今週の内容 後半全体のおさらい ラグランジュの運動方程式の導出 リンク機構のラグランジュの運動方程式 慣性行列 リンク機構のエネルギー保存則 エネルギー パワー 速度 力の関係 外力が作用する場合の運動方程式 粘性 粘性によるエネルギーの消散 慣性 粘性 剛性と微分方程式 拘束条件 ラグランジュの未

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1 力学 III GA 工業力学演習 X5 解析力学 5X 5 週目 立命館大学機械システム系 8 年度後期

2 今週の内容 後半全体のおさらい ラグランジュの運動方程式の導出 リンク機構のラグランジュの運動方程式 慣性行列 リンク機構のエネルギー保存則 エネルギー パワー 速度 力の関係 外力が作用する場合の運動方程式 粘性 粘性によるエネルギーの消散 慣性 粘性 剛性と微分方程式 拘束条件 ラグランジュの未定乗数法 拘束がある場合の運動方程式 拘束力がある場合のエネルギー保存則

3 ラグランジュの運動方程式運動方程式の導出 レジュメ p.44, 45 d dt L x& L x が成り立つことの証明 ( ハミルトンの原理 最小作用の原理 )

4 ラグランジュの運動方程式運動方程式の導出 レジュメ p.44, 45 d dt L x& L x が成り立つことの証明 ( ハミルトンの原理 最小作用の原理 ) 手順 一般化ダランベールの原理 δ W n i ( f & x ) δx i m i から出発し 変分問題に帰着 i i

5 リンク機構機構のラグランジュの運動方程式 運動エネルギー K & T q Mq& M: 慣性行列 xcom lg l xcom lg m I q m I q

6 リンクリンクリンクリンク リンクリンクリンクリンク機構機構機構機構機構機構機構機構のラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式運動エネルギー運動方程式 q q lg lg l m I m I xcom xcom Mq q & & T K d d + + h Mq q Mq Mq q q && & & && & K K K t M: 慣性行列

7 M 慣性行列 M M i i J m T comi i 慣性行列 M m i i J I i comi xcom lg l xcom lg m I q m I q x& comi J comi q& x& comi : i リンク目の重心の速度

8 非線形微分方程式とカオス 一定の規則に従う ( 決定論的 ) にもかかわらず 予測不能な複雑な振る舞いをすることを カオスと呼ぶ 例 一定の規則 ( 非線形微分方程式 ) カオス M& q& + h+ g q は複雑に振舞う

9 バタフライ効果 ブラジルでの蝶の羽ばたきがテキサスで トルネードを引き起こすこと 小さな初期条件の違いが 未来に大きな影響を及ぼすという意味 天気予報が当たらない理由

10 リンク機構機構のエネルギーエネルギー保存則 リンク機構に保存力だけが作用する場合 全エネルギーは時間によって変化しない

11 リンク機構機構のエネルギーエネルギー保存則 リンク機構に保存力だけが作用する場合 全エネルギーは時間によって変化しない 全エネルギー E K+ U 運動エネルギー K 重力によるポテンシャルエネルギー U mglg sin q+ mg g + q 運動方程式 M& q& + h+ g { l sin q + l sin( q )} & T q Mq& xcom lg l xcom lg m I q m I q g

12 リンク機構機構のエネルギーエネルギー保存則 リンク機構に保存力だけが作用する場合 全エネルギーは時間によって変化しない 全エネルギー E K+ U 運動エネルギー K 重力によるポテンシャルエネルギー U mglg sin q+ mg g + q { l sin q + l sin( q )} & T q Mq& E& q& T 運動方程式 M& q& + h+ g ( T T q Mq+ q Mq & T && & & & + q& Mq&& ) Mq&& + Mq & U & + q q& T + q& T U q Mq & & h xcom lg l xcom lg m I q m I q g

