 P( 勝 ち, 言 いたくない) = /6 P( 勝 ち 言 いたくない) = /4 P( 引 分, 言 いたくない) = /3 P( 引 分 言 いたくない) = /2 P( 負 け, 言 いたくない) = /6 P( 負 け 言 いたくない) = /4 9 言 いたくない と 言 っているときのエントロピーは log log log 情 報 量 は =.85ビット( 友 人 Aのメイル:.585ビット) 2

6 気 まぐれな 友 人 の 場 合 (case 2) 情 報 量 の 平 均 友 人 Bが 勝 ったよ と 言 った.5 勝 ち 勝 ったよ ときの 情 報 量 は?.5. 引 分 言 いたくない P( 勝 ったよ) =/6 5.5 P( 勝 ち, 勝 ったよ) = /6 負 け.5 負 けたよ P( 勝 ち 勝 ったよ) = P( 引 分 勝 ったよ) = エントロピーはになる P( 負 け 勝 ったよ) = ( 結 果 を 正 確 に 知 ることができる) 情 報 量 は.585 =.585ビット( 友 人 Aのメイル:.585ビット) 友 人 Bの 行 動 : /6 の 確 率 で 勝 ったよ... 情 報 量.585ビット 2/3 の 確 率 で 言 いたくない... 情 報 量.85ビット85ビット /6 の 確 率 で 負 けたよ... 情 報 量.585ビット 平 均 すると.585 / / /6 =.585ビット 友 人 Aの 行 動 : 2/3の 確 率 で 負 けなかった... 情 報 量.585ビット /3の 確 率 で 負 けたよ... 情 報 量.585ビット 勝 ち 平 均 すると.585 2/ /3 =.98ビット 友 人 Aと 友 人 B,どちらが 頼 りになる 友 人 か?... 個 々の 通 報 の 情 報 量 だけを 見 ていたのではわからない 2 引 分 負 け 負 けなかった 負 けたよ 平 均 すると, 友 人 Aのほうが.333ビット 多 くの 情 報 をくれる 22 相 互 情 報 量 相 互 情 報 量 の 意 味 友 人 A, 友 人 Bは, 異 なる 特 性 を 持 った 通 信 路 と 考 えられる 負 けなかった 言 いたくない 相 互 情 報 量 : その 通 信 路 が,どれだけの 情 報 を 伝 達 しているかの 指 標 システムとして 通 信 路 を 実 現 することを 考 えると, 個 々の 通 報 の 情 報 量 より, 相 互 情 報 量 にこそ 着 目 すべき 通 信 路 の 入 力 確 率 変 数 を X, 出 力 確 率 変 数 を Y とする X Y X と Y の 相 互 情 報 量 I(X; Y): Yの 各 値 が 持 つ(X に 関 する) 情 報 量 の 加 重 平 均 同 じ 通 信 路 でも, 入 力 分 布 が 変 わると, 相 互 情 報 量 も 変 わる 同 じ 友 人 Aでも... 勝 ち, 引 分, 負 けが /3のチーム... 相 互 情 報 量 は.98ビット 勝 ち, 負 けが/2のチーム... 相 互 情 報 量 は ビット 前 ページでは 試 合 結 果 と 友 人 の 振 舞 いの 相 互 情 報 量 を 計 算 相 互 情 報 量 の 取 り 得 る 最 大 値 通 信 路 容 量 という 23 24

