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1 4 年度卒業論文 特殊相対性理論の検証 運動量と運動エネルギーの関係 速度増加に伴う質量増加 信州大学理学部物理科学科高エネルギー物理学研究室 S35B 毛利聖子 5 年 3 月 9 日

2 もくじ 第 章はじめに はじめに 第 章特殊相対性理論 特殊相対性理論. ローレンツ変換. 速度 6.3 運動方程式 7.4 運動量 運動エネルギー 8.5 質量 第 3 章電磁気学 電磁気学 4 3. ローレンツ力 4 3. 磁場中の電子の運動 磁気回路 電磁石 9 第 4 章実験方法 験方法 第 5 章装置 装置 5. 線源 5. 電磁石 5.. 形状の決定 磁束密度の決定 設計 作製 CsI 検出器 高電圧電源 マルチチャンネルアナライザー 9 i

3 第 6 章測定 測定 3 6. エネルギーキャリブレーション バックグラウンドの測定 Na のスペクトル測定 Cs のスペクトル測定 チャンネルとエネルギーの対応 3 6. 電子の運動量 運動エネルギー測定 33 第 7 章結果 考察 考察 運動量と運動エネルギーの関係 電子の速度増加に伴う質量増加 まとめ 4 謝辞 謝辞 4 参考文献 参考文献 43 ii

4 第 章はじめに 第 章はじめに 特殊相対性理論は 現在から 年前の95 年 Albet Einstein が発表した理論である この理論によると 光速に近い速度で運動する物体は質量が増大する β 線源から放射される電子を用いて 実験により特殊相対性理論を検証する 電磁石の作る磁場により電子を屈曲させることで運動量を測定し その先に設置した装置により運動エネルギーを測定する こうして独立に測定された電子の運動量と運動エネルギーの関係を 相対論的運動量と運動エネルギーの関係と比較することで 特殊相対性理論を検証する また 質量と速度の関係 は 運動量と運動エネルギーの関係 と本質的に同じ意味を持つことから 同時に 速度増加に伴う質量増加についても検証する

5 第 章特殊相対性理論 第 章特殊相対性理論 特殊相対性理論とは 特殊相対性原理と光速不変の原理に基づいて AlbetEinstein によりに定式化された理論である 特殊相対性原理とは 物理法則は 全ての慣性系に対して同じ形で表されるという原理で 光速不変の原理とは 真空中の光の速さは 互いに等速度運動をするすべての観測者に対して一定の値をとる つまり 光源の運動状態に無関係であるという原理である. ローレンツ変換 特殊相対性理論において 互いに等速度で運動する慣性系を結びつける時空座標の変換として ローレンツ変換が導入される この変換は空間座標と時間座標が混じり合って変換されるが 光速度は不変に保ち 変換によって基本法則の形が変わらないように構成されている つの慣性系の相対速度 v を v v v y v z として空間的に 次元の運動を考える すなわち 図 -のように つの慣性系 S とS の座標軸は平行で t t のとき両方の座標の原点は一致しており S はS の 軸の正の方向へ 大きさ v の相対速度で移動しているとする y S y S v O O z z 図 - 大きさ v の相対速度をもつ つの慣性系 慣性系は力の作用を受けていない物体が等速直線運動をすることで特徴づけられている 等速直線運動は座標と時間の間の 次関係式で与えられる

6 第 章特殊相対性理論 すなわち (, y, z, t ) は (, y, z, t) の 次関数 (-) であるとする 光速不変の原理のもとでは 時間も慣性系ごとに定める必要がある そこで 事象を記述するには 慣性系ごとに直交座標 (, y, z) と時間 t の4つの値を定める必要がある この4 変数 (, y, z, t) を時空座標と呼ぶことにする また 時空座標で表される4 次元空間の点を世界点または時空点と呼ぶ まず y 座標について考える 慣性系 S でy が一定の点はy 平面に平行な面上にある この面をS で見ても y 平面に平行であると考えてよい したがって y 軸に平行に置かれた物差しの長さが変化したとしても その比はv のみの関数で 比例定数を a(v) とすると y a( v) y (-) と書ける ところで 図 -のようにS からS を見ると S の座標系の 軸の負の方向へ速度 v でS が移動している v y y S z y y S z O O z z 図 - 慣性系 S から見た S そこでつの座標系で それぞれy 軸とy 軸を回転軸として 8 の回転を行う 座標変換はそれぞれ y y z z (-3) y y z z (-4) となる この新しい座標系によると S はS の座標系の の正の方向へ 大きさv の相対速度で移動していることになる この事情は もとの座標系を用いて S からS を見た場合と同じになる したがって (-) と同じ形の関係式 y a( v) y (-5) 3

