ィェィ ィョ02ィヲィー ィェ ィャ0200ィ ィェ 08ィ ィィ ィョ07ィー D ィョ0007 T, ィヲィ 06ィョ0002: D 6メ6 (x; y) 6モ1 f (x; y

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1 130005ィィ04ィャィ ィヲィョィ 00ィエ00ィヲィコ06ィー 06ィェィェ07ィヲ02ィー ィャ05ィィ04ィャィ ィ 0100ィケ ィィィ 0008ィェ02ィヲ ィャィヲィ 0002ィェ08ィコ0201ィョ ィー ィェィエィョ0007ィー ィョ0007ィェ ィ ィェィ 00ィェ06ィョ ィェィェ07ィヲィ ィー 0004ィー 0809ィ 00ィャィ 00ィヲィコ07ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー ィャィヲィ ィー 0809ィ 00ィャィ 00ィヲィコ07ィー ィャ0200ィ ィー ィョ , ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ ィヲィー ィャ0200ィ ィー ィヲィョィャ ィヲィョィャィケィー (ィョ01ィェ ィョ04ィー ィェ ィャ0200ィ ィェ) 00ィョ00ィエ D 6ロ7 R 2, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ D 6ロ7 R 3 ィコィ ィヲ T 6ロ7 R ツィケィェ00ィ ィャ04 ィコ02ィェ05 ィョ05ィェ0705ィ. 08ィケ0002 ィャ08ィ ィョ01ィェ ィョ , ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ ィャ ィヲィョィャ D ィコィ ィヲ ィヲィャ06ィェ 0007 T 0208ィェィ ィヲ ィャ08ィ ィャ07ィェ07ィョ07ィャィ ィェ0004 ィ 0802ィヲィコィケィェィヲィョ04, 06ィョ00ィエ f, ィョ01ィェィケ ィョ04ィー 09ィヲ0905ィヲ070009ィ 0208ィ [3, 4]. 601

2 ィェィ ィョ02ィヲィー ィェ ィャ0200ィ ィェ 08ィ ィィ ィョ07ィー D ィョ0007 T, ィヲィ 06ィョ0002: D 6メ6 (x; y) 6モ1 f (x; y) = w ハ T; ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ ( ) D 6メ6 (x; y; z) 6モ1 f (x; y; z) = w ハ T: 08ィ x; y, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ x; y; z 0208ィェィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ04 ィ ィヲ ィ ィェ ィー ィャ0200ィ ィー 07 ィ ィヲィ 0201ィコ070508ィ ィョ ィー ィャ0200ィ ィー ィョ04ィー ィケ08ィエィー ィョ04ィー ィ ィヲ 00ィ ィョ0007ィヲ ツ0208ィ (arguments) 0004ィー f, 02ィェ06 04 w 0208ィェィ ィヲ ィ ィャ06ィェ04 ィャ0200ィ ィャ07ィヲィ, ィケ08ィエィー ィコィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ ィー ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー, 04 f ィヲ 0007ィェ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー, ィ ィヲ ィヲ 0007ィェ 0009ィケ0807 ィャ ィェ ィェ0200ィ ィヲ 04 08ィ 09ィ 0805ィェィエ ィ 0802ィヲィコィケィェィヲィョ ィョ01ィヲ0709ィヲィョィャィケィー ィヲィョィャ0705 D 0008ィェ0200ィ ィヲ ィケ08ィエィー ィコィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー ィャ02 ィャ08ィ ィャ0200ィ , ィャ ィヲィ ィケ00ィヲ ィョ01ィヲ ィェ00ィ ィヲ 07ィヲ 00ィヲィャ06ィー 00ィヲィ 00ィヲィー ィー ィ ィヲ 04 f 00ィヲィ ィコ05ィィ02 ィャ0200ィ x; y, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ x; y; z ツィエ09ィヲィョ0005 ィコィ ィヲ ィョ0004 ィョ01ィェ06 ツ02ィヲィ 0007 D ィエィー 04 06ィェィエィョ04 00ィエィェ 0208ィヲィャ ィー ィエィェ 0709ィヲィョィャ ィヲィ ィョ01ィェ ィョ04 f ィャ ィヲィョィャ0705 D ィィィ ィョ01ィャ ィ ィヲ ィョ ィー ィャ02 f D 07 ィ ィェィ ィヲィコ05 f(x; y) D, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ f(x; y; z) D. 08ィ ィ 0709ィヲィョィャ0705 ィコィ ィヲ 00ィヲィャ06ィェ 0208ィェィ ィヲ ィャィヲィ ィコィ ィャ ィヲ0205ィェ02ィヲィ ィェィヲィコィケ000209ィ ィャィヲィ 0009ィヲィョ01ィヲ05ィョ00ィ ィヲ07 ツ ツ ィョ00ィエ w = f(x; y) D, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ w = f(x; y; z) D. 08ィケ ィ 02ィヲィコ07 08ィ 0905ィョ00ィ ィョ ィー f ィィィ 0208ィェィ ィヲ 0007 ィョ05ィェ ィエィェ ィョ04ィャ0208ィエィェ {((x; y); w) ハ D チ T; ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ ((x; y; z); w) ハ D チ T:} 04ィ ィヲ00ィャィ ィ ィヲィョ ィヲィョィャ ィエィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ f 1 (x; y) = フ x + y; f 2 (x; y) = フ x+ フ y ィコィ ィヲ f 3 (x; y) = ln ( 4 6モ1 x 2 6モ1 4y 2) : 0905ィョ ィヲ0107 ィ 08ィケ 0007ィェ ィー f ィヲ ィェィ ィコ ィヲ 0809ィ 00ィャィ 00ィヲィコィケィー ィ 09ィヲィィィャィケィー, ィヲィョィャ0705 D 1 ィィィ 0208ィェィ ィヲ D 1 = {(x; y) ハ R 2 : x + y ン 0}:

3 130309ィヲィョィャ y x (a) y x (b) 07 ツ07ィャィ : 04ィ ィヲ00ィャィ : (a) ィヲィョィャ0705 D 1 = {(x; y) ハ R 2 : x + y ン 0; } 0004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー f 1 (x; y) = フ x + y. 05 ィャ ィィ0208ィ 06 ツ02ィヲ ィョィエィョ04 x + y = 0. (b) ィヲィョィャ0705 D 2 = {(x; y) ハ R 2 : x ン 0; y ン 0} 0004ィー f 2 (x; y) = フ x + フ y. 0109ィ 02ィヲィコ D ィ ィヲ ィ 08ィケ 0007 ィョ05ィェ ィエィェ ィョ04ィャ0208ィエィェ ィヲ ィョィコ07ィェ00ィ ィヲ ィョ ィェィエ ィャ060907ィー 0004ィー 0201ィィ0208ィ ィー x + y = 0 (07 ツ a). 2 04ィャ07ィヲィ ィヲィョィャ0705 D ィー f 2 ィィィ 0208ィェィ ィヲ D 2 = {(x; y) ハ R 2 : x ン 0; y ン 0}; ィ ィ ィャィケ09ィヲ ツ b ィー, ィヲ ィ 09ィヲィィィャィヲィコ07 ィョ01ィェ ィョ ィ ィヲ ィャィケィェ07 00ィヲィ ィィ0200ィヲィコ06ィー 00ィヲィャ06ィー 0004ィー ィャ0200ィ ィー 0004ィー, 00ィヲィ ィヲィョィャ0705 D ィー f ィヲ 4 6モ1 x 2 6モ1 4y 2 > > x2 4 + y2, 0708ィケ0002 D 3 = {(x; y) ハ R 2 : x y2 < 1}; ィ ィヲィョィャ ィェィ ィヲ ィョィエ000209ィヲィコィケ 0004ィー ィヲ0304ィー ィャ ィョィエィョ04 x2 4 +y2 = 1 (07 ツ a) ツ b 0108ィェ0200ィ ィヲ ィ 02ィヲィコ07 08ィ 0905ィョ00ィ ィョ ィー f ィェィィ01ィャ ィ ィヲ ィケ00ィヲ 04 ィ ィェィヲィョィケ000400ィ Ax + By + ヲ > ィェ0200ィ ィヲ 0009ィ 02ィヲィコ05, ィケ00ィ ィェ ツィ 09ィ ツィィ ィィ0208ィ 02 : Ax + By + ヲ = 0 ィコィ ィヲ ィィ02ィエ0907ィョ0701ィャ ィョ05ィェ ィエィェ ィョ04ィャ0208ィエィェ (x; y) ハ R 2, ィェィ ィヲ ィョ ィェィエ ィャ060907ィー 0004ィー 02.

4 ィェィ ィョ02ィヲィー ィェ ィャ0200ィ ィェ 08ィ ィィ ィョ07ィー y x (a) (b) 07 ツ07ィャィ : 04ィ ィヲ00ィャィ : (a) ィヲィョィャ0705 D 3 = {(x; y) ハ R 2 : x 2 4 +y2 < 1} 0004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー f 3 (x; y) = ln ( 4 6モ1 x 2 6モ1 4y 2) ィヲィ ィコ02ィコ07ィャィャ06ィェ04 ィコィケィコィコィヲィェ04 ィコィ ィャ ィェィ ィヲ ィヲ0304 ィャ ィョィエィョ04 x2 4 +y2 = 1. (b) ィ 02ィヲィコ07 08ィ 0905ィョ00ィ ィョ ィー f 3 (x; y). 05 ィコィケィコィコィヲィェ04 ィコィ ィャ ィェ ィョ01ィャ080209ィヲ05ィ ィャ0905ィェ0200ィ ィヲ ィョ ィヲ050009ィ ィャィャィ. 04ィ ィヲ00ィャィ ィ ィヲィョ ィヲィョィャ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー f(x; y) = sin 6モ11 x + フ xy: 0905ィョ04. 00ィョ00ィエ f 1 (x; y) = sin 6モ11 x ィコィ ィヲ f 2 (x; y) = フ xy: 08ィケ0002, ィケ08ィエィー 0208ィェィ ィヲ ィェィエィョ00ィケ ィ 08ィケ ィィ04ィャィ 0409ィ 00ィャィ 00ィヲィコ06ィー 0701ィェィ ィョ02ィヲィー, ィョ0004 ィョ01ィェ ィョ04 sin x, ィケ00ィ ィェ ィヲィョィャ ィヲ0709ィヲィョ ィョ0007 [6モ1=2; =2], ィ ィヲ 04 ィ ィェ0008ィョ ィョ01ィェ ィョ04 sin 6モ11 x 07 arcsin x ィコィ ィヲ 06 ツ02ィヲ ィヲィョィャ [6モ11; 1], ィ ィヲィャ06ィェ 0004ィー sin x ィャ06ィェィエィー ィヲィョィャ0705 D ィー f ィェィ ィヲ D 1 = {(x; y) ハ R 2 : 6モ11 ワ x ワ 1}: 05 ィョ01ィェ ィョ04 f 2 (x; y) = フ xy

