2 MATLABについて n MATLABとは 科 学 技 術 計 算 のための 高 性 能 プログラミング 言 語 n 特 徴 配 列 が 基 本 データ 型 ベクトル(1 次 元 配 列 ) 行 列 (2 次 元 配 列 ) 対 話 的 システム 豊 富 な 関 数 ライブラリとグラフィックツー

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1 2016 年 5 月 31 日 版 MATLABの 基 本 的 な 使 い 方 担 当 : 荻 田 武 史

2 2 MATLABについて n MATLABとは 科 学 技 術 計 算 のための 高 性 能 プログラミング 言 語 n 特 徴 配 列 が 基 本 データ 型 ベクトル(1 次 元 配 列 ) 行 列 (2 次 元 配 列 ) 対 話 的 システム 豊 富 な 関 数 ライブラリとグラフィックツール 同 様 の 機 能 を 持 ったフリーソフトのScilab Octaveがあ る n 使 用 される 主 な 分 野 数 値 計 算 シミュレーション 信 号 処 理 グラフィックス 等

3 3 MATLABの 基 本 的 な 使 い 方 1 u コマンドウィンドウにプログラムを 打 ち 込 み リターン >> a=1, b=2, c=a+b a = 1. b = 2. c = 3. u 行 末 に3つのピリオドを 入 力 すると 改 行 可 能 >> a= a = 15

4 4 MATLABの 基 本 的 な 使 い 方 2 u M-fileにプログラムを 保 存 して 実 行 (コンパイルやリンクは 必 要 ない) >> edit filename とコマンドウィンドウに 入 力 すると エディタが 立 ち 上 がる 例 ) >> edit test1.m test1.m (エディタで 下 記 を 入 力 後 保 存 ) function c = test1(a,b) c = a + b コマンドウィンドウで 関 数 を 実 行 する >> test1(a,b) 3.

5 5 MATLAB 記 述 ルール u コメントなど n % コメントを 表 す(% 以 降 が 行 末 までコメントになる) n ; 結 果 の 非 表 示 式 の 終 わりにセミコロン ; をつける 例 ) >> a=1, b=3; n 大 文 字 と 小 文 字 MATLABでは C 言 語 と 同 様 に 大 文 字 と 小 文 字 を 区 別 する

6 6 ベクトル 行 列 の 生 成 方 法 列 の 区 切 り: 半 角 スペース(またはカンマ) 行 の 区 切 り: ; セミコロン >> x=[1; 2; 3] x = >> A=[1 2 3; 4 5 6; ] A = 関 数 linspaceを 使 用 して 初 期 値 最 終 値 要 素 数 を 指 定 し ベクトルを 生 成 >> linspace(1,9,5)

7 7 配 列 要 素 の 指 定 Aのi 行 j 列 の 要 素 はA(i,j)と 指 定 A = >> A(2,2) 5. A(m,:)でm 行 の 要 素 A(:,n)でn 列 の 要 素 を 指 定 >> A(2,:) >> A(:,1)

8 8 行 列 の 演 算 注 2) Macの 場 合 バックスラッシュは option+ 行 列 A, Bについて 行 列 演 算 ができる >> A=[1 2 ;3 4] A = >> B=[5 6 ;7 8] B = 足 し 算 + >> A + B 引 き 算 - >> A - B 掛 け 算 * >> A * B 注 ) マークは Windows 以 外 では バックスラッシュ\で 表 示 される 左 除 算 (inv(a) * Bとほぼ 同 じ) >> A B 右 除 算 / (A * inv(b)とほぼ 同 じ) >> A / B Aのべき 乗 ^ >> A^ 共 役 転 置 ' >> A' 演 算 子 の 前 にピリオドを 付 けると 要 素 ごとの 演 算 にな るものが 多 い A.* B など 試 してみよう

9 9 比 較 演 算 子 論 理 演 算 子 条 件 式 を 作 成 する 際 に 用 いる オペランド( 演 算 対 象 )が 行 列 の 場 合 演 算 は 要 素 ごとに 適 用 され 結 果 も 行 列 となる 種 類 記 号 意 味 比 較 演 算 子 論 理 演 算 子 > < >= <= == より 大 きい より 小 さい 以 上 以 下 等 しい ~= 等 しくない( 最 初 の 記 号 はチルダ) && かつ または (shift + キーを2 回 入 力 )