7 第 章特殊相対性理論 を得る 変換 (-) に (-3) (-5) (-4) の順に代入すると y a( v) y a( v) y ( a( v)) y ( a( v)) y となる この式の最左辺と最右辺を比較すると ( a ( v)) a ( v) ± を得る ここで v の時は恒等変換になるから (-) はy a( ) y y となる よって a ( v) を得る したがって S の座標 y の点は S の座標 y の点になり y y (-6) を得る 同様にして z z (-7) を得る 次に 座標と 座標の間の関係を考察する 仮定では t t の時 S の座標とS の座標の原点は一致している そして S の 軸の正の方向へ早さv でS が等速直線運動をしている したがって S の座標の原点 すなわち y z の点の S から見た 座標は vt (-8) で与えられる このことと (-) から S の 座標は 変換 b( v)( vt) (-9) で与えられることがわかる 実際 (-9) で とおくと (-8) が得られる ここで b(v) は相対的な速さv のみの関数である 慣性系 S とS の立場を取替え 変換 (-3) と (-4) を行ってみると (-9) をを導いた場合と同じ事情になるから b( v)( vt ) という変換式を得る この式に (-3) と (-4) を代入して変形すると b( v)( + vt ) (-) を得る (-) に (-9) を代入して t について解くと ( b( v)) t b( v) t (-) b( v) v となる ここで光速不変の原理を用いて b(v) の関数形を求める 慣性系 S とS は真空中にあるものとし 時刻 t t に原点 O O にあった発光体が光を発したとする 光速不変の原理により 真空中の光の速さは光源の運動状態には無関係であるから 発光体はS 上にあるとしても S 上にあるとしても どちらでもよい 光の先端は S で見ると時間 t の後には 原点 O を中心とする半径 t の球面上にある この球面上の 点の座標を (, y, z) とすると それは球面の方程式 + y + z t (-) を満たす したがって 軸の正の方向へ進んだ光の先端の 座標は 4

8 第 章特殊相対性理論 t (-3) となる 一方 この光をS で観察すると 時間 t の後に 光の先端は原点 O を中心とする半径 t の球面上に達するから この球面上の 点の座標を (, y, z ) とすると 球面の方程式 + y + z t (-4) を得る したがって 軸の正の方向へ進んだ光の先端の 座標は t (-5) となる 簡単のため 軸上で考え 光の先端がS とS の共通の 軸 軸上の空間の 点に到達したとする その点の原点からの距離が S では S では である また その時の時刻を S ではt S ではt であるとする その時, t と, t との間には (-9) と (-) で与えられる関係式が成り立つ 式 (- 5) に (-9) と (-) を代入し さらに を (-3) により消去すると ± b( v) v / を得る ここで v の時 (-9) が恒等式となることから b( v) (-6) v / を得る 今は簡単のため 軸上で考えたが y 座標 z 座標については (-6) (-7) によりy y z z である これを用いれば (-) (-4) と (-) を用いて やはり (-6) が導かれる (-6) を (-9) と (-) に代入して ( vt) / v / t ( tv / ) / v / を得る これらの式と (-6) (-7) をまとめて ある事象のS とS にお ける時空座標の変換公式として vt vt v / β y y z z t tv / v / tv / β (-7) を得る ここで v β と置いた また これらの式を, y, z, t について解くと 逆変換の式 5

9 y y z z + vt v / t + v / t v / + vt β t + v / β 第 章特殊相対性理論 (-7 ) を得る これらの変換公式をローレンツ変換と呼ぶ 逆変換 (-7 ) は (-7) においてプライムを付け替え v をv に置き換えて得られる このことは S 系とS 系の関係は相対的運動の方向が反対向きであることを除けば 互いに同等であることを意味している. 速度 物体の速度に対して ローレンツ変換を行う 図 -のような場合で考える 物体の運動を慣性系 S で観測する時の ある時刻 t における物体の速度を d v (-8) dt とする (-7) から 微分の変換を成分ごとに求めると dvdt d β dy dy dz dz dt ( v / ) d dt β となる 成分では (-9) より d dvdt dt ( v / ) d dt β β dvdt dt ( v / ) d ( d / dt) v ( v / )( d / t) v v vv / 従って 成分ごとの変換公式は (-9) (-) 6

10 第 章特殊相対性理論 となる v v y v z v v vv / vy β vv / vz β vv / (-).3 運動方程式 質点の4 次元空間内での位置を 3 ( ( τ ), ( τ ), ( τ ), ( τ )) (-) と書く τ が位置を指定するパラメーターである τ が変化すると (-) は4 次元空間の中の曲線を描く τ に与えられるべき条件は ローレンツ不変な量であること 質点の運動が光速に比べて十分遅いものならば τ は近似的に 座標系の時間 t / に等しい というつである そのようなτ として 質点の4 次元空間中での軌跡の長さを光速 で割ったものを採用する そのよう µ なτ の微小な変化分は 質点の 4 次元空間中での微小な位置変化 d を用いて µ ν dτ ηµνd d 3 ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) (-3) v dt dt β と書ける τ は座標系の時間 t と比べてその進み方が ( v / ) だけ遅いので あるから 質点とその瞬間 一緒に運動する慣性座標系の時間という意味を持つ (-) をτ で微分したもの 3 µ d ( τ ) d ( τ ) d ( τ ) d ( τ ) ( τ ),,, (-4) dτ dτ dτ dτ は 3 次元空間における速度ベクトルを4 次元空間の場合に拡張したもので 4 元速度ベクトルという τ はローレンツ不変量であるから µ (τ ) は反変ベ µ ν クトルである ( 反変ベクトルとは A ( ) a µ νa ( ) という変換をするよう な A µ () を言う ) この4 元速度ベクトルは τ の定義 (-3) から明らかな 7