5 130309ィヲィョィャ ィ ィヲ, ィケ00ィ ィェ xy ン 0, ィ 0107, ィケ00ィ ィェ 00ィ x, y 0208ィェィ ィヲ 07ィャィケィョ04ィャィ. 0409ィ 05ィ ィャ0905ィェ07ィェ00ィ ィー 0108ィケ0304 ィコィ ィヲ 0007 D ィヲィョィャ ィー f ィィィ 0208ィェィ ィヲ D f = D 2 ネ D 3, ィケ00ィ ィェ D 2 = {(x; y) ハ R 2 : 6モ11 ワ x ワ 0; y ワ 0} ィコィ ィヲ D 3 = {(x; y) ハ R 2 : 0 ワ x ワ 1; y ン 0}: 04ィ ィヲ00ィャィ ィャ07ィヲィ ィヲィョィャ ィエィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ f(x; y) = フ x + y ィコィ ィヲ g(x; y) = フ x + フ y: 0905ィョ04. 00ィョ00ィエ D f ィヲィョィャ ィー f, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ D g 0004ィー g. 08ィケ ィ ィェ06ィー 0208ィェィ ィヲ ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ D f = {(x; y) ハ R 2 : x + y ン 0 (07 ツ. 14:1:1 6モ1 3a) }; D g = {(x; y) ハ R 2 : x ン 0 ィコィ ィヲ y ン 0 (07 ツ. 14:1:1 6モ1 3b) }: y x (a) y x (b) 07 ツ07ィャィ : 04ィ ィヲ00ィャィ : (a) ィヲィョィャ0705 D f = {(x; y) ハ R 2 : x + y ン 0} 0004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー f(x; y) = フ x + y. 05 ィャ ィィ0208ィ 06 ツ02ィヲ ィョィエィョ04 x + y = 0 ィコィ ィヲ (b) ィヲィョィャ0705 D g = {(x; y) ハ R 2 : x ン 0; y ン 0} 0004ィー g(x; y) = フ x + フ y.

6 ィェィ ィョ02ィヲィー ィェ ィャ0200ィ ィェ 08ィ ィィ ィョ07ィー 04ィ ィヲ00ィャィ ィャ07ィヲィ 00ィエィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ f(x; y; z) = ln(x 6モ1 y + 4z) ィコィ ィヲ g(x; y; z) = 1 フ x 2 + y 2 + z 2 6モ1 9 : 0905ィョ ィヲ ィ 09ィヲィィィャィヲィコ07 ィョ01ィェ ィョ ィ ィヲ ィャィケィェ07 00ィヲィ ィィ0200ィヲィコ06ィー 00ィヲィャ06ィー 0004ィー ィャ0200ィ ィー 0004ィー, ィヲィョィャ0705 D f 0004ィー f ィィィ 0208ィェィ ィヲ D f = {(x; y; z) ハ R 3 : x 6モ1 y + 4z > 0}; ィ ィケィコ02ィヲ00ィ ィヲ 00ィヲィ ィェィエ ィャ060907ィー ィヲ ィャ ィョィエィョ04 08 : x 6モ1 y + 4z = 0: ィェィィ01ィャ ィ ィヲ ィョ0007 ィョ04ィャ ィ 0100ィケ ィ 08ィケ ィィ04ィャィ 09ィェィ ィヲィコ ィエィャ ィ ィケ00ィヲ ィェィヲィコ07 ィャ ィー ィョィエィョ04ィー ィヲ ィェィ ィヲ , ィケ00ィ ィェ 0501ィィ0208 ィエィー ィー z, ィヲィョ070105ィェィ ィャィ ィ ィヲ ィコィ ィヲ ax + by + cz = d; ( ) z = f(x; y) = Ax + By + D: ( ) ィ 02ィヲィコ07 08ィ 0905ィョ00ィ ィョ04 02ィェィケィー 0208ィヲ ィェィヲィコ ィェ0200ィ ィヲ ィャ ィェ ィョ01ィヲ0709ィヲィョィャィケ 00ィエィェ ィョ04ィャ0208ィエィェ 0007ィャ07ィー ィヲ ィャ ィー ィェ02ィー ィョ01ィェ000200ィ 00ィャ06ィェィエィェ. 08ィケ ィェ06ィェ07ィェ00ィ ィー 00ィ ィ 08ィ 09ィ 0805ィェィエ ィョ04ィャ0208ィ 0007ィャ07ィー ィャィヲ ィャ02ィェ ィエィェ ツィェ02ィヲ ィコィ ィヲ 0004 ィャ ィヲ ィヲィ 08ィ ィヲ00ィャィ, 06ィョ00ィエ ィケ00ィヲ ィ ィヲ ィ 02ィヲィコ07 08ィ 0905ィョ00ィ ィョ ィヲ x+4y +z = 12, ィェィ ィヲ 0004ィー ィャ ィー (14:1:16モ12) ィコィ ィヲ ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ (14:1:1 6モ1 3) ィヲィョ070105ィェィ ィャィ ィ ィヲ z = 12 6モ1 3x 6モ1 4y; ィ 0107 f(x; y) = 12 6モ1 3x 6モ1 4y: ( ) 08ィケ0002 ィィ060007ィェ00ィ ィー ィョ0004ィェ (14:1:16モ14) x = y = ィョ01ィヲ ィ ィヲ ィケ00ィヲ 0007 ィョ04ィャ ィャ07ィー ィヲ ィャ ィェ z ィェィ 0208ィェィ ィヲ 0007 (0; 0; 12). 04ィャ07ィヲィ 0007 ィョ04ィャ ィャ07ィー ィャ ィェ x ィェィ 0208ィェィ ィヲ 0007 (4; 0; 0) ィコィ ィヲ ィャ ィェ y ィェィ 0007 (0; 3; 0). 05 ィ ィェィヲィョィケ000400ィ ax+by+cz > ィェ0200ィ ィヲ 0009ィ 02ィヲィコ05, ィケ00ィ ィェ ィ 09 ツィヲィコ ィェ02ィヲ ィ 02ィヲィコ07 08ィ 0905ィョ00ィ ィョ ィヲ : ax + by + cz = 0

7 130309ィヲィョィャ ィコィ ィヲ ィョ0004 ィョ01ィェ06 ツ02ィヲィ ィィ02ィエ0904ィィ ィョ05ィェ ィエィェ ィョ04ィャ0208ィエィェ (x; y; z) ハ R 3, ィェィ ィヲ ィョ ィェィエ ィャ060907ィー ィヲィョィャ0705 D g 0004ィー g, 05ィケ00ィエ 0004ィー ィ 00ィエィェィヲィコ07ィー ィ ィー ィコィ ィヲ ィ 0907ィェ07ィャィ ィョ0007, ィィィ 0208ィェィ ィヲ D g = {(x; y; z) ハ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 < 9}; ィ ィョィエ000209ィヲィコィケ 0004ィー ィョ02ィ 0809ィ ィー ィャ02 ィコ06ィェ ィョ04ィャ (0; 0; 0) ィコィ ィヲ ィ ィコ0008ィェィ R = ィケ ィ ィヲ00ィャィ ィコ ィヲ ィケ00ィヲ ィョ00ィヲィー ィヲ080006ィョ02ィヲィー ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ ィヲィョィャ ィェィ ィヲ 07 ィャィヲィ 0208ィヲ0205ィェ02ィヲィ ィエィョ ィヲィョィャ0705 D f ィェィ ィー ィケ00ィコ07ィー ィヲィョィャ0705 D g ィ 02ィヲィコ07 08ィ 0905ィョ00ィ ィョ04 ィャィヲィ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー, 06ィョ00ィエ f, ィョ0004ィェ ィエィョ04 ィ ィェィ ィヲ 0101ィェィ 00ィケィェ ィェィ 0008ィェ02ィヲ ィ 08ィケ ィヲ050009ィ ィャィャィ ィヲィャ06ィェ T 00ィエィェ ィョ04ィャ0208ィエィェ, ィ ィョ01ィェィケ T = {f(x; y; z) ィャ02 (x; y; z) ハ D}, ィケ00ィ ィェ D ィヲィョィャ ィー f ィコィ ィヲ 0208ィェィ ィヲ 0002ィェィヲィコ05 ィャィヲィ 0208ィヲ0205ィェ02ィヲィ 07 ィコィ ィヲ 06ィェィ ィー ィケ00ィコ07ィー ツ ィエィェ 0009ィヲ06ィェ 01ィヲィ ィョ0005ィョ02ィエィェ. 04ィョィコ04ィョ04 08ィエィェ 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィェィ ィョ01ィヲ0709ィヲィョ ィヲィョィャ0705 ィコィ ィヲ ィェィ 0008ィェ02ィヲ ィ 02ィヲィコ07 08ィ 0905ィョ00ィ ィョ04: i) ( 4 6モ1 x 2 6モ1 y 2) 1=2 v) 1= ln (x + y + z), ii) ln(x 6モ1 y) vi) tan 6モ11 y + フ xy, iii) iv) ( 9 6モ1 x 2 ) 1=2 + ( 4 6モ1 y 2 ) 1=2 sin 6モ11 ( y x ) vii) ln(xyz), viii) ln ( x 2 + y 2 6モ1 z 2). 0908ィ ィェ0007ィョ02ィヲィー (i) x 2 + y 2 ン 0,, (ii) x 6モ1 y > 0, (iii) 6モ13 ワ x ワ 3 ィコィ ィヲ 6モ12 ワ y ワ 2, (iv) y ワ x ィコィ ィヲ x ル 0, (v) x + y + z > 0 ィコィ ィヲ x + y + z ル 1, (vi) xy ン 0, (vii) xyz > 0, (viii) x 2 + y 2 > z 2.

