ディジタル信号処理

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1 ディジタルフィルタの設計法. 逆フィルター. 直線位相 FIR フィルタの設計. 窓関数法による FIR フィルタの設計.5 時間領域での FIR フィルタの設計 3. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 I 4. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 II 5. 双 次フィルタ

2 LI 離散時間システムの基礎式の証明 [ ] 4. ] [ ]* [ ] [ ] [ 4. ] [ ] [ 4. ] [ ] [ ] [ 4.9 ] [ ] [ ] [ ] [ と表すことができる は任意の離散時間信号 h h L L y δ δ δ 変数 に対して Liear ime Ivariat

3 畳み込み : gτ τ a フィルタ関数 インパルス応答 f t* g t f τ g t τ dτ たとえば ガウス関数による信号の平滑化ウェーブレット変換 g τ を原点を中心に反転し tだけ平行移動した関数 g τ 積和計算によって τ τ f τ との類似度を計算 τ g t τ t τ τ 積和 f t f t f τ b 処理対象の信号 τ

4 離散的 次元ラプラシアン 連続な場合 ラプラシアンは これより 離散的な場合のラプラシアンは 非因果的 因果的 と定義計算の注目点が中心となるように差分の取り方を調整. これは結局 となる

5 ディジタルフィルタの設計法. 逆フィルター. 直線位相 FIR フィルタの設計. 窓関数法による FIR フィルタの設計 3. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 I 4. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 II 5. 双 次フィルタ

6 IIR フィルタ ] [ ] [ ] [ システム関数は両辺を 変換すると N M m m m M N N M b a H X a Y b y b a y IIR フィルタを設計するには これらのパラメータの値を決めればよい 時間領域でフィードバック係数を直接求めるのはむずかしい

7 3. アナログフィルタを基にした ディジタル IIR フィルタの設計法 I. アナログ LPF の設計. 周波数変換によるアナログ BPF HPF の設計 3. 双 次変換 S-Z 変換 によるディジタルフィルタの設計

8 アナログ LPF の特性 : 透過域周波数 : 阻止域周波数 r : 透過域リプル r: 阻止域リプル p p

9 . 代表的なアナログ LPF 全極型フィルタ 次のバターワース Butterworth フィルタ H 極は 左半平面の単位円周上にπ / 間隔で分布 安定 H j c / ep{ jπ } ただし p H / H / p 特徴 振幅特性は > で急激に減衰 の変わりに / p を代入することでカットオフ周波数 p を任意に設定可能 伝達関数は 階から - 階までの全ての導関数が において この性質を最大平坦と呼ぶ

10 次のバターワース Butterworth フィルタ / / / } / ep{ H H j H j c H p p π π ただし安定間隔で分布極は 左半平面の単位円周上に より転載 3~9 次のバターワースフィルタの周波数特性

11 次のチェビシェフ chebychev フィルタ 双曲線正弦 余弦関数 ここで のときのときはチェビシェフ多項式ここで までの整数 ここで は ~ coh ih coh coh co co ih / i coh co ih e e e e j H j H > ± ε ε ν π ν π ν

12 チェビシェフ多項式なる直交数列が得られる とし に対してここで ある正の整数を に代入するととなることが知られている は の根次のチェビシェフ多項式はの多項式となる これをチェビシェフ多項式という たとえば と定義すると すなわち の多項式の倍角の公式を反復適用 co ] [ ] [ co co } co co{ co co co co co M m M M m m m M m m i M M M i M i M i M i i i i M π π α α π α α θ θ θ θ DC

13 次のチェビシェフ chebychev フィルタ チェビシェフフィルタの周波数特性 より転載 特徴 振幅特性は > で急激に減衰 リプルを許容することで急峻なカットオフ特性を実現

14 次のチェビシェフ chebychev フィルタ r A r A p p p を満たす最小の正整数は次式で計算される チェビシェフフィルタのパラメータ を設計仕様として与えた時 として ε ε ε coh coh

15 次の逆チェビシェフ chebychev フィルタ より転載逆チェビシェフフィルタチェビシェフフィルタ ε ε ε ε j H j H

16 . 周波数変換による HPFBPFBEF の設計 基準となる LPF: アナログカットオフ周波数 c の LPF H LPF LPF カットオフ周波数の変換 これは 元の周波数区間 - を - c c に移す c 注意 変数変換は複素数! 注意 周波数軸は実数!

17 演習課題 6 次のバターワースフィルタを基に 遮断周波数が H の低域通過フィルタを設計しなさい

18 LPF HPF c これは 元の周波数区間 - を c に を ー ー c に移す

19 c 複素数変換 : 周波数変換 : j c j j c j c の実数変換 c c

20 演習課題 6 次のバターワースフィルタを基に 遮断周波数が H の高域通過フィルタを設計し 振幅特性のグラフを描きなさい

21 3LPF BPF Ω Ω Ω Ω W j j j W j j W W W c c c c c c c c c c c c c c と置くことにより となり となり 両辺にを掛けると 段目の変換 とすると 下図 とし の通過帯域幅を 3 段目の変換 として実数の変数変換 下図 まず BPF

22 演習課題 63 次のバターワースフィルタを基に 通過周波数が 4H~8H の帯域通過フィルタを設計し 振幅特性のグラフを描きなさい

23 4LPF BEF LPF HPFの議論から すなわち c c W c とすれば BPFからBEFが実現できる

24 演習課題 64 次のバターワースフィルタを基に 遮断周波数が 4H~8H の帯域遮断フィルタを設計し 振幅特性のグラフを描きなさい

25 3. 双 次変換 S-Z 変換 によるディジタルフィルタの設計. 目的 設計したアナログフィルタの安定性を損なうことなく 同様の特性を持つディジタルフィルタを求める 安定性を保つ条件

