つかのランプがオンになっている 結 び 目 射 影 図 から,このゲームは 開 始 する.どの 領 域 を 選 択 すれば 全 てのランプをオンにできるかということを 考 える 頭 脳 ゲーム である. 結 び 目 射 影 図 は 無 限 に 多 くあり,その 射 影 図 毎 にゲームが 異 なるの

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1 第 1 章 結 び 目 による 数 学 の 幼 児 教 育 の 試 みについて 1-1. 結 び 目 理 論 のゲーム 領 域 選 択 ゲーム (1) 結 び 目 理 論 のゲーム 領 域 選 択 ゲーム の 起 こり 結 び 目 理 論 とは, 絡 まりあったひも( 結 び 目 )が, 実 際 にほどけるかほどけない かを 判 定 したり, どのような 変 換 を 使 うとほどけなかった 結 び 目 をほどくことが できるのかを 研 究 したり, またどんな 結 び 目 があるのかを 研 究 したりする 数 学 の 研 究 分 野 である. 今 日 では, 結 び 目 理 論 は, たいていの 数 学 分 野 の 研 究 や 数 理 物 理 などの 理 論 的 研 究 の 分 野 ばかりでなく, 電 子 顕 微 鏡 などの 技 術 革 新 により, ソフトマタ 物 理, 高 分 子 合 成 化 学, DNA やタンパク 質 の 研 究 などの 物 理 学, 化 学, 生 物 学 における 目 で 見 える 結 び 目 を 研 究 対 象 とした 研 究 として, 世 界 中 で 活 発 に 研 究 される ようになっている. がんの 解 明 にも 必 要 な 理 論 ともいわれている. 領 域 選 択 ゲーム (Region Select)は, 大 阪 市 立 大 学 数 学 研 究 所 において 発 見 さ れた 結 び 目 理 論 を 応 用 した 数 学 のゲームである. そのデモ 版 は, 大 阪 立 大 学 数 学 研 究 所 ホームページ で 閲 覧 できる. またプレイすることもできる 年 秋 の 結 び 目 理 論 のセミナーで, 岸 本 健 吾 ( 当 時 数 学 研 究 所 員, 現 大 阪 工 大 特 任 講 師 )が 領 域 交 差 交 換 とよばれる, 立 体 の 結 び 目 を 解 く 変 換 操 作 を 導 入 し, す べての 結 び 目 はこの 操 作 により 必 ず 解 くことができるか, という 問 題 を 提 起 した. 数 週 間 後 に, 清 水 理 佳 ( 当 時 後 期 博 士 課 程 2 年, 現 群 馬 工 業 高 等 専 門 学 校 助 教 )が 数 学 の 結 び 目 理 論 を 使 って, この 問 題 を 肯 定 的 に 解 決 した(A. Shimizu [1] 参 照 ). さらに 筆 者 が, 結 び 目 のこの 変 換 操 作 を 平 面 上 の 結 び 目 射 影 図 の 領 域 の 周 囲 のす べてのランプのオン, オフ 変 換 操 作 として 解 釈 することにより, 誕 生 した. ( 発 明 者 : 河 内 明 夫, 清 水 理 佳, 岸 本 健 吾, 特 許 出 願 人 : 公 立 大 学 法 人 大 阪 市 立 大 学, 特 願 ). 図 1-1 からわかるように 領 域 選 択 ゲーム のルールは 単 純 である. 結 び 目 射 影 図 の 交 点 にランプがついていて, 領 域 を1つ 選 択 する 毎 に,その 領 域 の 周 囲 のすべ てのランプのオン, オフが 切 り 替 わるような 仕 組 みが 設 定 されているとき, いく

2 つかのランプがオンになっている 結 び 目 射 影 図 から,このゲームは 開 始 する.どの 領 域 を 選 択 すれば 全 てのランプをオンにできるかということを 考 える 頭 脳 ゲーム である. 結 び 目 射 影 図 は 無 限 に 多 くあり,その 射 影 図 毎 にゲームが 異 なるので, 豊 富 にゲームを 設 定 できる. 図 1-1 その 後, 株 式 会 社 グローバルエンジニアリング( 本 社 名 古 屋 市 )とスマートフォン 用 図 形 ゲームのための 共 同 研 究 を 行 い, 2011 年 12 月 にアンドロイドアプリとして 商 品 化 を 実 施 した. このゲーム Region Select は Google Play ストアで 公 開 さ れており 課 金 が 設 定 されたゲームもあるが, 大 部 分 は 無 料 でダウンロードしてプ レイすることができる( 図 1-2 参 照 ). 図 1-2