7 相 互 情 報 量 の 計 算 例 () 相 互 情 報 量 の 計 算 例 (2) 天 気 予 報 : 天 気 についての 情 報 を 与 える,やや 不 正 確 な 通 信 路 例 : 日 間 の 実 際 の 天 気 (X) と 天 気 予 報 (Y) の 統 計 : 晴 X 雨 P(Y) Y 晴 雨 P(X) 57 予 報 43 X Y 現 実 実 際 の 天 気 が 晴 だったのは57 日,P X ( 晴 )=.57 予 報 が 晴 といったのは6 日,P Y ( 雨 )=.6 天 気 X, 予 報 Y とも 晴 だったのは45 日,P X,Y ( 晴, 晴 )=.45 晴 X 雨 P(Y) Y 晴 雨 P(X) 天 気 予 報 が 当 たる 確 率 =P P X,Y ( 晴, 晴 )+ P X,Y ( 雨, 雨 )=.73 この 予 報 と 友 人 Aのメイル,どちらが 高 性 能? 天 気 のエントロピー: H (X X ).57log.57.43log ビット 相 互 情 報 量 の 計 算 例 (3) 相 互 情 報 量 と 当 たる 確 率 天 気 予 報 Yが 晴 のとき: 本 当 に 晴 れる 確 率 は.45/.6 =.75, 雨 の 確 率 は.25 晴 という 予 報 を 聞 いた 後 の 条 件 付 エントロピーは H(X 晴 ) =.75log.75.25log.25 =.8 ビット 晴 という 天 気 予 報 の 持 つ 情 報 量 は =.75 天 気 予 報 Yが 雨 のとき: 本 当 に 雨 の 確 率 は.28/.4 =.7, 晴 の 確 率 は.3 雨 という 予 報 を 聞 いた 後 の 条 件 付 エントロピーは H(X 雨 ) =.3log.3.7log.7 =.88 ビット 雨 という 天 気 予 報 の 持 つ 情 報 量 は =.5 加 重 平 均 をとると =.47 ビット 27 A 社 : Y まぁまぁ 当 たる 予 報 晴 雨 P(X) 晴 X 雨 % P(Y) ビット B 社 : Y 絶 対 はずれる 予 報 晴 雨 P(X) 晴 X 雨 % P(Y) ビット 情 報 の 量 は,B 社 予 報 のほうが 大 きい 28

8 第 一 部 のまとめ 休 憩 エントロピーの 概 念 を 導 入 予 測 の 難 しさを 定 量 化 したもの 情 報 量, 相 互 情 報 量 を 定 義 エントロピーの 減 少 量 として 定 式 化 システムの 評 価 には, 相 互 情 報 量 の 概 念 が 有 用 29 3 第 二 部 : 情 報 の 表 現 方 法 を 考 える 情 報 は, 実 体 を 持 たない 抽 象 的 なもの 情 報 の 容 器 である 通 報 に, 具 体 的 表 現 を 与 える 必 要 がある 通 報 の 表 現 方 法...かなり 大 きな 自 由 度 がある 良 い 表 現 方 法 と 良 くない 表 現 方 法 がある 良 い 表 現 方 法 とは? 情 報 の 蓄 積 を 考 えると...できるだけコンパクトであること 情 報 の 伝 達 を 考 えると...できるだけ 誤 りに 強 いこと 第 二 部 前 半 : 情 報 のコンパクトな 表 現 について 3 種 類 の 通 報 A, B, C を, と だけを 用 いて 符 号 化 する 通 報 符 号 語 (ただし, 区 切 り 記 号 は 使 わない) A 符 号 化 すると,BB と C が 区 別 できなくなる B C ( 一 意 に 復 号 できない) すべてを ビットで 表 現 することは 不 可 能 A B C 一 意 性 は 保 証 されるが, 一 工 夫 足 りない... 相 反 する 二 つの 方 向 性 の 間 で,バランスを 取 ることが 大 切 技 術 としては,それぞれ 独 立 したものとして 扱 うことが 得 策 A B C 符 号 語 の 長 さが 揃 っていないが... 情 報 をコンパクトには 表 現 できる 3 32