11 第 章特殊相対性理論 ように µ ν ηµν ( τ ) ( τ ) (-5) という条件を常に満足している 速度ベクトルの成分をつ増やしたといっても その増やした成分は (-5) によって拘束されているのである µ µ 4 次元の力 4 次元の運動量をそれぞれ, p ( µ,,,3 ) と書くと 特殊相対性理論における運動方程式は µ µ dp ( τ ) µ µ p ( τ ) m ( τ ) (-6) dτ と書ける ここでm は質量であり p µ (τ ) は4 元運動量ベクトルと呼ばれる 力のベクトルは4つの成分に増えたが (-5) と同じように 増えた成分には条件が課される 実際 (-5) を用いれば ν µ ν µ d ( τ ) ηµν ( τ ) mηµν ( τ ) dτ m d µ ν ( ηµν ( τ ) ( τ )) (-7) dτ という条件が導かれるので 4つの成分は独立ではない 4 元運動量ベクトルも (-5) により やはり4つの成分の間に µ ν 3 η µν p p ( p ) + ( p ) + ( p ) + ( p ) (-8) m という条件が付く.4 運動量 運動運動エネルギー (-6) (-4) より 4 元運動量は µ µ µ d p m m (-9) dτ と書ける ここで (-4) (-3) より µ µ µ µ d d dt d dτ dt dτ dt β v (-3) β β を用いると p m mv β (-3) となる この式でβ << のとき に対してβ を無視すると 近似的に 8

12 第 章特殊相対性理論 p mv となるから µ p はニュートン力学の運動量の自然な4 次元的拡張になっているといえる 運動量の空間成分の座標時間 t による変化の割合を考えると (-3) (-6) より dp dpdτ β (-3) dt dτ dt を得る ここで は3 次元空間ベクトル 3 (,, ) (,, ) (-33) y z である ニュートンの運動の第 法則によると 運動量が時間によって変化する割合が力であるから F β (-34) を相対論的力学におけるニュートン力と定義する 次に 運動量の時間成分の意味を考えてみる それの座標時間 t による変化の割合を考える (-3) (-6) から dp dp dτ β (-35) dt を得る ここで η µν は η η η µν µν η dτ dt η η η 33 ( µ ν ) µν (-36) λν νλ ν ν ( µ ν ) η µλη η ηλµ δµ δµ ( µ ν ) のように定義される δ ν µ はクロネッカーの記号と呼ばれる 4 元力の満たす関係式 (-7) を (-36) を使って書き換えると d d dt d dt + + dτ dτ dτ dτ dτ となる この式から を求めると d dt を得る ここで ( a b) は3 次元空間におけるベクトル a とb のスカラー積 ( 内積 ) 3 3 ( a b) ab + a b + a b a b + a y b y + ab を表す ここで得た を (-35) に代入すると z z 9

13 第 章特殊相対性理論 dp d β dt dt となる この式の両辺に をかけ ニュートン力の定義 (-34) を使うと d( p ) d F (-37) dt dt を得る この式の右辺はニュートン力学における意味で速度と力の内積になっている この内積は外力 F が物体に及ぼす仕事の増加率 すなわち物体のエネルギーの増加率を表している このことから左辺のp は物体のエネルギーであると考えられる このエネルギーを E と書くと (-9) の時間成分 すなわち第 成分から d dt E p m m dτ dτ (-3) を用いて m E p (-38) β を得る ここで4 元運動量の成分の間の関係式 (-5) を (-36) を使って書き直すと ( p ) + ( p) m となる ここで ( p ) p すなわちE p を用いると m をm と書いて と書き 両辺に を掛けてエネルギーの式 (-38) 4 p m (-39) E + を得る (-39) をエネルギー 運動量関係式という (-38) でv とおいたエネルギーの値をE と書くと E m (-4) を得る このことは 特殊相対性理論では 速度がである静止している物体もエネルギーを持っていることを示している このエネルギーを静止エネルギーという (-4) は質量とエネルギーが同等であることを示している関係式で アインシュタインによって発見されたものである 慣性質量に光速 の 乗を掛けたものがエネルギーと同等であるとすると 逆に 運動している物体の慣性質量はエネルギーを光速 の 乗で割ったものであると考えることもできる このような見方をすると 運動する物体の慣 性質量 E / は速さが大きくなればなるほど増大するといえる このように質量を考えるときには m を静止質量という 特殊相対性理論におけるエネルギーと ニュートン力学におけるエネルギーとの関係を調べる エネルギーと速さの関係式 (-38) において β << とし β について 項展開する 展開の第 項までとると 項定理 ( + ) n + n+l により