8 ィェィ ィョ02ィヲィー ィェ ィャ0200ィ ィェ 08ィ ィィ ィョ07ィー ィコ05ィヲィョ04 ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィコィ ィヲ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ 0309ィヲィョィャィケィー ( ィャ0200ィ ィェ) ィヲィョィャ0705 D 6ロ7 R 2. 08ィケ0002 ィィィ 0208ィェィ ィヲ 00ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f(x; y) ィャ02 lim f(x; y) = l; ( ) (x;y) (x 0 ;y 0 ) 00ィケ0002 ィコィ ィヲ ィャィケィェ07ィェ ィケ00ィ ィェ 00ィヲィ ィコ05ィィ02 " > ツ02ィヲ = (") > 0, 0600ィョィヲ 06ィョ0002 f(x; y) 6モ1 l < " 00ィヲィ ィコ05ィィ02 (x; y) ハ D; ィコィ ィヲ フ (x 6モ1 x 0 ) 2 + (y 6モ1 y 0 ) 2 < : 0309ィヲィョィャィケィー (0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ). 00ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f(x; y; z) ィャ ィヲィョィャ0705 D 6ロ7 R 3. 08ィケ0002 ィィィ 0208ィェィ ィヲ lim f(x; y; z) = l; ( ) (x;y;z) (x 0 ;y 0 ;z 0 ) 00ィケ0002 ィコィ ィヲ ィャィケィェ07ィェ ィケ00ィ ィェ 00ィヲィ ィコ05ィィ02 " > ツ02ィヲ = (") > 0, 0600ィョィヲ 06ィョ0002 f(x; y; z) 6モ1 l < " 00ィヲィ ィコ05ィィ02 (x; y; z) ハ D; ィコィ ィヲ フ (x 6モ1 x 0 ) 2 + (y 6モ1 y 0 ) 2 + (z 6モ1 z 0 ) 2 < : 07 ツ0200ィヲィコ05 ィャ ィヲィ 01ィヲィコィ ィョ08ィ ィヲィョィャ ィエィェ 0208ィヲィャ ィー 0709ィヲィ ィコ06ィェ 00ィヲィャ06ィェ ィョ0004ィェ ィエィョ ィヲィョィャ ィヲィョ ツ0502ィヲ 04 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ 0809ィケ00ィ ィョ04: ィケ00ィ ィョ ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f(x; y) ィャ02 (x; y) ハ D 6ロ7 R 2 ィ ィェ07ィヲィコ00ィケ ィョ05ィェ ィコィ ィヲ ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ) ハ D. 09ィェ lim f(x; y) = l (x;y) (x 0 ;y 0 ) 309ィェ ィケ00ィ ィョ04 ィヲィョ ツ0502ィヲ ィコィ ィヲ 00ィヲィ 0004ィェ ィエィョ ィヲィョィャ ( ィヲ0905ィヲ070009ィ 0208ィ ).

9 ィコ05ィヲィョ04 ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィコィ ィヲ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ 609 ィコィ ィヲ ツ0701ィェ ィョ0007 R 07ィヲ 0709ィヲィ ィコ06ィー 00ィヲィャ06ィー lim f(x; y) ィコィ ィヲ lim f(x; y); x x 0 y y 0 00ィケ0002 [ ] lim f(x; y) = lim lim f(x; y) (x;y) (x 0 ;y 0 ) x x 0 y y 0 [ ] = lim lim f(x; y) y y 0 x x 0 = l: ( ) 0807 ィ ィェ0008ィョ ィェ ィヲィョ ツ0502ィヲ 0805ィェ , ィケ08ィエィー ィ 0100ィケ ィコ ィヲ ィ 08ィケ ィ 09ィ ィコ0500ィエ 08ィ ィヲ00ィャィ : 04ィ ィヲ00ィャィ ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f(x; y) = x 6モ1 y x + y ィャ ィヲィョィャィケ05 D = {(x; y) ハ R2 ィャ02 (x; y) ル (0; 0)}: 08ィケ ィェ06 x 6モ1 y lim f(x; y) = lim x 0 x 0 x + y = x 6モ1 y lim f(x; y) = lim y 0 y 0 x + y = モ1 y 0 + y = 6モ11 ィ ィェ y ル 0 x 6モ1 0 lim x 0 x + 0 = lim x x 0 x = 1 ィ ィェ y = 0; x 6モ1 0 x + 0 = 1 ィ ィェ x ル 0 0 6モ1 y lim y y = lim 6モ1y y 0 y = 6モ11 ィ ィェ x = 0; 0409ィ [ ] lim lim f(x; y) = 1; ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ lim x 0 y 0 y 0 [ ] lim f(x; y) = 6モ11; x ィケ0002 ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ 0409ィケ00ィ ィョ lim (x;y) (0;0) f(x; y) 0102ィェ ツ02ィヲ.

10 ィェィ ィョ02ィヲィー ィェ ィャ0200ィ ィェ 08ィ ィィ ィョ07ィー 0704ィャ02ィヲ06ィョ02ィヲィー ィェ ィ ィャ02 00ィヲィー ィヲ01ィヲィケ ィー 00ィエィェ ィエィェ 00ィエィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー ィヲィョ ツ0502ィヲ ィケ00ィヲ: 6ヲ ィケ09ィヲ ィケィョ07ィェ ツ02ィヲ, 0208ィェィ ィヲ ィャ07ィェィ 01ィヲィコィケ, 6ヲ ィケ09ィヲ ィ ィィ090708ィョィャィ 0007ィー, 0004ィー 01ィヲィ ィー ィコィ ィヲ ィヲィェ07ィャ06ィェ0701 ィヲィョ070500ィ ィヲ ィャ ィィ0907ィヲィョィャィ 00ィエィェ ィエィェ, 0004ィー 01ィヲィ ィー ィコィ ィヲ ィヲィェ07ィャ06ィェ ィャ07ィヲィ ィコ0701, ィケ00ィ ィェ 0007 ィケ09ィヲ ィ 0907ィェ07ィャィ ィョ ィェィ ィヲ 01ィヲ ィャ040102ィェィケィー, ィヲィョ070500ィ ィヲ ィャ ィコ07 00ィエィェ ィエィェ. 04ィョィコ04ィョ04 01ィ ィヲィョ000705ィェ 07ィヲ 0709ィヲィ ィコ06ィー 00ィヲィャ06ィー 00ィエィェ 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィョ0007 ィョ04ィャ (0; 0) i) x 6モ1 y 2 x + y 2 iv) x 6モ1 2y x + y ii) xy xy v) x 3 6モ1 xy 2 x 2 + y 2 iii) y x 2 + y 2 vi) (1 + y) sin2 x. x 0908ィ ィェ0007ィョ02ィヲィー (i) lim x 0 f(x; y) = 6モ11, lim y 0 f(x; y) = 1, (ii) lim x 0 f(x; y) = lim x 0 f(x; y) = 1, ィケ00ィ ィェ 00ィ x; y 07ィャィケィョ04ィャィ ィコィ ィヲ 6モ11, ィケ00ィ ィェ ィケィョ04ィャィ, (iii) lim x 0 f(x; y) = 1 y, lim y 0 f(x; y) = 0, (iv) lim x 0 f(x; y) = 6モ12, lim y 0 f(x; y) = 1, (v) lim x 0 f(x; y) = 0, lim y 0 f(x; y) = x, (vi) lim x 0 f(x; y) = 0, lim y 0 f(x; y) = sin2 x x ィェ06 ツ02ィヲィ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィコィ ィヲ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ 09ィェ ィ ィャ ィェ 04ィ ィ ィェ0200ィ ィヲ ィコィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ04 ィ ィヲィョィャィケィー 0004ィー ィョ01ィェ06 ツ02ィヲィ ィー ィャィヲィ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー , ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ.

11 130701ィェ06 ツ02ィヲィ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィコィ ィヲ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ ィヲィョィャィケィー (ィョ01ィェ06 ツ02ィヲィ ィー). 0008ィ ィョ01ィェ ィョ04 f(x; y), ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ f(x; y; z) ィャ ィヲィョィャ0705, 06ィョ00ィエ D 6ロ7 R 2, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ D 6ロ7 R 3, ィィィ 0208ィェィ ィヲ ィョ01ィェ02 ツ07ィー ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ) ハ D, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ハ D 00ィケ0002 ィコィ ィヲ ィャィケィェ07ィェ, ィケ00ィ ィェ lim f(x; y) = f (x 0; y 0 ) ; (x;y) (x 0 ;y 0 ) ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ lim f(x; y; z) = f (x 0; y 0 ; z 0 ) : (x;y;z) (x 0 ;y 0 ;z 0 ) 03ィヲ 08ィ 09ィ 0805ィェィエ 0709ィヲィ ィコ06ィー 00ィヲィャ06ィー ィェ00ィ ィヲ ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィー 0309ィヲィョィャ0705ィー , ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ ィ ィヲ00ィャィ ィョ01ィェ ィョ f(x; y) = 6463 x 2 y x 2 + y 2 ィ ィェ (x; y) ル (0; 0) 0 ィ ィェ (x; y) = (0; 0) 0208ィェィ ィヲ ィョ01ィェ02 ツ07ィー ィョ0007 (0; 0), ィヲ0107 ィャ02 ィ ィェ ィー ィヲィョィャ0705ィー ィャ02 02ィコ0208ィェ0701ィー ィ 09ィ ィャィ 0007ィー ィコ ィヲ ィケ00ィヲ [ ] [ ] lim lim f(x; y) = 0; ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ lim lim f(x; y) = 0; x 0 y 0 y 0 x ィケ0002 ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ 0409ィケ00ィ ィョ ィェィ ィヲ lim f(x; y) = 0; (x;y) (0;0) ィ ツ02ィヲ ィヲィ ィコ07 00ィヲィャ07 ィコィ ィヲ ィヲィョ070500ィ ィヲ ィャ ィェ 00ィヲィャ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー ィョ0007 ィョ04ィャ ィ 0100ィケ.

12 ィェィ ィョ02ィヲィー ィェ ィャ0200ィ ィェ 08ィ ィィ ィョ07ィー 04ィ ィヲ00ィャィ ィョ01ィェ ィョ f(x; y) = 6463 x 2 x 2 + y 2 ィ ィェ (x; y) ル (0; 0) 0 ィ ィェ (x; y) = (0; 0) 0102ィェ 0208ィェィ ィヲ ィョ01ィェ02 ツ07ィー ィョ0007 (0; 0) ィョ04, ィコ ィヲ ィャ ィヲィョィャ0705ィー ィ ィェ ィー 00ィエィェ 04ィ 09ィ 0102ィヲ00ィャ0500ィエィェ ィコィ ィヲ , ィ 0207ィェ0200ィ ィヲ ィエィー 05ィョィコ04ィョ ィヲィケ ィー ィョ01ィェ02 ツ06ィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ 03ィヲ 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ ィョ02ィヲィー ィ ィェィ ィェ00ィ ィヲ ィョ00ィヲィー ィヲ01ィヲィケ ィー 00ィエィェ ィョ01ィェ02 ツ06ィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィャ0200ィ ィェ ィ ィェ ィャィヲィ 0002ィェ08ィコ0201ィョ04 00ィエィェ ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィエィェ ィ ィィ07ィャィ 0007ィー 0701ィェ06 ツ02ィヲィ 0701ィェ ィョ04ィー, ィ ィェィ ィ ィヲ ィョ02 ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー. 0409ィケ00ィ ィョ ィェ f; g D ィョ01ィェ02 ツ0208ィー ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ) ハ D, 00ィケ0002 ィコィ ィヲ 07ィヲ ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー f タg ィコィ ィヲ fg 0208ィェィ ィヲ ィョ01ィェ02 ツ0208ィー ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ) ハ D. 0409ィケ00ィ ィョ ィェ f; g D ィョ01ィェ02 ツ0208ィー ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ) ハ D ィコィ ィヲ f (x 0 ; y 0 ) ル (0; 0), 00ィケ ツ02ィヲ ィヲ07 ツ07 $ (x 0 ; y 0 ), ィヲィ 06ィョ0002 f (x 0 ; y 0 ) ル (0; 0) 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ $ (x 0 ; y 0 ), 0708ィケ ィョ01ィェ ィョ04 1=f 06 ツ02ィヲ 06ィェィェ07ィヲィ 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D ノ $ (x 0 ; y 0 ) ィコィ ィヲ 0208ィェィ ィヲ ィョ01ィェ02 ツ07ィー ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ) ハ D. 0704ィャ02ィヲ06ィョ02ィヲィー ヲ1 09ィェ ィー ィョ02ィヲィー ィヲィョ ツ050701ィェ ィコィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ04 ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ. 6ヲ1 03ィヲ ィエィェ01ィャィヲィコ06ィー ィコィ ィヲ 07ィヲ ィー ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー 0208ィェィ ィヲ ィョ01ィェ02 ツ0208ィー ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー ィョ00ィ ィ 0709ィヲィョィャ ィエィェ. 04ィャ07ィヲィ 07ィヲ 02ィコィィ0200ィヲィコ06ィー, 0009ィヲ00ィエィェ07ィャ020009ィヲィコ06ィー, ィヲィコ06ィー ィコィ ィヲ 07ィヲ ィ ィェ0008ィョ ィー ィ ィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー.

