微 分 方 程 式 ~1 階 線 形 微 分 方 程 式 の 研 究 ~ 茨 城 県 立 緑 岡 高 等 学 校 小 峰 航 (2), 柴 田 卓 (2), 後 藤 司 はじめに 動 機 と 目 的 は 以 下 の 通 りである 動 機 授 業 で 微 分 積 分 を 学 び, 解 析 学 に 興

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1 データとスポーツの 関 係 性 茨 城 県 立 水 戸 第 二 高 等 学 校 岡 野 優 風 (2 年 ), 平 野 真 愛 (2 年 ) 野 村 和 子 1.はじめに 今 日 では 様 々な 物 事 がデータ 化 されそのデータは 世 界 中 であらゆることに 利 用 されている バ レーボールの 日 本 代 表 の 試 合 も データによって 組 み 立 てられている 私 たちはスポーツの 世 界 でデータが 利 用 されていることに 目 を 付 け データとスポーツの 関 係 性 について 研 究 した 2. 方 法 本 校 2 学 年 の 体 力 テストのデータを 集 計 し 偏 差 値 を 求 め 部 活 ごとにレーダーチャートを 作 り 比 較 した 各 種 目 の 偏 差 値 の 合 計 が 最 も 高 かったハンドボール 部 に 絞 り 去 年 との 記 録 の 変 化 を t 検 定 を 用 いて 調 べた t 検 定 の 結 果 より 1 年 間 で 記 録 の 伸 びがほとんどなかった2 種 目 ( 反 復 横 とび 立 ち 幅 とび)において 効 果 的 なトレーニングを 考 案 し 実 際 に 行 いトレーニングの 効 果 を 検 証 している 3. 分 析 結 果 t 検 定 によりハンドボール 部 のハンドボール 投 げ 50m 走 の 記 録 の 向 上 は 数 学 的 に 証 明 された 4. 考 察 ハンドボール 投 げ 50m 走 は 一 年 次 の 記 録 と 今 年 度 の 記 録 には 有 意 な 差 があるためトレーニン グをすることで 記 録 の 向 上 がしやすい 種 目 だと 考 える 一 方 で 有 意 な 差 が 見 られなかった 種 目 は 遺 伝 的 な 理 由 が 関 係 し 記 録 の 向 上 が 難 しい 種 目 だと 考 える 5. 課 題 反 復 横 とび 立 幅 とびの 向 上 を 目 的 として 考 案 したトレーニングを 継 続 していきたい また ト レーニングの 結 果 を 検 定 したい 種 目 ごとの 記 録 の 分 布 を 調 べ 種 目 の 特 徴 を 調 べていきたい 数 学 1-1

2 微 分 方 程 式 ~1 階 線 形 微 分 方 程 式 の 研 究 ~ 茨 城 県 立 緑 岡 高 等 学 校 小 峰 航 (2), 柴 田 卓 (2), 後 藤 司 はじめに 動 機 と 目 的 は 以 下 の 通 りである 動 機 授 業 で 微 分 積 分 を 学 び, 解 析 学 に 興 味 を 持 ち, 微 分 積 分 の 応 用 である 微 分 方 程 式 を 研 究 しようと 思 った 目 的 微 分 方 程 式 や,その 他 の 解 析 学 に 関 する 定 理 の 証 明, 数 理 モデルでの 微 分 方 程 式 の 利 用 微 分 方 程 式 の 関 数 における, やその 導 関 数, の 関 係 式 を 微 分 方 程 式 という まずは,,, の 関 係 式 である 1 階 線 形 微 分 方 程 式 を 考 える 微 分 積 分 微 分 は 平 均 変 化 率 の 極 限, 積 分 はグラフ 間 の 面 積 を 表 す 微 分 積 分 学 の 基 本 定 理 より 以 上 の 二 つの 演 算 は 逆 演 算 であることがわかる 変 数 分 離 形 微 分 方 程 式 の 形 の 微 分 方 程 式 で 解 くことができる 1 階 線 形 微 分 方 程 式 1の 形 の 微 分 方 程 式 主 な 解 法 は 以 下 の 二 つである 解 の 公 式, とおくと 以 下 で 解 が 得 られる は 任 意 定 数 定 数 変 化 法 1の 右 辺 を 0 に 置 き 換 えた 同 次 方 程 式 を 用 いる その 解 を として を の 関 数 で 置 き 換 え,1に 代 入 して 得 られた 方 程 式 の 解 を とすると1の 解 は である( は 任 意 定 数 ) 今 後 の 展 望 以 下 の4 点 である 1 階 線 形 微 分 方 程 式 以 外 の 微 分 方 程 式 の 解 法 を 学 ぶ 微 分 方 程 式 を 利 用 して 数 理 モデルについて 考 察 する 微 分 方 程 式 についての 定 理 の 証 明 方 法 を 検 討 する 微 分 に 似 た 差 分 について 研 究 する 参 考 文 献 以 下 の 三 冊 を 用 いた はじめての 微 分 方 程 式 入 門 プレアデス 出 版 井 上 一 哉 著 モノグラフ 微 分 方 程 式 改 訂 版 科 学 新 興 新 社 石 原 繁 著 教 科 書 数 学 Ⅱ Ⅲ 数 研 出 版 数 学 1-2