14 第 章特殊相対性理論 v / E m ( ) m β + m + mv となる この式の最右辺第 項はニュートン力学の運動エネルギー K mv p である すなわち ニュートン力学における運動エネルギ m ーは 相対論的エネルギーから静止エネルギーを差し引いたものに相当し 速度が小さいときの近似である 特殊相対性理論においても 4 p m (-4) E + を全エネルギー また 4 p + m m K Em (-4) を運動エネルギーと呼ぶ また (-4) を書き直すと 運動量と運動エネルギーの関係は p K + Km (-43) のように書ける.5 質量 直線に沿って衝突する 個の同じ粒子を考える ある座標系 S で 衝突前に一方の粒子は静止し 一方は速度 v を持っているとする それらは合体し 合成物体は速度 で運動する 最初の つの粒子の質量を それぞれ m (v) m と書き 合体した物体の質量をM と書く また この衝突を 反対向きの同じ速さを持ったつの粒子が衝突し 質量 M の合成物体が静止するような座標系 S で考えることもできる つの座標系から見た衝突を図 -3に示す S 衝突前 v m(v) m 衝突後 M S 衝突前 m () m() 衝突後 M 図 -3 S と S から見た粒子の衝突

15 第 章特殊相対性理論 運動量と質量が共に保存されると仮定する S 系で見て つの粒子の運動量は 衝突前で m ( v) v および 衝突後で M である 対応する質量は m (v) m およびM である したがって運動量と質量の保存則は m ( v) v M (-44) m ( v) m M (-45) + と書ける 式 (-44) の両辺を (-45) の両辺で割ってM を消去すれば mv ( ) v M mv ( ) + m M mv ( )( v) m mv ( ) m v mv ( ) v ( mv ( ) + m ) mv ( ) + m (-46) を得る 座標系 S はS に対して速度 で左へ動いていると見ることができ v は と の合成速度である ここで 速度の変換則 (-) において 速度 v が 軸に平行な場合 v v となるから y v z y vz v v v vv / vv v v v v vv + v v + v v + v v (-47) + vv / これを用いると v + / と書ける すなわち + v + v v ± ± v v v < であるから

16 第 章特殊相対性理論 3 v v v v v v v v v v v v v + + よって ) ( β v m mv ) ( β m v m (-48) となる

17 第 3 章電磁気学 第 3 章電磁気学 3. ローレンツ力 電荷 q を持った質量の粒子 m が 電場 E 磁束密度 B の電磁場内を速度 v で動く時に受ける力は F q( E+ v B) (3-) で与えられる これをローレンツ力という 運動方程式は (-6) (3-) より dp F q( E+ v B) (3-) dt で与えられる この方程式を 相対論的に共変な4 次元形式に書き換える 独立な運動方程式の数は4 次元の方程式でも3 個であるが (3-) に加わる第 4の方程式が (-37) より dp d F ( v F) (3-3) dt dt で与えられている すなわち (3-3) に (3-) を代入して dp q q [( v E) + ( v ( v B))] ( v E) (3-4) dt を得る まず座標時間による微分を ローレンツ変換に対して不変な固有時間による微分に変える そのため (-3) から得られる式 dt dt β を (3-) と (3-4) の両方に掛ける dp v B q E+ dτ β β dp q ( v E) dτ β 4

18 第 3 章電磁気学 5 ここで 4 元速度と速度 v との関係式 (-3) を使うと これらの式はそれぞれ + B E q d p d τ ) ( E q d dp τ となる ベクトル積 B の成分は y y Z z z y y z z y B B B B B B B B B ) ( ) ( ) ( で与えられる この関係と µν の定義の行列 / / / / / / y z y y z z y B B E B B E B B E E E E によって τ d p d / を 4 次元的成分で書くと (-36) の µν η を用いて νλ λ ν λν λ ν νλ λ ν νλ λ ν νλ λ ν η η τ η τ η τ η τ q q q d dp q q d dp q q d dp q q d dp ) ( / ) ( / ) ( / ) ( / となる これらをまとめて 4 次元の式に書けば λ νλ µν µ η τ q d dp (3-5) となる この式の左辺は (-6) で定義された 4 元力であり λ νλ µν µ η q (3-6) を ミンコフスキーの 4 元力と呼ぶ 方程式 (3-5) を 4 次元位置ベクトルの固有時間による微分で書けば τ η τ λ νλ µν µ d d q d d m (3-7)

