< 図形と方程式 > 点間の距離 A x, y, B x, y のとき x y x y : に分ける点 æ ç è A x, y, B x, y のとき 線分 AB を : に分ける点は x x y y, ö ø 注 < のとき外分点 三角形の重心 点 A x, y, B x, y, C x, を頂

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1 公式集数学 Ⅱ B < 式と証明 > 整式の割り算縦書きの割り算が出来ること f を g で割って 商が Q で余りが R のときは Q g f /////// R f g Q R と書ける 分数式 分母, 分子をそれぞれ因数分解し 約分する 既約分数式 加法, 減法については 分母を通分し分子の計算をする 繁分数式 分母 分子に同じ多項式をかけて 普通の分数式になおす 恒等式 数値代入法 係数比較法 等式の証明 左辺 変形 右辺 左辺 変形 d 右辺 変形 d \ 左辺 右辺 左辺 右辺 を示せば良い条件付での等式の証明では 文字を消去することを考える 特に連比の形で条件が与えられえた場合は 比の値を k とおくとよい x y z x : y : z : : ならば k とおき x k, y k, z k を与式に代入して処理する 5 不等式の証明 左辺 > 右辺を示すには 左辺 右辺 > を示せば良いつまり 左辺 右辺 変形 d > の形変形には 与えられた条件に注意して因数分解や平方完成を利用 して示す場合が多い や記号が入った場合は 両辺が正 であることを確認し 左辺 右辺 >を示す 注 のように等号付きのときは 等号が成立するときをいう 左辺 > 右辺を示すのに 左辺 >δ かつ δ> 右辺から示す さらに [ 相加 相乗平均の関係 ] >, > のとき ³ 等号は のとき成立 が成立することを利用する方法がある さらに 余裕があれば 以下の方法も知っていると良い絶対不等式を利用する場合がある 有名な絶対不等式には シュワルツの不等式 x y ³ x y がある < 複素数 > 複素数の四則計算 i を用いる 特に 割り算は 分母に共役な複素数 i Û i を分母と分子に掛けることを用いて計算する それ以外は 文字の計算と同じである 次方程式の解 ± 解の公式を用いる x また ± が偶数のとき は x D 判別式 : 判別式 D 判別式 D >, D, D < で解を分類できる 注 図形で交点の数を調べることができる 解と係数の関係, が 方程式 x x ì í î の解ならば これを用いて 解の和と積が分かれば 次方程式を作ることができる 次方程式の解と係数の関係も作れると良い,, g が 方程式 x x x d ì g í g g d g î 数学 Ⅰ の式の変形より 5 剰余の定理 の解ならば f を g で割って 商が Q で余りが R のときは Q g f /////// R f g Q R と書けるが とくに g x のとき f R Û f x Q R 割った余りが f g x のとき ö f ç æ æ ö R Û f x x Q x R 割った余りが f ç è ø è ø 6 因数定理 f Û f x Q つまり f は x という因数をもつ 高次方程式は上記因数定理の利用で解く場合が多い

2 < 図形と方程式 > 点間の距離 A x, y, B x, y のとき x y x y : に分ける点 æ ç è A x, y, B x, y のとき 線分 AB を : に分ける点は x x y y, ö ø 注 < のとき外分点 三角形の重心 点 A x, y, B x, y, C x, を頂点とする ABC の重心 G y æ x x x y y の座標は ç, è 点に関して対称な点 y 点 A, に関して 点 P x, y, Q x, が対称なとき ø ö y x x y, y が成り立つ 5 直線の方程式 傾き で 点 x, を通る : y y x y x y y 点 x, y x, y を通る : y y x x x 注 分母 または 分子が のときは座標軸と平行な直線 x x, y y 6 直線の位置関係 となる 直線の傾きが, のとき 平行 : 一致の場合も平行に含める 垂直 : または さらに 余裕があれば以下の公式も知っていると良い 一般形の場合は x y 平行 : 垂直 : 7 直線に関して対称な点 x y 点 A, B が直線 に関して対称なとき つぎのつの事柄が成り 立つ [] 直線 AB は に垂直である [] 直線 AB の中点は 上にある 8 点と直線の距離 点 x, と直線 x y の距離 d は y d x y 9 円の方程式 一般形 : x y lx y 平方完成により 標準形 : x y となり 中心, で半径 の円を得る 円と直線の関係 接点が点 x, で原点を中心とする円のとき y 接線 : x x y y 接点が点 x, で中心, の円のとき y 接線 : x x y y 交点の数に関しては 判別式の利用か 中心と直線までの距離を利用して調べることが出来る 不等式と領域 直線の上部 : y > x 直線の下部 : y < x 曲線の上部 : y > f 曲線の下部 : y < f 円の内部 : x y < 円の外部 : x y > 注 領域内かどうかは 点の座標を代入して成立するかどうかで調べることが出来る また 境界を含むかどうかは必ずチェックすること < 三角関数 > 一般角 q 6 は 整数 弧度法 8 π ラジアン 一般角 q p は 整数 扇形の弧の長さと面積半径が 中心角がq ラジアン の扇形の弧の長さを 面積をSとすると q, S q 相互関係 si q os q siq t q osq t q os q 5 三角関数の性質 siq, osq

