. 実験方法ヒノキ板を断面形状を高さ 8mm および 16mm の種類としいずれも幅 mm として用意した試験片長さを 1mm mm 3mm mm mm に切断し写真 1, のように万能試験機で垂直になるように設置後圧縮荷重をかけ最大圧縮荷重値を最大座屈荷重値としてデータを収集した折れ曲

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そうにばし
7 years ago
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1 研究結果報告書公益財団法人長野県学校科学教育奨励基金理事長小根山克雄様 1 研究テーマ座屈現象の測定について平成 8 年 1 月 1 日学校名長野工業高等学校校長森本克則印研究グループ名長野工業高等学校機械班西村神之将丸山颯斗酒井達也塚田郁哉 3 指導者土屋善裕研究の動機及び目標工業機械科の教科書機械設計には様々な公式が記載されているがなかには式の由来について説明もなくいきなり出てくる場合もあり日常生活の実体験とイメージしにくいものがある実体験のほとんどないことを理解させようとすることは生徒に学習を強いているようにも感じられややもすれば公式の羅列で苦痛すら与える危険性もあるかと思うそこで実体験的に実験を行い現象の規則性を式に表現できれば公式の表現が何故そうなるのかにつながっていきまた昔の人がどのように法則を式として表現したのか考えるきっかけになると思う座屈現象は応力やひずみの説明よりも現象としては理解できるところであるが最も優先して学んでもらう箇所ではなくそれゆえ簡単に通過してしまうところであるがここを実験的に学ぶきっかけになればと考えた研究内容の概要木材の断面形状を一定にして長さを変化させ万能試験機で圧縮をかける圧縮をかけると万能試験機に圧縮変位と荷重値の変化が記録されるがその値は木材が折れ曲がる直前に最大値となる同じ長さの木材をいくつか実験してすべての荷重値を記録してその大きさがある範囲のなかにどれくらいあるかグラフにまとめる長さを変えてこれを繰り返し長さと荷重値の最大値の平均とをグラフに関連づけるこの結果が数式でどのように表現できるか検討する本来であれば鉄など等方性である金属で実験をすれば良いが廃材の処理など問題が有るので燃やせば燃料にもなる木材を使用することにした 1. 始めに工業機械設計には様々な公式があるその中で部材に荷重をかけた時に起こる現象として座屈がある座屈荷重の式が木材のどうような数値 ( 断面形状長さ等 ) に関係しているかを検討した万能試験機で試験片の座屈荷重を測定しその長さ断面形状および木材弾性率との関係を調べる過程を通して公式の誘導について実験結果から類推してみた 1

2 . 実験方法ヒノキ板を断面形状を高さ 8mm および 16mm の種類としいずれも幅 mm として用意した試験片長さを 1mm mm 3mm mm mm に切断し写真 1, のように万能試験機で垂直になるように設置後圧縮荷重をかけ最大圧縮荷重値を最大座屈荷重値としてデータを収集した折れ曲がる位置はほぼ板の中心であるが厳密に中心とはならない少し上であったり下であったりするまた折れ曲がる方向も予測がつかない写真ではダイヤルゲージをあて変位を測定しようと試みたがこのような理由で変位の測定はあまり意味がなかった木材は年輪など変化の要素が非常に多く実験結果のばらつきも多かった写真 1 荷重値 [kn] 写真この結果は図 1( 長さ mm 断面 16 mm) の様に万能試験機に記録されるこのグラフの場合 1.kN くらいが最大荷重値となって記録されたこの値は材料の長さが大きくなると小さくなり材料の長さが小さくなると大きくなるこの値を実験数を増やしてデータとして採る 1 3 圧縮変位 [mm] 図 1