3 図 1-3 平 面 上 の 結 び 目 射 影 図 に 始 点 と 進 むべき 方 向 を 与 えるとき, ランプつき 結 び 目 射 影 図 は 立 体 の 結 び 目 と 同 等 であり,1つの 結 び 目 射 影 図 のもとでゲームをプレイ することは 立 体 の 結 び 目 を 別 の 立 体 の 結 び 目 に 変 形 していることと 同 等 になる. またすべてのランプがオンになっている 結 び 目 射 影 図 は 解 けた 結 び 目 になる( 図 1-3 参 照 ). (2) 結 び 目 理 論 のゲーム 領 域 選 択 ゲーム の 最 小 手 数 クリアの 確 率 図 1-4 領 域 選 択 ゲーム および 結 び 目 理 論 とゲームの 関 連 については[2]で 詳 しく 説 明 されているが, ここではその 最 小 手 数 でゲームをクリアする 確 率 を 考 えてみよう. まず, 図 1-4 のように 各 領 域 に 番 号 をつける. 領 域 R i を 選 択 する 回 数 を x i で 表 す(i=1,2,3,4,5). 同 じ 領 域 を 2 度 選 択 すると 何 もしないのと 同 じなので, x i を Z/2Z の 元 としてよい. 全 てのランプをオンにするのであるから, 次 の 連 立 1 次 方 程 式 の 解 x i (i=1,2,3,4,5)が 選 択 するデータを 与 えることがわかる.

4 { x 1 + x 2 + x 3 + x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 4 + x 5 = 0 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 行 列 表 記 としては Ax=b と 表 せる.ただし, x 1 x x = x 3, , b = 0 となる. ( ) ( ) ( ) x x 5 一 般 に n 交 点 の 結 び 目 射 影 図 Dにいくつかのランプがオンになっている 領 域 選 択 ゲームを 考 えるとき, 領 域 の 数 は n+2 個 となるので D 上 でのそのゲームの 解 法 は 同 様 の 考 察 で 連 立 1 次 方 程 式 Ax = b を 解 く 問 題 と 考 えることができる. ただし A はサイズ(n,n+2)の Z/2Z 上 の 行 列 で, x は 成 分 x 1,x 2,x 3,..., x n+2 の 縦 ベクトル, また b はランプがオンになっていない 交 点 を1, 他 の 交 点 では 0 となるような 長 さ n の 縦 ベクトルを 表 す. 清 水 (A. Shimizu)の 結 果 [1] により, この 連 立 1 次 方 程 式 は 解 を 持 つ. それを a 0 とする と, Aa 0 = b となることから A(x-a 0 ) = 0 (ゼロベクトル) となる.この 行 列 A の Z/2Z 上 での 階 数 は n になることが, Cheng-Gao [3] により 示 されている. 1) 従 って, 行 列 方 程 式 Ay=0 の Z/2Z 上 の 解 ベクトル 空 間 は 2 次 元 であり,y は 4 個 の 解 を 持 つ.それらを y = 0, w 1,w 2, w 1 +w 2 で 表 すとき, Ax= b の 解 は x = a 0, a 0 +w 1, a 0 +w 2, a 0 +w 1 +w 2 の 4 個 となる. 例 えば, 図 1-4 のゲームの 場 合, Ax = b の 解 は (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (1,1,0,0,0), (0,1,1,1,0), (1,0,0,0,1), (0,0,1,1,1) となる.それぞれの 解 について, 成 分 が1で 表 された 領 域 を 選 択 すれば, 全 ての 交 点 のランプがオンとなる. こうして,このゲームをクリアするための 最 小 手 数 は 2 となる. このゲームの 場 合, 選 択 する 領 域 の 場 合 の 数 は 2 5-1=31 個 あるので, 最 小 手 数 でゲームをクリアする 確 率 は 2/31 となる. 一 般 の n 交 点 の 結 び 目 射 影 図 D で, いくつかのランプがオンになっている 領 域