13 エネルギー パワーパワー 速度速度 力の関係 全エネルギー ( 単位は [J]) エネルギーの時間微分はパワー ( 単位は [W]) 力 [N] 速度 [m/s] パワー [W] ( 回転系では トルク [Nm] 角速度 [rad/s] パワー [W])

14 エネルギー パワーパワー 速度速度 力の関係 全エネルギー ( 単位は [J]) エネルギーの時間微分はパワー ( 単位は [W]) 力 [N] 速度 [m/s] パワー [W] ( 回転系では トルク [Nm] 角速度 [rad/s] パワー [W]) 例 エネルギー パワー & E mx + kx ( mx kx) E & x& & + 速度 力

15 エネルギー パワーパワー 速度速度 力の関係 全エネルギー ( 単位は [J]) エネルギーの時間微分はパワー ( 単位は [W]) 力 [N] 速度 [m/s] パワー [W] ( 回転系では トルク [Nm] 角速度 [rad/s] パワー [W]) 例 エネルギー パワー E& E & T q T q & Mq&& + M& q& 角速度トルク Mq& xcom lg l xcom lg m I q m I q

16 外力が作用作用するする場合場合の運動方程式 レジュメ p.47 系に外力 ( トルク ) が作用する場合 運動方程式の右辺に外力 ( トルク ) を加える

17 外力が作用作用するする場合場合の運動方程式 レジュメ p.47 系に外力 ( トルク ) が作用する場合 運動方程式の右辺に外力 ( トルク ) を加える 例 k m x f d dt 運動方程式 L L mx && + kx x& x f

18 外力外力外力外力が作用作用作用作用するするするする場合場合場合場合の運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式外力外力外力外力が作用作用作用作用するするするする場合場合場合場合の運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式レジュメ p.47 系に外力 ( トルク ) が作用する場合 運動方程式の右辺に外力 ( トルク ) を加える f kx mx x L x L t + && & d d τ h Mq q q + d d τ τ && & K K t 例 x m k f q q lg lg l m I m I xcom xcom τ τ 運動方程式運動方程式

19 粘性 速度と逆方向に速度に比例した力 トルクを粘性力 トルクと呼ぶ k x 例 m -dx

20 粘性 速度と逆方向に速度に比例した力 トルクを粘性力 トルクと呼ぶ k x 例 m -dx m & x 運動方程式 + kx dx&

21 粘性によるによるエネルギーエネルギー消散 系に保存力と粘性による力が働く場合 系の全エネルギーは時間の経過に伴い単調に減少する k x E m -dx t

22 粘性粘性粘性粘性粘性粘性粘性粘性によるによるによるによるエネルギーエネルギーエネルギーエネルギー消散消散消散消散によるによるによるによるエネルギーエネルギーエネルギーエネルギー消散消散消散消散系に保存力と粘性による力が働く場合 系の全エネルギーは時間の経過に伴い単調に減少する + kx mx E & x m k -dx 全エネルギー運動方程式 dx kx x m & & & +

23 粘性粘性粘性粘性粘性粘性粘性粘性によるによるによるによるエネルギーエネルギーエネルギーエネルギー消散消散消散消散によるによるによるによるエネルギーエネルギーエネルギーエネルギー消散消散消散消散 ( ) + + dx kx mx x kxx mxx E & && & & &&& & 系に保存力と粘性による力が働く場合 系の全エネルギーは時間の経過に伴い単調に減少する + kx mx E & x m k -dx 全エネルギー運動方程式 dx kx x m & & & +

24 慣性 粘性粘性 剛性剛性と微分方程式 k x m -dx m x 運動方程式 && + dx& + kx

25 慣性 粘性粘性 剛性剛性と微分方程式 k x m -dx m x 運動方程式 && + dx& + kx 慣性粘性剛性 ( 弾性 ) 各力の物理的性質と微分の次数が対応している

26 拘束条件 レジュメ p.49 幾何学的 力学的拘束を 関数 f ( x, x& ) で表したもの

27 拘束条件 レジュメ p.49 幾何学的 力学的拘束を 関数 f ( x, x& ) で表したもの 例 三平方の定理 (xr,yr) r ( x x ) + ( y y ) r r f ( x, y) 拘束条件 ( 位置 ) ( ) ( ) x x + y y r r r m (x,y)