26 定義 e 条件 周波数特性 e ラプラス変換と Z 変換 jω また < < π < Ω < πへの周期的変換によって フィルタの特性に折り返し歪み誤差が発生しないようにしたい 双 次変換 つまり jができるだけ線形に保たれるようにしたい 設計したアナログフィルタの伝達関数 H からディジタルフィルタ の伝達関数 G を G で求める H

27 双 次変換の意味が得られる からとなり この離散時間システムの伝達関数はこれを離散時間信号間の関係と見なすと の間の積分値を台形近似すると のが十分小さいとして 一方 となり 伝達関数ラプラス変換をすると とすると の積分値をのアナログ信号 ]} [ ] [ ] [ ] [ } { ] [ ] [ G H G y y d y y t H X Y d t y t y t t t τ τ τ τ

28 双 次変換の持つ非線形性

29 演習課題 65 次のバターワースフィルタを基に. 遮断周波数が H の低域通過ディジタルフィルタ. 遮断周波数が H の高域通過ディジタルフィルタ 3. 通過周波数が 4H~8H の帯域通過ディジタルフィルタ 4. 遮断周波数が 4H~8H の帯域遮断ディジタルフィルタを設計し 振幅特性のグラフを描きなさい また 基になるバターワースフィルタの次数を高くすることによって 振幅特性がどのように変化するかも調べなさい

30 ディジタルフィルタの設計法. 逆フィルター. 直線位相 FIR フィルタの設計. 窓関数法による FIR フィルタの設計 3. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 I 4. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 II 5. 双 次フィルタ

31 4. アナログフィルタを基にした ディジタル IIR フィルタの設計法 II. アナログ LPF の設計 3. 双 次変換 S-Z 変換 によるディジタルフィルタの設計.Z 領域における周波数変換による BPF HPF の設計

32 .Z 領域における周波数変換によるBPF HPFの設計 I FIR FIRの場合 FIRフィルタ LPF H[ ] a LPFの通過帯域 ~ p 例 : { a a a M m LPF HPF 係数をa m a m 3 a m 4 m a m に変換 4.34 HPFの通過帯域 / ~ / } {..5.5.} {..5.5.} p p H H p / p / / / p p

33 演習課題 66 FIR低域通過フィルタの代表例として 移動平均フィルタ H がある 3 これを基に遮断周波数がHの 高域通過フィルタを設計しなさい

34 LPF BPF 係数をa LPFの通過帯域 ~ 例 : / 4とすると { a a a m a co a 3 a 4 p m に変換 を通過帯域の中心とするBPF } {..5.5.} {..} H H p / p /

35 演習課題 67 FIR低域通過フィルタの代表例として 移動平均フィルタ H がある 3 これを基に通過周波数帯域が4H 帯域通過フィルタを設計しなさい ~ 8Hの

36 3 LPF BEF 係数をa LPFの通過帯域 ~ { a a a a 例 : / 4とすると a 3 a 4 p a m co a m に変換 } {..5.5.} {.8.} を遮断帯域の中心とするBEF m H H p / p /

37 演習課題 68 FIR低域通過フィルタの代表例として 移動平均フィルタ H がある 3 これを基に遮断周波数帯域が4H 帯域遮断フィルタを設計しなさい ~ 8Hの

38 .Z 領域における周波数変換による HPF の設計 II FIR IIR IIR の場合 LPF HPF を α に変換 α LPFの通過帯域 ~ p ここで α HPFの通過帯域 q q p co q p co ~ / H H p / p q / q

39 演習課題 69 FIR低域通過フィルタの代表例として 移動平均フィルタ H がある 3 これを基に遮断周波数がHの 高域通過フィルタを設計しなさい

40 ディジタルフィルタの設計法. 逆フィルター. 直線位相 FIR フィルタの設計. 窓関数法による FIR フィルタの設計 3. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 I 4. アナログフィルタを基にしたディジタル IIR フィルタの設計法 II 5. 双 次フィルタ

41 5. 双 次フィルタ H b b b a a a 特徴 フィルタ設計が容易である 設計手法が確立されたものである 多様な特性のフィルタが実現可能 直列接続で多様な特性が実現可能 双 次フィルタは非常によく利用される

42 双 次フィルタで実現可能な特性 より転載

43 LPF カットオフ特性指数遮断周波数ここで 変換に対して元のアナログフィルタ : i co co co co Q Q a a a b b b Q H α α α

44 HPF α α co co co co a a a b b b Q H 変換に対して元のアナログフィルタ

45 BPF α α co i i a a a b b b Q H 変換に対して 元のアナログフィルタ α α α α co a a a b b b Q Q H 変換に対して 元のアナログフィルタ

46 Peaig Filter : ピークの利得ここで 変換に対して元のアナログフィルタ A A a a A a A b b A b AQ Q A H α α α α co co

47 Low/High Shelf Filter Q A A A Q A A H Filter Shelf Low 元のアナログフィルタ A Q A Q A A A H Filter Shelf High 元のアナログフィルタ

48 演習課題 7 双 次フィルタによる LPF HPF と他の設計法によるものとの特性を比較しなさい 具体的には 同一遮断周波数を定めて設計した場合の両者の周波数特性を比較して 議論をしなさい

49 演習課題 7

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