5 分で解くシリーズ 0 確率 1(+ 英文法 ) 大学受験を終えた仲良し 5 人組の白石君 黒本君 赤木君 青田君 緑川君が卒業旅行で岡山の旅館に泊まりました (1) 旅館では 5 人のために雪と月の 部屋を用意してくれていました しかし 5 人は 全員が 1 つの部屋になってもいいので くじ引き

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1 5 分で解くシリーズ 01 平面図形 1998 年度本試験数学 ⅠA 第 問 [] 四角形 ABCD は円に内接し, ABC は鈍角で 1 AB, BC 6, si ABC 3 とする また, 線分 AC と BD は直角に交わるとする このとき cosabc クケ コ, AC サシ となる 円の半径は スセ ソ であり タツ si CAB チ, si ACB テとなる また,AC と BD の交点を H とおくと, DH トナ BH

2 5 分で解くシリーズ 0 確率 1(+ 英文法 ) 大学受験を終えた仲良し 5 人組の白石君 黒本君 赤木君 青田君 緑川君が卒業旅行で岡山の旅館に泊まりました (1) 旅館では 5 人のために雪と月の 部屋を用意してくれていました しかし 5 人は 全員が 1 つの部屋になってもいいので くじ引き で部屋を決めたい と旅館の方にお願いしました 旅館の方は快くそれを受け入れ 簡単にできる くじ引き の方法まで考えてくれました (a) 旅館の人になったつもりで 簡単なくじ引き の方法を考えてください ( 実際に使うものは くじ 以外のものでもかまいません ) (b) 5 人が泊まる泊まり方の組み合わせは 全部で何通りあるでしょうか () 部屋が決まったところで 旅館の方から 夕食のデザートとして 白桃アイスクリーム と きび団子 の 種類をご用意しております どちらか1つを選んで召し上がっていただくのですが 準備の関係で今お選びいただけませんでしょうか と言われました そこで これも くじ引き で決めよう となったのですが 少し悪乗りをして ハズレ も入れようということになりました 5 人は 全員がデザートなしになってもいいので くじ引き でデザートを決めたい と旅館の方にお願いしました 旅館の方はこれも快く受け入れ 簡単にできる くじ引き の方法まで考えてくれました (a) 旅館の人になったつもりで 簡単なくじ引き の方法を考えてください ( 実際に使うものは くじ 以外のものでもかまいません ) (b) 5 人が食べることになるデザートの組み合わせは 全員が食べられない場合も含めて全部で何通りあるでしょうか

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6 5 分で解くシリーズ 06 式と証明 (1) x+y=1 を満たす x,y について ax + bxy + cy = 1 が常に成り立つように a,b,c を定めよ () 3 実数 a, b, c が a+b+c=1 を満たすとき a + b + c 1 3 となることを示せ (3) x>0, y>0, z>0 とする 1 x + y + 3 z = 1 4 のとき x+y+3z の最小値を求めよ

7 siα=si3α (0<α<π/) を満たす α を求めよ

8 0 として 5 分で解くシリーズ 08 三角関数 01 年度本試験数学 II B 第 1 問 si cos を満たすについて考えよう ただし, 0 とする たとえば, のとき,のとり得る値は 6 シとスシ の二つ このように,の各値に対して,のとり得る値は二つある そのうちの小さい方を 1, 大きい 方を とし 1 y si 3 が最大となるの値とそのときの y の値を求めよう 1, をを用いて表すと, 0 のときは 1 セソ, タ セソ となり, のときは 1 チツ, テ チ ツ となる 1 したがって, のとり得る値の範囲は 3 ト 1 ニヌ ナ 3 ネ よって,y が最大となるの値は ノハヒ フ であるこ とがわかる フ に当てはまるものを, 次の0~3のうちから一つ選べ

