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1 0 章数学基礎 1

2 大学では 高校より厳密に議論を行う そのために 議論の議論の対象を明確にする必要がある 集合 ( 定義 ) 集合 物の集まりである集合 X に対して X を構成している物を X の要素または元という 集合については 3 セメスタ開講の 離散数学 で詳しく扱う 2

3 集合の表現 1. 要素を明示する表現 ( 外延的表現 ) 中括弧で 囲う X = {0,1, 2,3} 慣用的に 英大文字を用いる カンマで区切る N = {1, 2, 3, } 自然数の集合 類推が容易なとき で表す 3

4 2.( 必要十分 ) 条件での表現 ( 内包的表現 ) Y = { x P ( x )} 代表元 真偽が判定できる文 ( 命題 ) 慣用的に英小文字 すなわち必要十分条件 K = { n n 100, nは偶数 } Q = p pq, は整数, q 0 q 4

5 空集合 ( 定義 ) 空集合要素が一つも無いようなものも集合と考え それを空集合といい φ あるいは {} と表す φ = {} 要素が一つも無いので, 括弧だけを記述する 5

6 慣用的な集合の記号 N = { x xは自然数 } = {1,2,3, } Z = { x x は整数 } = {, 2, 1,0,1,2,3, 1 } Q = { x x は有理数 } R C = = { x xは実数 } { x xは複素数 } これらの記号は万国共通に用いられる られる 6

7 集合の要素 ( 定義 ) 集合の要素 集合に対して x がX の要素であることを X x X と表し 集合 に対して が の要素で無いことを X x X x X と表す X Y x x X x Y 7

8 例題 = {1,3,5,7,9} とする このとき 次の式が正しいかどうかを示せ (1) (2) (3) 解 (4) 4 (5) 5 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (6) 6 8

9 練習 N = {1,2,3, } とする このとき 次の式が正しいかどうかを示せ (1) (2) (3) 10 N 1 N N (4) (5) (6) 3.4 N N N 9

10 部分集合 ( 定義 ) 部分集合 ( ならば ) とよむ 2つの集合 XY, について 次の論理に従う y Y y X B B が成り立つとき F F T Y は X の部分集合であるといい F T T Y X または Y X T F F と表す T T T X Y F : 偽 T : 真 Y X 10

11 例題 次の集合において 部分集合の関係にあるものをすべて示せ = {1, 2,3, 4,5} B = {1,3,5} C = {3,5} D = {2,3,5,7} 解, B, C B B, C B C C C D, D D 11

12 練習 次の集合において 部分集合の関係にあるものをすべて示せ Ν = { x x は x 2 5 x + 6 = 0 の解 } B C { x x } = は素数 { x xは奇数 } = は奇数 12

13 集合の相等 ( 定義 ) 集合の相等 2つの集合 XY, について Y X かつ X Y が成り立つとき X とは 等しい といい X = Y Y と表す X Y X = Y 13

14 和集合 ( 定義 ) 和集合 2つの集合 XY, について X または Y の要素全体からなる集合を X と Y の和集合といい X Y と表す すなわち X Y { x x Xまたはx Y} X Y 左辺を右辺で定義している X Y 14

15 共通部分 ( 定義 ) 共通部分 2つの集合 XY, について X と Y のどちらにも含まれる要素全体からなる集合を X と Y の共通部分 ( 積集合 ) といい X Y と表す すなわち X Y { x x Xかつx Y} X Y X Y 15

16 例題 = {12345} {1, 2,3, 4,5} B = {1,3,5} {,, C = {3,5} D = {2,3,5,7} とする このとき 以下の集合を求めよ D B (3) B D B C (1) (2) (4) 解 (1) D = {123457} {1, 2,3, 4,5,7} (2) B = {1,3,5} (3) B D = {1, 2, 3, 5, 7} (4) B C = {3,5} 16

17 練習 = {2, 4,6,8} B = {1,3,5} {,, C = {3, 6,9} D = {5, 7,8,9} とする このとき 以下の集合を求めよ (1) B (2) B (3) B D (4) D (5) B C (6) B C D 17

