Overview Simulation Kleisli Simulation Contribution 1. Implementation 2. Increasing the Chance of Simulation Experimental Results and Comparison 2

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1 Kleisli Simulation for Real-Weighted Automata and its Algorithm 卜部夏木 ( 蓮尾研究室 ) 1

2 Overview Simulation Kleisli Simulation Contribution 1. Implementation 2. Increasing the Chance of Simulation Experimental Results and Comparison 2

3 Overview Simulation Kleisli Simulation Contribution 1. Implementation 2. Increasing the Chance of Simulation Experimental Results and Comparison 3

4 Motivation 並列システムの形式検証 定量的な性質 例 : 確率 空間 時間 4

5 並列システムの形式検証 ここでの方法 Imple システムのオートマトン Spec 仕様のオートマトン システムの ふるまい が仕様の ふるまい に 含まれる かどうか調べる 5

6 Trace Semantics Trace semantics = 線形時間の全体的なふるまい 非決定性オートマトン 確率的オートマトン 6

7 Trace Semantics Trace semantics = 線形時間の全体的なふるまい 非決定性オートマトン 確率的オートマトン 7

8 Trace Semantics Trace semantics = 線形時間の全体的なふるまい 非決定性オートマトン 確率的オートマトン 8

9 Trace Inclusion Trace inclusion = trace semantics 間の包含関係 9

10 Trace Inclusion Trace inclusion = trace semantics 間の包含関係 非決定性オートマトン 集合の包含関係 Imple Spec 10

11 Trace Inclusion Trace inclusion = trace semantics 間の包含関係 確率的オートマトン 文字列毎の確率 Imple Spec 11

12 Trace Inclusion Trace inclusion = trace semantics 間の包含関係 確率的オートマトン 文字列毎の確率 Imple Spec 12

13 Trace Inclusion Trace inclusion = trace semantics 間の包含関係 確率的オートマトン 文字列毎の確率 Imple Spec 13

14 Trace Inclusion Trace inclusion = trace semantics 間の包含関係 確率的オートマトン 文字列毎の確率 Imple Spec 14

15 目標 Trace inclusion を調べたい Trace semantics は普通は無限 15

16 目標 Trace inclusion を調べたい Trace semantics は普通は無限 自動で調べることは難しい 16

17 Simulation = Stepwise Trace Inclusion 全体の trace inclusion を調べる代わりに stepwise な trace inclusion を調べる 17

18 Simulation = Stepwise Trace Inclusion 全体の trace inclusion を調べる代わりに stepwise な trace inclusion を調べる Simulation 18

19 Simulation = Stepwise Trace Inclusion 全体の trace inclusion を調べる代わりに stepwise な trace inclusion を調べる Simulation A B a s.t. a A から B への simulation が存在 19

20 Simulation A から B への simulation が存在 A の trace は B の trace に含まれる (trace inclusion) 20

21 Simulation A から B への simulation が存在 A の trace は B の trace に含まれる (trace inclusion) 健全性 21

22 Simulation A から B への simulation が存在 A の trace は B の trace に含まれる (trace inclusion) 健全性 完全性は必ずしも成り立たない 22

23 Overview Simulation Kleisli Simulation Contribution 1. Implementation 2. Increasing the Chance of Simulation Experimental Results and Comparison 23

24 Coalgebra State-based な遷移系の圏論的な理論 例えば並列システム Jacobs, Rutten, Reichel in 90's 24

25 Kleisli 圏 圏 C とモナド T の Kleisli 圏 Kl(T) - 対象 : Obj (C) - 射 : f : X Y in Kl(T) is f : X TY in C 25

26 Kleisli 圏 Kleisli 圏で様々なシステムを表現できる モナド T ごとに様々なシステム 例 : Powerset monad 非決定性オートマトン Subdistribution monad 確率的オートマトン 26

27 Trace Semantics via Coinduction (Hasuo, Jacobs, and Sokolova, 2006) Kleisli 圏を用いた trace semantics の一般的な定義 様々な遷移系に trace semantics を定義できる Final Coalgebra 27

28 Kleisli Simulation (Hasuo, 2006) Kleisli 圏を用いた simulation の一般的な定義 様々な遷移系に simulation (Kleisli simulation) を定義できる Forward Backward 28

29 確率的オートマトンの Kleisli Simulation 定義 : A から B への forward simulation とは f : B DA s.t. A 1 y0 B 線形不等式 (Hasuo, 2010) a, 2/3 x0 a, 1/3 2/3 y1 a, 1 x1 b, 1 x3 x2 b, 1 1/3 1 y2 b, 1 29