3 1 動 機 卓 球 の 打 球 の 数 学 的 考 察 茨 城 県 立 緑 岡 高 等 学 校 亀 井 宣 之 (2), 塚 田 大 翔 (2), 山 口 千 恵 子 卓 球 の 打 球 の 軌 道 を 数 学 的 に 分 析 することに 関 心 があり, 研 究 したいと 思 った 卓 球 の 研 究 については 選 手 の 身 体 の 使 い 方 やボールの 打 ち 方 についての 研 究 はあった が 軌 道 について 研 究 は 見 つからなかったので 研 究 することにした 2 目 的 上 手 な 人 の 卓 球 の 軌 道 を 数 学 的 に 解 析 して 卓 球 部 を 強 くする 3 手 段 (1) 壁 と 卓 球 台 に 方 眼 紙 を 貼 り,それを 背 景 にして 卓 球 部 にボールを 打 ってもらう (2) ボールの 軌 道 の 撮 影 は, 卓 球 台 を 横 から 三 脚 を 用 いて 撮 影 し, 上 からは 別 の 卓 球 台 に 三 脚 をのせて 棒 にカメラをガムテープで 固 定 して 撮 影 する (3) 使 用 するボールは 回 転 数 を 調 べるため, 異 なる 三 色 の 線 を 引 く (4) 撮 影 した 動 画 から,ボールの 通 った 座 標 を 調 べる (5) 得 られた 情 報 から 打 球 の 軌 跡 の 特 徴 を 知 る 座 標 をつないで 図 形 的 な 特 徴 がないか 座 標 の 値 を 近 似 化 して 関 数 ができないか 打 球 の 軌 跡 を 決 定 している 要 因 は 何 か (ラケット 面 の 角 度, 回 転 数, 回 転 の 方 向 等 ) 4 今 後 の 計 画 撮 影 撮 影 して 得 られた 情 報 を 分 析 する 数 学 1-3

