そこである程度の知識があれば数学と情報の練習もかねて用いてもおもしろいのではないだろうかこれはある程度の下準備のされたファイルと FLSH のアプリケーションがあれば計算処理の結果をグラフなどで視覚的に表示することが可能となると思われる環境が許せばできあがったものをいじるだけでなく自分で作

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かずゆきはまもり
6 years ago
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1 五心へのアプローチ札幌新川高等学校吉田奏介数学 Ⅰ の授業のあと生徒から内心や外心と頂点の延長線は中点と一致しないんですか? と質問があったその生徒には角の二等分線の話や鈍角三角形のときの話をしたら納得していたが確かに一般的な点におけることは紙面上の図を見ただけではわかりづらいだろうし生徒が自分で描く図は都合のよい図を描いてしまいがちであるそんなことを発端にして考えてみた 1 FLSH 教材の概要特徴としては三角形の頂点を動かすことができる五心を表示できる内接円外接円も表示される各点の座標三角形の辺の長さが表示できる正三角形にできる延長線が表示できるといったことが可能であるこれにより前述したような一般的に成り立つ図形の性質を示すことができるまた重心と内心が一致するならば正三角形であるということを実験により体験証明へといった流れで確認していくことも可能となる数学とFLSH FLSHでこのような自由に動かす教材を作る際アニメーションを作るわけではなくそのほとんどがアクションと呼ばれるプログラム ( コード ) を打ち込むことでできあがっていく下がその一例である // 延長線 b = (y-yb)/(x-xb); mb_ra = Math.atan(mb)*180/Math.PI; setproperty("entyou_a"_rotation mb_ra); setproperty("entyou_a" _x p_l_x); setproperty("entyou_a" _y p_l_y); // 辺の長さ a_l = (x-xb)*(x-xb)+(y-yb)*(y-yb); a_l = Math.sqrt(a_l); a_lin = Math.round(a_l); 独特な部分もあるが何となく何をしているかわかる部分もあるのではないだろうかこの中の数値処理自体は Mathematia などに近いものがある // sin os osa = (b_l*b_l+_l*_l-a_l*a_l)/(*b_l*_l); sina = Math.sqrt(1-osa*osa); osb = (-b_l*b_l+_l*_l+a_l*a_l)/(*a_l*_l); sinb = Math.sqrt(1-osb*osb); os = (b_l*b_l-_l*_l+a_l*a_l)/(*b_l*a_l); sin = Math.sqrt(1-os*os); // 外心 xo = (xa*sina+xb*sinb+x*sin)/(sina+sinb+sin); yo = (ya*sina+yb*sinb+y*sin)/(sina+sinb+sin); o_r = a_l/sina; setproperty("p_o" _x xo); setproperty("p_o" _y yo); setproperty("gaishinen" _x xo); setproperty("gaishinen" _y yo); setproperty("gaishinen" _width o_r); setproperty("gaishinen" _height o_r);

そこである程度の知識があれば数学と情報の練習もかねて用いてもおもしろいのではないだろうかこれはある程度の下準備のされたファイルと FLSH のアプリケーションがあれば計算処理の結果をグラフなどで視覚的に表示することが可能となると思われる環境が許せばできあがったものをいじるだけでなく自分で作りなおかつ数学の仕組みもちょっとかませた e-learnig

2 そこである程度の知識があれば数学と情報の練習もかねて用いてもおもしろいのではないだろうかこれはある程度の下準備のされたファイルと FLSH のアプリケーションがあれば計算処理の結果をグラフなどで視覚的に表示することが可能となると思われる環境が許せばできあがったものをいじるだけでなく自分で作りなおかつ数学の仕組みもちょっとかませた e-learnig などというのもありなのではないだろうか 3 五心の座標と FLSH さてまた先程のアクションの中に戻ると次のような部分がある // 外心 xo = (xa*sina+xb*sinb+x*sin)/(sina+sinb+sin); yo = (ya*sina+yb*sinb+y*sin)/(sina+sinb+sin); これは処理上で五心を座標で設定する必要があるために設定しているのだがこれがなかなか大変であるまず実際に五心を座標で表現すると次のようになる三角形の頂点を X Y X Y X Y とすると重心内心傍心 X1 X X 3 Y1 Y Y3 3 3 ax1 bx X 3 ay1 by Y3 a b a b ax1 bx X3 ay1 by Y3 a b a b ax1 bx X 3 ay1 by Y3 a b a b ax1 bx X 3 ay1 by Y3 a b a b S r a b S r a b S r a b S r a b 外心 X1 sin X sin X3 sin Y1 sin Y sin Y3 sin a R sin sin sin sin sin sin sin 垂心 X1 tan X tan X3 tan Y1 tan Y tan Y3 tan tan tan tan tan tan tan S r a b