10 10 関 数 とは? n MATLABでは 色 々な 関 数 が 使 える l 組 み 込 み 関 数 ( 元 から 用 意 されている 関 数 ) u sin(x), log(x) など l ユーザー 関 数 ( 自 分 で 作 成 する 関 数 ) l インライン 関 数 n 関 数 の 使 い 方 >> x = 1.0; y = sin(x) >> [y1,y2,...] = func(x1,x2,...) xの 値 が 入 力 されて yに 結 果 が 出 力 される つまり sin(1.0)の 値 がyに 代 入 される

11 11 ユーザー 関 数 の 作 成 方 法 1. エディタを 開 く >> edit test2 2. 関 数 の 内 容 を 自 分 で 書 く( 次 ページで 説 明 ) function [x,y] = test2(a,b,c) x = a + b; y = a c; 注 ) コマンドウィンドウで 使 った 変 数 を そのまま 関 数 の 中 で 使 うことはできません ( 同 じ 名 前 の 変 数 にしても 別 々のものになる) 3. 保 存 する(ファイル 名 は test2.mのようにする) 4. コマンドウィンドウで 関 数 を 使 ってみる >> a = 5; b = 2; c = 1; [r,s] = test2(a,b,c) 補 足 )ユーザー 関 数 の 中 から 組 み 込 み 関 数 や 他 のユーザー 関 数 を 呼 び 出 すこともできます

12 12 ユーザー 関 数 の 内 容 functionは 関 数 の 作 成 時 に 必 要 な 宣 言 2 行 目 以 降 に 内 容 を 書 く function [x,y] = test2(a,b,c) x = a + b; y = a c; 関 数 名 : test2 (ファイル 名 と 一 致 させる) 出 力 する 変 数 ( 出 力 引 数 と 言 う)も 好 きなだけ 増 やせる ただし 関 数 の 中 で 値 が 定 まる 必 要 がある 入 力 する 変 数 ( 入 力 引 数 と 言 う)は 好 きなだけ 増 やせる 注 ) 引 数 は ひきすう と 読 みます

13 13 練 習 問 題 : 簡 単 な 関 数 を 作 成 する u aとbを 入 力 したら a + b, a b, a b, a / b の 結 果 をすべて 出 力 する 関 数 test3を 作 成 してみよう

14 14 初 等 関 数 の 使 い 方 MATLABでは 多 数 の 組 み 込 み 関 数 が 使 用 できる ベクトルや 行 列 の 入 力 にも 対 応 するものが 多 い >> x=[1 2] x = 正 弦 >> sin(x) 余 弦 >> cos(x) 正 接 >> tan(x) 対 数 関 数 >> log(x) 指 数 関 数 >> exp(x)

15 15 行 列 演 算 に 関 する 関 数 の 使 い 方 様 々な 行 列 演 算 A = 逆 行 列 >> R=inv(A) R = m 行 n 列 で 要 素 がすべて1の 行 列 >> C=ones(2,3) C = m 行 n 列 で 要 素 がすべて0の 行 列 >> z=zeros(2,1) z = m 行 n 列 の 単 位 行 列 >> E=eye(2) E =

16 16 2 次 元 グラフィックス(1) plotで 2 次 元 のグラフを 表 示 グラフはFigure1というウィンドウに 表 示 される plotの 度 に 上 書 きされる >> x=linspace(0,2*pi,100); >> plot(x,sin(x)); >> plot(x,cos(x)); Figure1を Save as で 保 存 ( 別 名 で 保 存 ) jpg 形 式 などで 保 存 することが 可 能

17 17 2 次 元 グラフィックス(2) ezplotで 関 数 のグラフを 表 示 グラフはFigure1というウィンドウに 表 示 される hold on で 重 ねてグラフを 表 示 可 能 (hold offで 解 除 ) >> ezplot('sin(x)',[0,3]) >> hold on >> ezplot('sin(x)',[0,6.28]) >> ezplot('cos(x)',[0,6.28])