3 3. 実験結果実験結果の整理はそれぞれの試験片の最大荷重値を.kN から.kN までを 1kN 刻みの階級に分けた座屈荷重最大値の階級における実験結果の発生頻度をたて軸に座屈荷重値の階級を横軸にヒストグラムにまとめた図がヒストグラムである図 -a は板の厚さ 8mm 図 -b は板の厚さは 16mm の実験結果である 1 1 1mm 6 1mm 1 1 mm 6 mm 1 1 3mm 3mm mm mm 6 mm mm データ区間データ区間荷重値単位 [kn] 図 -a 図 -b 幅 8mm の長さ mm は材料が十分にそろえることができなかったためデータ数は少ない単純にみて短い材料ほど座屈荷重値は大きくなっていることが確認できたそれぞれの実験結果の分布であるが残念ながら標準的な正規分布になることを期待したがこの数ではならなかった特に厚さ 8mm の長さ mm の試験数は 3 であるがこれでも正規分布にはならなかったただし個別の実験結果をもう少し細かく範囲をくぎれば正規分布に近づくが全体を比較しなければならないのでヒストグラムの範囲はこんなものかと思う全体の傾向はよくでた結果だとは思える 3

4 表 1-a は厚さが 8mm 表 1-b は 16mm のそれぞれの実験データの平均値標準偏差その他の値である表 1-1( 図 1-a) 長さ 1mm mm 3mm mm mm 平均標準誤差中央値 ( メジアン ) 最頻値 ( モード ) 9. #N/A #N/A 標準偏差分散尖度歪度範囲最小最大合計標本数表 1-( 図 1-b) 1mm 平均標準誤差.3313 中央値 ( メジアン ) 18.8 最頻値 ( モード ) #N/A 標準偏差 1.98 分散尖度歪度.739 範囲.36 最小 17. 最大合計 88. 標本数 1 mm #N/A mm #N/A mm #N/A mm #N/A 断面の高さ 16mm の実験は多くの材料を入手できなかったため試験数が少ないため標準偏差が大きく断面 8mm と比較してやや信頼性にかける危険性もあるかもしれないこれより各データ単純平均値は表のようになった表 1( 図 1-a) 長さ (mm) 荷重値 (kn) 表 -( 図 1-b) 長さmm) 荷重値 (kn)

5 それぞれの長さの試験片の座屈荷重値の平均値と試験片長さの関係を図 3 のグラフにした座屈荷重 [kn] 1 このグラフから試験片長さと座屈荷重の関係を考えたいグラフから負の直線関係というよりは反比例的関係があることが考えられる単純に考えると長さは分母の位置にくることが考えられる座屈加重 :W とし断面の何か :x とし材料の長さ :h とすると x W = h 試験片長さ [mm] 図 3 表 3 の関係が考えられる分子 x を mm または mm との断面積として分母 h を 1 からまで変化させたデータを作ると表 3のようになるこの計算結果は非常に小さすぎてグラフを満足さ試験片長さ断面積 mm 断面積 mm せない分子側を大きな値にするかまたは係数が必 1.. 要になる 1.. 材料の断面はいずれも長方形で座屈は長方形の長い辺に直角の方向に曲がりけっして短い辺に直角に曲がることはないつまり単純に分子側に面積の値を入れることはできなかったのである x を断面の何かと書いたが実は材料の断面に力が作用する方向に関係する剛性を数値化した値が必要になる実験では 1 種類の木材しか行っていないが例えば同じ断面積をもつ金属などの実験を行えば座屈荷重値は別の値になるはずなのではっきりすことが予想されるがそれはできなかった座屈の分野の学習の前にはりの曲げについて学習するがそのときに曲がりにくさの指標を示す数値に断面二次モーメントがある材料の断面形状は幅がともに同じ mm である mm を底辺に高さを 8mm 16mm としたそれぞれの断面二次モーメントの数値を計算するまた剛性を構成するもうひとつの指標にたて弾性係数があるこれを実験で確認する材料の荷重に対する伸びや圧縮などの変形の起こりやすさ起こりにくさを実験により求めた数値としてたて弾性係数があるがここでは試験片をかた持ちはりとして写真 3のように荷重をかけそのたわみを測定することでたて弾性係数を得てその値ともうひとつの指標の断面二次モーメントとを仮想した座屈荷重の式の分子側に入れて写真 3

