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1 NAOSITE: Ngk Unverty' A Ttle 自 動 制 御 の 理 論 と 応 用 Author() 辻, 峰 男 Ctton 自 動 制 御 の 理 論 と 応 用 ; 05 Iue Dte 05 UL ght Th doument downloded

2 第 3 章 システムの 表 現 - 伝 達 関 数 とブロック 線 図 - システムの 入 力 と 出 力 の 関 係 は 伝 達 関 数 で 表 され,この 結 果,システムはブロック 線 図 で 表 現 できる ブロック 線 図 の 作 り 方 と 簡 単 化 の 方 法 を 理 解 して 欲 しい 3. 線 形 システムの 伝 達 関 数 制 御 対 象 の 物 理 現 象 を 数 学 的 に 表 現 すると, 一 般 に 線 形 常 微 分 方 程 式 となる 例 えば, 電 気 回 路 の 式, 運 動 方 程 式 はその 代 表 である 入 力 を ut (), 出 力 を yt () とする 図 3- のシステムで, 本 書 では 次 式 の 線 形 定 係 数 常 微 分 方 程 式 で 表 せる 線 形 時 不 変 システム(lner tme-nvrnt ytem: LTI システム)を 対 象 とする n n d y d y d y 0 n n n ny m m d u d u du 0 m mu ( n m) m m (3-) ここで,すべての 係 数 は 定 数 である 線 形 とは 重 ね 合 わせが 成 り 立 つことで, 種 類 の 入 力 を 同 時 に 入 れたときの 出 力 がそれぞれを 単 独 に 入 れたときの 出 力 の 和 になるという 性 質 で ある 時 不 変 とは, 同 じ 波 形 の 入 力 を 時 間 0 からとτから 加 える 場 合, 後 者 の 出 力 はτだ け 遅 れた 同 じ 波 形 が 出 るという 性 質 である 係 数 が 時 間 の 関 数 なら 時 不 変 とは 言 えない ut () 入 力 システム yt () 出 力 図 3- システムの 入 力 と 出 力 線 形 時 不 変 システムの 解 析 設 計 に 極 めて 重 要 な 伝 達 関 数 (trnfer funton) G () の 求 め 方 ( 定 義 )を 述 べる システムに 関 する 微 分 方 程 式 をたてる (3-)の 様 に 変 形 する 必 要 はない ラプラス 変 換 して, 全 ての 初 期 値 を0とおく 3 入 力 ut () と 出 力 yt () のラプラス 変 換 をそれぞれ U(), Y() とすると, Y() G () (3-) U() ただし, Lut [ ( )] U( ), Lyt [ ( )] Y( ) n d n t t より,, or n と 置 き 換 え, 時 間 関 数 ( 小 文 字 でt の 関 数 ) 0

3 をラプラス 変 換 した 変 数 ( 大 文 字 で の 関 数 )に 置 き 換 えると 良 い これは, 交 流 理 論 のフ ェ-ザで j を とおいた 形 であるから 覚 えやすい 伝 達 関 数 = 出 力 / 入 力 で 求 める 図 3- のシステムの 伝 達 関 数 を 求 める (3-)をラプラス 変 換 して, 初 期 値 を 0 と 置 くと, Y() Y() Y() Y() n n 0 n n U() U() U() U() m m 0 m よって, 伝 達 関 数 は 次 式 となる G () m m 0 m n n 0 n (3-3)の 形 は 有 理 関 数 (rtonl funton)と 呼 ばれる n m n m (3-3) mのときプロパー(proper),n m とき 真 にプロパーまたは 厳 密 にプロパー(trtly proper) 呼 ばれる 分 母, 分 子 は 多 項 式 と 呼 ば れる G () の 分 母 を 0 と 置 いたときの 根 を 極 (pole), 分 子 を 0 と 置 いたときの 根 を 零 点 (zero)という 極 は 次 式 から 求 まる n n 0 n n 0 極 や 零 点 は 一 般 に 複 素 数 であるが,それらの 実 部 が 全 て 負 であるとき( 安 定 多 項 式 (tle polynoml)またはフルビッツ 多 項 式 ), 伝 達 関 数 は 最 小 位 相 (mnmum phe)と 言 われる ( 例 題 3-) 電 源 電 圧 を 入 力, 抵 抗 の 両 端 の 電 圧 を 出 力 とする 制 御 対 象 の 伝 達 関 数 を 求 めよ t () L ( 解 ) 回 路 の 微 分 方 程 式 をたてると d() t L () t e(), t v() t () t である これをラプラス 変 換 して 初 期 値 を 0 と 置 くと, LI () I () E (), V () I () ただし, Lt [ ( )] I( ), Let [ ( )] E( ), Lvt [ ( )] V( ) よって, 伝 達 関 数 は 次 のように 求 まる G () E () L et () vt () 交 流 回 路 のフェーザの 公 式 ( 分 圧 または 分 流 )を 用 いると, 簡 単 に 答 えが 求 まる もし,