9 様 々な 符 号 化 法 様 々な 符 号 化 法 ( 続 ) A いまのところベストの 符 号 化 法 B C C A いまのところベストの 符 号 化 法 B C A B C 上 の 例 と 似 ているが, 一 意 性 が 保 証 されない B CC C 2 A B C 本 質 的 に, 上 と 同 じ? A B C 一 意 性 は 保 証 されるが, 取 り 扱 いが 面 倒 BAAA CAAA 最 後 の 一 文 字 を 見 るまで, 復 号 を 行 えない 最 初 の 方 式 は, 一 意 的 で, 即 時 に 復 号 処 理 ができる 33 通 報 の 出 現 確 率 に 偏 りがある 場 合 を 考 える P(A)=5 =.5 P(B) =.4 P(C) =. C : 一 通 報 を 表 現 する 符 号 長 の 平 均 は =.5ビットビ ト C 2 : 一 通 報 を 表 現 する 符 号 長 の 平 均 は =9ビット ビット C のほうが C 2 よりもコンパクトな 表 現 34 符 号 に 求 められる 性 質 ハフマン 符 号 良 い 符 号 の 三 条 件 : 一 意 に 復 号 可 能 であること 瞬 時 に 復 号 可 能 であること 平 均 符 号 長 ができるだけ 短 いこと 理 論 的 に 最 適 な 解 法 が 知 られている ハフマン 符 号 化. 各 通 報 に 対 して 節 点 を 準 備 し,その 発 生 確 率 を 付 与 する 節 点 はそれぞれ, 大 きさの 木 であると 考 える 2. 木 の 中 で 発 生 確 率 最 小 のものを2つ 選 出 し, 以 下 を 行 う. 2つの 木 の 根 節 点 を 子 とするような, 新 しい 根 節 点 を 作 る 2. 新 しい 根 節 点 と 古 い 根 節 点 を 結 ぶ 枝 に,, をラベル 付 け 3. 新 しい 根 節 点 に,2つの 木 の 発 生 確 率 の 和 を 与 える 3. すべての 節 点 がつながるまで,2 2 の 操 作 を 繰 り 返 す 35 36

10 ハフマン 符 号 化 法 練 習 問 題 記 号 A B C D 確 率 A B C D A B C D 確 率 符 号 語 確 率 符 号 語 A B.2. A B.3.2 C D.3.3 C D.2. E. E F A B C D A B C D 37 等 長 符 号 の 場 合 と 比 べ, 平 均 符 号 長 が 小 さくなっている 38 ハフマン 符 号 とブロック 化 ブロックハフマン 符 号 ハフマン 符 号 : 得 られる 符 号 は, 一 意 かつ 瞬 時 に 復 号 可 能 通 報 一 個 を 符 号 語 一 個 に 符 号 化 する 方 式 としては, 最 も 効 率 が 良 い( 最 もコンパクト, 平 均 符 号 長 が 小 さい) 複 数 の 通 報 を 一 まとめにして(ブロック 化 して) 符 号 化 すれば, さらに 効 率 が 良 くなることが 知 られている 39 2つの 通 報 をまとめて(ブロック 化 して) 符 号 化 する 記 号 確 率 符 号 語 A 6.6 B.3 C. 平 均 符 号 長.4 ビット 記 号 確 率 符 号 語 AA AB.8 AC.6 BA.8 BB.9 BC 3.3 CA.6 CB 3.3 CC. 平 均 符 号 長 2.67 ビット 一 記 号 あたり.335 ビット 4

11 ブロック 化 と 性 能 の 限 界 情 報 源 符 号 化 定 理 一 般 に,ブロック 長 を 大 きくすると, 通 報 一 記 号 あたりの 平 均 符 号 長 は 減 少 する どこまで 減 少 するか? 対 象 となっている 情 報 源 のエントロピーに 漸 近 する 平 均 符 号 長 ( 一 記 号 あたり) エントロピー ブロック 長 ハフマン 符 号 よりも 良 い 方 法 を 工 夫 すれば,エントロピーの 壁 を 乗 り 越 えられる? 平 均 符 号 長 ( 一 記 号 あたり) エントロピー ブロック 長 任 意 の 符 号 について, 平 均 符 号 長 は 必 ず L H (S) となる データ 圧 縮 における 越 えられない 壁 平 均 符 号 長 が L < H (S) + となる 符 号 を 構 成 できる ハフマン 符 号 は, 理 論 限 界 を 達 成 する 符 号 化 方 式 4 42 ユニバーサル 符 号 化, 非 可 逆 符 号 化 第 二 部 : 折 り 返 し 地 点 ハフマン 符 号 化... 情 報 源 記 号 の 確 率 分 布 が, 事 前 に 必 要 確 率 分 布 が( 正 確 には)わからないケースも 多 い ユニバーサル 符 号 化 法 どのような 情 報 源 に 対 しても,そこそこ 良 い 性 能 を 発 揮 LZ77 法 (lha, gzip, zoo, zip etc.) LZ78 法 (compress, stuffit etc.) LZW 法 (GIF, TIFF 等 の 画 像 フォーマット) 音 声 や 画 像 等 の 情 報... 細 部 まで 正 確 に 再 現 できなくても, 実 害 なし 再 現 性 を 一 部 犠 牲 にして, 高 い 圧 縮 率 を 非 可 逆 符 号 化 ここまでは, 情 報 をコンパクトに 表 現 する おはなし ここからは 誤 った 情 報 を 訂 正 する おはなし 43 44