19 第 3 章電磁気学 と書ける ミンコフスキーの 4 元力 (3-7) が 4 元力の条件 (-7) を満た すことは νλ の添字についての反対称性 (-36) を用いると により示すことができる νλ λν η ρµ ρ d dτ µ η ρµ ν qδ ρ ρ ρ ν q λ µ λ qη λν νλ ρµ ρ η ν q λ λ q ν µν νλ νλ νλ λ となる 式の途中第 3 辺と第 4 辺の等式では関係 η µν ν ρµ η δρ を その次の等 式では ( µ ν ) ( µ ν ) の関係を 最後の等式では添字 ν とλ を交換して δ ν µ 得られる (3-) のローレンツ力と (3-6) のミンコフスキーの4 元力の 空間部分との関係は dp dτ E q + B (3-8) q( E+ v B) β F β F β となっている この関係は ローレンツ力 F が (-34) で定義された相対論的力学におけるニュートン力であることを示している すなわちローレン ツ力は 相対性理論においても 修正することなく通用するニュートン力で ある 6

20 第 3 章電磁気学 3. 磁場中の電子電子の運動 図 3- のように 磁束密度 B の一様な磁場に これと垂直に速さ v の電子が飛び込んだとする v e m F B R F v e m 図 3- 磁場中の電子の運動 電子は (3-) より ローレンツ力 F qv B (3-9) を受けて運動する 力はv に垂直であるから 運動の方向は変えるが速さは変えない 速さが一定なら磁場から受ける力の大きさ evb も一定なので 方 向の変化も一定である そのような運動は等速円運動であり 半径が R の円 周に沿って質量が m の質点が速さ v で回っている時に働いている力は 大き さが mv / R の向心力である よって mv e vb R が成り立つ 運動量をp とすると p mv より p ebr (3-) という関係が得られる 7

21 第 3 章電磁気学 3.3 磁気回路 磁束線は閉曲線となるため 磁束の通路を磁気回路と呼ぶ 図 3- のように 透磁率 µ の円環状磁性体にコイルを一様に N 回巻いて 環状ソレノイド ( トロイド ) を作り 電流 I を流す I O S µ 図 3- 円環状ソレノイド トロイドの内部に点 O を中心とする半径 の円周 C を考え これを積分路 として 拡張されたアンペールの法則 H ds i ds C を適用すると B H ds Hl l NI C µ S (3-) ( l π ) (3-) となる ここで l は磁束の通路 ( 磁路 ) の長さである トロイドを通過する全磁束は どの断面で考えても一定で Φ BS B Φ (3-3) S 式 (3-) に (3-3) を代入すると ここで Φ l NI l Φ µ S µ S (3-4) 8

22 第 3 章電磁気学 V R m m NI l µ S (3-5) とおくと (3-4) は V m R m Φ (3-6) となる これを 磁気回路に対するオームの法則という また V m を起磁力 Rm を磁気抵抗と呼ぶ 3.4 電磁石 微小な空隙を持つ円環状の強磁性体にコイルを巻き 磁気回路を構成すれ ば 空隙内に強い磁界を発生させることができる 電磁石は このような原 理で磁界を発生させる装置である 主に使用される強磁性体は鉄である 図 3-3(a) のように透磁率 µ の強磁性体を用いた断面積 S の環状トロイ ドの一部が切れ 長さ δ の狭い空隙が開いているとして 空隙部分から外部 への磁束の漏れは無視できるとする I N N I l I N δ N I V R m m V m V m R V m m l µ Φ S 図 3-3 (a) 電磁石 (b) 等価回路 9

23 第 3 章電磁気学 鉄心部分と空隙部分の磁気抵抗は (3-5) よりそれぞれ l + l l δ δ R m + (3-7) µ S µ S µ S R m となる この磁気回路に対する等価回路は図 3-3(b) のようになるから (3-5) (3-6) より ( V + V ) (N + N ) I R Φ+ R Φ m m NI ( R m m + R m m ) Φ NI Φ ( N N + N ) (3-8) R m + R m ここで R m + R m l + l ( Lδ ) µ + δµ µ µ S µ S δ δ + µ S ( L l + l ) (3-9) したがって 空隙内の磁束密度は (3-3) に (3-8) (3-9) を代入 して となる Φ µ µ S B NI S S ( Lδ ) µ + δµ µ µ NI ( Lδ ) µ + δµ (3-)

24 第 4 章実験方法 第 4 章実験方法 図 4- 実験方法 実験には 9 S からβ 線として放出される電子を用いる この電子の速度は様々で 光速に近いものもあり 相対論的なふるまいが予想される 線源から出た電子はコリメータでしぼられ 電磁石で作られた磁場に入る 電子は磁場によって曲げられた後 磁場領域から出て 検出器に入射する この信号が マルチチャンネルアナライザーを通して パソコンに出力され グラフのピークの位置のエネルギーを 運動エネルギーとする 一方 電磁石の部分では電子の運動量が測定される このようにして 運動量と運動エネルギーを独立に測定する