13 130309ィヲィョィャィケィー ィコィ ィヲ ィヲ01ィヲィケ ィー ィョィコ04ィョ04 01ィ ィ ィョ000705ィェ ィエィー ィー 0004 ィョ01ィェ06 ツ02ィヲィ 07ィヲ 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー: x i) sin(x + y) iv) x 2 + y 2 ii) ln ( x 2 + y 2 + z 2) v) iii) x + y x 6モ1 y vi) x + y 1 6モ1 cos x 1 x + y : 0908ィ ィェ0007ィョ02ィヲィー (i) ィョ01ィェ02 ツ07ィー ィョ0007 R 2, (ii) ィケィャ07ィヲィ, (iii) ィョ01ィェ02 ツ07ィー ィョ0007 R 2 ィャ02 x ル y, (iv) ィョ01ィェ02 ツ07ィー ィョ0007 R 2, (v) ィョ01ィェ02 ツ07ィー ィョ0007 R 2 ィャ02 x ル k + 2 ; (vi) ィョ01ィェ02 ツ07ィー ィョ0007 R 2 ィャ02 x ル 6モ1y ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー ィヲィョィャ ィェィエィョ00ィケィー 0709ィヲィョィャィケィー 0004ィー 08ィ 09ィ ィョ01ィェ ィョ04ィー ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー ィコ000208ィェ0200ィ ィヲ ィコィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ04 ィャィヲィ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー , ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ 00ィヲィ ィコ05ィィ02 ィャ0200ィ ツィエ09ィヲィョ0005 ィィ02ィエ0906ィェ00ィ ィー ィケ0502ィー 00ィヲィー ィー ィャ0200ィ ィー ィエィー ィョ00ィ ィィ020906ィー ィコィ ィヲ ィ ィヲ ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 0004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー ィエィー ィー 0004 ィィ02ィエ090705ィャ02ィェ04 ィャ0200ィ ィコ02ィコ09ィヲィャ06ィェィ 06 ツ0701ィャ02: ィヲィョィャィケィー 08ィ 09ィ ィョ01ィェ ィョ04ィー ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー: 06ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f D, ィケ D 6ロ7 R ィ ィェ07ィヲィコ00ィケ 01ィヲ05ィョ0004ィャィ ィコィ ィヲ ィョ04ィャ x 0 ハ D. 08ィケ ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D6モ1{x 0 } ィャ ィェ f(x)6モ1f(x 0) x6モ1x ィ ィヲ ィャ08ィ ィョ01ィェ ィョ04, ィ ィヲ ィコ07 01ィヲィ ィェ 07 ィコ0508ィョ ィー f ィョ0007 ィョ04ィャ x 0. 06ィ ィ ィヲ ィケ00ィヲ 04 f 08ィ 09ィ 00ィエ ィ ィヲ ィョ0007 ィョ04ィャ x 0 ハ D ィコィ ィヲ ィィィ ィョ01ィャ ィ ィヲ ィ 0100ィケ ィャ02 f (x 0 ) 00ィケ0002 ィコィ ィヲ ィャィケィェ07ィェ, ィケ00ィ ィェ ツ02ィヲ ィヲィ ィコ07 00ィヲィャ07: f f (x) 6モ1 f (x 0 ) (x 0 ) = lim x x 0 x 6モ1 x 0 = lim 02x 0 f (x 0 + 6メ2x) 6モ1 f (x 0 ) 6メ2x f (x 0 + h) 6モ1 f (x 0 ) = lim : h 0 h

14 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー 0309ィヲィョィャィケィー (ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー). 00ィョ00ィエ ィャィヲィ ィョ01ィェ ィョ04 f S ィケ S ィ ィェ07ィヲィコ00ィケ ィョ05ィェ R 2, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ R 3 ィコィ ィヲ ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ) ハ S, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ハ S. 08ィケ ィ ィヲ ィエィー 104ィー ィー ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー (partial derivative) 0004ィー f ィエィー ィー 0004 ィャ0200ィ x ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ), ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ (x 0 ; y 0 ; z 0 ), 04 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ 0709ィヲィ ィコ07, 0202ィケィョ07ィェ ツ02ィヲ, (x 0 ; y 0 = f x (x 0 ; y 0 ) = D x f (x 0 ; y 0 ) ( ) f (x 0 + 6メ2x; y 0 ) 6モ1 f (x 0 ; y 0 ) = lim ; 6メ2x 0 6メ2x ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ (x 0 ; y 0 ; z 0 = f x (x 0 ; y 0 ; z 0 ) = D x f (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ( ) f (x 0 + 6メ2x; y 0 ; z 0 ) 6モ1 f (x 0 ; y 0 ; z 0 ) = lim : 6メ2x 0 6メ2x 04ィ 09ィ ィョ02ィヲィー ヲ ィヲィ ィコ07 00ィヲィャ07 (14:2:1 6モ1 1), ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ (14:2:1 6モ1 2) 0208ィェィ ィヲ, ィケ08ィエィー ィコィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ ィー ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー, 0809ィ 00ィャィ 00ィヲィコィケィー ィ 09ィヲィィィャィケィー. 6ヲ x = D x ィェ02ィヲ 104ィー ィー ィャ0209ィヲィコ07 (partial) 08ィ ィエ0007 ィエィー ィー 0004 ィャ0200ィ ィョ01ィェィヲィョ0006ィョィ x, ィョ02 01ィヲ05ィコ09ィヲィョ04 ィャ ィェ 00ィェィエィョ00ィケ ィョ01ィャ090705ィヲィョィャィケ 00ィヲィ ィャィヲィ ィャ0200ィ D = D 1 = d dx 6ヲ1 04ィャ07ィヲィ ィェ00ィ ィヲ 07ィヲ ィャ0209ィヲィコ06ィー 08ィ ィエ0007ィヲ ィエィー ィー 00ィヲィー ィー ィャ0200ィ ィー.

15 130309ィヲィョィャ ィャ02ィヲ06ィョ02ィヲィー i) 09ィェ ィ ィャ ィェ ィエィョ ィー 08ィ 09ィ ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー 04 ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー ィャィヲィ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー, 06ィョ00ィエ f, ィエィー ィー ィャィヲィ ィャ0200ィ ィー x ィョ02 06ィェィ ィョ04ィャ x 0, ィィィ ィヲ 0007ィェ ィョ01ィェ ィョ0007 ィャ0200ィ ィー 0004ィー f ィョ0007 ィョ04ィャ ィ 0100ィケ ィコィ ィェ x ィェィ ィコィ ィヲ 0002ィエィャ020009ィヲィコ05 ィィィ ィヲィョ070500ィ ィヲ ィャ ィェ 0202ィ ィャ06ィェ ィー 00ィエィェ08ィ ィー 07 01ィヲィ ィヲィコ05 ィャ ィェ ィョ01ィェ ィョ ィヲ0205ィィ01ィェィョ04ィー 0004ィー 0202ィ 0800ィケィャ02ィェ04ィー 0201ィィ0208ィ ィー ィヲィ ィャィャィ 0007ィー 0004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; f (x 0 )). 04ィャ07ィヲィ 00ィヲィ 00ィヲィー ィー ィャ0200ィ ィー. ii) 03ィヲ ィョ01ィェ ィョ0006ィー ィャ0200ィ ィー 00ィエィェ ィャ0200ィ ィェ ィョ0004ィェ ィエィョ04 (i) 0208ィェィ ィヲ 0101ィェィ 00ィケィェ ィェィ 0208ィェィ ィヲ 01ィヲィ ィヲィコ0708 ィャ0200ィ ィー, ィ 0107 ィェィ 06 ツ0701ィャ02 00ィ ツ ィャ0200ィ ィエィー ィー x ィョ02 ィョ0500ィコ09ィヲィョ04 ィャ ィャ0200ィ ィエィー ィー y, ィコ iii) 0408ィエィー ィコィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ ィー 08ィ 09ィ ィョ01ィェ ィョ04ィー ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー ィ ィェ 00ィヲィ 0004 ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007 ィャィヲィ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー, 06ィョ00ィエ 0004ィェ f x, ィヲィョ ツ0502ィヲ ィケ00ィヲ: 6ヲ1 f x (x 0 ; f (x 0 )) = 0, 00ィケ ィ ィャ06ィェ ィィ0208ィ ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; f (x 0 )) 0208ィェィ ィヲ 08ィ ィョ ィヲ0205ィィ01ィェィョ x ィェィ, 02ィェ06, ィ ィェ 6ヲ1 f x (x 0 ; f (x 0 )) = + ゙, 00ィケ ィ ィャ06ィェ ィィ0208ィ ィョ0007 (x 0 ; f (x 0 )) 0208ィェィ ィヲ ィコ05ィィ ィョ0007ィェ x ィェィ. 04ィ ィエ0007ィヲ ィ ィェ ィー ィー 0309ィヲィョィャィケィー (ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー). 00ィョ00ィエ ィャィヲィ ィョ01ィェ ィョ04 f S ィケ S ィ ィェ07ィヲィコ00ィケ ィョ05ィェ R 2, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ R 3 ィコィ ィヲ ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ) ハ S, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ハ S. 08ィケ0002, ィ ィェ ィー ィー ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 0004ィー f ィエィー ィー 0004 ィャ0200ィ , 06ィョ00ィエ x, ツ02ィヲ 00ィヲィ ィコ05ィィ02 (x 0 ; y 0 ) ハ S, ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ハ S, 00ィケ ィ ィヲ 04 ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー f x ィョ0007 S. 09ィェ ィー 0709ィヲィョィャィケィー ィヲィョ ツ0502ィヲ ィコィ ィヲ 00ィヲィ 00ィヲィー ィャ0200ィ ィー y ィコィ ィヲ z. 00ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f S. 09ィェ ツ02ィヲ ィー ィー ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 0004ィー f, 06ィョ00ィエ ィエィー ィー x, 00ィケ ィ ィヲ ィー ィー ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 0004ィー f ィョ0007 x ィエィー ィー: f x x = f 2x 2 ( ;

