Blue circle & gradation

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1 数学 1 に関連した統計教材 Takakazu Sugiyama

2 これは 2013 年に東京都教育委員会の要請による講演のパワーポイントです. データの要約をしよう! 1.1 データの性格 日本人の死因を集積したデータ アンケートや問診票にある性別 薬局の満足度を 非常に満足 やや満足 どちらともいえない やや不満 非常に不満 によって評価したデータなどのように 対象があるカテゴリーに属しているかどうかとして与えられるデータを 質的データやカテゴリカルデータとよぶ. この質的データはさらに 2 種類のタイプのデータに分けることができる.

3 回答選択肢に順序関係がないデータは名義尺度という. 例. 日本人の死因を集積したデータ ( ガン 心疾患 脳血管疾患など ) アンケートや問診票にある性別 ( 男性 女性 ) 回答選択肢に順序関係があるデータは順序尺度という. 例. 薬局の満足度を 非常に満足 やや満足 どちらともいえない やや不満 非常に不満 によって評価したデータ このような質的データに名目上数値を割り当ててデータが処理される場合があるが その際の数値自身には意味がないことに注意しなければならない.

4 表 1.1 平成 20 年度の各疾患による死亡数 疾患に順序関係がないので名義尺度のデータ

5 下表は家族揃って一緒に食べる夕食の頻度を調べたものである. 表 1.2 平成 13 年児童環境調査 ( 厚生労働省 ) 毎日 4 日以上 2~3 日 1 日だけ ほとんどない 合計 % 17.5% 31.8% 11.1% 7.5% 100.0% 5 つの頻度 ( 毎日 4 日以上 2~3 日 1 日だけ ほとんどない ) には 頻度によって順序関係が存在しており 順序尺度のデータである

6 質的データではなく 数値によって記録されるデータを量的データという. 量的データはデータ間の差に意味を持つ. 具体的に身長データや気温データを考えてみる. 中学 1 年時に 155cm であった身長が中学 3 年時には 168cm に伸びていたとき中学校で 13cm 身長が伸びたことになる また 前日の最高気温が 31 で今日の最高気温が 27 であるとき 今日は 4 ほど前日よりも最高気温が低いということになる. 最高気温 最低気温に関しては日々の天気予報でも同じようなことが報道されている.

7 量的データは 割合を考えることによって 2 種類のタイプに分けることができる. 中学 1 年時に 155cm であった身長が高校卒業時に 181cm になっていたとすると この人は中学 1 年時よりも約 1.17 倍身長が高くなっている. ところが 最高気温 31 の日は最高気温 20 の日よりも 1.55 倍暑いということにはならない. これらの違いは 0 の意味に違いがあることから生じる. 身長や長さの場合 0cm とは 長さがない ということになるが 温度 0 は 温度がない ということにはならない. 0 の意味が絶対的でデータ間での割合が意味を持つデータであるとき比尺度のデータといい 0 の意味が相対的でデータ間での割合が意味を持たないデータであるとき間隔尺度のデータという.

8 また 年間の渡航回数や出生数など離散的な値しかとらないタイプを計数データ 気温や為替相場など連続的な値をとるタイプを計量データという.

9 1.2 データのグラフ化 データをグラフ化する際によく用いられるものに棒グラフがある. 図 は棒グラフで表したものである. 名義尺度のデータである. 図 平成 20 年度心疾患死亡数

10 図 平成 20 年度脳血管死亡数

11 年齢別日本人人口を表したグラフが図 1.2 である. この場合は年齢別に日本人人口が集計されており順序尺度のデータであるので 大きさの順に並べる必要はない 図 1.2 年齢別日本人人口 ( 平成 19 年 1 月 1 日現在 厚生労働省 )

12 また 図 1.3 のように年度ごとに棒グラフを描くことによって 各年齢の人口推移を知ることもできる. 図 1.3 年度別出生数 ( 厚生労働省 )