5 選 択 ゲームの 場 合 には, 選 択 する 領 域 の 場 合 の 数 は 2 n+2-1 個 あり, 最 小 手 数 でゲ ームをクリアする 領 域 の 場 合 の 数 k は 1 k 4 で 与 えられる. よって, 最 小 手 数 でゲームをクリアする 確 率 は k/(2 n+2-1), 1 k 4 となることが 上 の 結 果 からわかる. k の 正 確 な 値 はそれぞれのゲームに 依 存 して 決 まる. 結 び 目 射 影 図 D が 既 約 結 び 目 射 影 図 (すなわち 各 交 点 の 周 りは 4 つの 異 な る 領 域 となっているような 結 び 目 射 影 図 )の 場 合 には, n が 奇 数 ならば, k=1 また は 2 となることがわかる. n が 偶 数 の 場 合 には, k=4 となる 場 合 もある. 図 1-5 例 えば, 図 1-5 の 8 交 点 の 結 び 目 射 影 図 のゲームは, アンドロイドアプリ Region Select には m16-5 として 登 場 しているが, これは 最 小 手 数 が 5 であるので, 4 つの 解 のすべてが 最 小 手 数 となり, 従 って k=4 となる. なぜならば, もし u( 6) 回 の 領 域 選 択 ですべての 交 点 のランプがオンとなるならば, 選 択 しなかった 領 域 のみを 選 択 することによってもすべての 交 点 のランプをオンとすることができる のだから, 8+2-u=10-u( 4) 回 の 領 域 選 択 で 全 ての 交 点 のランプをオンにすること できることになり, 矛 盾 が 生 じるからである. n 交 点 の 結 び 目 射 影 図 D の 領 域 選 択 ゲームで, 外 側 領 域 は 選 択 できないように 設 定 してゲームを 行 うこともできる. そのときには, 設 定 なしのゲームでは 4 つの 解 法 の 内 の 2 つは 必 ず 外 側 領 域 を 選 択 しなければならないことから, いつも k=1 または 2 となる. この 場 合 には, 選 択 する 領 域 の 場 合 の 数 は 2 n+1-1 個 であるので, 最 小 手 数 でゲームをクリアする 確 率 は k/(2 n+1-1), 1 k 2 となることがわかる. 何 れにしても,n 交 点 の 結 び 目 射 影 図 D の 領 域 選 択 ゲームで, 最 小 手 数 でゲーム をクリアすることは, 交 点 数 n が 増 大 するにつれて, 指 数 関 数 的 に 困 難 になって いくことがこの 確 率 からわかる.

6 領 域 選 択 ゲームは 数 式 を 使 わない 簡 単 操 作 の 図 形 のゲームであるが, 既 に 示 し たように, 完 全 に 数 学 ( 線 形 代 数 )に 対 応 している 数 学 ゲームであるので, n 交 点 の 結 び 目 射 影 図 について, k/(2 n+2-1)より 一 定 程 度 大 きい 確 率 の 最 小 手 数 でこのゲ ームをクリアすることができるような 人 は, 図 形 処 理 に 関 する 数 学 アルゴリズムに 関 して 秀 でたものを 持 っていると 言 ってもよいのではないかと 考 える. 何 度 も 繰 り 返 してこのゲームをプレイすることにより, 図 形 の 観 察 力 や 数 学 ア ルゴリズムが 育 成 されることを 期 待 している. (3) 結 び 目 理 論 のゲーム 領 域 選 択 ゲーム による 幼 児 教 育 幼 児 のための ios 向 けゲーム 結 び 目 理 論 を 応 用 した 領 域 選 択 ゲーム ( 図 1-4 参 照 )は, 今 年 (2013 年 ), 共 同 研 究 先 企 業 である 株 式 会 社 グローバルエンジニア リング( 本 社 名 古 屋 市 )の 協 力 のもと, 科 学 研 究 費 助 成 事 業 ( 学 術 研 究 助 成 基 金 助 成 金 ( 挑 戦 的 萌 芽 研 究 )) 結 び 目 理 論 のゲームと 科 学 への 応 用 ( 研 究 課 題 番 号 , 研 究 代 表 者 河 内 明 夫 )の 助 成 により, 作 成 された. このデモ 版 も 先 ほど の 大 阪 市 大 数 学 研 究 所 ホームページで 閲 覧 できる. この 領 域 選 択 ゲームは, 先 ほども 述 べたように, 結 び 目 理 論 の 数 学 的 なアルゴ リズムを 使 って 作 られたもので, 各 ゲームは 2 を 法 とした 整 数 係 数 の 多 元 連 立 一 次 方 程 式 と 対 応 しており, それを 解 くこととゲームをクリアすることは 同 等 にな る. 言 いかえると, このゲームは 多 元 連 立 一 次 方 程 式 を 解 くことを 図 示 化 したも ので, 真 に 数 学 的 な 図 形 ゲームである. 図 1-6 数 さえよく 知 らない 幼 児 でもこの 図 形 ゲームでプレイすることは 容 易 であり,