25 第 5 章装置 第 5 章装置 5. 線源 9 β 線源として S を使用する 電子が放出される位置を知る必要があると いうことと 線源をそのままの状態で使用するのでは放射線が多すぎるとい うことで 写真 5- のようにコリメータを装着し 放射線を絞って量を減ら す 写真 5- コリメータを装着した β 線源 9 S 5. 電磁石 電子の運動量を測定するために 電磁石を用いる 電子は 磁束密度 B の一様な磁場中で 半径 R の円運動をする その時 電子の運動量は (3-) より p ebr (5-) であるから 電子の運動量は 磁束密度と円運動の半径を測定することで求 めることができる 実験に使用する電磁石を設計 作製する

26 第 5 章装置 5.. 形状の決定 磁場中での電子の円運動の半径を測定するため 図 5-のように 電磁石の空隙部の断面に座標をとって考える 図 5- 電磁石の空隙部分での電子の運動 a(r,) から電子が入射し b(, R) で検出することにする そうすると p ebr の運動量を持つ電子が検出されることになる 線源と検出器の位置を 同時に変化させ 座標を常に y R とすることで 運動量を決定できる このことから 電磁石の形状として 断面が正方形のものが最適であると判 断した 3

27 第 5 章装置 5.. 磁束密度の決定 相対論的運動エネルギーは (-4) より K E m (5-) で与えられる ここで m は電子の静止エネルギーで である 9 S m.5 [ MeV ] (5-3) から放出されるβ 線の最大運動エネルギーは.9 [ MeV ] であるから 運 動エネルギーの範囲は K : ~.9 [ MeV ] (5-4) であり すなわち全エネルギーの範囲は (5-) (5-3) (5-4) より E :.5~.8 [ MeV ] (5-5) 全エネルギーと運動量は (-39) より E p + m によって結び付けられるから 4 p E ( m ) [ MeV ] p E ( m ) [ MeV / ] (5-6) これより 運動量の範囲は p : ~.75 [ MeV / ] (5-7) となる 計算上 MKS 単位系に変換する であるから [ ev / ] [ m kg / s] p [ m kg / s] p [ MeV / ] (5.34 ) [ m kg s / MeV となる (5-) より R p / eb (5-8) であるから (5-7) で与えられる範囲での電子の円運動半径を求めることができる e は電気素量で ] 4

28 第 5 章装置 e.6 9 [ C] (5-9) である 9 S から放出される電子の運動量の範囲 (5-7) に対する 円運動の半径ま たは座標 R の値 (5-8) が 実験に適当と思われる大きさになるように 磁束 密度 B を決定した 電磁石の断面は 6[ m ] 6 [ m] の正方形にすることで R :. ~ 5.5 [ m] (5-) の測定が可能になり 磁束密度は B :. ~.8 [ T ] (5-) とした これらより p :.75 ~.4 [ MeV / ] (5-) の範囲の運動量を持つ電子を測定することが可能となる 5..3 設計 (3-) より 透磁率 µ 磁路 L 空隙 δ の強磁性体にコイルを N 回巻き 電流 I を流した時 空隙部分に発生する磁束密度は µ µ NI B (5-3) (Lδ ) µ + δµ µ は真空の透磁率で 7 µ 4π [ H / ] (5-4) m である 今回 強磁性体には鉄を 導線には被覆銅線を使用する 鉄の透磁 率は である 3 3 µ 7.54 ~. [ H / m] (5-5) 5

29 第 5 章装置 (5-) より B :. ~.8 [ T ] としたので (5-3) より [ 回 ] N 6 I 4 ~ 8 [ A] L 8 [ m] とした 電磁石の形状は図 5- のように決定した 6 9 銅線 6 鉄心 [m] 図 5- 電磁石の形状と大きさ 6

30 第 5 章装置 写真 5- は 実際に作製した電磁石である 銅線に電流を流すことで 空 隙部分に磁場が生じる 空隙部分の上から電子を入射し 手前側に曲げ 側 面で検出する 使用した電源を写真 5-3 に示す 写真 5- 作製した電磁石 写真 5-3 電源 7

31 第 5 章装置 5.3 CsI 検出器 高電圧電源 CsI シンチレータと光電子増倍管を組み合わせた検出器である 使用した検出器を写真 5-4に示す 荷電粒子が通過すると蛍光を発する物質をシンチレータと呼ぶ シンチレータの光量は極めて微量であるため 光電子増倍管によって増幅することで 電気パルスとして出力する 光電子増倍管内部に塗布された光電物質に光が当たると 光電効果によって光電子が生成される 電圧をかけてこの電子を加速させ 電極に衝突させると 複数個の電子をたたき出す このように 次々と加速 衝突させ 電子を増やし電気信号として取り出す 光電子増倍管に電圧をかけるために 写真 5-5の高電圧電源を使用した 写真 5-4 CsI 検出器 写真 5-5 高電圧電源 8