13 時間とともに変化する計測値の特徴を捉えやすいグラフが折れ線グラフである. 図 1.4 は人工透析者の変化を表したものである. 図 1.4 人工透析の人数

14 表 1.5 平成 16 年母親の年齢別出生数 ( 厚生労働省 ) 母親の年齢 ~14 歳 15~19 20~24 25~29 30~34 35~39 40~44 45~49 50 歳以上 出生数 表 1.5 は母親の年齢別出生数を調べたものである. これらを円グラフに表したものが図 1.5 である. 円グラフは構成比率を表現するのに適している. 図 1.5 母親の年齢別出生数

15 構成比率を比較する場合には 複数のデータ系列を同心円状にドーナツのように表したドーナツグラフや帯グラフが便利である. 図 1.6 は平成 16 年の母親の年齢別出生数と昭和 50 年の母親の年齢別出生数を合わせたドーナツグラフである. 昭和 50 年の方が若い年齢で出生する割合が多いことが分かる. 図 1.6 母親の年齢別出生数

16 図 1.7 は 2000 年度と 1980 年度の総人口を世代別にまとめた帯グラフである. 昨今言われている高齢化になりつつあることが伺える. 図 1.7 総人口における世代別の構成割合 ( 厚生労働省 )

17 図 1.8 は 104 人の日本人頭蓋骨の頭周長を計測した結果を幹葉図にしたものである. 左端の数値 (50~58) は各計測値の整数部分を表し 右側の数値は 1 つずつが計測値の小数点以下第 1 位の値を表している. 図 1.8 頭蓋骨の頭囲長

18 幹葉図の右側の数値を棒状に塗りつぶしたものがヒストグラムである. 区分幅を 5mm にしたヒストグラムが図 1.9 である. 幹葉図と同じような傾向になっている. 図 1.9 頭蓋骨の頭囲長 ( 日本歯科大学 )

19 データの様子を表す箱ひげ図はデータを縮約した中央値 第 1 四分位点 第 3 四分位点 最大値 最小値などを用いて作成される. 下図は先ほどの頭蓋骨の頭囲長を男性 71 人, 女性 33 人それぞれについての箱ひげ図である.

20 四分位数と四分位偏差 四分位数 ( 四分位値, 四分位点 ) データを大きさの順に並べたとき25%,50%,75% の位置にある値 第 1 四分位数 小さい方から数えて25% の位置の値第 2 四分位数 小さい方から数えて50% の位置の値 ( 第 2 四分位値 = 中央値 ) 第 3 四分位数 小さい方から数えて75% の位置の値 20

21 四分位数と四分位偏差 四分位範囲と四分位偏差 四分位範囲 = 第 3 四分位数 - 第 1 四分位数四分位偏差 =( 第 3 四分位数 - 第 1 四分位数 )/2 通常の標準偏差と同様に データのバラツキを表している 母集団の分布が左右対称かつ単峰型 ( 特に正規分布 ) であれば平均値 と分散 ( 標準偏差 ) があれば十分であるが 正規分布以外の母集団の 場合 ( 特に左右対称で無い場合 ) は四分位数 四分位偏差が用いられる ことが多い 21

22 四分位数の求め方 1) データを大きさの順に並べ 中央値を求め 第 2 四分位数とする 2) 中央値を含まない中央値以下のデータのみで中央値を求め 第 1 四分位数とする 3) 中央値を含まない中央値以上のデータのみで中央値を求め 第 3 四分位数とする データの個数が偶数の場合は 中央値のときと同様に中央に並ぶ値の平均値を用いる 22

23 四分位数の求め方 例 1. 次のような 15 個のデータの場合 順位 データ ) 第 2 四分位数 ( 中央値 ) を求める 8 番目が中央 ( 前からも後ろからも 8 番目 ) なので その値 18 が第 2 四分位数 23

24 四分位数の求め方 例 1. 次のような 15 個のデータの場合 順位 データ ) 第 1 四分位数を求める第 2 四分位数として使った8 番目を除いた 1~7 番目の中央である4 番目の値 16が第 1 四分位数 24

25 四分位数の求め方 例 1. 次のような 15 個のデータの場合 順位 データ ) 第 3 四分位数を求める第 2 四分位数として使った8 番目を除いた 9~15 番目の中央である12 番目の値 18が第 3 四分位数 25