18 直積集合 ( 定義 ) 直積 n 個の集合 X に対して 1, X2,, Xn 次の集合 {( x1, x2,, xn) xi Xi( i = 1,2, n) } を X の直積 ( 直積集合 ) といい 1, X2,, Xn X X X 1 2 n と表す B B a b ( ab, ) b B ( ab, ) B a 18

19 例題 = {3, 4,5} B = {2,3} とする このとき とを求めよ B B 解 B B = = {(3, 2),(3,3),(4, 2),(4,3),(5, 2),(5,3) } {(2,3),(2, 4),(2,5),(3,3),(3, 4),(3,5) } B B 19

20 練習 = {1, 2} B = {3,6} C = { k, l} とする このとき 以下の集合を求めよ (1) B (2) B (3) B C (4) (5) B C (6) C B 20

21 写像 ( 定義 ) 写像 2つの集合 XY, について Xの各要素事に Y のある要素 (1つ) が対応づけられているとき この対応づけのことを X から Yへの写像 ( 関数 ) という f が X から Y への写像を f : X Y と表す 定義域といいます X f Y 値域といいます 行き先は一箇所 21

22 ( 定義 ) 要素の像 2つの集合 XY, に対する写像を f : X Y とする このとき X の要素 x ( x X ) に対応する Y の要素を f ( x) と表す ( このときは もちろん f ( x ) Y である ) X f Y f ( 1) = 対応関係を式で定めることもあるが 1-1 式でなくても写像は定義できる x Xに対して f ( x) = x Y 代表元といいます 22

23 像 ( 定義 ) 定義域の像 X 写像 f : X Y の定義域 X の部分集合 ( X) に対して 値域 Y の部分集合 f ( x ) x { } f を写像によるの像 (Image) といい f ( ) と表す また = X のとき を Im( f ) とも表す Y f ( X ) f f f ( X ) f ( ) 2 1 Im( f ) X Y

24 写像の相等 ( 定義 ) 写像の相等 集合 X から Y への2つの写像 f, g は ( f : X Y, g: X Y) 任意の x X に対して f( x) = g( x) が成り立つときに 等しい といい f = g と表す X Y X f g Y f = g

25 単射 ( 定義 ) 単射集合 X から Y への写像 f : X Yが f( x ) = f( x ) x = x を満たすとき f は単射 ( 写像 ) であるという X f Y X g Y 単射 単射でない 対応元が 1 つ 25

26 全射 ( 定義 ) 全射集合 X から Y への写像 f : X Yが f ( X) = Y を満たすとき f は全射 ( 写像 ) であるという または 上への写像ともいう X f Y X g Y 全射 値域に 余り がない 全射でない 26

27 全単射 ( 定義 ) 全単射 単射かつ全射であるような写像を 全単射 ( 写像 ) という また 全単射は 1 対 1 上への写像ともいう X f Y 全単射 値域に 余り がなく 値域の各元がちょうどひとつの定義域の元に対応している 27

28 合成写像 X ( 定義 ) 合成写像 集合 XYZ,, に対して 2 つの写像 f : X Y, g: Y Z があるとき X の各要素 x を Z の要素 g ( f ( x )) に対応させることにより X から Z への写像ができる これを f, g の合成写像といい g f と表す すなわち ( g f )( x ) = g ( f ( x )) である f Y g Z X g f Z 28

29 逆像 ( 定義 ) 逆像 写像 f : X Y に対して Y の部分集合 B をとると { x f( x) B} は X の部分集合である これを f による B の逆像といい f 1 ( B ) と表す すなわち { } f 1 ( B) x f( x) B X Y f X Y B f 1 ( B ) f B 29

30 逆写像 ( 定義 ) 逆写像写像 f : X Y が全単射ならば Y の各要素 y に 対して X の要素 f 1 ( y) を対応させる写像を定義できる これを f の逆写像といい f 1 と表す X Y f X 1 f Y 全単射 矢印を反対にする 逆写像 30

31 1 章行列と行列式 31

32 行列の定義 ( 定義 ) 行列 数 ( 実数 ) を縦横をそろえて並べたもの a a a n a a a n = a a a m1 m2 mn m m n n 縦が行 横が列あるとき 行列という 32