18 18 3 次 元 グラフィックス(1) tの 範 囲 を meshgrid 関 数 でxy 座 標 に 変 換 描 画 したい 関 数 z=sin(x)+cos(y/2) を 計 算 し mesh 関 数 で3 次 元 グラフィックスを 表 示 (グラフの 保 存 方 法 は 2 次 元 と 同 様 ) >> t=linspace(0,10,40); >> [x,y]=meshgrid(t,t); >> z=sin(x)+cos(y/2); >> mesh(x,y,z);

19 19 3 次 元 グラフィックス(2) ezplot3 関 数 で 簡 単 な3 次 元 グラフィックスを 描 画 可 能 ezplot3(x,y,z,[min,max])は 領 域 min < t < maxで 曲 線 x = x(t), y = y(t),z = z(t)をプロットします (デフォルトの 領 域 0 < t < 2π) >> ezplot3('sin(t)','cos(t)','t )

20 20 参 考 関 数 一 覧 : 行 列 生 成 関 数 関 数 名 説 明 zeros ones eye diag magic rand randn 要 素 がすべてゼロの 行 列 を 作 成 要 素 がすべて1の 行 列 を 作 成 単 位 行 列 を 作 成 入 力 がベクトルの 場 合 は 対 角 行 列 を 作 成 入 力 が 行 列 の 場 合 は 対 角 要 素 を 抽 出 1 から n^2 までの 整 数 を 使 用 して 行 方 向 と 列 方 向 の 和 が 等 しくなる n 行 n 列 の 行 列 を 作 成 A = rand(n) は 開 区 間 (0,1) 上 の 標 準 一 様 分 布 から 導 き 出 される 疑 似 乱 数 値 を 含 む n 行 n 列 の 行 列 を 作 成 A = randn(n) は 標 準 正 規 分 布 から 導 き 出 される 疑 似 乱 数 値 を 含 む n 行 n 列 の 行 列 を 作 成 linspace y = linspace(a,b) は a と b. の 間 で 線 形 に 等 間 隔 な 100 点 の 行 ベクトル y を 作 成 y = linspace(a,b,n) は a と b の 間 で 線 形 に 等 間 隔 な n 点 の 行 ベクトル y を 作 成

21 21 参 考 関 数 一 覧 : 行 列 関 数 関 数 名 説 明 length n = length(x)で ベクトル( 配 列 )xの 要 素 数 を 出 力 X = A B で 行 列 方 程 式 AX = B を X について 解 く X = inv(a) * B とほぼ 同 じ (mldivide) ( マークは Windows 以 外 ではバックスラッシュ\で 表 示 される) / (mrdivide) X = A / B で 行 列 方 程 式 XB = A を X について 解 く X = A * inv(b) とほぼ 同 じ det 行 列 式 を 計 算 rank lu qr eig 行 列 のランクの 計 算 [L,U,P] = lu(a) は P*A = L*U となる 下 三 角 行 列 L 上 三 角 行 列 U 置 換 行 列 P を 計 算 [Q,R] = qr(a) は A が m 行 n 列 とすると A = Q*R となるような m 行 n 列 の 上 三 角 行 列 R と m 行 m 列 の 直 交 行 列 ( 複 素 の 場 合 はユニタリ 行 列 ) Q を 計 算 d = eig(a) は 行 列 A のすべての 固 有 値 を 計 算 [X,D] = eig(a) は 固 有 ベクトルを 並 べた 行 列 X と 固 有 値 を 並 べた 対 角 行 列 D を 計 算