12 通 信 路 符 号 化 パリティ 検 査 符 号 偶 発 的 に 発 生 する 誤 りから, 情 報 を 保 護 したい 通 信 路 において 発 生 するノイズから 情 報 を 守 る CD-ROM が 傷 ついても, 中 のデータは 読 めるようにする 基 本 的 な 考 え 方 : 誤 りを 検 出 し, 訂 正 するための 余 分 な 情 報 を 追 加 する パリティ 記 号 の 付 加 : とで 表 現 されたひとまとまりのデータの 中 に, が 偶 数 個 あればを が 奇 数 個 あればを データの 最 後 にくっつける 操 作 パリティ 記 号 の 付 加 されたデータは, 偶 数 個 のを 含 む( 偶 パリティ 符 号 ) 誤 りを 含 む の 個 数 が 奇 数 個 誤 りの 影 響 を 受 けている 45 サーバ 用 メモリ 等 で 利 用 されている 46 誤 りの 検 出 から 訂 正 へ 誤 り 訂 正 の 原 理 偶 パリティ 符 号 そのものには, 誤 り 訂 正 能 力 がない 偶 パリティ 符 号 を 組 み 合 わせれば, 誤 り 訂 正 可 能 に 例 :4ビットの 情 報 を 保 護 したい 4ビットを 長 方 形 状 に 並 べる 水 平 方 向, 垂 直 方 向 にパリティ 記 号 (5ビット)を 付 加 前 出 の (9,4) 符 号 どの 行 列 とも,は 偶 数 個 のはず ビットの 誤 りが 発 生 すると 誤 りを 含 む 行, 列 だけ,が 奇 数 個 になる 受 信 者 は, 誤 りの 発 生 位 置 を 特 定 することが 可 能 誤 りは, 異 常 のある 行 列 の 交 点 に 存 在 するはず 保 護 したい パリティ 記 号 4ビット 5ビット (9, 4) 符 号 長 さ9ビット 内 4ビットが 本 来 の 情 報 符 号 化 率 4/9 47 正 常 ( 誤 り 無 し) 異 常 ( 誤 りあり) 48

13 一 般 的 な 線 形 符 号 へ ハミング 符 号 前 出 の (9,4) 符 号 行 単 位, 列 単 位 でパリティ 記 号 を 計 算 二 次 元 的 な 行, 列 にこだわる 必 要 はない 斜 めにたどる, 途 中 で 曲 げる,スポット 的 に 拾 う etc データビットの 任 意 の 組 合 せからパリティ 記 号 を 計 算 可 能 組 み 合 わせ 方 により, 符 号 の 性 能 が 変 化 する 線 形 符 号 : データビットの 部 分 集 合 から パリティ 記 号 を 定 義 する 符 号 いかにして 良 い 組 み 合 わせ 方 を 探 すか 符 号 設 計 者 の 腕 の 見 せ 所 49 代 表 的 な 線 形 符 号 符 号 語 中 に 発 生 するビットの 誤 りを 訂 正 可 能 非 常 に 効 率 が 良 い( 完 全 符 号 ) (7,4) 符 号 効 率 4/7 (9,4) 符 号 効 率 4/9 (どちらも,より 大 規 模 の 符 号 も 構 成 可 能 ) 5 生 成 行 列 検 査 行 列 線 形 符 号 データビットの 部 分 集 合 から,パリティ 記 号 を 定 義 パリティ 記 号 は,いくつかのデータビットの 和 となる p = x 2 + x 3 + x 4 x 2 + x 3 + x 4 + p = p 2 = x + x 3 + x 4 x + x 3 + x 4 + p 2 = p 3 = x + x 2 + x 3 x + x 2 + x 3 + p 3 = x x 2 p = x 2 + x 3 + x p 4 3 p p x 3 x 4 p 2 = x + x 3 + x 4 2 p3 = x + x 2 + x 3 ( x x 2 x 3 x 4 p p 2 p 3 ) = ( x x 2 x 3 x 4 ) (+は 排 他 的 論 理 和 ) 生 成 行 列 検 査 行 列 符 号 語 を 検 査 行 列 にかけると ゼロベクトルになる ゼロベクトルにならなければ, 誤 りが 含 まれる x 2 x 3 x 2 x 4 = p p 2 p 3 符 号 化 操 作 = データビットと 生 成 行 列 の 掛 け 算 5 誤 り 検 出 = 受 信 語 と 検 査 行 列 の 掛 け 算 およびゼロテスト 52