33 行列の型 ( 大きさ ) ( 定義 ) 行列の型行数 列数を行列の型あるいは大きさという 行 n 列の行列を m n 行列あるいは ( mn, ) 型行列という m n m m n 33

34 例 2 行 3 列の行列 ( 3, 3 ) 型行列 行列

35 練習 (1) 次の行列の型を答えよ (2) (3) [ 4] (4) (5)

36 行列の成分 ( 定義 ) 行列の成分 i 行 j 列の要素 a を (, ij ) ij 要素 ( (, ij) 成分 ) という 列 a11 a1j a1 n a i1 aij a = in am1 amj amn j i 添字は 行が先で 列が後 行 行列を (, ij) 成分だけに注目して = a ij のように表すこともある 36

37 ベクトル ( 定義 ) ベクトル 1 n m 1 大きさが あるいは の行列をベクトルという 1 n m 1 のベクトルを行ベクトル (row vecor) という = r r r r 1 2 n r = ( r, r,, r ),,, n 1 2 のベクトルを列ベクトル (column vecor) という c c1 c 2 = c n 37

38 行列と行ベクトル m n行列は m 個の n 次元行ベクトルで表現可能 a a a n r1 a a a r n 2 = = a a a m1 m2 mn r m ただし 1 i m に対して r i = ai1 ai2 a in 38

39 例 r r2 = = r r 4 とする r 1 = = (3,2, 5) r = = (4,1, 1) 2 (,, r3 = = (2,1,0) r 4 = = (7, 3, 2) 39

40 行列と列ベクトル m n行列は n 個の m 次元列ベクトルで表現可能 a11 a12 a1 n a21 a22 a2n = a m1 am2 a mn c c c = 1 2 n ただし 1 j n に対して c j a 1j j a2j = a mj 40

41 例 = = c c c とする = c = c3 = c1 2 41

42 例 = a ij = とする このとき a = a 23 = 1 a =

43 例 = a a = i + ij 3 4 ij j を行列とし とする このとき =

44 練習 r r2 = = r 3 a ij = = c1 c2 c3 c4 とする r 4 r 次に答えよ (1)(1,1) 成分 (2,3) 成分 (5,2) 成分 (2) 値が 11 である成分 値が 9 である成分 値が 3 である成分の集合 a, a, a (3) (4) r2, r5 (5) c 3 44

45 練習 r1 = 2 6 3, r 2 = 2 3 1, r = 3 8 2, 3 r 4 = とする このとき r1 r2 = r 3 r4 を求めよ 45

46 練習 = a 10 a = i ij 4 3 ij + j を行列とし とする このとき を求めよ 46

47 行列の相等 ( 定義 ) 行列の相等 2つの行列 = a, が次の (1) (2) を満たすとき ij b B = ij 等しい といい = B と書く B ( ) (1) との大きさが等しい (2) すべての ( ij, ) 成分について a = b である ij ij ij 47

48 例 =

49 練習次の行列の集合から等しい行列の組をすべて求めよ次の行列の集合から 等しい行列の組をすべて求めよ , 2 1, 2 1 3, 2 3 2, 2 1 3, ,, 2 1 1, 2 1,

50 行列の演算 行列の加法 ( 定義 ) 行列の加法 m n = a, = b B 同じ型 ( ) の行列 ij ij に対して その和 + B を a11 b11 a1 n b + + 1n + B = aij b + ij = a + b a + b m1 m1 mn mn + B m n と定義する このとき も の型になるこ とに注意する 50

51 例 = = =

52 和が計算できない行列 ? ? ?

53 行列の性質 1 ( 性質 ) 行列の和に関する性質 を全て同じ型の行列とする このとき 次が成り立つ,B,C (1) ( + B ) + C = + ( B + C ) ( 結合法則 ) (2) + B = B + ( 交換法則 ) (3) + O = O + = ( 加法単位元 ) + ( ) = ( ) + = O (4) ( 加法逆元 ) 53

54 零行列 ( 定義 ) 零行列 すべての成分が 0 である行列を零行列といい O = 0 0 で表す 特に 型にも注意するきには と書いて O mn m n 型の零行列を表す 54