26 四分位数の求め方 例 1. 次のような 15 個のデータの場合 順位 データ 最小値 =11 第 1 四分位数 =16 第 2 四分位数 =18 第 3 四分位数 =20 最大値 =24 5 数要約 26 四分位範囲 20-16=4

27 四分位数の求め方 例 2. 次のような 8 個のデータの場合 順位 データ ) 第 2 四分位数 ( 中央値 ) を求める 4 番目と 5 番目が中央の値なので その値平均値 13.5 が第 2 四分位数 27

28 四分位数の求め方 例 2. 次のような 8 個のデータの場合 順位 データ ) 第 1 四分位数を求める第 2 四分位数 ( 今回は4.5 番目なので存在しない ) より前にある中央値 (2 番目と3 番目の平均値 ) 11が第 1 四分位数 28

29 四分位数の求め方 例 2. 次のような 8 個のデータの場合 順位 データ ) 第 3 四分位数を求める第 2 四分位数 ( 今回は4.5 番目なので存在しない ) より後ろにある中央値 (6 番目と7 番目の平均値 ) 19が第 1 四分位数 29

30 四分位数の求め方 例 2. 次のような 8 個のデータの場合 順位 データ 最小値 =10 第 1 四分位数 =11 第 2 四分位数 =13.5 第 3 四分位数 =19 最大値 = 数要約 四分位範囲 19-11=5

31 四分位数の求め方 Excelを使うと5 数要約を簡単に求めることが可能関数 :QUARTILE( 配列, 戻り値 ) 配列の中から戻り値に対応した 5 数要約の値を求める 0: 最小値 1: 第 1 四分位数 2: 第 2 四分位数 3: 第 3 四分位数 5: 最大値 31

32 四分位数の求め方 ただし Excelでの四分位数の定義式が異なるため 例 2の第 3 四分位数は18.5と異なる値を得る これは推定の基準が異なるためにおこり どの基準を使うかによって 値が変わってくる 32

33 新しい内容箱ひげ図について 箱ひげ図 は 四分位数 と 最大値 最小値 ( つまり 5 数要約 ) を使って 分布の散らばり具合をグラフ化し視覚的にわかりやすくしたものである 見た目は株価のローソク足のようになっており 箱から 2 本のひげが生えているようなグラフとなる 33

34 箱ひげ図のかき方 例 1. 次のような 15 個のデータの場合 順位 データ 最小値 =11 第 1 四分位数 =16 第 2 四分位数 =18 第 3 四分位数 =20 最大値 =24 5 数要約 34 四分位範囲 20-16=4

35 箱ひげ図のかき方 1) 第 1 四分位数と第 3 四分位数を両端とした箱 ( 長方形 ) をかく ( 長方形の幅が四分位範囲に対応する ) 35

36 箱ひげ図のかき方 2) 第 2 四分位数 ( 中央値 ) に線を引く 36

37 箱ひげ図のかき方 3) 最小値に線を引き 箱の左側までひげ ( 線 ) をかく 37

38 箱ひげ図のかき方 4) 最大値に線を引き 箱の右側までひげ ( 線 ) をかく 38

39 箱ひげ図のかき方 5) 場合によっては平均値 (17.73) に印をつける 39

40 箱ひげ図のかき方 例 2. 次のような 8 個のデータの場合 順位 データ 最小値 =10 第 1 四分位数 =11 第 2 四分位数 =13.5 第 3 四分位数 =19 最大値 = 数要約 四分位範囲 19-11=5

41 箱ひげ図のかき方 例 2 の箱ひげ図は次のとおり 41

42 箱ひげ図のかき方 演習 : 次の 13 個のデータに対して 5 数要約を求め箱ひげ図を完成させよ 番号 データ 平均値 =19 42

43 箱ひげ図のかき方 解答例 1) データを大きさの順に並べる 順位 データ

44 箱ひげ図のかき方 解答例 2)5 数要約を求める 順位 データ 最小値 =10 第 1 四分位数 =14 第 2 四分位数 =20 第 3 四分位数 =23 最大値 =32 平均値 = 数要約 四分位範囲 23-14=9

45 箱ひげ図のかき方 解答例 3) 5 数要約をもとにして 箱ひげ図を作成する 最小値 =10 第 1 四分位数 =14 第 2 四分位数 =20 第 3 四分位数 =23 最大値 = 数要約 四分位範囲 23-14=9 45 平均値 =19