4 電 源 が 交 流 ならば, V E j L (この 式 を 思 って E () L と 書 け) であり,フェーザ V, E をラプラス 変 換 した, E() に 代 えて, j と 置 くと 良 い しかし,フェーザとラプラス 変 換 は 同 じではないので, 両 者 を 混 在 させてはいけない 伝 達 関 数 を 求 める 場 合 の 回 路 素 子 の 式 を 図 3- に 示 す この 式 は 初 期 値 を 0 として 得 られてい る 矢 印 の 向 きは, 電 圧, 電 流 I () の 測 定 の 向 きを 表 わし, 自 分 の 好 きに 決 めてよい が, 同 じ 向 きのときマイナスがつく フェーザの 計 算 と 同 様 に 分 圧 や 分 流 の 公 式 も 利 用 で きる I () I() LI() L I () C I () C I () 図 3- 伝 達 関 数 を 求 める 場 合 に 利 用 する 回 路 素 子 の 式 ( 問 題 3-) 図 の 回 路 で, 電 源 電 圧 et () を 入 力, vt () を 出 力 とするとき, 伝 達 関 数 を 求 め, ブロック 線 図 を 書 け C L et () C vt () et () vt () () () ( 解 )() E LC C () () C E () C E() E() C LC C C 3

5 ( 例 題 3-) 図 のオペアンプの 回 路 で, v を 入 力, v を 出 力 としたときの 伝 達 関 数 を 求 めよ C 3 v v 3 v 3 v 一 般 にオペアンプ( 演 算 増 幅 器 ) (opertonl mplfer)が 理 想 的 とすると, 次 式 が 成 立 する () v 0 :オペアンプだけの 増 幅 度 が 無 限 大 で, 出 力 端 から 反 転 端 子 への 負 帰 還 があ る 場 合 (C, がつながっている)に 成 立 する しかし,v を 短 絡 してはいけない () 0 :オペアンプの 入 力 インピーダンスが 無 限 大 だから 入 力 端 子 に 電 流 は 流 れな い この 結 果,オームの 法 則 より v 3 0 である ( 注 意 ) オペアンプは 差 動 増 幅 回 路 などを 構 成 する 幾 つかのトランジスタを 用 いて 作 ら れたアナログ IC である オペアンプの 出 力 電 圧 は, 出 力 端 ( v のところ)に 何 をつな いでも 変 わらない 3 は 実 際 のオペアンプのオフセット 電 圧 を 小 さくするのに 役 立 つ ( 解 ) v, v3 が 0 であるから, v v dv,, C 3 C, に 加 わる 電 圧 は 共 に v である 0 であるから, v v dv C ラプラス 変 換 して, 初 期 値 を 0 と 置 くことにより, 次 式 を 得 る V () V () C z ( 別 解 ) 次 の 公 式 を 使 うともっと 簡 単 に 求 ま z る 一 般 に, V () z V () z ただし, z, z はインピーダンスの j を に 置 き 換 えた 式 V z 3 V 4

