第1章単位

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うきえまるこ
6 years ago
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1 H. Hamano,. 長柱の座屈 - 長柱の座屈長い柱は圧縮荷重によって折れてしまう場合がある. この現象を座屈といい, 座屈するときの荷重を座屈荷重という.. 換算長長さの柱に荷重が作用する場合, その支持方法によって, 柱の理論上の長さ L が異なる. 長柱の計算は, この L を用いて行うと都合がよい. この L を換算長 ( あるいは有効長さという ) という. 座屈荷重は一般に, L したがって, 座屈応力度は L ( L / r) これは, オイラーの公式といわれるもので, 一般に L/r> の場合に適用される. また, を細長比という.r は断面次半径である. 換算長 L と, 実際の長柱の長さとの間に L L の関係がある. は長柱の支持方法によって決まる係数で, これを換算係数という. (.) (.) (.3) L= μ =.5 L.7 L= L=.5 μ = μ = 図. 換算長と換算係数は荷重に対する抵抗の強さを示しており, 上図の左の系を基準とすると, 左から : : 8 : 6 の割合になっている. たとえば, 両端単純支持の長柱は, 一端固定他端自由の長柱の倍の強さを持っていることを示している.. 各種長柱公式前に求めた両端ヒンジの長柱は Hooke の法則が成り立つ範囲で成立する. すなわち, この式は比例限度よりも小さい範囲で適用しなければならない. E より E (.) 5 この式において E. N/mm, 35N/mm とすると, は約 9 となる. すなわち, は限界細長比よりも大きい範囲で成り立つ. これ以外の範囲では次のような実験公式を用いる.

2 H. Hamano,. 長柱の座屈 - ) 直線式 ( テトマイヤー式 ) ab (a, b: 材料の性質から定まる定数 ) ) 双曲線式 ( ゴルドンランキン式 ) a (a, b: 材料の性質から定まる定数 ) b 3) 放物線式 ( ジョンソン式 ) ab (a, b: 材料の性質から定まる定数 ) (.5) (.6) (.7) これらの式の関係は次図のようになる. 短柱テトマイヤーの式オイラーの公式ジョンソン式ランキン式図. 各種実験公式わが国の鋼道路橋示方書では SS,SM に対して許容応力度を次のように設定している ( 単位は N/mm ). L / r 8 : 8 L / r 9 : 9 L / r : a a a L.8 8 r L 6 7 r (.8)

3 H. Hamano,. 長柱の座屈 -3.3 各種長柱の座屈荷重.3. 両端ヒンジ柱の座屈荷重両端ヒンジの柱に集中荷重が軸方向に作用している場合を考える. 支点よりの点のたわみをとすると, この点での曲げモーメントは M (.9) d M ここで k とおくと d k が得られる. 式 (.) の一般解は次のように得られる. cos k Bsin k ここに,,B は積分定数である. 境界条件を適用すると : : Bsink 式 (.) の第式において B がであれば式 (.3) は成り立たないから B とおくと sink (.5) この式を座屈条件式という. これより k nπ ( n,, ) (.6) これを式 (8.) に代入すると n π (.7) したがって, たわみ式は式 (.3) より nπ Bsin (.8) この式の B は不定であり, 形状は決まらない. ここでは,n が最小 (n=) の場合が意味を持ち, 座屈荷重は次のようになる. π (.9) したがって, 座屈応力度は E E (.) / r この式で, r I / は断面次半径, / r は細長比を表す. 図.3 式 (.9) は Euer の座屈荷重といわれ,Hooke の法則が成り立つ範囲で成立する. 両端ヒンジの柱 B (.) (.) (.) (.3) (.)

4 H. Hamano,. 長柱の座屈 -.3. 一端固定他端自由の柱の座屈荷重図において点の曲げモーメントは ( ) M d これより次式を得る. d k k ここに k 式 (.3) の一般解は cos k Bsink この式の,B は積分定数である. 境界条件を適用すると : d : これよりたわみは B ( cos k) (.7) この式では不定であるが, : より cos k が得られる. ここでであるから座屈条件式は cos k (.8) これを満足する最小の根は k π であるから, 座屈荷重は π ( ) 座屈応力度は σ π π E r π ( ) λ この式で, r I / は断面次半径, / r は細長比を表す. E (.) (.) この系の強度は式 (.3) より両端ヒンジの場合の / であることが分かる. 図. B 一端固定他端自由の柱 (.3) (.) (.5) (.6) (.9) (.3)

5 H. Hamano,. 長柱の座屈両端固定の柱の座屈荷重両端ヒンジの柱に集中荷重と, 点,B のたわみ角がとなるような曲げモーメント M が作用している場合を考える. 支点よりの点のたわみをとすると, この点での曲げモーメントは (.3) M d これより d k k ここに k 式 (.33) の一般解はつぎのようになる. cos k Bsin k ここに,,B は積分定数である. 境界条件を適用すると : d : B したがって, たわみ式は式 (.6) より ( cos k) d また, :, より cos k および sink この座屈条件式を満足する最小値は k となる. したがって, 座屈荷重は π (/ ) 座屈応力度は σ π π E r π E ( / ) λ この式で, r I / は断面次半径, / r は細長比を表す. この系は, 式 (.) より両端ヒンジの柱の倍の強さを示している. 図.5 両端固定の柱 B (.3) (.33) (.3) (.35) (.36) (.37) (.38) (.39) (.)