7 それにより, 幼 児 が 数 学 アルゴリズムを 体 得 するのに 貢 献 できたら, 言 い 換 える と, 数 学 力 を 向 上 させることができたら, 大 変 に 素 晴 らしいことではないか. この 幼 児 版 のゲームにより, 幼 児 がどの 程 度 図 形 による 数 学 アルゴリズムを 獲 得 できるのかについて, 2012 年 度 学 術 振 興 会 ( 挑 戦 的 萌 芽 研 究 ) 結 び 目 理 論 のゲーム と 科 学 への 応 用 と 2012 年 度 JST 研 究 成 果 展 開 事 業 ( 研 究 成 果 最 適 展 開 支 援 プログラ ム)A-STEP 幼 児 教 育 用 結 び 目 ゲームと 新 規 パスワードの 実 証 開 発 研 究 の 補 助 のもと, 調 査 研 究 に 着 手 した 次 第 である. 数 学 者 が 数 学 の 難 問 を 解 こうとする 場 合 には, (i) 最 初 に 視 覚 パターンや 運 動 パターンを 使 って 考 える. (ii) 研 究 の 結 論 段 階 に 入 って,やっと 数 式 を 使 う. (iii) 最 後 に, 研 究 成 果 を 発 表 する 等 のために, 視 覚 パターンや 運 動 パターンを 普 通 の 言 葉 に 翻 訳 する. という 過 程 を 経 ると 考 えられる. 2) 数 学 の 難 問 を 考 えるには, まず 数 学 の 具 体 的 なイメージをもつ 力 が 必 要 になるが, これは 図 形 教 育 による 訓 練 により 培 われる と 考 えられる. 結 び 目 理 論 の 初 等 部 分 は, ユークリッド 幾 何 の 進 化 した 図 形 の 学 問 といえる. 結 び 目 理 論 を 応 用 した 図 形 ゲーム 領 域 選 択 ゲーム の 主 な 特 徴 とし ては, つぎの 4 点 を 挙 げることができる. (1) 1つ1つが, 直 感 力 や 数 手 先 を 読 むような 思 考 力 が 試 される 図 形 訓 練 のゲー ムである. (2) 文 字 数 字 を 使 わない 数 学 を 応 用 した 頭 脳 ゲームで, 数 学 の 知 識 が 不 要 で, 操 作 ルールは 簡 単 である. (3) 就 学 前 児 童 や, 小 学 校 低 学 年 児 童 の 図 形 教 育, および 高 齢 者 の 視 空 間 認 識 機 能 リハビリテーションに 役 立 つことが 期 待 できるゲームである. (4) このゲームの1つ1つは, 0 と1からなる 数 の 世 界 で, 多 元 連 立 1 次 方 程 式 を 解 くことと 同 等 であり, これは 高 度 な 数 学 アルゴリズムの 訓 練 である. 幼 児 に 数 学 を 教 えようとする 場 合, 一 般 には 数 字 を 暗 記 させることは 将 来 の 数 学 の 勉 強 のための 重 要 な 準 備 作 業 ではあるが, 数 学 や 数 学 アルゴリズムの 力 を 向 上 させるための 訓 練 とはいえない. この 幼 児 版 領 域 選 択 ゲーム という 数 学 図 形 ゲームにより, 数 字 をまだ 知 らない 幼 児 でも 数 学 力 や 数 学 アルゴリズムを 向 上 さ せることができることを 検 証 したい 所 以 である.