6 ( 例 題 3-3) 図 のオペアンプの 回 路 で, () を 求 めよ V を 入 力, V 0 () を 出 力 としたときの 伝 達 関 数 I C v V I C V0 V ( 解 ) オペアンプが 理 想 的 とすると, v 0 である 図 の 様 にラプラス 変 換 した 電 圧, 電 流 を 大 文 字 で 定 義 する コンデンサC の 電 圧 V は, 出 力 V0 と 等 しい I 図 より, V0 C I I C V ( I I) I V0 3,より, I, I を 求 めて,3に 代 入 し V0 () CC ( ) C オペアンプの 等 価 回 路 と 負 帰 還 がないときの 動 作 v () t Av 0 V V v () o t V V A74形 演 算 増 幅 器 A 0 5 0, M, 0 75 vo () t v () t t が 大 きいので 入 力 電 流 は 流 れない. 増 幅 度 A は 十 分 大 きいので, 負 帰 還 がないと 出 力 電 圧 は 無 限 大 になるところであるが, 電 源 電 圧 以 上 にはならず 飽 和 した 電 圧 が 出 る 5

7 ( 問 題 3-) 図 のオペアンプの 回 路 で, () を 求 めよ V を 入 力, V () o を 出 力 としたときの 伝 達 関 数 C V V o Vo () C ( 答 ) V () C 0 のとき 純 粋 な 微 分 回 路 となるが,ノイズの 影 響 が 大 きく 実 用 的 (prtl)でな い を 入 れることで 高 周 波 ノイズが 除 去 でき 実 用 的 な 微 分 回 路 となる ( 問 題 3-3) 図 のオペアンプの 回 路 で, V () を 入 力, Vo () を 出 力 としたときの 伝 達 関 数 を 求 めよ これは 帯 域 通 過 フィルタ(nd-p flter)の 一 つである C 3 V o P C V Q V V 4 V o ( 答 ) Q 点 の 電 位 が 0 だから, 図 のように 電 圧 が 定 義 できる P 点 にキルヒホッフの 電 流 則 を 適 用 して V V V CV C( V Vo ) 3について, Vo 3,より Vo () V () C V C C C ( ) CC CC 3 3 6

8 3. ブロック 線 図 システムの 入 出 力 は 伝 達 関 数 によって 表 されるので,これを 利 用 してブロック 線 図 (lok dgrm)を 描 くことが 良 く 行 われる 図 3-3 にブロック 線 図 の 基 本 記 号 を 示 す 図 中 の 矢 印 は 入 力 と 出 力 を 区 別 し 信 号 の 流 れを 示 す U () Y () G () 入 力 出 力 Y () GU () () () E () () E () Y () Y () Y () Y () E () () Y () E () () Y () 線 上 はどこも 同 じ 値 ()ブロック () 加 え 合 わせ 点 (ummng pont) () 引 き 出 し 点 (tkeoff pont) 図 3-3 ブロック 線 図 の 基 本 記 号 一 般 のシステムは, 要 素 が 集 まって 作 られる この 場 合 ブロック 線 図 は 非 常 に 便 利 である これは,もともと 伝 達 関 数 により 代 数 方 程 式 (lger equton)に 直 して 計 算 していること が 役 立 っている 図 3-4 にブロックの 直 列 結 合 (ere ouplng)からなるシステムを 示 す 全 体 のシステムの 伝 達 関 数 は, Y() G () X () G () G () X () G () G () G () U() (3-4) となる 単 純 に 掛 け 合 わせるだけでよく 覚 えやすい U() X () X () G () Y () G () G () U() Y () 3 GGG 3 図 3-4 ブロックの 直 列 結 合 からなるシステム 表 3- にブロック 線 図 の 簡 略 化 や 変 形 の 際 に 役 立 つ 等 価 な 変 換 を 示 す どれも, 図 3-3 のブ ロック 線 図 の 定 義 より 明 らかであろう 入 力 と 出 力 の 関 係 が 同 じになれば 両 者 は 等 価 と 考 えてよい ここでは,フィードバック 結 合 だけ 説 明 しよう 図 より, d, Gd, H であり, dを, 消 去 して, G H (3-5) G GH H として 負 帰 還 に 変 形 H がないなら, H とする を 得 る 正 帰 還 は H 7