22 22 参 考 関 数 一 覧 : 初 等 関 数 など 関 数 名 sin exp log10 sqrt round abs 正 弦 指 数 関 数 ( 自 然 対 数 の 底 eのべき 乗 ) 対 数 ( 底 が10) logは 自 然 対 数 平 方 根 要 素 を 最 も 近 い 整 数 に 丸 める 絶 対 値 説 明 min max mean std sum 最 小 値 xがベクトルの 場 合 min(x) は x の 最 小 要 素 を 返 す A が 行 列 の 場 合 min(a) は A の 列 をベクトルとして 取 り 扱 い 各 列 の 最 小 要 素 を 含 む 行 ベクトルを 返 す 最 大 値 x がベクトルの 場 合 max(x) は A の 最 大 要 素 を 返 す A が 行 列 の 場 合 max(a) は A の 列 をベクトルとして 取 り 扱 い 各 列 の 最 大 要 素 を 含 む 行 ベクトルを 返 す 平 均 値 A がベクトルの 場 合 mean(a) は A の 平 均 値 を 返 す A が 行 列 の 場 合 mean(a) は A の 列 をベクトルとして 取 り 扱 い 平 均 値 からなる 行 ベクトルを 返 す 標 準 偏 差 s = std(x) は x がベクトルのとき 上 記 の (1) を 使 用 して 標 準 偏 差 を 計 算 Xが 行 列 の 場 合 std(x) は X の 各 列 の 要 素 の 標 準 偏 差 を 含 む 行 ベクトルを 返 す 総 和 xがベクトルの 場 合 sum(x) は 要 素 の 和 を 計 算 A が 行 列 の 場 合 sum(a) は A の 列 をベクトルとして 扱 い 各 列 の 和 を 行 ベクトルとして 返 す

23 23 プログラミング MATLABでプログラミングを 行 う 方 法 を 説 明 する 前 述 した 組 み 込 み 関 数 や 演 算 も 組 み 合 わせ プログラム(Mファイル)を 簡 単 に 作 成 することができる スクリプトによるプログラミング MATLABの 命 令 を 並 べておくだけでプログラムを 作 る 方 法 実 行 するときは コマンドウィンドウに ファイル 名 を 入 力 する 関 数 を 定 義 することによるプログラミング 新 しい 関 数 を 定 義 することによって 組 み 込 み 関 数 と 同 様 に 使 用 することができる 注 ) 関 数 名 とファイル 名 は 一 致 させる 必 要 がある たとえば 関 数 名 がfunc1なら ファイル 名 はfunc1.mのようにする

24 24 プログラミング 例 例 1) 連 立 一 次 方 程 式 Ax=bの 解 を 求 めるスクリプト >> edit linear1.m A=[3 2 7; 1 6 3; 1 0 6]; b=[3 ;-2 ;1]; x=a b Macの 場 合 は option+ コマンドウィンドウで 実 行 >> linear1 x = 例 2)ベクトルxの 平 均 値 を 求 める 関 数 >> edit mean1.m function y = mean1(x) n = length(x); y = sum(x)/n; コマンドウィンドウで 実 行 >> x=[ ] x = >> mean1(x)

25 25 制 御 ( 繰 り 返 し 条 件 分 岐 ) プログラムをする 際 に 重 要 となる 制 御 文 制 御 文 機 能 使 用 例 for 指 定 回 数 の 繰 り 返 し for ループ 変 数 =ループの 範 囲 命 令 end while 不 定 回 数 の 繰 り 返 し While 継 続 条 件 命 令 end if, elseif, else 条 件 実 行 if 条 件 式 命 令 end switch, case 条 件 式 に 基 づき case 文 で 実 行 を 切 り 替 え switch 変 数 case 条 件 命 令 otherwise 命 令 end

26 26 for 文 for 文 は 繰 り 返 す 回 数 範 囲 等 繰 り 返 しの 設 定 をします 典 型 的 な 形 式 (1) XをYからZまで1ずつ 増 加 させながら 処 理 を 繰 り 返 す for X=Y:Z ( 処 理 ) end ( 例 ) iを1から10まで1ずつ 増 加 させながらiの 表 示 を 繰 り 返 す for i=1:10 disp(i); % disp(x)は 変 数 xを 画 面 に 表 示 する 関 数 end 典 型 的 な 形 式 (2) XをYからZまでWずつ 増 加 させながら 処 理 を 繰 り 返 す for X=Y:W:Z ( 処 理 ) end ( 例 ) for i=1:2:10 (1から10まで2 刻 みで 増 加 させ 10を 超 え ない 間 は 繰 り 返 す) for i=10:-1:1 (10から1まで-1 刻 みで 減 少 させ,1になる まで 繰 り 返 す)