4 和 算 における 誤 りに 関 する 研 究 ~ かうばいのひ 割 付 の 違 に 着 目 して~ 茨 城 県 立 竜 ケ 崎 第 一 高 等 学 校 1 年 髙 森 彩 花 江 寺 理 紗 担 当 教 員 小 林 徹 也 和 算 とは 日 本 独 自 に 発 達 した 数 学 であり 江 戸 時 代 には, 大 きく 発 展 普 及 した 数 ある 和 算 書 の 中 でベストセラーは 塵 劫 記 であり 改 算 記 は 塵 劫 記 の 誤 りを 訂 正 した 1. 動 機 目 的 私 たちの 学 校 は 今 年 度 よりSSH 校 に 指 定 された それに 関 する 授 業 で 和 算 について 学 び 塵 劫 記 と 改 算 記 の 存 在 を 知 った その 中 で かうばい( 勾 配 )のひ 割 付 の 違 について 興 味 を 持 った 勾 配 とは 傾 斜 面 の 傾 きの 程 度 を 指 すもので, 垂 直 距 離 と 水 平 距 離 の 比 によって 決 まる 例 えば 水 平 距 離 10 寸 垂 直 距 離 4 寸 のときの 角 度 を 4 寸 勾 配 という ここ での 勾 配 ののびとは, b = 10( 寸 )のときの AD の 長 さである AD = -10 (1) この 研 究 の 目 的 は, 塵 劫 記 および 改 算 記 中 の かうば いのひ 割 付 の 違 それの 現 在 の 考 え 方 を 比 較 し 間 違 えを 特 定 し さらにその 間 違 えた 原 因 を 推 測 することである 2. 考 察 図 1 勾 配 ののび 7.5 寸 勾 配 と 1.0 寸 勾 配 においての 間 違 えに 着 目 する Ⅰ 数 値 における 間 違 いの 比 較 1 漢 数 字 の 五 と 九 は 書 体 が 似 ていることがある 27.5 寸 塵 劫 記 2.9 改 算 記 2.5 ( 斜 体 は 間 違 えた 箇 所 ) 1.0 寸 塵 劫 記 改 算 記 上 のように 塵 劫 記 も 改 算 記 も 間 違 えている 桁 の 前 後 の 数 は 正 しい 値 と 一 致 している Ⅱ 間 違 いの 原 因 の 特 定 寸 は(1)の 計 算 方 法 を 行 うと 割 り 切 れるのに 答 えを 間 違 えている 27.5 寸 も 1.0 寸 も 五 と 九 が 正 しい 答 えと 入 れ 替 わっており それ 以 外 は 正 しい したがって 計 算 間 違 いでないと 考 えられる Ⅲ 間 違 いの 原 因 の 特 定 2 1 江 戸 時 代 はまだ1つの 文 字 においても 沢 山 の 書 き 方 があったため 形 の 似 ている 五 と 九 は 見 間 違 える 可 能 性 が 高 いと 考 えられる 2 版 木 という 方 法 を 用 いて 印 刷 していたため 彫 り 間 違 え インクのかすれ 校 正 という 仕 組 みがないことや 数 学 の 素 養 がない 人 が 掘 っていたりもしたと 思 われる よって 7.5 寸 と 1.0 寸 の 間 違 えは 五 と 九 の 見 間 違 えによる 入 れ 替 わりである 3.まとめ 計 算 間 違 いでなく 漢 数 字 の 五 と 九 が 似 ていること 印 刷 技 術 等 が 未 発 達 であったことが 原 因 で 誤 ったと 考 えられる このことより, 技 術 の 遅 れが 科 学 の 発 展 の 妨 げとなったと 考 えられ る つまり, 現 在 における 科 学 の 発 展 は 技 術 の 発 達 によってよりスムーズにもたらされたも のであり, 科 学 と 技 術 は 密 接 にかかわっているということがわかる 4. 参 考 文 献 野 口 泰 助 (1998). 江 戸 初 期 和 算 選 書. 改 算 記. 研 成 社 吉 田 光 由 (1627). 塵 劫 記. 原 本 数 学 1-4

5 和 算 における 誤 りに 関 する 研 究 ~ 銀 玉 の 数 違 ~ 茨 城 県 立 竜 ヶ 崎 第 一 高 等 学 校 1 年 押 田 真 吾 吉 田 佳 祐 上 原 茉 弥 石 松 愛 梨 北 澤 彩 音 担 当 教 員 小 林 徹 也 1 はじめに 和 算 とは 江 戸 時 代 に 日 本 で 発 展 した 数 学 と 言 われており 私 たちは 授 業 で 和 算 を 学 び もっと 学 びたいと 思 いこの 研 究 にあたった 本 件 の 目 的 は 塵 劫 記 と 改 算 記 における 周 の 長 さが 3 尺 の 銀 玉 の 重 さを 求 める 問 題 の 相 違 点 を 明 らかにすること なぜ2つに 違 いが 生 じたのか を 明 らかにすることである 図 1 塵 劫 記 2 数 学 的 考 察 (1) 塵 劫 記 の 数 学 的 考 察 この 銀 玉 は 円 周 が3 尺 =30 寸 である ここで 塵 劫 記 を 書 いた 人 は 円 周 率 を3としていたとする と 球 の 直 径 は 10 寸 となる この 問 題 の 1 つ 前 の 問 題 の 記 述 より 球 の 直 径 を 三 乗 し それに 玉 率 9/16 をかけるとその 球 の 体 積 になると 書 いてあった 銀 は 1 寸 3 で 140 匁 なので その 体 積 に 140 をかければ 銀 の 重 さとなる したがって 計 算 すると 重 さは / =78750 したがって 78 貫 750 目 となる (2) 改 算 記 の 数 学 的 考 察 改 算 記 には 計 算 方 法 は 書 いてなかったので 塵 劫 記 の 体 積 の 出 し 方 を 用 いる しかし 塵 劫 記 の 玉 率 と 改 算 記 の 玉 率 がちがうため そこだけを 変 えて 計 算 をしてみる 計 算 方 法 は 直 径 の 3 乗 玉 率 銀 の 比 重 である よって 改 算 記 の 円 周 率 3.16 と 玉 率 ( 参 考 : 算 勘 と 工 夫. 西 田 知 己. 研 成 社 )を 用 いて 計 算 すると 59 貫 62 匁 5 分 と 出 る 一 方 改 算 記 に 30 貫 もない と 書 いてあることが 理 解 できない (3) 現 代 の 方 法 を 使 った 数 学 的 考 察 塵 劫 記 のときの 公 式 に 現 在 の 玉 率 のπ/6を 代 入 する (30/π) 3 π/6 140= 図 2 改 算 記 つまり 重 さは 63 貫 897 匁 である 3 結 論 と 課 題 重 さ 玉 率 円 周 率 3 当 時 の 銀 の 比 重 1 寸 =140 匁 という 値 球 塵 劫 記 78 貫 750 匁 16/9 3 の 体 積 を 求 めるために 用 いられた 玉 率 円 周 率 改 算 記 59 貫 62 匁 5 分 を 駆 使 し 塵 劫 記 改 算 記 の 値 を 求 めることが できた 現 代 の 方 法 でも 銀 玉 の 重 さを 求 めてみ 現 代 63 貫 897 匁 π/ たが そこから 改 算 記 のほうが 近 い 値 だといえた 原 因 は 玉 率 円 周 率 の 違 いである 今 後 は 改 算 記 がなぜ 30 貫 もない という 記 述 をしたのか 探 求 していきたい 数 学 1-5