16 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー ィケ ィケィャ07ィヲィ xx 2x = D xx ィェ02ィヲ 204ィー ィー ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007 ィエィー x. 04ィャ07ィヲィ ィェ00ィ ィヲ 07ィヲ 304ィー, 404ィー ィコィ ィヲ 0002ィェィヲィコ ィー ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 0004ィー f ィョ0007 x ィエィー ィー: f x x x = f 3x 3 f x x x x = f 4x 4 f x @x 6モ11 6モ ) ; ) ; ィコィ ィヲ 0002ィェィヲィコ ィョ04ィー ィェ00ィ ィヲ 07ィヲ 08ィ ィエ0007ィヲ 00ィエィェ 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ ィャ ィェ f x y ( ; ) : ( ) f x x y 3 @x 2 ( f x y y 2 ) 2 ; ィコ ( ) 03ィヲ 08ィ ィエ0007ィヲ ィ ィー ィェ00ィ ィヲ ィー ィー ィ ィェ05ィャ02ィヲィコ0002ィー 07 ィコィ ィヲ ィー. 04ィ 09ィ ィョ ィヲ 08ィ ィエ0007ィヲ f x ; f xx ; : : : ; f x 0208ィェィ ィヲ ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー, 02ィェ06 07ィヲ ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツ02ィー 08ィ ィエ ィエィェ ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ), ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 0208ィェィ ィヲ 0809ィ 00ィャィ 00ィヲィコ0708 ィ 09ィヲィィィャ ィェ ィ 09ィ ィョ04 ィヲィョ ツ0502ィヲ ィコィ ィヲ 00ィヲィ 00ィヲィー ィャ0200ィ ィー y ィコィ ィヲ z. 09ィェ ィ 09ィ ィョ04 ィヲィョ ツ0502ィヲ 00ィヲィ 00ィヲィー ィー 08ィ 09ィ ィー.

17 ィヲィョィャィケィー 08ィ 09ィ ィエィェ ィャ0208ィエィョ ィェ ィエィョ04 00ィエィェ ィエィェ 08ィ 09ィ ィエィェ 04 08ィ 09ィ ィヲィョ04 ィ 09 ツ080302ィヲ ィ 08ィケ 0007ィェ ィヲィケ ィコ0004, ィ 0107 ィ ィェ 00ィヲィ 08ィ ィヲ00ィャィ ィ ィヲ 04 ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー f xy, 00ィケ ィョ02ィヲ ィ 09ィ ィヲィョ04ィー 0208ィェィ ィヲ: f y ィコィ ィヲ ィョ0004 ィョ01ィェ06 ツ02ィヲィ 04 08ィ ィエ00ィケィー 0004ィー f y ィエィー ィー x, ィ 0107 f xy = (f y ) x : ィヲィョィャィケィー 08ィ 09ィ ィエィェ 08ィ ィェィケィェ02ィー 08ィ 09ィ ィヲィョ04ィー 5 03ィヲ 00ィェィエィョ ィコィ ィェィケィェ02ィー 08ィ 09ィ ィヲィョ04ィー 00ィエィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー ィヲィョ ツ050701ィェ ィコィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ ィー ィャ0209ィヲィコ07ィー 08ィ 09ィ ィェ0200ィ ィヲ ィョィコィケ08ィヲィャ07 ィョ0007 ィョ04ィャ ィ 0100ィケ ィェィ 0008ィェ02ィヲ ィャィヲィ ィェィィ05ィャィヲィョ04 ィャ ィャ ィョ02ィエィェ 00ィエィェ 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ ィコィ ィェィケィェィエィェ 08ィ 09ィ ィヲィョ04ィー 00ィエィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー: 0409ィケ00ィ ィョ04 (08ィ ィエ0007ィー ィョ00ィ ィィ020905ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー). 00ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f R ィケ f(x) = c ィョ00ィ ィィ ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ R. 08ィケ0002 f (x) = 0 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ R: 0409ィケ00ィ ィョ04 (08ィ ィエ0007ィー ィ ィィ090708ィョィャィ 0007ィー). 00ィョ00ィエ ィケ00ィヲ 07ィヲ ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー f, g D 0208ィェィ ィヲ 08ィ 09ィ 00ィエ0008ィョィヲィャ02ィー ィョ0007 D. 08ィケ0002 ィヲィョ ツ0502ィヲ (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D: 05 ィヲ01ィヲィケ000400ィ 0002ィェィヲィコ ィ ィヲ. 0409ィケ00ィ ィョ04 (08ィ ィエ0007ィー 00ィヲィェ07ィャ06ィェ0701). 00ィョ00ィエ ィケ00ィヲ 07ィヲ ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー f; g D 0208ィェィ ィヲ 08ィ 09ィ 00ィエ0008ィョィヲィャ02ィー ィョ0007 D. 08ィケ0002 ィヲィョ ツ0502ィヲ (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D: ィョ07ィー [1]

18 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー 04ィャ07ィヲィ 04 ィヲ01ィヲィケ000400ィ 0002ィェィヲィコ ィ ィヲ ィヲ ィ ィェ06ィー ィヲィョ ツ0502ィヲ (05f(x)) = 05f (x) ィャ02 05 ハ R ィョ00ィ ィィ ィ 08ィケ 00ィヲィー 08ィ 09ィ 0805ィェィエ ィョ02ィヲィー ィコ ィヲ ィヲィコ ィ 09ィ ィコ0500ィエ 0009ィ ィャィャィヲィコ07 ィヲ01ィヲィケ000400ィ : 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D ィコィ ィヲ k; 05 ハ R. (kf(x) + 05g(x)) = kf (x) + 05g (x) 0409ィケ00ィ ィョ04. 09ィェ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f D 08ィ 09ィ 00ィエ ィ ィヲ ィョ0007 D ィコィ ィヲ 0208ィヲ ィェ ツ02ィヲ x 0 ハ D, 0600ィョィヲ 06ィョ0002 f (x 0 ) ル 0, 00ィケ0002 ( ) 1 = 6モ1 f (x 0) f(x) x=x 0 f 2 (x) : 0409ィケ00ィ ィョ04 (08ィ ィエ0007ィー ィコ0701). 00ィョ00ィエ ィケ00ィヲ 07ィヲ ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー f; g D 0208ィェィ ィヲ 08ィ 09ィ 00ィエ0008ィョィヲィャ02ィー ィョ0007 D ィコィ ィヲ 0208ィヲ ィェ g (x) ル 0 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D. 08ィケ0002 ィヲィョ ツ0502ィヲ [ ] f(x) = f (x)g(x) 6モ1 f(x)g (x) 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D: g(x) g 2 (x) 04ィ ィエ0007ィー ィョ05ィェィィ020004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー 00ィョ00ィエ ィャィヲィ ィョ01ィェ ィョ04 f , ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ 0009ィヲ06ィェ ィャ0200ィ ィェ. 09ィェ 04 f ィィ02ィエ0904ィィ0208 ィエィー ィョ01ィェ ィョ04 ィャィケィェ07ィェ 0004ィー ィャ0200ィ ィー x, 02ィェ06 07ィヲ ィー ィャ0200ィ ィー ィエィー ィョ00ィ ィィ020906ィー, 00ィケ ィコ ィヲ 07 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ ィコィ ィェィケィェィ ィー 08ィ 09ィ ィヲィョ04ィー ィョ05ィェィィ020004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー: ィャィ (08ィ ィエ0007ィー ィョ05ィェィィ020004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー). 00ィョ00ィエ 07ィヲ ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー y = f(w) D 1 ィコィ ィヲ w = g(x) D 2 ィケ g (D 2 ) 6ロ7 D 1 ィコィ ィヲ D 1, D 2 ィ ィェ07ィヲィコ ィヲィ ィョ0007ィャィ 00ィ ィコィ ィヲ ィコ ィョィ ィョ05ィェィィ ィョ01ィェ ィョ04 h(x) = (f 71 g) (x) = f(g(x)) 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D 2 : 00ィョ00ィエ ィョ04ィー ィケ00ィヲ 00ィヲィ 06ィェィ ィョ04ィャ x 0 ハ D ツ02ィヲ 04 08ィ ィエ0007ィー g (x 0 ) = w 0 ィコィ ィヲ 04 ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツ04 y 0 = f (w 0 ) ィョ0007 ィョ04ィャ w 0 = g (x 0 ) ィャ02 w 0 ハ D 1. 08ィケ ツ02ィヲ ィコィ ィヲ 04 08ィ ィエ0007ィー 0004ィー ィョ05ィェィィ020004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー h(x) D 2 ィョ0007 ィョ04ィャ x 0 ハ D 2 ィコィ ィヲ ィヲィョ ツ0502ィヲ dh(x) dx ィO = df(w) ィO x = x0 dw ィO w = w0 dg(x) dx ィO = y 0 w 0: x = x0

19 ィヲィョィャィケィー 08ィ 09ィ ィエィェ ィィ ィャィ ィ 0100ィケ, ィェィ ィヲ 00ィェィエィョ00ィケ ィエィー ィコィ ィェィケィェィ ィー ィ 0501ィョィヲ01ィエ0007ィー 08ィ 09ィ ィヲィョ04ィー (chain rule) 00ィヲィ ィョ01ィェィ ィョ02ィヲィー ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー, ィケィャ07ィヲィ 0202ィ 09ィャィケ030200ィ ィヲ ィコィ ィヲ 00ィヲィ 00ィヲィー ィー ィャ0200ィ ィー. 08ィケ0002 ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィャィ , ィ ィェ 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D ツ02ィヲ 04 08ィ ィエ0007ィー g (x) ィコィ ィヲ 0208ィヲ ィェ ィケ00ィヲ 00ィヲィ 0004ィェ ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツ04 00ィヲィャ07 g(x) = w ハ D ツ02ィヲ 04 f (w) = f (g(x)), ィィィ ツ02ィヲ ィコィ ィヲ 04 08ィ ィエ0007ィー 0004ィー f(g(x)) ィエィー ィー x 00ィヲィ ィコ05ィィ02 x ハ D 2 ィコィ ィヲ ィィィ 0108ィェ0200ィ ィヲ ィ 08ィケ 0004 ィョ ツ06ィョ04 dh(x) dx = df(g(x)) dx = df(g(x)) dg(x) dg(x) dx = f g g x: ( ) ィェ ィェ00ィ ィヲ 07ィヲ 08ィ ィエ0007ィヲ 00ィエィェ ィョ05ィェィィ0200ィエィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー, 06ィョ00ィエ x, 07ィヲ ィコ0109ィヲィケ ィー 00ィエィェ ィエィェ 0108ィェ07ィェ00ィ ィヲ ィョ0007ィェ 0408ィェィ ィコィ ィ ィヲ00ィャィ ィ ィヲィョ000705ィェ 07ィヲ 104ィー ィー ィャ0209ィヲィコ06ィー 08ィ ィエ0007ィヲ 0004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー 0905ィョ04. 02ィヲィ 0107 ツィヲィコ05 06 ツ0701ィャ02 f(x; y) = x フ y 6モ1 5 f x = ( ) x y 1=2 6モ1 5 = ( { x 4) ( }} ){ x x + 4 y 1=2 6モ1 5 0 x = 4x 3 ; f y = 1 2 y 1 2 6モ11 ( ) {}}{ 0 ( x y 1=2 6モ1 5 = 4 y 1=2) { + ( }}{ x 4 6モ1 5 ) y y y = 2 y 6モ11=2 :