9 表 3- ブロック 線 図 の 等 価 変 換 引 出 し 点 の 交 換 加 合 せ 点 の 交 換 d e f e e 引 出 し 点 と 要 素 間 の 移 動 Ⅰ G () G () G () 引 出 し 点 と 要 素 間 の 移 動 Ⅱ G () G () / G ( ) 加 合 せ 点 と 要 素 間 の 移 動 Ⅰ G () G () G () 加 合 せ 点 と 要 素 間 の 移 動 Ⅱ G () G () / G ( ) 直 列 結 合 並 列 結 合 G( ) G( ) G( ) フィードバック d 結 合 ( 負 帰 還 ) G () H() フィードバック d 結 合 ( 正 帰 還 ) G () H() G( ) GG G G G GH G GH 是 非 覚 えておこう! 8

10 ( 例 題 3-4) 図 のブロック 線 図 で, 変 換 公 式 を 利 用 して, () と Y() の 間 の つのブロッ クに 変 換 せよ H () G G G3 G4 Y() H ( 解 ) 以 下 の 様 に 変 換 できる () G H / G 4 G G3 G4 Y() H () G H / G 4 G GG 3 4 GGH 3 4 Y () () GGGG 3 4 GGH GGH Y() ( 例 題 3-5) 図 の 制 御 対 象 で, 電 源 電 圧 et () を 入 力,コンデンサ 電 圧 vt () を 出 力 とするとき, 各 変 数 を 全 て 含 んだブロック 線 図 を 書 け また,そのブロック 線 図 を 簡 略 化 して,つの ブロックにせよ 3 C et () v C vt () 9

11 ( 解 ) ラプラス 変 換 した 変 数 を 大 文 字 で 表 すと, 図 より 以 下 の 関 係 式 が 得 られる I ( E V ), I ( V V) V I, V I 3 C C I I I 3 これらの 関 係 式 から 次 のブロック 線 図 が 得 られる E() I I C V I3 I C I C E() C V I3 I C V( ) E () C C V I3 I C E () C C ( C C C ) ( 例 題 3-6)DC モータは, 図 に 示 す 等 価 回 路 で 表 される 回 路 の 式 は, d v L Km e K ここで, v : 電 源 電 圧 [V], : 電 機 子 電 流 [A], m : 誘 導 起 電 力 [V] K : 定 数, : 界 磁 磁 束 [W] ( 一 定 ) : 電 機 子 巻 線 の 抵 抗 [ ], L : 電 機 子 巻 線 のインダクタンス[H] N m : 回 転 角 速 度 [rd/], N : 分 間 の 回 転 数 [r/m] 60 モータの 負 荷 としてはいろいろあるが,モータと 負 荷 が 一 体 となって 回 転 すると 考 える ことが 多 い この 場 合, 運 動 方 程 式 が 以 下 の 様 に 表 される 30

12 dm J K mm Tl K : 発 生 トルク[Nm], J : 慣 性 モーメント[kgm ] (DC モータ+ 負 荷 ) m : 制 動 係 数 [Nm], T l : 負 荷 トルク[Nm] ここで, e DCモータ v L e m e T l 負 荷 この 制 御 対 象 のブロック 図 を 描 き, 電 源 電 圧 に 対 する 回 転 角 速 度 の 伝 達 関 数 を 求 めよ ( 解 ), 式 をラプラス 変 換 して 初 期 値 を 零 と 置 くことにより, 以 下 の 式 が 得 られる I () L I () K () m J () KI () () T () m m m l これより,DCモータのブロック 図 は 次 のようになる () T l L I () e() m () K m J K ここで, 負 荷 トルクT l は 外 乱 と 考 えられ,これを0と 置 いて 伝 達 関 数 を 求 める KF m() L m J G () KF KF L J m K LJ J L K ( m ) m ( ) DC モータ 自 体 にフィードバックループがあり, 端 子 電 圧 に 見 合 った 速 度 に 落 ち 着 くことに なる 磁 束 ( 界 磁 電 流 )を 小 さくすると 速 度 は 非 常 に 大 きくなるので 危 険 である 3