6 身 近 におけるボロノイ 図 の 活 用 テーマ Application of Voronoi diagram near to us 清 真 学 園 高 等 学 校 発 表 者 : 永 山 幸 歩 (1 年 ), 中 村 汐 里 (1 年 ) 担 当 教 員 : 法 貴 孝 哲 1. 目 的 鹿 嶋 市 と 新 宿 区 のコンビニエンスストア( 以 下 コンビニと 省 略 )を 母 点 とするボロノイ 図 を 作 図 し,ボロノイ 図 の 性 質 を 理 解 する また,そのボロノイ 図 をコンビニの 種 類 や 地 域 ( 鹿 嶋 市 と 新 宿 区 )で 比 較 する 2. 方 法 鹿 島 神 宮 駅 付 近 にあるコンビニを 母 点 としてボロノイ 図 を 作 図 する 新 宿 駅 でも 同 様 なお,セブンイレブン,ロー ソン,ファミリーマート,ミニストップの4つのコンビニを 調 べる 3. 結 果 右 図 が, 作 図 したボロノイ 図 である スペースの 関 係 上,セブンイレブンのみ 図 を 載 せた 4. 考 察 鹿 嶋 市 は 各 店 舗 で 勢 力 圏 の 広 さが 異 なる 一 方 で 新 宿 区 は 新 宿 駅 付 近 の 勢 力 圏 が 比 較 的 狭 いが, 駅 の 周 辺 の 勢 力 圏 の 広 さは 同 じくらいである 5. 結 論 鹿 嶋 市 のコンビニは 勢 力 圏 にばらつきがあるが, 新 宿 区 は 各 店 舗 の 勢 力 圏 の 差 は 少 ない 6. 参 考 文 献 杉 原 厚 吉 (2009) なわばりの 数 理 モデル 共 立 出 版 7.キーワード ボロノイ 図 母 点 垂 直 二 等 分 線 勢 力 圏 数 学 1-6

7 正 多 角 形 とフーリエ 変 換 ~ 多 角 度 的 に 近 似 を 試 みる~ 清 真 学 園 高 等 学 校 発 表 者 : 樋 口 雄 紀 (2 年 ) 担 当 教 員 : 法 貴 孝 哲 1. 目 的 昨 年 研 究 した 正 多 角 形 の 方 程 式 を,フーリエ 変 換 含 め 様 々な 正 弦 曲 線 の 組 み 合 わせで 近 似 的 に 表 現 する 2. 方 法 フーリエ 級 数 に 正 多 角 形 の 式 を 代 入 して,それを 変 形 する grapes を 用 いて 正 弦 曲 線 を 試 行 的 に 組 み 合 わせて, 正 多 角 形 に 近 似 する 正 多 角 形 の 式 を 変 形 して, 簡 単 な 正 弦 曲 線 に 近 づける 3. 結 果 現 状 では, 上 の3 番 目 の 方 法 が, 比 較 的 成 果 が 挙 げられた 4. 考 察 フーリエ 級 数 の 展 開 や,ガウス 記 号 や 絶 対 値 などを 使 わない, 単 純 な 正 弦 曲 線 の 組 み 合 わせ で 近 似 する 方 向 からも 掘 り 下 げていきたい 5. 結 論 比 較 的 簡 単 な 正 弦 曲 線 の 組 み 合 わせでも, 十 分 に 正 多 角 形 に 近 似 可 能 である 6. 参 考 文 献 フーリエ 級 数 展 開 の 式 を 理 解 する 大 人 になってからの 再 学 習 7.キーワード 三 角 関 数 フーリエ 変 換 フーリエ 級 数 数 学 1-7

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