20 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー 0408ィェィ ィコィ ィー : 08ィ 09ィ ィエィェ 00ィエィェ ィコ0109ィヲィケ000209ィエィェ ィョ05ィェィィ0200ィエィェ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ ィャ02 ィャ0200ィ x. ィ / ィ 0701ィェ ィョ04 04ィ ィエ0007ィー 1 f a (x) af (x)f a6モ11 (x) 2 e f(x) f (x)e f(x) 3 ln f(x) f (x) f(x) 4 sin f(x) f (x) cos f(x) 5 cos f(x) 6モ1f (x) sin f(x) f 6 (x) tan f(x) cos 2 f(x) 7 cot f(x) 6モ1 f (x) sin 2 f(x) 8 tan 6モ11 f (x) f(x) 1 + f 2 (x) 9 sin 6モ11 f(x) f (x) フ 1 6モ1 f 2 (x) 10 cos 6モ11 f (x) f(x) 6モ1 フ 1 6モ1 f 2 (x) 11 sinh f(x) f (x) cosh f(x) 12 cosh f(x) f (x) sinh f(x) 13 tanh f(x) f (x) cosh 2 f(x) = f (x) [ 1 6モ1 tanh 2 f(x) ] 14 coth f(x) 6モ1 f (x) sinh 2 f(x) = f (x) [ 1 6モ1 coth 2 f(x) ]

21 1304ィ ィヲ00ィャィ ィャ07ィヲィ 0004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー ィヲィョィャィケィー 08ィ 09ィ ィエィェ 621 h(s; t) = t 2 ln ( s ) + 9 t 3 6モ1 3 フ s 4 : 0905ィョ ツ0701ィャ02 h s = [ t 2 ln ( s ) + 9 t 6モ13 6モ1 s 4=3] s = [ t 2 ln ( s )] s {}}{ ( t 6モ13 ) s 6モ1 ( s 4=3) s ィー ィェィ ィコィ {}}{ = t 2 [ ( ln s )] 6モ1 4 s 3 s 4 3 6モ11 2 s = t 2 1 {( }}{ s 2 s ) + 1 s 6モ14 3 s1=3 = 2 s t2 s モ1 4 3 s1=3 ; h t = [ t 2 ln ( s ) + 9 t 6モ13 6モ1 s 4=3] t = ln(s 2 +1) (t 2 ) t {[ }}{ t 2 ln ( s )] 6モ13 t 6モ14 0 {}}{ t +9 ( t 6モ13 ) {( }}{ s 6モ1 s 4=3) s = 2 t ln ( s ) 6モ1 27 t 6モ14 : 04ィ ィヲ00ィャィ ィャ07ィヲィ 0004ィー g(x; y; z) = x 2 y 6モ1 y 2 z 3 + sin(xy):

22 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー 0905ィョ ツ0701ィャ02 g x = [ x 2 y 6モ1 y 2 z 3 + sin(xy) ] x = y (x 2 ) x = y 2x {( }}{ x 2 y ) 0 (xy) {}}{ x cos(xy) ( 6モ1 x y 2 z 3) {}}{ x + [sin(xy)] x = 2 xy + y(x) x = y {}}{ (xy) x cos(xy) = 2xy + y cos(xy); g y = [ x 2 y 6モ1 y 2 z 3 + sin(xy) ] y = x 2 (y ) y = x 2 z 3 (y 2 ) y = z 3 (2y) ({}}{ x 2 y ) {( }}{ 6モ1 y y 2 z 3) + [sin(xy)] y y = x 2 6モ1 2 y z 3 + (xy) y cos(xy) = x 2 6モ1 2 y z 3 + x cos(xy); g z = [ x 2 y 6モ1 y 2 z 3 + sin(xy) ] z = 0 ({}}{ y2 (z3 ) x 2 y ) z = y2 (3z2 ) 0 {}}{ y 6モ1 ( y 2 z 3) {}}{ + [sin(xy)] y z = 6モ13y 2 z 2 : 04ィ ィヲ00ィャィ ィ ィヲィョ000705ィェ 07ィヲ 104ィー ィコィ ィヲ 07ィヲ 204ィー ィー ィャ0209ィヲィコ06ィー 08ィ ィエ0007ィヲ 0004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー f(x; y; z) = x y e6モ1x + z 2 :

23 130905ィョ04. 04ィャ07ィヲィ 01ィヲィ 0107 ツィヲィコ05 06 ツ0701ィャ ィヲィョィャィケィー 08ィ 09ィ ィエィェ 623 f x = ( ) x y e6モ1x + z 2 x = ( ) x y e6モ1x x 0 ({}}{ + z 2 ) x = 1 y ( x e 6モ1x ) x = 1 y {}}{ 67(x) x e 6モ1x + x (6モ1x) x e 6モ1x = 6モ1 e 6モ1x ({}}{ e 6モ1x ) x = (1 6モ1 x) e6モ1x y ; [ ] (1 6モ1 x) e 6モ1x f xx = [f x (x; y; z)] x = y = 1 [ (1 6モ1 x) e 6モ1x ] y x = 1 y x モ11 6モ1e 66 {}}{ 6モ1x 67 (1 6モ1 x) x e 6モ1x ({}}{ + (1 6モ1 x) e 6モ1x ) 69 x 60 = (x 6モ1 2) e6モ1x y ; f y = ( ) x y e6モ1x + z 2 y = ( ) x y e6モ1x y 0 {( }}{ + z 2 ) y = ( 6モ1y6モ116モ11 = 6モ1y6モ12 x e 6モ1x) {}}{ = 6モ1x y 6モ12 e 6モ1x ; ( y 6モ11 ) y

24 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー f yy = ( 6モ12 y 6モ1x e 6モ1x y 6モ12) { 6モ13 ( }}{ = 6モ1x e6モ1x y y 6モ12 ) y = 2 x y 6モ13 e 6モ1x ; f z = ( ) x y e6モ1x + z 2 z 0 {( }} ){ x = y e6モ1x + ( z 2) z = 2z; z f zz = (2z) z = 2; f xy = (f y ) x 04 f y 06 ツ02ィヲ ィヲィョ ィ 09ィ 0805ィェィエ = ( 6モ1x e 6モ1x y 6モ12) x = 6モ1y 6モ12 ( x e 6モ1x) x = 6モ1 1 y モ1e 66 {}}{{ 6モ1x 67 (x) x e 6モ1x ( }}{ + x e 6モ1x ) 69 x60 = (x 6モ1 1) e6モ1x y 2 ; f yx = (f x ) y 04 f x 06 ツ02ィヲ ィケィャ07ィヲィ ィヲィョ = [ ] (1 6モ1 x) e 6モ1x y y = (1 6モ1 x) e 6モ1x ( 1 y ( = (1 6モ1 x) e 6モ1x 6モ1 1 ) (x 6モ1 1) e6モ1x y 2 = y 2 ; ィコィ ィヲ ィケィャ07ィヲィ f yz = f zy = 0; ) y f xz = f zx = 0:

25 ィヲィョィャィケィー 08ィ 09ィ ィエィェ ィャ0208ィエィョ ィケ ィ ィヲ00ィャィ ィコ ィヲ ィケ00ィヲ f xy = f yx ; f yz = f zy ィコィ ィヲ f xz = f zx ; ィ ィヲ ィ ィェ05ィャ02ィヲィコ0002ィー 08ィ ィエ0007ィヲ 204ィー ィー 00ィエィェ 0801ィヲィエィェ ィ ィェ ィャ0200ィ ィェ 0208ィェィ ィヲ 08ィョ02ィー. 07 ツ0200ィヲィコ05 ィヲィョ ツ0502ィヲ ィ 09ィ ィコ0500ィエ ィィ ィャィ : ィャィ (Schwarz). 00ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f(x; y) 6ロ7 R 2, ィケ S ィ ィェ07ィヲィコ00ィケ ィョ05ィェ070507, 0004ィー ィ ィー ツ0701ィェ 07ィヲ 204ィー ィー ィャ0209ィヲィコ06ィー 08ィ ィエ0007ィヲ ィコィ ィヲ 0208ィェィ ィヲ ィョ01ィェ02 ツ0208ィー ィョ0007 S. 08ィケ0002 f xy = f yx 00ィヲィ ィコ05ィィ02 (x; y) ハ S: ( ) 0704ィャ0208ィエィョ ィ 09ィ 0805ィェィエ ィィ ィャィ, ィェィ ィヲ ィョ04ィー 00ィェィエィョ00ィケ ィコィ ィヲ ィエィー ィィ ィャィ 00ィエィェ Schwarz- Clairaut, 0002ィェィヲィコ ィ ィヲ 00ィヲィ ィヲィー ィコィ ィヲ ィヲィョィョィケ ィー ィャ0200ィ ィー. 04ィ ィヲ00ィャィ ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f(x; y) = y x + y : 01ィ ィヲィョ ィヲィャ07 f xyy (1;0). 0905ィョ ツィヲィコ05 ィ 08ィケ ィャ0208ィエィョ , ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ ィ ィョ0004ィェ ィエィョ04 00ィエィェ ィエィェ 08ィ 09ィ ィエィェ 04 08ィ 09ィ ィヲィョ04 ィ 09 ツ080302ィヲ ィ 08ィケ 0007ィェ ィヲィケ ィコ0004, 0208ィェィ ィヲ f xyy f(x; ィヲィョィャィケィー 0004ィー f yy : 01ィヲィ 0107 ツィヲィコ05 06 ツ0701ィャ02 ( y; 2 = (f yy ) x : (1) f y = ( ) y = x + y y 1 {}}{ (y) y (x + y) 6モ1 y 0+1 {}}{ (x + y) y (x + y) 2 = x (x + y) 2 ;