14 線 形 符 号 の 特 徴 巡 回 符 号 符 号 化, 誤 りの 検 出, 訂 正 とも, 行 列 演 算 により 実 行 可 能 行 列 演 算 単 純 な 組 合 せ 回 路 だけで 実 現 可 能 高 速 に 動 作 させるのに 有 利 規 模 の 大 きな 線 形 符 号 巨 大 な 行 列 に 対 する 演 算 が 必 要 となる 組 合 せ 回 路 の 面 積 増 大 遅 延, 消 費 電 力, 設 計 困 難 スケーラビリティが 悪 い もっと 扱 いやすい 線 形 符 号 は? 符 号 化, 復 号 を,シフトレジスタで 実 現 できる 線 形 符 号 一 般 の 線 形 符 号 に 比 べ, 実 装 面 で 有 利 シフトレジスタ 利 用 による 配 線 の 簡 単 化 符 号 化 処 理 と 復 号 処 理 で, 回 路 の 一 部 共 有 化 が 可 能 代 表 的 な 巡 回 符 号 : BCH 符 号 Reed-Solomon Sl 符 号 : 多 元 符 号 (バイト 単 位 での 取 り 扱 い 等 も 容 易 ) CD, DVD 等 でも 採 用 畳 込 み 符 号 誤 り 訂 正 符 号 の 応 用 符 号 化 装 置 を, 有 限 状 態 機 械 として 実 現 する 方 式 最 尤 復 号 が, 比 較 的 効 率 よく 行 える(ビタビアルゴリズム) 統 計 的 に, 最 も 信 頼 度 の 高 い 復 号 法 軟 判 定 復 号 の 実 現 も 容 易 復 号 精 度 を 上 げる 技 術 受 信 値 の 信 頼 度 を,との 二 値 でなく,より 多 段 階 で 表 現 多 くの 通 信 方 式 にて, 畳 込 み 符 号 が 実 際 に 用 いられている 二 次 元 バーコード コード 面 の 汚 損 による 誤 りが 起 こりうる Reed-Solomon 符 号 の 利 用 により, 耐 性 向 上 地 上 波 デジタル 放 送 畳 込 み 符 号 と Reed-Solomon 符 号 の 二 重 符 号 化 を 利 用 数 独 パズル 周 辺 の 制 約 条 件 から, 欠 落 情 報 を 復 元 情 報 理 論 応 用 ではないが, 共 通 点 が 多 い 55 56

15 本 日 のまとめ 出 欠 確 認 課 題 第 一 部 : 情 報 を 測 る 情 報 の 量, 情 報 伝 達 系 の 性 能 を 数 値 として 測 る 確 率 論 をベースに スに, 人 間 の 直 観 にあった 定 式 化 を 行 う 第 二 部 : 情 報 を 伝 える 情 報 をできるだけコンパクトに 表 現 する 情 報 をできるだけ 確 実 に 伝 える 情 報 通 信 以 外 の 分 野 で, 情 報 理 論 の 技 術 や 考 え 方 が 利 用 できる 分 野, 技 術 を 考 えよ 情 報 理 論 の 簡 単 な 概 論 デジタル 情 報 システムの 重 要 な 基 盤 コンピュータ 関 係 以 外 への 貢 献 も Claude E. Shannon

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