28 位置 f 速度加速度 拘束条件の例 π q, q) q+ q l kabe sin 4 ( f &( q, q) q& + q& && f ( q, q) q&& + q& q q lkabe π 4 [rad] x

29 位置 f 速度加速度 拘束条件の例 π q, q) q+ q l kabe sin 4 ( f &( q, q) q& + q& && f ( q, q) q&& + q& q q lkabe π 4 [rad] x 速度 位置 加速度 f ( q, q ) y ykabe y l sin q+ l sin( q+ q) f & q, q ) y& ( y& l & + & + & q sin q l( q q)sin( q+ q) && f q, q ) & y ( & y J& q& + y J y q& J y q& l q l x q f ykabe

30 ラグランジュの未定乗数法 拘束条件 f がある場合 関数 g(x) が 極値をとる条件は x g ( + λ f) である

31 ラグランジュの未定乗数法 拘束条件 f がある場合 関数 g(x) が 極値をとる条件は 例 x g 各辺の長さが a,b, ( + λ f) 周囲の長さが l ( 定数 ) の長方形の 面積が最大となる条件を求めよ b である a 最大化したい関数 g(a,b) ab 拘束条件 (a+b) l

32 ラグランジュの未定乗数法 拘束条件 f がある場合 関数 g(x) が 極値をとる条件は a b 例 極値の条件 ( g+ λf) ( g+ λf) λ l 8, a + + x g ( a+ b) l l 4 b a, b λ λ ( + λ f) l 4 b である a λ: ラグランジュの未定乗数

33 ラグランジュの未定乗数法未定乗数法による 拘束があるがある場合場合の運動方程式運動方程式の導出 極値を求めたい関数 L K - U 拘束条件 レジュメ p. 5 f(x)

34 ラグランジュの未定乗数法未定乗数法による 拘束があるがある場合場合の運動方程式運動方程式の導出 極値を求めたい関数 L K - U 拘束条件 レジュメ p. 5 f(x) 極値をとる条件 ( 運動方程式 ) L L + λ f d dt L x& L x

35 ラグランジュの未定乗数未定乗数の物理的意味 拘束条件が位置のとき ラグランジュの未定乗数は運動方程式において力を表す

36 ラグランジュの未定乗数未定乗数の物理的意味 拘束条件が位置のとき ラグランジュの未定乗数は運動方程式において力を表す 例 運動方程式 ヤコビ行列 x f M& q& + h λ J T y 式の次元はトルク λ は力 f λ l q l q ykabe

37 拘束があるがある場合場合のエネルギーエネルギー保存則拘束力によって系の全エネルギーは変化しない

38 拘束があるがある場合場合のエネルギーエネルギー保存則拘束力によって系の全エネルギーは変化しない 例運動方程式 M& q& + h λ 速度の拘束条件 &y J y q & 拘束力が系に加えるパワー P T T P q& J λ λ J q& y 全エネルギー E & T q J T y ( ) y Mq& xcom lg l xcom lg m I q m I q

39 拘束があるがある場合場合のエネルギーエネルギー保存則拘束力によって系の全エネルギーは変化しない 例運動方程式 M& q& + h λ 速度の拘束条件 &y J y q & 拘束力が系に加えるパワー P T T P q& J λ λ J q& y 全エネルギー E Mq& E & T T T q & Mq&& + Mq & & q& Mq & & h+ J y λ P & T q J T y ( ) y xcom lg l xcom lg m I q m I q

4.6: 3 sin 5 sin θ θ t θ 2t θ 4t : sin ωt ω sin θ θ ωt sin ωt 1 ω ω [rad/sec] 1 [sec] ω[rad] [rad/sec] 5.3 ω [rad/sec] 5.7: 2t 4t sin 2t sin 4t

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