9 関数 5 分で解くシリーズ 09 三角関数 3 01 年度追試験数学 II B 第 1 問 f 3ta ( x ) x 4 3 3(si 3cos ) 1 ta x について, すべての実数 x に対して f( x) 0 が成り立つようなの値の範囲を求めよう ただし, とする 不等式 f( x) 0 がすべての実数 x に対して成り立つための条件は, 次方程式 f( x) 0 の判別式 D が D チ 0 を満たすことチに当てはまるものを, 次の0~のうちから一つ選べ 0 1 倍角の公式により si 3cos ツ cos 3ta si 1 ta テトであるから, 判別式 D は D 1( ナ si cos )( ナ si cos ニ ) と表すことができる ここでナ si cos ニヌ 0 ヌに当てはまるものを, 次の0~のうちから一つ選べ 0 1 また ナ si cos ネ si ノ であるから, 条件 D チ 0 により, 不等式 f( x) 0 がすべての実数 x に対して成り立つようなの とり得る値の範囲は フ ハヒハヒ であることがわかる

10 5 分で解くシリーズ 10 微積 1 放物線 y=x +7 と その接線のうち点 P(1,-1) を通る 本の直線で囲まれた面積を求めよ

11 5 分で解くシリーズ 11 微積 本の放物線 y=(x+3) -6 y=(x-3) +6 とその共通接線で囲まれた面積を求めよ

12 5 分で解くシリーズ 1 微積 3 本の放物線 y=-x y=(x-4) +10 とその共通接線で囲まれた面積を求めよ

13 5 分で解くシリーズ 13 微積 年度本試験数学 II B 問 座標平面上で, 放物線 y x を C とする 曲線 C 上の点 P の x 座標を a とする 点 P における C の接線 l の方程式は y アイ x a ウ a 0 のとき直線 l が x 軸と交わる点を Q とすると,Q の座標は エ, カ オ a 0 のとき, 曲線 C と直線 l および x 軸で囲まれた図形の面積を S とすると S a キ クケ a のとき, 曲線 C と直線 l および直線 x で囲まれた図形の面積を T とすると 3 a ス T サ a シ a コセ a 0 のときは S 0, a のときはT 0 であるとして,0a に対してU S T とおく a がこの範囲を動くとき,U は a ソで最大値 a ツ テ で最小値 ト ナニ をとる タ チをとり,

14 009 年度追試験数学 II B 第 問 関数 f( x) を で定める f ( x) u( u ) du f( x) を計算すると となる x 1 f ( x) ( x イ )( x ウ ) ア f( x) 0 となる x の値の範囲は x エオ f( x) は x カで極大値 キクをとり, x ケで極小値コをとる y f ( x) のグラフを C とする C 上の点 P( t, f ( t)) における C の接線 l と C の共有点 の x 座標は,t および サシ t スしたがって,C と l が 1 点だけを共有 するのは, t セのときまた,C と l のすべての共有点の y 座標が正とな るのは, ソタ t チかつ t ツ テ のとき t セとし, st セとおく 接線 l の傾きは, s ト C と l の二つの共有点のうち P と異なるものを Q とする 点 Q における C の接線を m とする と,m の傾きは, ナ s ニ直線 l と m のなす角を 0 とす ると 1 1 ta ヌ ノ ネ s s ハ したがって, 相加平均と相乗平均の関係により t セ 4 1 ヒ のとき, ta は最大となる このとき, も最大となる

15 5 分で解くシリーズ 15 数列 年度本試験数学 II B 第 3 問 数直線上で点 P に実数 a が対応しているとき,a を点 P の座標といい, 座標が a である 点 P を P( a) で表す 数直線上に点 P 1(1), P () をとる 線分 PP 1 を3 : 1に内分する点を P 3 とする 一般に, 自然数 に対して, 線分 PP 1 る x1 1, x であり, x 3 P を 3 : 1 に内分する点を とする 点 P の座標を x とす アイ数列 { x } の一般項を求めるために, この 数列の階差数列を考えよう 自然数 に対して y x1 x とする エオ y1 ウ, y 1 y ( 1,, 3, ) カ エオ したがって, y ( 1,, 3, ) であり カ x クコ エオ ( 1,, 3, ) ケケ カ キ となる ただし, キ, サについては, 当てはまるものを, 次の 0 ~3 のうち から一つずつ選べ 同じものを繰り返し選んでもよい サ 次に, 自然数 に対して S k1 k y を求めよう r k エオ カ とおくと S rs シ k1 r r ス k1 ( 1,, 3, ) であり, したがって ツ セソ 1 1 S 1 タ チ テ ト となる ただし, シ, ス, ツ, ナについては, 当てはまるものを, 次の 0 ~3のうちから一つずつ選べ 同じものを繰り返し選んでもよい ナ

