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1 ロボティックス Robotics 先端工学基礎課程講義 小泉憲裕 2016/5/6

2 講義情報 当面はこちらのサイト,

3 ロボットの運動学 ロボットの運動学 ロボットの運動学は現在 ニュートン力学を発展させた解析力学を基盤とすることが多い 解析力学では物体を 剛体としてあらわす

4 第 4 回 座標変換平行 回転 同次変換 マニピュレータの座標系の設定

5 剛体 剛体とは 密度をもつ無限に小さな体積の粒子が無限 個集まってできたもの 体積があり 互いの粒子間の距離は変化しない 粒子には姿勢がないが 剛体には姿勢がある 粘土の粒子を焼いて固めたレンガのようなもの

6 剛体 剛体の自由度 ( 自由度 )= ( 運動を記述するのに使う変数の数 ) -( 拘束条件の数 ) 34 6 位置 3 自由度粒子数拘束条件の数

7 剛体 剛体の自由度 34 6 ( x, y, z) 追加した質点の位置を表すため自由度が3つ増えるが 同時に拘束条件も3つ増えるため 質点が増えても自由度は変わらない!

8 剛体座標系 剛体座標系 剛体の位置をあらわす代表的な 粒子の位置を原点とし 剛体と一緒に運動する座標系 剛体座標系 太陽を原点とする座標系と 地球を原点とする座標系 絶対座標系

9 座標系の平行移動 座標系の平行移動 B r r p r p B B : 座標系 {} からみた点 r : {} からみた {B} の原点 B の位置ベクトル { } { B} B p B B r r B r : 座標系 {B} からみた点 r

10 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/earthmap720x360_grid.jpg 剛体の姿勢とその表現 剛体の姿勢とその表現 ( 表現 1) 直交行列 R ( 表現 2) オイラー角 α,β,γ R ( e e e ) x y z mages/doujitrmatrix_01.jpg ( 表現 3) オイラーパラメータあるいは クォータニオン ( 四元数 ) α( ローリング ) β( ピッチング ) γ( ヨーイング ) F%B2%F3%C5%BE%B9%D4%CE%F3

11 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/earthmap720x360_grid.jpg 剛体の姿勢とその表現 剛体の姿勢とその表現 ( 表現 2) オイラー角 α,β,γ β( ピッチング ) α( ローリング ) R R ( ) R ( ) R ( ) ZYX Z Y X γ( ヨーイング ) F%B2%F3%C5%BE%B9%D4%CE%F3

12 剛体の姿勢とその表現 剛体の姿勢とその表現 70b812abd6f251bb08e60385a5c.jpg ( 表現 2) オイラー角 α,β,γ 球面は2 次元の曲面であるが これを2 個の座標値で表そうとすると困難が生じる 北極点と南極点が 線であらわされる https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/earthmap720x360_grid.jpg

13 剛体の姿勢とその表現 剛体の姿勢とその表現 70b812abd6f251bb08e60385a5c.jpg ( 表現 2) オイラー角 α,β,γ 球面は 2 次元の曲面であるが これを 2 個の座標値で表そうと すると困難が生じる 剛体姿勢の空間全体を 3 変数で表すことはできない! 北極点と南極点が 線であらわされる https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/earthmap720x360_grid.jpg

14 剛体の姿勢とその表現 剛体の姿勢とその表現 70b812abd6f251bb08e60385a5c.jpg ( 表現 3) オイラーパラメータあるいはクォータニオン ( 四元数 ) 4 変数と1 個の拘束条件を用いて剛体の姿勢をあらわす 剛体姿勢の空間全体を最小の変数で表現 ロケットや人工衛星の姿勢制御に応用 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/earthmap720x360_grid.jpg