46 箱ひげ図を見てわかること 箱ひげ図を見ると データが多く集まっている所 や 分布 が左右対称かどうか などがわかる 例 1 はほぼ左右対称になっていて 中央値を含む 50% の データは中央値の近くにまとまっていることがわかる 例 2 は前半 50% のデータは 10 から 13.5 の狭い範囲にあるが 後半 50% のデータが 13.5 から 21 と範囲の幅が倍以上になっ ていることから 明らかに左右対称ではない ( 右側の裾が長い分布である ) ことがわかる 箱ひげ図を見るとある程度ヒストグラムの形も予測できる 46

47 これまでは 1 つの計測値に対するグラフであった. この他にもいくつかの計測値を同時に表現するグラフがあるので, 紹介する. 下の図は 2007 年 6 月の最高気温 湿度をグラフに表したものである. このような図を相関図または散布図という. 横軸に最高気温, 縦軸に湿度をとり,1 日の ( 最高気温, 湿度 ) のデータを 1 点として表したものである.2 つの観測値を平面上で表現することにより,2 つの観測値の関係が分かり易くなる.

48 栄養バランスを表現するグラフとして下の図なども使われている. これはレーダーチャートと呼ばれ, 中央にできる図形の形から全体のバランスをみたりするためのグラフである.

49 2 データの縮約値 2.1 モードとメディアン データの特徴 傾向を知りたいと考えたとき, データの特徴を表す代表的な値として縮約値が用いられる. このように述べるとすぐに " 平均 " を思い浮かべるかも知れないが, 質的データの場合には前述のように平均を求めることができない. 質的なデータの場合, 観測頻度が最も高いカテゴリーをモードという. 離散型の量的データの場合も最も頻度の高い測定値をモードという. モードは, 日本語では最頻値と言われている. 表 1.1 では悪性新生物がモードとなる. モードは, データの分布において山が 1 つだけであるようなデータに対して有効である.

50 順序尺度のデータや間隔尺度のデータを大きさの順に整列させたとき, ちょうど中央に位置する測定値をメディアンまたは中央値という. 名義尺度のデータに対しては, メディアンが定義できないことに注意されたい. 表 1.3 の 1 月のメディアンは,10 日の 4.3 が小さい方から 16 番目のデータであるので 4.3 がメディアンとなる.2 月のメディアンは, 小さい方から 14 番目の 7 と 15 番目の 6.5 の値が中央になる. このように計測値が偶数個ある場合には, 中央になる 2 つの値の平均をメディアンとする. つまり, が 2 月のメディアンということである. 1 2 (7 6.5) 6.75

51 表 年東京地区の平均気温 ( 気象庁 )

52 平均値について 一般的には 平均値になる確率が一番高くなることを保証しているわけでもなく 平均値を境に出現確率が 50% になっていることを保証しているわけでもない つまり データに偏りが存在した場合 平均値は真ん中の値と呼べない場合もある 52

53 中央値と最頻値 そこで 数値的な意味以外で真ん中となるような値を次のように定義している 中央値 : その値を境に出現確率が50% となる値 ( 推定値は大きさの順に並べて中央に来る値 ) 最頻値 : 出現確率が一番高い値 ( 推定値は一番多く出てきた値 ) 53

54 平均値 中央値 最頻値 例. 20 人の年収が次のようなとき 平均値 中央値 最頻値はそれぞれいくらになるか 100 万 : 1 名 200 万 : 1 名 300 万 : 2 名 400 万 : 3 名 500 万 : 4 名 600 万 : 3 名 700 万 : 3 名 800 万 : 1 名 1000 万 : 1 名 1 億 : 1 名 54

55 平均値 中央値 最頻値 平均値 :990 万円中央値 :500 万円 最頻値 :500 万円 55

56 平均値 中央値について 左右対称でないデータに対して 平均は 真ん中 を表す数字として適当でないことが多い 特に平均は 他のデータに比べてあまりにも大きい ( もしくは小さい ) 値があると その値に引きずられてしまう そのため 所得の例ように一部の人間が大きな収入がある場合 平均値は感覚よりも大きな値となってしまう この場合は中央値 最頻値の方が感覚と一致している 56