30 確率的オートマトンの Kleisli Simulation 定義 : A から B への backward simulation とは b : A DB s.t. A 1 y0 B 線形不等式 (Hasuo, 2010) a, 2/3 x0 a, 1/3 1 y1 a, 1 x1 b, 1 x3 x2 b, y2 b, 1 30

31 確率的オートマトンの Kleisli Simulation 確率的オートマトンの trace inclusion は 決定不能 (Blondel & Canterni, 2003) (Hasuo, 2006) 31

32 確率的オートマトンの Kleisli Simulation 確率的オートマトンの trace inclusion は 決定不能 (Blondel & Canterni, 2003) (Hasuo, 2006) 32

33 Overview Simulation Kleisli Simulation Contribution 1. Implementation 2. Increasing the Chance of Simulation Experimental Results and Comparison 33

34 Contributions 1. 線形不等式を解くことで確率的オートマトンの Kleisli simulation を調べるプログラムを実装 34

35 Contributions 2. Kleisli simulation を存在しやすくする工夫 - 確率 実数 - オートマトンの変形 (Hasuo, 2006) 35

36 A a, 2/3 確率 実数重み x0 1 a, 1/3 2/3 y0 y1 B a, 1 x1 b, 1 x2 b, 1 1 1/3 y2 b, 1 x3 確率的オートマトンの Kleisli sim. は確率分布 [0,1] 36

37 A a, 2/3 確率 実数重み x0 1 a, 1/3 2/3 y0 y1 B a, 1 x1 b, 1 x2 b, 1 1 1/3 y2 b, 1 x3 確率的オートマトンの Kleisli sim. は確率分布 [0,1] 実数分布 [0, ) に拡張 37

38 A a, 2/3 確率 実数重み x0 1 a, 1/3 2/3 y0 y1 B a, 1 x1 b, 1 x2 b, 1 1 1/3 y2 b, 1 x3 確率的オートマトンのKleisli sim. は確率分布 [0,1] 実数分布 [0, ) に拡張 モナド :D M システム : 確率的オートマトン 重み付きオートマトン 38

39 確率 実数重み 新しく Kleisli simulation が見つかることがある 39

40 確率 実数重み 新しく Kleisli simulation が見つかることがある

41 オートマトンの変形 オートマトンを変形し Kleisli simulation を存在しやすく 42

42 4 種の変形 Split Backward Merge Backward Split Forward Merge Forward 43

43 変形の性質 変形は Kleisli simulation の健全性を保つ 変形は既存の Kleisli simulation を壊さない 44

44 変形の性質 これ以上変形できないオートマトンの間の Kleisli simulation は完全 普通は無限回変形できる 45

45 変形の性質 確率的オートマトンの trace inclusion は半決定不能 (Hasuo, 2006) 46

46 変形の性質 確率的オートマトンの trace inclusion は半決定不能 何度変形しても Kleisli simulation が 存在するようにならないことがある (Hasuo, 2006) 47

47 Overview Simulation Kleisli Simulation Contribution 1. Implementation 2. Increasing the Chance of Simulation Experimental Results and Comparison 48

48 実装 Kleisli simulation を探すプログラム - 線形計画問題ソルバを用いて線形不等式を解く - glpk - 単体法 オートマトンを変形するプログラム 49

49 実験結果 Grade protocol の正しさの検証 オートマトンの等価性を調べることで検証できる (Kiefer et al. 2011) Space consuming Kieferらの実装より遅い Trace inclusionは trace equivalenceより難しい 50

50 実験結果 Crowds protocol の probable innocence の検証 Trace inclusion を調べることで検証できる (Hasuo, Kawabe, Sakurada, 2010) 変形が必要になる場合が発生 変形 探索を繰り返す Backward simulation is faster 51

51 他の Simulation との比較 (Hasuo, 2006) (Hughes & Jacobs, 2004) 52

52 他の Simulation との比較 (Hasuo, 2010) (Hasuo, 2006) (Hughes & Jacobs, 2004) 53

53 他の Simulation との比較 (Hasuo, 2010) (Hasuo, 2006) (Hughes & Jacobs, 2004) 54

54 まとめ Kleisli simulation を探すプログラムを実装 Simulation を存在しやすくする工夫 Future Work オートマトンの変形を圏論的に 他のシステムに対する Kleisli simulation の実装 55

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