13 ( 例 題 3-7)( 理 想 オペアンプでない 場 合 ) 図 はオペアンプの 等 価 回 路 である 入 力 抵 抗 は 十 分 大 きく,そこに 流 れる 電 流 I は 0 とする( は 0 でないとする) A () はオペアン プ 内 部 の 伝 達 関 数 で, V () A() の 関 係 がある 図 のように つの 入 力 電 圧 o V (), V () と 出 力 電 圧 V () を 考 えるとき,ブロック 線 図 を 書 け また,A 点 を B 点 に o 接 続 するとき( 負 帰 還 ),ブロック 線 図 を 示 して, V () と Vo () 間 の 伝 達 関 数 を 求 めよ V () V () I 0 A() V () o ( 解 ) V() V() 0, Vo () A() より () V A() Vo () V( ) () つの 入 力 電 圧 V(), V() と 出 力 電 圧 Vo () のブロック 線 図 () V A() Vo () V () () 回 路 の A 点 と B 点 を 接 続 した 場 合 のブロック 線 図 Vo () A() A() ( A ( ) ) A () A() ( 注 ) 加 え 合 わせ 点 では+であるが, A () の 前 に-があり, 実 質 的 に 負 帰 還 である A () とすれば, V0 ()/ A() 0だから, 理 想 オペアンプとなる 3

14 ( 例 題 3-8) 図 の 制 御 対 象 で, 電 圧 vt () を 検 出 して, 電 源 電 圧 ut () を 次 式 で 制 御 する ut () K ( v() t vt ()) K ( v() t vt ()) p * * 0 t ここで, K, K は 定 数, v * () t は p 電 圧 指 令 値 である () 制 御 対 象 の 伝 達 関 数 を 求 め よ () 制 御 系 全 体 のブロック 線 図 を 書 け (3) 閉 ループ 伝 達 関 数 を 求 めよ L ut () C vt () ( 解 )() 回 路 の 分 圧 の 考 え 方 を 利 用 して /( C) /( C) C U() L L CL ( L C ) /( C) /( C) C () 制 御 の 式 をラプラス 変 換 して * K * U( ) Kp( V ( ) V( )) ( V ( ) V( )) K * ( Kp )( V ( ) V( )) よって, 制 御 系 全 体 のブロック 線 図 は 図 の 様 になる V * () U() K K p CL ( L C ) K ( K p ) CL L ( C ) (3) * V () K ( K p ) CL L ( C ) ( K K ) p 3 ( ) ( p ) CL L C K K 33

15 3.3 状 態 方 程 式 制 御 対 象 やフィードバック 制 御 システムを 連 立 微 分 方 程 式 で 記 述 してシステムの 解 析 や 設 計 を 行 うことがある これは 応 答 の 計 算 や 現 代 制 御 理 論 などで 用 いられる 図 の 制 御 対 象 で 説 明 しよう 入 力 は 電 源 電 圧 et () であるが, 出 力 をコンデンサの 電 圧 v と しよう 微 分 方 程 式 は, d et () L v (3-6) dv C (3-7) et () t () L C vt () となる 状 態 方 程 式 (tte equton)は, 次 式 で 与 えられる d v 0 / C v 0 e / L / L / L (3-8) 連 立 微 分 方 程 式 で, 微 分 を 左 辺 におき, 右 辺 は 左 辺 の 変 数 と 入 力 だけを 使 って 表 す 入 力 は 自 由 に 変 えることができる 量 で, 電 気 回 路 では 電 源 である 一 方, 出 力 は, 目 的 で 異 なるが, 通 常 センサで 検 出 する 量 である 電 圧 v を 出 力 とする 場 合, 出 力 方 程 式 (output equton)は 次 式 で 与 えられる v 0 v 出 力 方 程 式 は 状 態 方 程 式 の 変 数 を 使 って 表 すもので,それ 以 外 の 変 数 を 使 ってはいけない この 様 に,システムは, 状 態 方 程 式 d x u A x B (3-0) (3-9) 成 分 表 示 : x n x x d n x u x x n n n nn n n 34