8 < 調 査 検 証 の 概 要 > 調 査 検 証 のポイント: 数 字 を 知 らない 幼 児 でも 数 学 力 を 向 上 させることが 可 能 であること 調 査 対 象 施 設 : 大 阪 教 育 大 学 附 属 幼 稚 園 大 阪 女 子 短 期 大 学 地 域 子 育 て 支 援 研 究 所 社 会 福 祉 法 人 晴 朗 会 すくすく 保 育 園 幼 児 版 の 図 形 ゲームを 組 込 んだタブレット 端 末 を 配 布 して, 教 育 効 果 のデータ 取 得 を 依 頼 した. 実 施 期 間 : 平 成 25 年 1 月 下 旬 ~8 月 上 旬. 取 得 データの 解 析 とその 教 育 効 果 の 検 証 については 結 び 目 の 数 学 教 育 研 究 会 ( 代 表 柳 本 朋 子 大 阪 教 育 大 学 教 授 )に 依 頼 した. 幼 児 版 領 域 選 択 ゲーム については, 4 交 点 1 個, 5 交 点 1 個, 6 交 点 1 個, 7 交 点 1 個, 8 交 点 2 個 の 既 約 結 び 目 射 影 図 を 用 いた. (3 交 点 結 び 目 射 影 図 は 操 作 方 法 の 説 明 としてだけ 利 用 されている.) また, 幼 児 版 の 図 形 ゲームでは 外 側 領 域 は 選 択 できないように 設 定 してある. 従 って, 幼 児 版 領 域 選 択 ゲーム のゲームについ て, 最 小 手 数 でゲームをクリアする 確 率 は, 2 節 の 考 察 から 2/(2 5-1) = 以 下 となることがわかる. 幼 児 の 場 合 に, これより 大 きな 確 率 の 最 小 手 数 で,ゲームをクリアできるならば, 図 形 処 理 に 関 する 数 学 のアルゴリズムに 関 して 能 力 がある, と 判 定 してもよいの ではないかと 考 える. 注 釈 1) 行 列 A の Z/2Z 上 での 階 数 は n になることは, 結 び 目 理 論 の 先 駆 的 論 文 である アレクサンダーの 論 文 (J. W. Alexander [4]) からも 示 すことができる. 実 際, その 論 文 においてアレクサンダーは, 向 きの 付 いた 既 約 結 び 目 図 式 に 関 して, 各 交 点 の 周 りの 領 域 に x, -x, 1, -1 を 一 意 的 に 割 り 振 った 行 列 A を 構 成 して いる. 興 味 深 い 注 意 として, A において x=1 とおき, また その 行 列 成 分 を Z/2Z で 考 えるならば,その 行 列 は A と 一 致 している. 行 列 A において 2 つの 適 当 な 行 を 除 いてできる n 次 正 方 行 列 の 行 列 式 Δ(x) が 今 日 アレクサンダー 多 項 式 と 呼 ばれている 結 び 目 の 位 相 不 変 量 である.この 論 文 で 示 され,また 今 日 良 く 知 られているように, Δ(1)=±1 がなりたつ. このことは, 行 列 A の

9 Z/2Z 上 での 階 数 が n になることを 示 している. 向 きの 付 いた 既 約 でない 結 び 目 図 式 については, その 図 式 は 既 約 結 び 目 図 式 が 樹 状 につながっていることか ら, 既 約 結 び 目 図 式 の 個 数 の 数 学 的 帰 納 法 で 示 すことができる. Cheng-Gao [3] は 絡 み 目 についても 述 べているが,それについても 今 述 べた 方 法 からの 別 証 明 が 可 能 である. 2) これは, 数 学 者 としての 経 験 上 同 意 できる 考 え 方 である. 右 脳 左 脳 の 単 純 化 さ れた 2 元 的 なモデルによると,より 明 快 に 説 明 できる 考 え 方 である([5], [6] 参 照 ). 参 考 文 献 [1] A. Shimizu, Region crossing change is an unknotting operation, J. Math. Soc. Japan (to appear) (arxiv: ). [2] 河 内 明 夫 岸 本 健 吾 清 水 理 佳, 結 び 目 理 論 とゲーム, 朝 倉 書 店,2013. [3] Z. Cheng and H. Gao, On region crossing change and incidence matrix (arxiv: ). [4] J. W. Alexander, Topological invariants of knots and links, Trans. A.M.S. 30 (1928), [5] P. F. セルゲーエフ 著 ( 阿 部 光 伸 訳 ), 右 脳 と 左 脳 のはなし, 東 京 図 書, [6] 河 内 明 夫, 結 び 目 の 数 学 教 育, 数 学 教 育 研 究 42 (2013), 第 1 章 1. 河 内 明 夫 所 属 大 阪 市 立 大 学 数 学 研 究 所 専 任 研 究 所 員 ( 大 阪 市 立 大 学 数 学 研 究 所 名 誉 所 長 大 阪 市 立 大 学 名 誉 教 授 )

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