32 第 5 章装置 5.4 マルチチャンネルアナライザー 放射線のエネルギースペクトルを測定する装置である 多重波高分析器とも呼び 放射線検出器から送り出されてくる放射線のエネルギーに対応した出力信号を 高さ別にいくつもの領域 ( 多重のチャンネル マルチチャンネル ) に分け 各チャンネルごとの計数を求めることができる この信号は接続されたパソコンに出力される 写真 5-6 パソコン ( 上 ) マルチチャンネルアナライザー ( 下 ) 9

33 第 6 章測定 第 6 章測定 6. エネルギーキャリブレーション 電子は検出器 マルチチャンネルアナライザーを通して エネルギーがスペクトルとしてパソコンに出力される そのスペクトルの位置を運動エネルギーとするのだが 横軸がチャンネル数で出力されるので チャンネルに対応するエネルギーを求める必要がある これを エネルギーキャリブレーションと呼ぶ スペクトルの現れるエネルギー値が既知の線源を用いて測定を行う 使用 するのは γ 線源の Na と 37 Cs である Na の光電ピークは.5MeV 37.75MeV に現れ Cs の光電ピークは.66MeV に現れることがわかっており エネルギースペクトルの現れたチャンネルが 光電ピークのエネルギーに対応しているということであるから チャンネル数とエネルギーの対応関係を求めることができる 以下の測定は H. V. 55V ( 高電圧電源 ) GAIN 4( マルチチャンネルアナライザー ) で5 分間行うことに統一する 6.. バックグラウンドの測定 線源を用いた測定で補正を行うために 検出器を線源の影響のない場所に設置し 放射線の数を測定する チャンネルごとに バックグラウンドのカウント数を差し引くことで 実際に線源から放出された放射線によるカウント数を得ることができる 3

34 第 6 章測定 6.. Na のスペクトルスペクトル測定 検出器から m 程度離した所にγ 線源の Na を設置し 放出されるγ 線の数を測定する 検出器に入射する放射線量が多すぎると 検出器に電流が流れてしまい 正しく測定することができなくなるので 線源と検出器の距離を十分離したり 間に鉛板を置くなどして 入射する放射線量を減らす 測定した値に対してバックグラウンド補正を行い グラフに描いたものを 図 6-に示す 横軸はチャンネル数 縦軸はカウント数の対数をとったものである カウント数 チャンネル Na.5MeV.75MeV 図 6- Na のエネルギースペクトル チャンネル 付近に見られるのはペデスタルである ペデスタルは以下の全ての測定で同じように現れる Na の光電ピークは.5MeV.75MeV に現れることがわかっているので ピークの現れたチャンネルが そのエネルギーに対応していることになる 出力するプログラムのフィッティング機能を利用して値を測定した結果 ピークの位置のチャンネル数は 5 54 であった 3

35 Cs のスペクトルスペクトル測定 Na 37 Cs 第 6 章測定 の場合と同様に測定を行い グラフに描いたものを図 6-に示す の光電ピークは.66MeV に現れる ピークの位置のチャンネル数は 89 であった カウント数 チャンネル Cs.66MeV 図 6-37 Cs のエネルギースペクトル 6..4 チャンネルとエネルギーエネルギーの対応 各チャンネルに対応するエネルギーを求める チャンネルとの対応は図 6-3 のようになった チャンネルエネルギー [MeV] ピーク Na 37 Cs Na 図 6-3 光電ピークのチャンネルとエネルギー 最小二乗法により チャンネルとエネルギーの対応関係の式を求めると 図 6-4 のようになった 誤差は小さすぎて見えない 3

36 第 6 章測定 エネルギー チャンネル y 測定値 図 6-4 チャンネルとエネルギーの対応関係 こうして チャンネルとエネルギーの対応関係が求められた 6. 電子の運動量運動量 運動運動エネルギーエネルギー測定 9 β 線源の S から放射された電子の運動量と運動エネルギーを測定する 運動量は (5 ) p ebr より R とB を測定することで得られる 座標は 電子が入射 放出する部分に目盛りをつけ 線源と検出器の座標を y R とし 目盛りを読むことで測定する 磁束密度は 写真 6 のガウスメータを用いて測定する 写真 6- ガウスメータ 電磁石で屈曲された電子は検出器に入射し マルチチャンネルアナライザーを通してパソコンに出力される 6. でエネルギーキャリブレーションを行ったので 横軸はエネルギーとなる 33

37 第 6 章測定 図 6-5は B :. ~.8 [ T], R :. ~ 5.5 [ m] の範囲で 色々な場合で測定したエネルギースペクトルである 図の点線の位置をピークと判断し 運動エネルギーの値を得る 図 S のエネルギースペクトル カウント数 カウント数 エネルギー [MeV] エネルギー [MeV] (a) B :. [ T ], R :.5 [ m] (b) B :. [ T ], R : 4.5 [ m] カウント数 カウント数 エネルギー [MeV] エネルギー [MeV] () B :. [ T ], R : 5. [ m] (d) B :. [ T ], R : 5.5 [ m] 34