26 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー f yy = [ x ] (x + y) 2 y = x [ (x + y) 6モ12] y {}}{ = x 676モ12 (x + y) y (x + y) 6モ126モ ィケ0002 ィ ィェ00ィヲィコィ ィィィヲィョ0006ィェ00ィ ィー ィョ0004ィェ (1) 06 ツ0701ィャ02 = x [ 6モ12(x + y) 6モ13] = 6モ1 2 x (x + y) 3 ; f xyy = [ 6モ1 2 x ] [ (x + y) 3 = 6モ12 x x (x + y) 3 ] x = 6モ12 1 3(x+y) x (x+y) 36モ11 {}}{ (x) x (x + y) 3 [{}}{ 6モ1 x (x + y) 3 ] x (x + y) 6 = 6モ12 (x + y)3 6モ1 x [ 3(x + y) 2] 2(2x 6モ1 y) (x + y) 6 = (x + y) 4 : 0409ィ f xyy (1;0) = 2(2x 6モ1 y) (x + y) 4 ィO = (1;0) 2(2 1 6モ1 0) (1 + 0) 4 = 4: 04ィ ィヲ00ィャィ ィョ00ィエ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f(x; y; z) = ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ11= ィケ00ィヲ 6 f xx + f yy + f zz = 0: ( ) ィョィエィョ04 (14:2:2 6モ1 3), ィェィ ィヲ 00ィェィエィョ0007 ィエィー ィョィエィョ Laplace (Laplace equation), 06 ツ02ィヲ ィョ04ィャィ ィェ00ィヲィコ06ィー 0202ィ 09ィャ070006ィー ィョ00ィ 0302ィ 09ィャ07ィョィャ06ィェィ 00ィ ィィ04ィャィ 00ィヲィコ05 ( ィヲ0905ィヲ070009ィ 0208ィ ィコィ ィヲ ィョ07ィー [2] ィヲィョ06ィョ02ィヲィー Maxwell). 05 ィョ01ィェ ィョ04 f, ィ 0504ィィ020502ィヲ 0004ィェ (14:2:2 6モ1 3), ィ ィヲ 00ィケ0002 ィコィ ィヲ ィ 09ィャ07ィェィヲィコ07 ィョ01ィェ ィョ04.

27 ィヲィョィャィケィー 08ィ 09ィ ィエィェ ィョ ツ0701ィャ02 f x = [ (x 2 + y 2 + z 2) 6モ11=2 ] x (1) = 6モ1 1 2 ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ モ11 2x {}}{ ( x 2 + y 2 + z 2) x = 6モ1x ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ13=2 ; {}}{ ( f xx = 6モ1 67(x) x x 2 + y 2 + z 2) [ 6モ13=2 (x 60 6モ1 x 2 + y 2 + z 2) ] 6モ13=2 x = 6モ1 ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ13= x 66 6モ1x 676モ1 3 ( x 2 + y 2 + z 2) {}}{ 6モ モ11 ( x 2 + y 2 + z 2) 69 2 x60 = 6モ1 ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ13= x2 ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ15=2 : (1) 09ィケ00ィエ 0004ィー ィョ01ィャィャ ィ ィー 0004ィー f ィケィャ07ィヲィ 06 ツ0701ィャ02 f xx = 6モ1 ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ13= y2 ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ15=2 ; (2) f xx = 6モ1 ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ13= z2 ( x 2 + y 2 + z 2) 6モ15=2 : (3) ィョィィ060007ィェ00ィ ィー ィコィ 0005 ィャ ィヲィー (1), (2) ィコィ ィヲ (3) ィコ ィヲ ィヲィコ05 04 (14:2:2 6モ1 3). 09ィョィコ07ィョ02ィヲィー 1. 01ィ ィヲィョ000705ィェ ィケ0502ィー 07ィヲ 104ィー ィコィ ィヲ 204ィー ィー ィャ0209ィヲィコ06ィー 08ィ ィエ0007ィヲ 00ィエィェ 08ィ 09ィ ィコ0500ィエ ィョ01ィェィ ィョ02ィエィェ:

28 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー i) フ x 2 + y 2 v) x x 2 + y 2 ii) e 6モ1x2 6モ1y 2 vi) ( ) x ln y iii) sin 2 (x 6モ1 y) vii) ln ( x 2 6モ1 y 2) iv) x x + y viii) x y + z 2. 09ィェ f(x; y; z) = ln(xy + z), ィェィ ィヲィョ000705ィェ 07ィヲ 08ィ ィエ0007ィヲ f x ; f y ィコィ ィヲ f z ィョ0007 ィョ04ィャ P (1; 2; 0) ィケ00ィヲ 04 ィョ01ィェ ィョ04 f(x; y) = e x sin y 0208ィェィ ィヲ ィ 09ィャ07ィェィヲィコ ィケ00ィヲ, ィ ィェ f(x; y) = ln ( x 2 + xy + y 2), 00ィケ0002 x f x + y f y = 2: 5. 04ィャ07ィヲィ, ィ ィェ f(x; y; z) = x + x 6モ1 y y 6モ1 z ; 00ィケ0002 f x + f y + f z = 1: 6. 09ィェ x = r cos ィコィ ィヲ y = r sin, ィェィ ィヲィョ ィヲィャ ィー ィョィ ィー A = ィO x r y r ィャ09ィ 01ィケィェ E ィ ィャ ィョ02ィヲィー a, b ィコィ ィヲ ィー h 0108ィェ0200ィ ィヲ ィ 08ィケ 0007ィェ x y ィO : E = 1 (a + b)h: 2 01ィ ィヲィョ000705ィェ 07ィヲ 08ィ ィエ0007ィヲ E a, E b ィコィ ィヲ E h ィコィ ィヲ ィョ0004 ィョ01ィェ06 ツ02ィヲィ ィェィ 0107ィィ ィエィャ020009ィヲィコ ィャ04ィェ0208ィ ィー.

29 130302ィ 0800ィケィャ02ィェ ィ ィェ0007ィョ02ィヲィー 1. (i) f x = xy フ x, f x 2 +y 2 y = y フ x 2 +y 2, f xx = y 2 (x 2 +y 2 ) 3=2, f yy = x 2 (x 2 +y 2 ) 3=2, f xy = 6モ1. (x 2 +y 2 ) 3=2 (ii) ィョ01ィャィャ020009ィヲィコ07 f x = 6モ12xe 6モ1x2 6モ1y 2, f xx = 2 ( 2x 2 6モ1 1 ) e 6モ1x2 6モ1y 2, f xy = 4xye 6モ1x2 6モ1y 2 ィコ (iii) f x = sin 2(x 6モ1 y), f y = 6モ1 sin 2(x 6モ1 y), f xx = f yy = 2 cos 2(x 6モ1 y), f xy = 6モ12 cos 2(x 6モ1 y). (iv) f x = y (x+y) 2 ; f y = 6モ1 x (x+y) 2 ; f xx = 6モ1 2y (x+y) 3 ; f yy = 2x (x+y) 3 ; f xy = x6モ1y (x+y) 3 : (v) f x = y2 6モ1x 2 ; f (x 2 +y 2 ) 2 y = 6モ1 2xy ; (x 2 +y 2 ) 2 f xx = 2x(x2 6モ13y2 ) ; (x 2 +y 2 ) 3 f yy = 6モ1 2x(x2 6モ13y2 ) ; (x 2 +y 2 ) 3 f xy = 2y(3x2 6モ1y 2 ) : (x 2 +y 2 ) 3 (vi) f x = 1 x ; fy = 6モ1 1 x ; fxx = 6モ1 1 x 2 ; f yy = 1 y 2 ; f xy = 0. (vii) f x = 2x x 2 6モ1y ; f 2 y = 6モ1 2y x 2 6モ1y ; f 2 xx = f yy = 6モ1 2(x2 +y 2 ) ; f (x 2 6モ1y 2 ) 2 xy = 4xy : (x 2 6モ1y 2 ) 2 (viii) f x = 1 x y+z ; fy = fz = 6モ1 ; f (y+z) 2 xx = 0, f yy = f zz = 2x ;, f (y+z) 3 xy = f xz = 6モ1 1 ; f (y+z) 2 yz = 2x : (y+z) 3 2. f x (P ) = 1, f y (P ) = f z (P ) = 1 2 : ィ ィェ0208ィー. 6. A = r. 7. E a = 1 2 bh ィコ ィ 0800ィケィャ02ィェ ィェィ ィヲ ィェィエィョ00ィケ ィョ0007ィェ ィ ィェィ 00ィェ06ィョ0004 ィケ00ィヲ 0002ィエィャ020009ィヲィコ ィ ィエ0007ィー ィャィヲィ ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー ィャィヲィ ィー ィャ0200ィ ィー, 7 06ィョ00ィエ f, ィョ02 06ィェィ ィョ04ィャ x ィヲィョィャ ィー ィヲィョ070500ィ ィヲ ィャ ィェ 0202ィ ィャ06ィェ ィー 00ィエィェ08ィ ィー 07 01ィヲィ ィヲィコ05 ィャ ィェ ィョ01ィェ ィョ ィヲ0205ィィ01ィェィョ04ィー 0004ィー 0202ィ 0800ィケィャ02ィェ04ィー 0201ィィ0208ィ ィー ィヲィ ィャィャィ 0007ィー 0004ィー ィョ01ィェ ィョ04ィー ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; f (x 0 )). 08ィケ ィョィエィョ ィー 0202ィ 0800ィケィャ02ィェ04ィー 0201ィィ0208ィ ィー ィョ0007 ィョ04ィャ ィ 0100ィケ 0108ィェ0200ィ ィヲ ィ 08ィケ 0007ィェ y 6モ1 f (x 0 ) = f (x 0 ) (x 6モ1 x 0 ) : ィコ000208ィェ07ィェ00ィ ィー 0004ィェ 08ィ 09ィ 0805ィェィエ 0002ィエィャ020009ィヲィコ ィャ04ィェ0208ィ ィィ02ィエ090705ィャ02 ィャィヲィ ィョ01ィェ ィョ ィャ0200ィ ィェ, 06ィョ00ィエ z = f(x; y), ィャ ィヲィョィャ D 6ロ7 R 2 ィコィ ィヲ ィョ04ィャ z 0 = (x 0 ; y 0 ) ハ D ィョ ィェィ ツ0701ィェ 07ィヲ ィャ0209ィヲィコ06ィー 08ィ ィエ0007ィヲ f x (x 0 ; y 0 ) ィコィ ィヲ f y (x 0 ; y 0 ). 08ィケ0002 ィィ02ィエ0906ィェ00ィ ィー 0007 y ィョ00ィ ィィ0209ィケ, 04 f x ィィィ 0208ィェィ ィヲ ィャィヲィ ィョ01ィェ ィョ ィィ04ィャィ 04ィ ィエ0007ィー 0701ィェ ィョ04ィー ィエィャ020009ィヲィコ07 ィョ04ィャィ ィョ08ィ 08ィ 09ィ