16 出 力 方 程 式 y Cx (3-) 成 分 表 示 : y n x x xn により 記 述 できる x は 状 態 変 数 ベクトル(tte vrle vetor)と 呼 ばれ,この 成 分 を 状 態 変 数 という 状 態 変 数 は(3-0)の 様 に 整 理 できるなら, 何 を 選 んでも 良 い 電 気 回 路 のシステ ムでは,コイルの 電 流 とコンデンサの 電 圧 (または 電 荷 )を 選 ぶと 良 い 状 態 変 数 の 選 び 方 やその 順 序 は 決 らないので, 状 態 方 程 式 の 書 き 方 は 人 により 異 なる 入 力 u は, 我 々が 直 接 自 由 に 変 えることができる 量 であるが, 状 態 変 数 は 入 力 を 変 えることで 間 接 的 に 変 化 す る 量 であり 全 く 異 なる 例 題 3-6 の 状 態 方 程 式 を 求 めると, 以 下 の 様 になる 状 態 方 程 式 : d / L K/ L / L 0 v Tl m K/ J m/ J m 0 / J (3-) ここで, 負 荷 トルクTL の 項 は, 一 種 の 入 力 であるが, 制 御 には 利 用 できないので, 外 乱 と 考 えればよい 出 力 方 程 式 : m 0 m (3-3) となる ( 例 題 3-9) 図 の 制 御 対 象 の 状 態 方 程 式, 出 力 方 程 式 を 求 めよ ただし, 出 力 は, v と する L L et () v C v ( 解 ) 状 態 方 程 式 35

17 d 0 0 / L / L 0 / L / L 0 e v / C / C 0 v 0 出 力 方 程 式 v 0 0 v 次 に, 伝 達 関 数 の 求 め 方 につき 述 べる 状 態 方 程 式 : dx() t Ax() t B u() t 出 力 方 程 式 : y() t Cx () t につき 考 える A はシステム 行 列 と 呼 ばれる 上 式 をラプラス 変 換 して(ベクトルのラプラ ス 変 換 は 各 成 分 のラプラス 変 換 である), X() x(0) AX() B U() (3-4) X() x(0) ただし, X(), (0) x Xn() xn(0) Y() CX () (3-5) を 得 る 初 期 値 x(0) を 0 とおいて,(3-4)より ( I A) X() B U() X() ( I A) B U() 0 伝 達 関 数 Gは, () Y() C( I A) B U() より I Y() G () U() 0 : 単 位 行 列 C( I A) B Cdj( I A) B (3-6) I A となる ここで, I は 単 位 行 列, dj は, 余 因 子 行 列 (djont mtrx)を 示 す 36

18 行 列 式 (determnnt), 逆 行 列 (nvere mtrx)の 公 式 A の 第 行 と 第 j 列 を 省 いてできた ( n) ( n ) 次 元 の 行 列 の 行 列 式 に ( ) j を 掛 けた ものを M j とする n n A n n nn のとき, 例 えば, M ( ) 3 n n n n3 nn このとき, 行 列 式 : 逆 行 列 : n A j n j j M dj( A) A A M j j dj( A) d d d A 余 因 子 行 列 : M dj( A) M n n M j M M nn T T は, 転 置 行 列 (trnpoed mtrx)を 意 味 する (3-8), (3-9)の 状 態 方 程 式 については, / C I A / L / L L LC / C 0 C dj( I A) B 0dj / L / L / L / L / C 0 0 / L / L LC よって, Cdj( I A) B E LC C () I A (3-7) 37

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