15 剛体の姿勢とその表現 剛体の姿勢とその表現 剛体の姿勢とは 剛体座標系 {} が絶対座標系 {} からみて どのように傾いているかをあらわす R ( e e e ) x 方向の傾き y 方向の傾き R は直交行列 x y z R T R 1 ベクトルの大きさを変えない z 方向の傾き jitrmatrix_01.jpg 絶対座標系 剛体座標系 ar_algebra/orthonormal_1.gif

16 直交行列 直交行列 R ( e e e ) x y z R は直交行列 T R R 1 ベクトルの大きさを変えない 東京オリンピック パラリンピックエンブレムはそれぞれ回転対称性, 鏡像 ( 左右 ) 対称性を有する 回転変換 鏡像変換に対する不変性 https://www.youtube.com/watch?v=deu Tt8KQCmo https://www.youtube.com/watch?v=7rp LxMKsgrs (n): 直交 ( 変換 ) 群 回転変換 鏡像変換 S(n): 特殊直交 ( 変換 ) 群 回転変換

17 姿勢変換行列 ( 回転行列 ) R T [ e e e ] T x y z R T [ e e e ] T B xb yb zb R R T R B B 座標系 {} からみた座標系 {B} {B} の 3 個のベクトルの {} の 各軸への方向余弦を計算 姿勢変換

18 チェーン ルール チェーン ルール 2 R R T R R R B B B 相対的な姿勢変換 行列を左から右へ とかけてゆくことで {1} {n} の姿勢の 変位を計算できる 1 2 R 姿勢変換行列のチェーン ルール 3 R n1 n R n 1 n 2 3 n R R R R

19 同次変換行列 r q H 1 1 R p H 同次変換 r p R q 同じ式を4 4に拡大した同次変換 行列を用いてシンプルにあらわす H

20 チェーン ルール チェーン ルール 姿勢変換行列と同様にチェーン ルー ルが成立 同次変換行列のチェーン ルール n 1 n 2 3 n H H H H

21 同次変換の逆変換 同次変換行列 R p H 同次変換行列の逆行列 H or.com/images/doujitr Matrix_01.jpg H 1 H T T R R p H 同次変換行列は直交行列ではない

22 同次変換の逆変換 R p 3 次元の同次変換行列を H とする このとき T T T 1 R R p T H H H R ( ) 1 Hは直交行列の性質を満たさないため 直交行列ではない となり

23 修正 Denavit-Hartenberg 記法 修正 DH 記法 (1) 基準 ( 腕ロボットなら地面に 固定 脚ロボットなら胴体など ) と なる部分をリンク 0 として 手先に向かって各リンクに 1,2,..n と番号 をつける e/robotics/manipulator.html

24 修正 Denavit-Hartenberg 記法 修正 DH 記法 (2) リンク i-1 とリンク i の間の 関節を 関節 i とする つまり 関 節番号は 1..n となる e/robotics/manipulator.html

25 修正 Denavit-Hartenberg 記法 修正 DH 記法 (3) 各関節に関節軸を定義する 回転関節なら回転軸を 直動関 節なら直動方向に平行な直線を関節軸 i とする e/robotics/manipulator.html

26 修正 Denavit-Hartenberg 記法 修正 DH 記法 (4)Zi 軸は関節軸 i に一致させる (5)Xi 軸は Zi 軸と Zi+1 軸の共通 垂線にする (6)Zi と Xi の交点が原点 i に なって Zi と Xi の外積で Yi 軸 が定まる e/robotics/manipulator.html

27 End 平行 回転 同次変換 マニピュレータの座標系の設定

28 参考文献 1. ロボット制御入門 : 川村貞夫著 (hmsha) 2. ロボットシステム入門 : 松日楽信人 大明準治著 (ohmsha) 3. メカトロニクス : 三浦宏文著 (ohmsha) 4. やさしい産業用ロボット読本 : 川崎重工編 ( 日本能率協会 ) 5. はじめてのロボット創造設計 : 坪内孝司 大隅久 米田完 ( 講談社 ) 6. ロボットモーション : 内山勝 中村仁彦 ( 岩波書店 ) 7. pdf 8.

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