57 分散 57

58 母集団と標本 : 標本調査の例 日本人の 18 才の女性の身長を調査 調査対象となる女性の総数 : 約 56 万人 ( 母集団 ) 母集団 : 調査あるいは研究対象の集まり 調査方法 1 約 56 万人の身長を調査 : 全数調査は不可能に近い 調査方法 2 費用と時間の許す範囲内で, 出来るかぎり多くの人を抽出し, その人達の身長を測定することによって,18 才女性の身長 ( 母集団 ) の特徴を推測する : 現実的な方法 58

59 標本 : 観測値の集まり 標本の例 18 才の女性の中から100 人を抽出し, 身長を測定したところ次のようであったとする 161.5, 152.7, 163.5,, 161.7, 159.2, この100 人について測定した数値から, 母集団である18 才の女性の身長の特徴を推測する 59

60 標本抽出の仕方 日本人の18 才女性の身長の平均値を調べる 標本 : 日本全国から100 人を抽出 偶然, 関東地域と近畿地域の人が多く抽出されたとする 問題点 : これらの地域の身長の平均が全国平均より大きいならば, 結果として本当の値よりやや大きめの値を全国平均としてしまうおそれがある 60

61 標本抽出の仕方 日本人の 18 才女性の身長の平均値を調べる 標本 : 日本全国から100 人を抽出 偶然, 関東地域と近畿地域の人が多く抽出されたとする 問題点 : これらの地域の身長の平均が全国平均より大きいならば, 結果として本当の値よりやや大きめの値を全国平均としてしまうおそれがある 母集団の特徴をよく把握している標本を抽出するにはどのようにしたら良いか? 61

62 偶然生じる偏りの回避 偶然に生じる偏りを少なくするための方法 日本のある地域の平均は全国平均より0.7cm 低く, 別の地域では0.6cm 程高いことを知っているとする 各地域から,18 才女性の人口数に比例して標本を抽出すると, 標本抽出の偶然によって起こるこの種の偏りを少なくすることができる もっている知識を利用することによって偏りのない標本を抽出することができる 62

63 相関係数 : 関連性の尺度 問題 安静時の最高血圧が高い人は排尿直後の最高血圧も高い, 安静時の最高血圧が低い人は排尿直後の最高血圧も低いといった関連性がいえるだろうか? 関連性があるとすれば, その強さをどのように表現するか? 20 歳の女性の 安静時の最高血圧 と 排尿直後の最高血圧 を調べたデータ 63

64 変量間に関連性が見られるデータ 変量間に関連性が見られるデータ 喫煙と肺がんの関係 植物の栄養状態と子実生産量 姉の身長と妹の身長 入学時の成績と卒業時の成績 耕地面積と農業所得等々 関連性の強さの表現法について考える 64

65 相関係数 記号 相関係数 2 つの変量の直線的な関連の強さを表す尺度 正の相関 : 一方の値が増すとき, 他方の値も増す関係 負の相関 : 一方の値が増すとき, 他方の値が減る関係 65

66 正の相関と負の相関 正の相関 負の相関 66

67 相関の強さ 相関係数の取り得る値 : 相関の強さ 相関係数は曲線的な関連性を表現することがで きない 67

68 相関の強さ 相関係数が 1 の場合 ( 最も強い相関 ) 曲線的に強い相関があるが相関係数は小さくなる場合 68

69 例 : 相関係数の求め方 20 歳の女性の 安静時の最高血圧 と 排尿直後の最高血圧 との相関係数を求める 相関係数の定義 各変数の平均値 : 69

70 相関係数の計算 相関係数の分母の計算 70

71 相関係数と散布図 相関係数の分子の計算 相関係数 右上がりの直線関係が見られる 相関係数

72 相関係数の大きさと散布図 相関係数 0.6 相関係数 0.7 相関係数 0.8 相関係数 0.9 相関係数 0.95 相関係数

73 講演資料の作成では 神奈川工科大学准教授 の竹田裕一先生の資料を 一部使わせていた だきました ご了解いただいた竹田先生に感謝いたします