16 5 分で解くシリーズ 16 数列 008 年度本試験数学 II B 第 3 問 (1) 数列 { a } は初項が 7, 公差が 4 の等差数列とする 数列 { a } の一般項は a アイ ウエ であり, 初項から第 項までの和は ak オカ キ k1 () 数列 { b } は, 第 項が b p q r という の 次式で表され b1 b オカ キ ( 1,, 3, ) 1 を満たすとする このとき, p ク, q ケ, r コ であり, b 1 サシ さらに, 次の条件によって定まる数列 { c } を考えよう c1 1 c1 c オカ キ ( 1,, 3, ) 1とより, d c b とおくと d1 ス d 0 ( 1,, 3, ) が成り立つ これより, 数列 { c } の一般項は 1 c セ ソ ク ケ コ 数列 { c } の初項から第 項までの和 となる c k k 1 ツトニヌ 3 タ チ ノテナネ は

17 5 分で解くシリーズ 17 数列 年度追試験数学 II B 第 3 問 { a } を初項 a, 公差 d の等差数列とし,{ b } を初項 a, 公比 r の等比数列とする ただ し, a 0, r 1とする (1) a5 bとすると ar ( ア ) d イさらに, a 17 b 3 とすると a r ウ, d エとなる このとき, a m b となる m は を用いて 1 m オ カ キ と表される () c 1 オ カ キとおく このとき, 数列 { c } は漸化式 c1 ク c ケ ( 1,, 3, ) を満たす p を実数とし, p 0 とする 数列 { d } を d pc ク c ケ により定めるとき,{ d } の階差数列が等比数列であるとする このとき p コ サ また, 数列 { d } の初項から第 項までの和 S は S シ ( セ ソ ) ス タ チ

18 5 分で解くシリーズ 18 数列 年度本試験数学 II B 第 3 問 自然数の列 1,,3,4, を, 次のように群に分ける 1, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1 第 1群第 群第 3群 ここで, 一般に第 群は (3 ) 個の項からなるものとする 第 群の最後の項を a で表 す (1) a1 1, a 5, a 3 1, a 4 アイ a a1 ウ エ (, 3, 4, ) が成り立ち オクキ a カケ ( 1,, 3, ) よって,600 は, 第 コサ 群の小さい方から シス 番目の項 () 1,, 3, に対し, 第 ( 1) 群の小さい方から 番目の項を b で表すと セチタ b ソツ であり 1 テ 1 1 b ト ナ が成り立つ これより 1 ニ bk ヌ k1 となる ネ ( 1,, 3, )

19 5 分で解くシリーズ 19 数列 年度追試験数学 II B 第 3 問 数列 { a } を a ( 1,, 3, ) で定める (1) a を 10 で割った商を b とし, 余りを c として, 数列 { b } と { c } を定める このとき a 10b c ( b と c は整数で, 0 c 10 ) S とおく a T bk U c k1 k1 k k 1 S を求めると S イ ア ウ k 数列 { c } の初めの 5 項は c 1 エ, c オ, c 3 カ, c 4 キ, c 5 ク であ る 自然数 p で, すべての に対して c p c となるものがあり, その最小のものは p ケ 以下では p ケとし, 自然数 を pl m (l と m は整数で, 0 m p) と表す このとき U コサ l は m だけで定まり, これを d m とおけば d 0 シ, d 1 ス, d p1 セソ であるから S タチ T U T と表される ツ テ ナ l ト d m ニヌ () a を 11 で割った余りを e (0 e 11) として, 数列 { e } を定め V e k k 1 とおく 自然数 q で, すべての に対して e q e となるものがあり, その最小のものは q ネノで ある q と表すとき ネノとし, 自然数 を ql m (l と m は整数で, 0 m q) V ハヒ は m だけで定まる l

20 006 年度本試験数学 II B 第 4 問 平面上の三つのベクトル a,b, c は a = b = c = a + b = 1 を満たし,c は a に垂直で, b c > 0 であるとする (1) a とb の内積は アイ a b = ウ また a + b = エ であり, a + b とb のなす角はオカ () ベクトルc を a とb で表すと キ c = ( a + ケ b) ク (3) x, y を実数とする ベクトル p = xa + yc が 0 < p a < 1, 0 < p b < 1 を満たすための必要十分条件は コ < x < サ, x < シ y < x + ス x と y が上記の範囲を動くとき,p c は最大値セをとり, この最大値をとるときの p を a とb で表すと p = ソ a + タ b