6 荷重 [N] 荷重 [N] 荷重値 [N] 表 -1 変位 [mm] 曲げ弾性率 [Mpa] 底辺 mm 高さ 8mm 断面二次モーメント表 - 変位 [mm] 曲げ弾性率 [Mpa] 底辺 8mm 高さ mm 断面二次モーメント検討をしてみるたわみの測定は以下のように行った試験機の上側にダイヤルゲージを設置し試験片の下側から荷重をかけて変位を記録した結果は表 -1 である同じ試験片を縦横を交換して同様に測定を行った似たような値になることがわかった荷重が小さいときの弾性率が大きく荷重が大きくなると弾性率は大きくなるがどのあたりの数値を採用するかが問題になる変位と荷重との関係をグラフにすると図のようになるこのグラフから変位が 3mm 前後から大きく変化していることがわかり弾性率が変化していることになるしたがって変位が 1mm から mm までの 3 つのデータの平均を曲げ弾性係数とすることにしたい.7GPa としたこの値は文献などにある範囲にあるただし文献の値は引張りまたは圧縮試験による値であることが通常でありまた曲げ試験は点曲げモーメントにより得たものであることが多い金属などの曲げ試験から得られた値は引張りなどの試験から得られた数値の 9% 程度と言われているしたがってこの数値はやや低めの値と思われるそこできりよくこれを GPa として以後扱うことにする 6 変位 [mm] 図 6

7 前述の座屈荷重値の仮定の数式 x W = h の分子を材料の曲がりにくさの曲げ弾性係数と曲がる方向の断面二次モーメントの積 ( 曲げ剛性 ) に置き換える EI W = l I: 断面二次モーメントでこの場合を使用する E: 通常はたて弾性係数であるがこの場合 GPa で MPa を式に使用する以上から計算上の荷重値 W のデータを作ると表表のようになる 1は分母の長さをそのまま 1 =(EI)/l =(EI)/l^ 数式に入れは分母の長さの乗を入れて計算したこの計算結果を図 3に改めて入れてみるそれを図とした図では断面の高さ 8mm 底辺 mm について入れてみた表の計算値の単位は [N] なので図には [kn] に変換してある y 軸の範囲は図 3と比較してかなり拡大したこれで長さ 3mm から mm までに 6 ついては実験結果と計算結果は少し近づいた係数や分母の次数をいろいろ変化させればもっと実験値に近づくものと思われるこれについてはグラフ作成ソフトで行ったが報告書の量も多くなり今回の実験の報告からは少しそれていくのでここではこのままにしたい改めて長さ 1mm 以下の実験の必要性が出てきたがもし実験を行えば急激に上昇していくことが予想されるつまり今回の木材の実験は x 軸 y 軸にかなり接近したグラフになるかと考えられる工業機械科の教科書機械設計のオイラーの座屈の公式は厳密には微分方程式から誘導しているので実験データからたど図り着けるかは無理があるがここまでの実験で座屈荷重値に試験片の形状がどのように関係しているかは十分裏付けられたと思うオイラーの式は以下のように教科書には記述されている EI W = nπ l min 分子の Imin はたて横断面の小さいほうの断面二次モーメントである 7

8 6 研究のまとめと今後の問題膨大な数の実験をひたすら行った結果的にはまだ不足していた長さ 1mm 以下の実験結果が必要であった過去の偉人たちは微分方程式から得られた理論値と実験を重ねて理論の正しさを確認したことを想像すればやはり長さの変化はもちろんのこと材料を変えた実験数を数多くこなさなければ実用に耐えるものはできなかったであろうことがわかった報告書は結果だけしか出てこないが膨大な実験データをエクセルで処理したのでエクセルの使い方が向上したもう少し実験データを数式に変換できるソフトウェアがあればいいが苦労しながら変換していくのも勉強になった実験は木材を使用したがやはり等方性の材料で行ったほうがいいかと思う金属は廃棄物の問題があるが木材にはバラツキがあり一律に実験データとして扱うには少し問題があり結局どちらもなかなか後々難しい問題が残ることがわかった 7 その他実験途中で課題が生まれそのための装置を急きょ作ろうとしたが時間もなく問題もありこの部分は中途半端になったしかし今後の活用に向けて工夫して活用していく 8

第1章単位

第1章単位 H. Hamano,. 長柱の座屈 - 長柱の座屈長い柱は圧縮荷重によって折れてしまう場合がある. この現象を座屈といい, 座屈するときの荷重を座屈荷重という.. 換算長長さの柱に荷重が作用する場合, その支持方法によって, 柱の理論上の長さ L が異なる. 長柱の計算は, この L を用いて行うと都合がよい. この L を換算長 ( あるいは有効長さという ) という. 座屈荷重は一般に,