38 第 6 章測定 カウント数 カウント数 エネルギー [MeV] エネルギー [MeV] (e) B :.5[ T ], R :. [ m] () B :.5[ T ], R : 3.5 [ m] カウント数 カウント数 エネルギー [MeV] エネルギー [MeV] (g) B :.5[ T ], R : 4. [ m] (h) B :.6[ T], R :. [ m] 35

39 第 6 章測定 カウント数 カウント数 エネルギー [MeV] エネルギー [MeV] (ⅰ) B :.6[ T ], R :.5 [ m] (j) B :.6[ T ], R : 3. [ m] カウント数 カウント数 エネルギー [MeV] エネルギー [MeV] (k) B :.6[ T ], R : 3.5 [ m] (l) B :.6[ T ], R : 4. [ m] 36

40 第 6 章測定 カウント数 カウント数 エネルギー [MeV] エネルギー [MeV] (m) B :.7 [ T ], R : 4. [ m] (n) B :.8[ T], R : 3. [ m] カウント数 エネルギー [MeV] (o) B :.8[ T ], R : 3.5 [ m] 37

41 第 6 章測定 これらの測定値を図 6 6 にまとめた 磁束密度 座標 運動量 運動エネルギー B [T] R [m] p [MeV/] K [MeV] 図 6-6 測定値のまとめ 38

42 第 7 章結果 考察 第 7 章結果 考察 7. 運動量と運動運動エネルギーエネルギーの関係 図 6-6 にまとめた測定値を用いて 運動エネルギーと運動量の関係を求め 相対論 古典論と比較する 相対論的運動量と運動エネルギーの関係は ( 43) より p K + Km / p である また 古典論ではK mv より m p mk である 横軸を運動エネルギー 縦軸を運動量にとって描いたグラフを 図 7- に示す 3..5 運動量 [MeV/] 運動エネルギー [MeV] 測定値古典論相対論 図 7- 運動量と運動エネルギーの関係 点が測定値 実線が相対論 点線が古典論の運動量と運動エネルギーの関係を表している 図 7- より 測定は相対論に一致したと言える 39

43 第 7 章結果 考察 7. 電子の速度増加速度増加に伴う質量増加 図 7-のグラフの縦軸と横軸を変えて書き直す 横軸をK / p 縦軸を p / K にとる p[ kg m / s] K / p[ m / s] K[ kg ( m / s) ] p / K[ kg] のように単位を見ると それぞれ速度 質量に対応していることがわかる これより 速度と質量の関係を見ることができる グラフを図 7-に示す 図 7-を書き直したものなので 運動量 運動エネルギーの関係 ( 図 7-) と速度 質量の関係 ( 図 7-) は 本質的に意味は変わらない..5 p /K[ 質量 ] K/p[ 速度 ] 測定値古典論相対論 図 7- 速度と質量の関係 点が測定値 実践が相対論 点線が古典論を示している 相対論では 速度が小さい時は電子の静止質量 m.5 [ MeV] をとるが (-48) m m mv ( ) β v より 速度が増加すると共に質量が増大する 古典論では 速度が増しても質量が変わらないので m.5 [ MeV] の静止質量のまま グラフは直線になる 縦軸にp をとっているので 図 7-より誤差が大きくなっているが 誤差を考慮しても 測定値は相対論に一致していると言える 4

44 第 7 章結果 考察 7.3 まとめ 電子の運動量と運動エネルギーをそれぞれ独立に測定し その関係を求めた結果 古典論 p Km ではなく 相対論 p K + Km と一致した さらに これと同等の意味として 速度増加に伴う質量増加を確認することができた 4

45 謝辞 謝辞 本研究を行うにあたり 適切な御指導をしていただいた竹下徹教授に 深く感謝いたします 研究をやりとげられたことを 心よりうれしく思っています また 多くの助言をいただいた高エネルギー物理学研究室の皆様 同部屋で共に研究に励んだテラヘルツ分光研究室の皆様に 深く感謝いたします 加えて 激励をいただいた全ての方に この場を借りて御礼申し上げます どうもありがとうございました 4

46 参考文献 参考文献 [] 前田順平氏信州大学平成 5 年度卒業論文 MltiChannelAnalyze のソフト作成とガンマ線のエネルギー測定 [] 中野董夫氏著岩波書店 物理入門コース 9 相対性理論 [3] 窪田高弘氏佐々木隆氏共著裳華房 裳華房テキストシリーズ - 物理学相対性理論 [4] 森健寿氏石原武氏訳丸善株式会社 オックスフォード物理学シリーズ 特殊相対論 [5] 太田昭男氏著培風館 新しい電磁気学 [6] 小出昭一郎氏著裳華房 電磁気学物理学 [ 分冊版 ] 43

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