55 例 O = O = O = O33 = O = O 43 =

56 加法逆元 ( 定義 ) 加法逆元 m n行列 = a ij 行列 m n = a ij に対して を加法逆元という このとき + ( ) = ( ) + = Omn が成り立つ = =

57 行列のスカラー倍 ( 定義 ) 行列のスカラー倍 k R m n スカラーに対して 行列の k 倍を ka 11 ka 1n k = k = aij ka ij = kam1 ka mn = aij と定義する このとき になることに注意する k m n の大きさも 57

58 例 = =

59 行列の性質 2 ( 性質 ) 行列のスカラー倍に関する性質,B, を同じ型の行列とし このとき 次が成り立つ kl R とする (1) ( k + l ) = k+ l ( 行列のスカラーへの分配法則 ) ( ) (2) k + B = k + k B ( スカラーの行列への分配法則の分配法則 ) ( ) (3) ( kl) = k l ( 結合法則 ) (4) 1 = ( 公等法則 ) (5) 0 = O ( 零倍 ) 59

60 練習 = 0 3, B = 2 0, C = とする このとき 行列演算の法則を用いることにより 次を計算せよ (1) 2+ B 2( B + ) (2) 5+ B 3(2B + 2 C) + 6C (3) 3 (( B) + ( B C) + ( C ) ) 60

61 行列の積 ( 定義 ) 行列の積 l m行列 = a ij と m n 行列 B = b ij に対して その積である C = B = c を ij m c = a b = a b + a b + + a b ij ik kj i1 1j i2 2j im mj k= 1 (1 i l,1 j n) となる行列とする ここで C = B になる l n の型は 61

62 行列積の覚え方 l = l n m m n ここが同じでないと乗算できない (1) まず 出来上がる行列の型をきめる ここが同じでないと 乗算できない m n l m l n 62

63 (2) 個々の成分を求める b 1j j b2 j b mj a a a i1 i2 im c ij 63

64 例 = 1 1 = B とする = B とする 1 [1 0 ] = B = B

65 練習 次の行列の中から 積が定義できるものに対して 積を求めよ =, C 1 = 0, 0 B 1 2 = 0 3, 0 1 D =

66 行列の性質 ( 性質 ) 行列の積に関する性質 1 積が定義できる行列に関して 次が成り立つ ( B) C = ( BC ) (1) ( 結合法則 ) B ( + C ) = B+ C (2) ( 左分配法則 ) ( + B) C = C + C (3) ( 右分配法則 ) (4) ( スカラーの移動 ) k( B) = ( k) B = ( kb) このような移動ができるのは スカラーに対してだけであることに 注意すること 66

67 例題 =, 1 0 B =, C =, 1 1 k = 2, とする 次式が成り立つかどうかを調べよ (1) ( B) C = ( BC ) (2) B ( + C) = B+ C (3) ( + B ) C = C + BC (4) k ( B ) = ( k ) B = ( k B ) 67

68 解 ) 左辺 : (1) ( B) C = ( BC ) B =, 1 0 = ( B) C =, 0 0 = 右辺 : BC = =, BC ( ) =, 1 0 = よって 左辺 = 右辺 これより ( B ) C = ( BC ) = BC と書いても誤解が無い 68

69 (2) B ( + C) = B+ C 左辺 : 右辺 : B + C =, = B ( + C) =, 1 0 = B = =, C =, 1 0 = B + C =, = よって 左辺 = 右辺 69

70 (3) ( + B) C = C + BC 左辺 : B =, = ( + B) C = =, 右辺 : C =, = BC =, = C + BC =, = よって 左辺 = 右辺 70

71 (4) k( B) = ( k) B = ( kb) B =, 1 0 = k = 2, k ( B) = 2 =, k = = ( kb ) =, 2 0 = kb = 2 = ( kb) =, 1 0 = よって 成り立つ 71

72 練習 0 =, 1 B = 1 1, 1 1 C =, 1 0 k = 1, l = 3, とする 次式が成り立つかどうかを調べよ (1) (2) ( B) C = ( BC ) k ( B ) = ( k ) B = ( kb) (3) l ( BC ) = ( l B ) C = B ( l C ) 72