3 重心内心この証明はベクトルを用いることで次のように導かれる G s M s G s N t とおくと b a a s s g a s g 1 s a b N G b a b t t g b t g a 1 t b M 1 s t s 1 t s t a b より s t g a b s s I s b ~1 b I t t t a t t a a a a I I I 1 a t t ~ a a s a s t b a 1より 1 t これを解くと s t a b a a b a b b 1に代入して I a b b aa bb i a b a a i a b a b a b 心傍 s s E s b ~1 b t E t t a t t a a a a E E 1 a t t ~ a a E s a s t b a 1より 1 t これを解くと s t a b a a b a b b 1に代入して E a b b aa bb e a b a a e a b a b a b 同様にして他の傍心も導くことが可能

4 外心 O s t とする 1 MO より MO O s t s t s t 0 M 1 O NO より NO O 0 N s t s t s t b s tb os 0 sb os t b s b os t b os s b t b b os s より b os b t 1 b b sin D b b os b 1 os b sin 4 4S ここで os b b a 3 b b os b b b a b S 8S a b 同様にして t となるのでなので b a b a b P 16 1 p S b a b a b a b a b b a b asin 4 4 4a 1 os a a b b b b a b a b 16 b a b a b であるから a b a 4 4 4a a os a a b b b 4 4 3a a b a b b b 4 a b a a a b a a b a b b a b p a b a a b os a ab os R sin ab os Rab sin 同様に b a b Rab sin a b Rab sin

5 つづき心垂心 4 a b a b b 外Rab sin sin sin a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b sheron の公式であるから Rab sin a Rab sin b Rabsin p Rabsin sin sin asin bsin sin sin sin sin bos H s t とする P より bos PH H P s t bos bos PH s t s t 0 bos b a s b os t 0 なので s b os t b os ~1 os 同様に QH b os s t b 0 b 1 よりなので os b a b s b t b os ~ b a b os s b os b t b a とできるので外心と同様に os os b b a b a b b a b b S 8S b a b b a b a a b b a a b b a より t P a b a b 1 16 S b a a b b a a b a h b a a b b b a a b Q H P

6 つづき心垂ここで a の係数に注目すると asin 4 b a a b a b 16 a b a a 4 4a 1 os a b a a 4 4a a os a b a a 4 a a b a b a a b b a b a b a b であるから a b a b a b a a b b b a a b h a b a b a os b os 4 a ab os os 4Rsin abosos 8Rabsin os os 8Rab tan os os os 同様に b a a b 8Rab tan os os os b a a b 8Rab tan os os os 8Rab os os os tan tan tan a b a b b a a b b a a b a b a b b 4 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 8Rab tan os os os b8rab tan os os os 8Rab tan os os os h 8Rab os os os tan tan tan a tan b tan tan tan tan tan

7 重心内心傍心は出しやすいが外心や垂心はいろいろと変換していかなければならず神奈川県元石川高校の星野敏司氏のホームページ *1 を参考に計算を行ったこの計算自体は図形の性質以外にベクトルや三角比面積公式を用いており数学の範囲では扱うことができないしかし数 Ⅱ 以降であれば複数の単元に渡った演習問題としてはおもしろいものであるしなにより非常に美しい対称性関連性をもっておるちょっと示すだけでもそれらを感じさせることができるものではないだろうか *1 Meta mathematiian shp(htp://

Math-Aquarium 例題図形と計量図形と計量 1 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする A 地点の目の位置 A' から木の先端への仰角が 30,A から 7m 離れた AQB=90 となる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45 であるとき,

Math-Aquarium 例題図形と計量図形と計量 1 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする A 地点の目の位置 A' から木の先端への仰角が 30,A から 7m 離れた AQB=90 となる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45 であるとき, 図形と計量直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする地点の目の位置 ' から木の先端への仰角が 0, から 7m 離れた Q=90 となる地点の目の位置 ' から木の先端への仰角がであるとき, 木の高さを求めよただし, 目の高さを.m とし, Q' を右の図のように定める ' 0 Q' '.m Q 7m 要点 PQ PQ PQ' =x とおき,' Q',' Q' を