30 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー 0004ィー ィャ0200ィ ィー x ィャ02 01ィヲ050009ィ ィャィャィ C x, ィケ ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ02 00ィヲィー 0704ィャ02ィヲ06ィョ02ィヲィー (i) 04 f x (x 0 ; y 0 ) ィィィ ィヲ 0007ィェ ィョ01ィェ ィョ ィヲ0205ィィ01ィェィョ04ィー 0004ィー 0202ィ 0800ィケィャ02ィェ04ィー 0201ィィ0208ィ ィー 02 x ィヲィ ィャィャィ 0007ィー C x ィョ0007 ィョ04ィャ f (x 0 ; y 0 ). 04ィャ07ィヲィ ィィ02ィエ0906ィェ00ィ ィー 0007 x ィョ00ィ ィィ0209ィケ ィョ0004ィェ f y, ィェィ ィヲ ィャィヲィ ィョ01ィェ ィョ y ィャ02 01ィヲ050009ィ ィャィャィ C y, 04 08ィ ィエ0007ィー f y (x 0 ; y 0 ) ィィィ ィヲ 0007ィェ ィョ01ィェ ィョ ィヲ0205ィィ01ィェィョ04ィー 0004ィー 0202ィ 0800ィケィャ02ィェ04ィー 0201ィィ0208ィ ィー 02 y ィヲィ ィャィャィ 0007ィー C y ィョ0007 f (x 0 ; y 0 ) ィャ06ィェィエィー, ィケ00ィ ィェ 07ィヲ ィャ0200ィ ィー (x; y) ィャ0200ィ ィェ00ィ ィヲ ィョ0007 D 07ィヲ ィャ0209ィヲィコ06ィー 08ィ ィエ0007ィヲ f x ィコィ ィヲ f y ィィィ ィャ0200ィ ィェ00ィ ィヲ ィョ0007ィェ 0002ィエィャ020009ィヲィコィケ 00ィケ0807, ィ ィヲ ィ 08ィケ 0004ィェ 0007ィャ07 00ィエィェ 0201ィィ02ィヲ06ィェ 02 x ィコィ ィヲ 02 y, ィ 0107 ィョ , 06ィョ00ィエ, ィヲ 0201ィィ020802ィー ィ ィー ィェ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ04 ィ ィ 0800ィケィャ02ィェ (tangent plane) 0004ィー 0208ィヲ0205ィェ02ィヲィ ィー z = f(x; y) ィコィ ィヲ ィョィエィョ ィ ィヲィコィェ050200ィ ィヲ ィケ00ィヲ 0108ィェ0200ィ ィヲ ィ 08ィケ 0007ィェ z = f (x 0 ; y 0 ) + f x (x 0 ; y 0 ) (x 6モ1 x 0 ) + f y (x 0 ; y 0 ) (y 6モ1 y 0 ) : ( ) 08ィケ ィョィエィョ ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツ0701 ィコ05ィィ ィヲ (normal plane) 0108ィェ0200ィ ィヲ ィ 08ィケ 0007ィェ ィ 09ィ ィョ x 6モ1 x 0 f x (x 0 ; y 0 ) = y 6モ1 y 0 f y (x 0 ; y 0 ) = z 6モ1 z 0 : ( ) 6モ ィャ02ィエィェィ ィコィ ィヲ ィャ02 00ィヲィー 0704ィャ02ィヲ06ィョ02ィヲィー ィエィョ04 (iii) ィ ィェ ィョ000701ィー 08ィ 09ィ 0805ィェィエ ィヲィョィャ0705ィー ィコ050302ィヲ ィケ00ィヲ 00ィヲィ ィャィヲィ ィャ0209ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 06ィョ00ィエ 0004ィェ f x, 0208ィェィ ィヲ f x (x 0 ; y 0 ) = 0, 00ィケ ィ 0800ィケィャ02ィェ ィェィ ィヲ 08ィ ィョ0007ィェ x ィェィ, 02ィェ ィコ05ィィ ィャィェ02ィヲ 0007ィェ x ィェィ ィコ05ィィ0200ィ ィョ0007 ィョ04ィャ x = x 0. 04ィ ィヲ00ィャィ ィ ィヲィョ ィョィエィョ ィ 0800ィケィャ02ィェ ィヲ ィー 0208ィヲ0205ィェ02ィヲィ ィー z = f(x; y) = 3 + x y2 ィョ0007 ィョ04ィャ (x 0 ; y 0 ) = (6モ14; 3): ィャ02ィエィェィ ィコィ ィヲ ィャ ィェ ィョ04ィャ0208ィエィョ ィ 09ィ ィャィ 0007ィー ィェィヲィコ07 ィャ ィー ィョィエィョ04ィー ィヲ ax + by + cz = d, ィケ00ィ ィェ 0501ィィ0208 ィエィー ィー z, ィヲィョ070105ィェィ ィャィ ィ ィヲ z = f(x; y) = Ax + By + D:

31 130302ィ 0800ィケィャ02ィェ ィョ04. 02ィヲィ 0107 ツィヲィコ05 06 ツ0701ィャ02 07 ツ07ィャィ : 04ィ ィヲ00ィャィ z = f(x; y) = 3 + x y2 9 ; z 0 = f(4; 6モ13) = 5; f x (x; y) = x 8 ; f x(4; 6モ13) = 6モ1 1 2 ; f y (x; y) = 2y 9 ; f y(4; 6モ13) = 0409ィ ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ (14:2:3 6モ1 1) ィョィエィョ ィヲ ィィィ 0208ィェィ ィヲ (07 ツ ) z = 5 6モ1 1 2 (x + 4) + 2 (y 6モ1 3); 3 02ィェ ィコ05ィィ ィヲ ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ (14:2:3 6モ1 2) ィ 0107 x + 4 6モ1 1 2 = y 6モ = z 6モ1 5 6モ11 ; 4(x + 4) = 6モ13(y 6モ1 3) = 2(z 6モ1 5): 2 3 : ィェ ィエィョ ィョィエィョ ィー 0208ィヲ0205ィェ02ィヲィ ィー 0102ィェ 0208ィェィ ィヲ 0004ィー 08ィ 09ィ 0805ィェィエ ィ ィェィ ィヲィコ07ィー (explicit) ィャ ィー z = f(x; y), ィ ィ ィヲ ィャ06ィェィ (implicit), ィ ィェィ ィヲ 0004ィー ィャ ィー f(x; y; z) = ィヲィ ィヲィコ05, ィケ00ィ ィェ 0102ィェ 0208ィェィ ィヲ

32 ィヲィコ07 08ィ ィエ0007ィー 08ィ ィィ ィョ07ィー 0101ィェィ 00ィケィェ ィェィ 0501ィィ ィョィエィョ04 f(x; y; z) = 0 ィャ07ィェ07ィョ07ィャィ ィェ00ィ ィエィー ィー z, 00ィケ ィヲ 08ィ 09ィ 0805ィェィエ 0206ィヲィョ06ィョ02ィヲィー 00ィヲィ 0007 ィョ04ィャ ィ ィェ0008ィョ0007ィヲ ツィ ィェ00ィ ィヲ: 0202ィ 0800ィケィャ02ィェ (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ィャ02 f (x 0 ; y 0 ; z 0 ) = 0; f x (x 0 ; y 0 ; z 0 ) (x 6モ1 x 0 ) + f y (x 0 ; y 0 ; z 0 ) (y 6モ1 y 0 ) ィコ05ィィ f z (x 0 ; y 0 ; z 0 ) (z 6モ1 z 0 ) = 0; ( ) x 6モ1 x 0 f x (x 0 ; y 0 ; z 0 ) = y 6モ1 y 0 f y (x 0 ; y 0 ; z 0 ) = z 6モ1 z 0 : ( ) f y (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 04ィ 09ィ ィョ ィョ ツ0502ィヲ ィコィ ィヲ ィョ0004ィェ ィエィョ04 ィ ィ ィェ ィ 09ィ ィョ ィー ィ ィヲ00ィャィ ィ ィヲィョ ィョィエィョ ィ 0800ィケィャ02ィェ0701 ィコィ ィヲ ィコ05ィィ ィヲ ィョ0004ィェ 0208ィヲ0205ィェ02ィヲィ xy 6モ1 z 3 = 0 ィョ0007 ィョ04ィャ (x; y) = (1; 6モ11): 0905ィョ ィケ 0004ィェ ィョィエィョ ィー 0208ィヲ0205ィェ02ィヲィ ィー ィコ ィヲ ィケ00ィヲ 0 = xy 6モ1 z 3 ィO ィO x=1; y=6モ11 = 6モ1z 3 6モ1 1; ィ 0107 z = 6モ11; 0708ィケ ィャ02ィェ07 ィョ04ィャ ィェィ ィヲ 0007 P (1; 6モ11; 6モ11). 0409ィ f x (x; y; z) = y; f x P = 6モ11; f y (x; y; z) = x; f y P = 1; f z (x; y; z) = 6モ13z 2 ; f z P = 6モ13:

33 130302ィ 0800ィケィャ02ィェ ィャ06ィェィエィー ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ (14:2:3 6モ1 3) ィョィエィョ ィヲ ィィィ 0208ィェィ ィヲ 6モ1(x 6モ1 1) + 1(y + 1) 6モ1 3(z + 1) = 0; ィ 0107 x 6モ1 y + 3z + 1 = 0; 02ィェ ィコ05ィィ ィヲ ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ (14:2:3 6モ1 4) ィ 0107 x 6モ1 1 6モ11 = y + 1 = z モ13 ; 1 6モ1 x = y + 1 = 6モ1 1 (z + 1): 3 04ィ ィヲ00ィャィ ィャ07ィヲィ ィョィエィョ ィ 0800ィケィャ02ィェ0701 ィコィ ィヲ ィコ05ィィ ィヲ ィョ0004ィェ 0208ィヲ0205ィェ02ィヲィ 3xy 6モ1 z 3 = a 3 ィョ0007 ィョ04ィャ (x; y) = (0; a): 0905ィョ ィケ 0004ィェ ィョィエィョ ィー 0208ィヲ0205ィェ02ィヲィ ィー ィコ ィヲ ィケ00ィヲ a 3 = 3xy 6モ1 z 3 ィO ィO x=0; y=a = 6モ1z 3 ; ィ 0107 z = 6モ1a; 0708ィケ ィャ02ィェ07 ィョ04ィャ ィェィ ィヲ 0007 P (0; a; 6モ1a). 0409ィ f x (x; y; z) = 3yz; f x P = 6モ13a 2 ; f z (x; y; z) = 3xy 6モ1 3z 2 ; f z P = 6モ13a 2 ; f y (x; y; z) = 3xz; f y P = 0; 0708ィケ0002, ィヲ0107 f y P = 0, ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ 04ィ 09ィ ィョ ィ 0800ィケィャ02ィェ ィィィ 0208ィェィ ィヲ 08ィ ィョ0007ィェ y ィェィ, 02ィェ ィコ05ィィ ィィィ 0006ィャィェ02ィヲ ィコ05ィィ0200ィ 0007ィェ y ィェィ ィョ0007 ィョ04ィャ y = a ィャ06ィェィエィー ィョ05ィャ02ィエィェィ ィャ ィェ (14:2:3 6モ1 3) ィョィエィョ ィヲ ィィィ 0208ィェィ ィヲ 6モ13a 2 (x 6モ1 0) + 0(y 6モ1 a) 6モ1 3a 2 (z + a) = 0;

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