73 練習 0 =, 1 1 B =, 1 = 2 1, C D = 1 0, とする 次式が成り立つかどうかを調べよ (1)C ( + D) = C + D (2) BC ( + D ) = BC + BD (3) ( + B) C = C + BC (4) ( + B) D = D + BD 73

74 行列の性質 ( 性質 ) 行列の積に関する性質 2 B B となる行列 行列 B がある 行列の積では 交換法則は成り立たない 74

75 例題 = 0 4 5, B = 1 0 1, とする B B を確かめよ 解 ) 左辺 =B = = 右辺 = B = = よって 左辺 右辺 75

76 行列の性質 ( 性質 ) 行列の積に関する性質 3 B = O でも = O B = または O とは限らない すなわち O B かつ O でも B = O となることがある とがある 76

77 例題 = 1 1 1, B = とする B 解 ) = O を確かめよ B = = = O

78 転置行列 ( 定義 ) 転置行列 m n行列 = [ ] に対して n m 行列 B = [ ] を a ij bij = aji (1 i n,1 j m) と定める このとき をの転置行列といい と表す すなわち すなわち B a11 a12 a1 n a21 a22 = am1 a mn b ij a a am a12 a22 = a a のとき 1n nm 78

79 転置行列のイメージ a a a a 21 a 22 = a a m1 mn m1 1n 転置 1 a a a a12 a22 = a n a 1n nm 回転 m n n m 79

80 例 = = B = B = C 2 3 = = 5 C 1 80

81 練習 次の行列の転置行列を求めよ = B = D = C =

82 転置行列の性質 ( 性質 ) 転置行列の性質 B l m C m n, を行列とし を行列とし k R とする このとき 次が成り立つ ( + B ) = + B (1) ( 和と転置の交換 ) ( k) = k ( ) (2) ( スカラー倍と転置の交換 ) = ( C) ( C)( ) (3) ( 積と転置の交換 ) ( ( ) ) (4) ( 転置の交代性 ) = 82

83 証明 = [ a ], = [ b ] ij B ij を l m 行列とする (1) ( + B) = + B 左辺 = ( + B) ( a ij [ bij ] ) = + ([ a b ]) = + ij = [ a + b ] ji ji ij 右辺 = + B = [ a ] + [ b ] ij = [ a ] + [ b ] ji ji = [ a + b ] ji ji ij よって 左辺 = 右辺 83

84 (2) ( k ) = k ( ) 左辺 = ( k ) ( ka ij ) = = [ kaij ] = [ ka ] ( ) ji 右辺 = k ( ) = k = ka [ ] = [ ka ] ( a ij ) ji ji よって 左辺 = 右辺 84

85 C = [ ], を行列とする c ij m n (3) ( C ) = ( C )( ) = =C とする すなわち D [ d ij ] d m = a c ij ik kj k=1 左辺 = ( C ) ( 右辺 = C)( ) = ([ d ]) = [ d ] ji ij = = [ c ] [ a ] kj ik = [ c ][ a ] m m ajkc = c jka ki ki k= 1 k= 1 jk ki よって 左辺 = 右辺 85

86 (3) のイメージ l m C m l n n 乗法 C l n 転置 C ( C ) n l C m n 転置 C m l 乗法 n m l m B 転置すると前後が入れ替わる n l n l ( C)( ) 86

87 (4) ( ( ) ) = 左辺 = ( ) = ( [ a ] ) ij = [ a ] ji = [ ] a ij = 右辺 QED 回転 回転 ( ( ) ) = m n n m m n 87

88 例題 0 1 =, B =, 1 1 C = 1 0 1, k = 3, とする 次式が成り立つかどうかを調べよ (1) ( + B ) = + B (2) ( k) = k( ) = (3) ( C) ( C)( ) (4) ( ( ) ) = 88

89 解 ) (1) ( + B) = + B 左辺 = = = = + = 1 1 右辺 = 左辺 = 右辺 (2) ( k) = k( ) 左辺 = = = = = 右辺 = 左辺 = 右辺 89

90 (3) 左辺 = 右辺 = (4) = ( C) ( C)( ) = = = = 左辺 = 右辺 ( ( ) ) = 左辺 = 0 0 = 0 1 = 1 1 = 右辺 90

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