21 007 年度追試験数学 II B 第 4 問 三角形 ABC の 3 辺の長さがそれぞれ AB 3, BC a, CA 6 であるとする 点 P は apa 6PB 3PC 0 を満たすとする また, AB x, AC y とおく (1) 直線 AP と直線 BC の交点を D とする AP, AD を x と y を用いて表すと, それぞ れ アエ AP x y イ ウイ ウ オキ AD x y カカ となる ( イとウは解答の順序を問わない ) () AD と x の内積を求めよう (1) よりキ AD x ク x y カ また, 余弦定理を用いると a x y ケコサ であるから, 求める内積は a AD x シスセ (3) AD のとき, a ソタこのとき, 点 P から直線 AB に下ろ した垂線と直線 AB との交点を H とする PH を x と y で表そう PH x チであるから, 実数 t を用いて AH txと表したとき t ツ ト テ したがって PH ナ ニネ ノ x ヌハ y

22 008 年度追試験数学 II B 第 4 問 ( 配点 0) 平面上に一辺の長さが 1 である正三角形 OPQ がある 直線 OQ に関して P と対称な点 を R とし, 直線 OP に関して Q と対称な点を S とする PS を a : (1 a) (0 a 1) に内分 する点を A,OR を b : (1 b) (0 b 1) に内分する点を B とする ベクトル OP,OQ をそ れぞれ p, q とおく (1) OA, OB を p, q で表すと OA p ア q OB イ p ウ q であるから, AR と BQ は AR エ p ( オ カ ) q B Q キ p ( ク ケ ) q となる ただし, オとカは解答の順序を問わない これより 1 AR B Q ( サ a シ b ab) コ () 直線 AR と BQ が垂直に交わるとする このとき,b は a を用いて ス a b a セ と表される さらに a 1 とすると AR ソタチ, B Q であり, 四角形 ABRQ の面積は ナニ ネノ ヌ ツテ また, 直線 AR と BQ の交点を C とすると 1 OC ( フ p ヘホ q) ハヒ ト

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24 5 分で解くシリーズ 4 ベクトル 年度本試験数学 II B 第 3 問 点 A (0, 0, 0) を通り, ベクトル u ( 1, 1, 0) に平行な直線をl とする また, 点 B(0, 5, ) を通り, ベクトル v (1, 0, 1) に平行な直線を m とする l 上の点 P から m に下ろした垂線の足を P とする ま た,m 上の点 Q から l に下ろした垂線の足を Q とする PP QQ かつ PP QQ となる P と Q を求めよう 補足 : 点 P から m に下ろした垂線の足 とは, 点 P からひいた m の垂線と m との交点のこと (1) 実数 t,t, s, s により AP t u, BP t v, BQ s v, A Q s u と表される 直線 PP と直線 m が直交するから t ア イ ウ ベクトル PP の成分を t を用いて表すと オ PP ( エ カ t t, キ t, クケ 同様に直線 QQ と直線 l が直交するから 5 1 s s ベクトル QQ の成分を s を用いて表すと QQ ( シ ス セ ソ s, タチ ツ テ ト コ サ t ) s, ナ s) () さて, PP QP PQ QQ P Q であるから, PP QQ であるための条件はQP PQ で ある PQ (s t) u, QP ( t s) v であるから, PQ QP となるのは s ニ t 1 または s ヌネ t のとき (3) 1が成り立つとき, PP と QQ が垂直になるのは t ノまたはt ハのとき ( ノとハは解答の順序は問わない ) が成り立つときは, PP 実数 t の値はない と QQ が垂直になるような

25 5 分で解くシリーズ 5 融合問題 1 下の連立方程式を解け si x + 3 cos y = 3 3 si y + cos x =

26 5 分で解くシリーズ 6 融合問題 1. x を実数とするとき f(x)= x x + + x 6x + 13 の最小値を求めよ. x +y =1 のとき 3x+4y の最大値 最小値を求めよ 3. si α + si β = 1, cos α + cos β = 1 3 のとき ta{ (α + β) } を求めよ

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