3 si q siq os q osq t q tq p q ± やq ± p は 図から求めるか 加法定理利用 6 グラフは 周期分を覚えていること振幅や周期の変化 平行移動について確実にしておくこと 例えば 7 加法定理 y si x si ± si os ± os si os ± os os si si t ± t t ± t t si os 注 図を用いて求める方法が便利である < 指数関数 > 累乗根の計算法則, 指数の拡張,,, p p 指数法則は, s が実数の範囲で成立する 8 倍角 半角 倍角の公式 si si os os os si si os t t t os si q q os os q q q osq t osq si si si os os os 9 積和の公式 si os {si si } os si {si si } os os {os os } si si {os os } 和積の公式 si A si B si os si A si B os si os A os B os os os A os B si si 三角関数の合成 siq osq si q ただし s s s s 指数関数のグラフ > のときは単調に増加 < < のときは単調に減少 ともに y 切片は 点, を通る 大小関係 x y > のときは > Û x > y x y < < のときは > Û x < y < 対数関数 > 対数の計算法則 log, log, log log A log B log log A log B log log A log A AB A B log log 底変換の公式 log 余裕があれば以下の式は覚えると便利である log log log, 対数関数のグラフ > のときは単調に増加 < < のときは単調に減少 ともに x 切片は 点, を通る 指数関数とは 直線 y x に関して対称である 大小関係 > のときは log x > log y Û x y > < < のときは log x > log y Û x y < また 真数条件 x >, y > に注意せよ 常用対数 底が の対数

4 log x の値で x の桁数や小数点以下第何位に初めてでな い数が現れるかを調べることが出来る log x < Û x が 桁の数 log x < Û x は 小数点以下第 位に初めてで ない数が現れる < 微分法 > 平均変化率 微分係数 関数の極限 接線 5 導関数 f f f li h f h h f f li で li g Þ li f x g x x x 曲線 y f 上の x における接線の方程式は y f f x 定義 : f li y Þ y 6 関数のグラフ h f x h h y x f Þ y x f を満たす x を定義域内で調べ 増減表を作る 極大 極小 y 切片となる点に注意して描くが 場合によっては f の解を求めて x 切片も得る 7 最大 最小定義域に注意して 増減表から判断する 8 方程式 不等式への応用グラフと直線との交点または上下関係を調べればよい ìy f f Þ í 交点等を調べる î y f > g Þ F f g のグラフで調べる 増減表のみで対応することもできる < 積分法 > 不定積分 f F C C : 積分定数 x x C 定積分 f [ F ] F F 性質 : f f f f f f f g { f g } 5 f ì í î f f : 偶関数 6 f ³ g Þ f ³ g d x 微分と定積分 f t dt 曲線に囲まれた部分の面積 S { f g } f : 奇関数 f 特に, が 方程式 x x の解ならば x x 6 < ベクトル > ベクトルの演算和 差 実数倍については 文字の計算と同様 ベクトルの成分表示 平面ベクトル : x e y e x, y 空間ベクトル : x e y e z e x, y, z 成分での計算ができるようにすること ベクトルの内積 : osq 平面ベクトル : x, y x, y のとき xx y y 空間ベクトル : x, y, x, y, のとき z x z x y y zz ベクトルの大きさ 平面上 : x y 空間上 : x y z は 良く用いられる 5 : に分ける点 : p 6 図形への応用 空間ベクトルも同様である 図形問題を解く上では 各点の位置ベクトル A, B, OA, OB, を用いるが 始点 をある点にした方が良いと判断した場合は 例えば AB, AC 等とおいて解答することも良くある 次のものは常識である 中点: 三角形の重心: g 平行条件: t t : 実数

5 垂直条件: 一直線上にある条件: AB t AC t : 実数 なす角を求める : osq からq を決定 ベクトル方程式直線のベクトル方程式は 点 と方向ベクトル d : p td t : 実数 点, を通る : p t t t : 実数 角の二等分線 p æ ö ç t ç è ø 平面のベクトル方程式 平面 ABC 上に点 P が存在 AP sab t AC 実数 s, t の存在 p s t s t 円 球面について ベクトル方程式 : p 平面上では 円 空間上では 球面成分表示した場合は それぞれの方程式は 円 : x y 球面 : x y z 注 交点を求めるには上記のベクトル方程式で 各座標 成分 を媒介変数表示して求める 直線 平面について ベクトル方程式 : p は 平面上では 直線 空間上では 平面 < 数列 > 等差数列 : d 等比数列 : 数列の和の記号 について k S S ¹ k k k k k k k 階差数列 : のとき k ³ k 和と一般項の関係は S S ³ S 漸化式の解法 等差数列 d や等比数列 の利用 また 階差数列の利用 の利用 有名なものには p q p ¹ p q を満たす を用いて p 数列 { } と変形すると は 初項 公比 p の等比数列となるので p p 与えられた漸化式が 項間のときは 上記の形が多く 両辺の対数 逆数をとったり あるもので割り算することにより p q ¹ p の形に変形できる 与えられた漸化式が 項間のときは p q の型になるもの 特性方程式 : px qx の解で分類する 解が, のとき と と変形できる < 数学的帰納法 > 自然数に関するある命題を証明する方法 Ⅰ ある命題で のときに成立することを示す Ⅱ ある命題で k のとき成立を仮定して k のときも成立することを示す 以上 ⅠⅡ より すべての自然数についてある命題が成立することが証明される k k k 6 k k k ì ü í ý î þ 5 k k さらに余裕があれば 以下の公式も知っていると良い

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