27 27 for 文 同 じような 操 作 を 繰 り 返 すときに 使 う for1.m for i=1:n disp(i); end for2.m for i=n:-1:1 disp(i); end 実 行 例 >> n = 10; >> for1 ベクトルの 総 和 の 計 算 sum1.m function s = sum1(a) n = length(a); s = 0; for i=1:n s = s + a(i); end >> n = 10; >> for2 >> x = [ ]; >> t = sum1(x)

28 28 for 文 の 練 習 問 題 1. nを 設 定 したとき コマンドウィンドウに1からnまでを1つおき に 表 示 するスクリプト for3.m を 作 成 しよう 実 行 例 >> n=7; >> for のスクリプトをもとに nを 入 力 とする 関 数 for4 を 作 成 しよ う 3. ベクトルの 内 積 を 計 算 する 関 数 dot1 を 作 成 して 正 しく 動 く か 試 してみよう

29 29 while 文 while 文 は 継 続 条 件 を 指 定 し 不 定 回 数 の 繰 り 返 しを 行 います ( 例 )while1.m k = 10; while k > 1 k = k/2; disp(k) end kが1より 大 きい 間 は k/2を 処 理 し 続 ける 実 行 結 果 >> while

30 30 if 文 条 件 式 は 変 数 と 比 較 演 算 子 の 組 み 合 わせとして 表 現 されることが 多 い( 演 算 子 はp.9 参 照 ) ( 例 )もし 変 数 x が10 以 上 の 時 kの 値 を1 増 加 させる if x >= 10 k = k + 1; end if 文 をさらに 細 かく 制 御 したい 場 合 else や elseif を 使 用 する if 条 件 1 命 令 1 elseif 条 件 2 命 令 2 else 命 令 3 end もし 条 件 1が 真 であれば 命 令 1を 実 行 条 件 1が 偽 であれば 条 件 2を 見 て 条 件 2が 真 であれば 命 令 2を 実 行 さらに 条 件 2も 偽 であれば 命 令 3を 実 行

31 31 if 文 こちらはエディタで 打 ち 込 む if1.m (スクリプトの 例 ) if a > 4 disp(b); end if2.m ( 関 数 の 例 ) function c = if2(a,b) if a > b c = a + b; else c = a - b; end こちらはコマンドウィンドウで 打 ち 込 む 実 行 例 >> a = 3; b = 5; >> if1 実 行 例 >> a = 3; b = 5; >> c = if2(a,b)

32 32 switch 文 式 に 基 づき case 間 で 実 行 を 切 り 替 えます ( 例 )evenodd.m 偶 数 と 奇 数 を 確 かめる 関 数 function evenodd(n) switch mod(n,2) case 0 disp( even number'); case 1 disp( odd number'); otherwise disp( error'); end 除 算 の 剰 余 mod(x,y) は x mod yを 出 力 します 2で 割 った 剰 余 が0の 時 even( 偶 数 ) 剰 余 が1の 時 odd( 奇 数 ) それ 以 外 はエラーとする

33 33 インライン 関 数 (1) MATLABではインライン 関 数 を 自 分 で 定 義 できる たとえば f(x) = e -x sin(10x)を 定 義 する 場 合 は >> f=inline('exp(-x)*sin(10*x) ) のようにすれば 良 い このとき f(3)は >> f(3) のように 計 算 できる

34 34 インライン 関 数 (2) インライン 関 数 のベクトル 化 前 ページのf(x)では 入 力 xがベクトルのときにエラーになってしまう そこで f(x)の 定 義 を 下 記 のように 少 しだけ 変 更 する(*の 前 にピリオドを 付 ける) >> f=inline('exp(-x).*sin(10*x)') このようにすると 入 力 xがベクトルであっても 対 応 できる >> x=[1 2 3]; >> f(x) f(x)のグラフ( 定 義 域 は[0,7]とする)を 描 いてみよう >> x=0:0.01:7; >> plot(x,f(x))

35 35 参 考 文 献 1. 大 石 進 一 : MATLABによる 数 値 計 算, 培 風 館. 2. 櫻 井 鉄 也 : MATLAB/Scilabで 理 解 する 数 値 計 算, 東 京 大 学 出 版 会.