6 H. Hamano,. 長柱の座屈一端固定他端ヒンジの柱の座屈荷重両端ヒンジの柱に集中荷重と, 点のたわみ角がとなるような曲げモーメント M が作用している場合を考える. この場合, 釣合いが成立するように両端に垂直反力 Q (.) が図示のように作用する. B Q Q 図.6 一端固定他端ヒンジの柱支点よりの点のたわみをとすると, この点での曲げモーメントは Q( ) M d Q ( ) これより d Q k k ( ) ここに k 式 (.) の一般解は Q cosk Bsink ( ) ここに,,B は積分定数である. 境界条件を適用すると Q : d Q : B k したがって, たわみ式は式 (.6) より Q cos k sink( ) k また, : より次の座屈条件式が得られる. (.) (.3) (.) (.5) (.6) (.7) (.8) tan k k この式を満足する値は.9 k.93, π (.7). 7.75,.9,.66, π したがって, 座屈応力度は π π E π E σ (.7) λ.7 r この式で, r I / は断面次半径, / r は細長比を表す. この系は, 式 (.5) より両端ヒンジの柱の倍の強さを示している., このうちの最小値をとって座屈荷重は (.9) (.5) (.5)

7 H. Hamano,. 長柱の座屈任意横分布荷重が作用するはりの座屈微分方程式一般に横荷重の作用する座屈の微分方程式を導く. 軸方向荷重と横荷重 q() が作用した場合を考える. q() M+dM Q B M Q+dQ (a) (b) (c) q d 図.7 任意分布荷重の作用する単純支持の柱微小要素を取り出し, それが変形した状態を図 (c) とする. dq V : Q q Q( dq ), q つぎに d M : M q ( Q dq ) ( M dm ) 次の微小項を無視すると Q dm d ゆえに dm d Q 回微分して d M d dq ここで, d M d d M, 式 (.57) の第式と式 (.5) を式 (.56) に代入すると d d q ここで,q = とおくと d k d, ただし k これが横荷重の作用しないときの座屈の微分方程式である. この一般解は cos k B sin k C D 式 (.59) は横荷重 q() が作用するときの座屈微分方程式である. この式より d k d k q この式の一般解は q cosk B sink C D 式 (.6) に境界条件を適用すれば解が得られる. (.5) (.53) (.5) (.55) (.56) (.57) (.58) (.59) (.6) (.6) (.6)

8 H. Hamano,. 長柱の座屈 -8 [ 例題.] 次の座屈応力度を求めよ [ 解 ] ) の場合 : 曲げモーメント : ) M ( d M ( ) E I E I ここで k とおくと d k k この式の一般解は次のように得られる cos kbsin k ここに,,B は積分定数である. d ksin k kbcos k 境界条件 : : より B tan k EI.8 曲げ剛性の変化する柱 ) の場合 : 曲げモーメント : ) M ( d M ( ) ここで k とおくと d k k この式の一般解は次のように得られる Ccos kdsink ここに,C,D は積分定数である. d kcsin k kdcos k 境界条件 : : より C : より D したがって, cos k ) ( 連続条件 ; : より cos k cos k B sin k : より k tan k tan k k ここで, k k の特別の場合には

9 H. Hamano,. 長柱の座屈 -9 tan となるからが得られる. よって座屈荷重はとなる. また, 座屈応力度は r E E E / r ここに, r I / は断面次半径, / r は細長比を表す. [ 例題.] 作用荷重 =tf, 長さ =m の H 型鋼の座屈荷重を求めよ ( 工学単位 ). H 型鋼 : Y [ 解 ] 細長比は 53. r 7.55 ) 鋼材 SS の場合 : H 型鋼の座屈 3 規格表より I I,cm 6,75cm 8.cm r 7.55cm 93 よりテトマイヤーの式を使う. 8.( ) 8.(53. ) a ゆえに, 座屈荷重は 38.kgf 3.9tf tf a ) 鋼材 SM9 の場合 : 5 8 よりテトマイヤーの式を使う. 9 3( 5) 9 3(53. 5) a a 6.8kg/cm kg/cm kgf 66.5tf tf

構造力学Ⅰ第１２回

構造力学Ⅰ第１２回第回材の座屈 (0 章 ) p.5~ ( 復習 ) モールの定理 ( 手順 ) 座屈とは荷重により梁に生じた曲げモーメントをで除して仮想荷重と考える座屈荷重偏心荷重 ( 曲げと軸力 ) 断面の核この仮想荷重に対するある点でのせん断力たわみ角に相当する曲げモーメントたわみに相当する ( 例 ) 単純梁の支点のたわみ角 : は図を仮想荷重と考えたときの点の支点反力 B は図を仮想荷重と考えたときのB

第1章 単 位

第1章単位