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1 日本機械学会基準 部分安全係数法を用いた機械製品の信頼性評価に関する指針 目 次 I. 用語... 2 II. 記号 指針の目的 適用範囲 部分安全係数法 限界状態の数学的記述 限界状態の明確化 破損モードの抽出 限界状態関数の設定 部分安全係数の設定 確率特性の表現 特性値の設定 目標信頼性指標の設定 部分安全係数の算出 部分安全係数に基づく信頼性評価 既存の部分安全係数を利用する場合 確率分布の確認 目標信頼性指標の確認 部分安全係数の設定

2 I. 用語部分安全係数法所定の信頼性を確保するために必要な部分安全係数を 荷重及び強度に対してそれぞれ設定し これにより評価対象が要求性能を満足しているかを評価する手法 部分安全係数荷重及び強度に対して与えられる 不確かさに対する余裕を考慮するための係数 荷重及び強度の確率分布特性 並びに目標信頼性指標に応じて 一式の係数が与えられる 目標信頼性指標 T 評価対象が備えるべき信頼性の度合いを 信頼性指標の形式で与えたもの 信頼性指標 破損確率 P f の代わりとして用いられ =- -1 (P f ) で定義される ここに -1 は標準正規分布関数の逆関数である 破損機械製品又は機械要素が 安全上の機能 使用性などの設計での要求性能を満足していない状態 使用性機械製品又は機械要素が 考えられるあらゆる負荷のもとで, 通常の使用に対して機能できる能力 信頼性機械製品又は機械要素が所定の要求性能を満足できる能力 所定の要求性能は 基準期間と対応付けて与えられる 基準期間信頼性を評価するに当たって 時間依存性をもつ荷重 材料特性などの値を設定するための基準となる ある選ばれた期間 設計供用期間又は次回定期検査までの期間に基づいて設定することができる 設計供用期間大きな補修を必要とせずに 当初の目的のために機械製品又は機械要素を使用できると仮定した期間 限界状態それを超えると 機械製品又は機械要素がもはや設計での要求性能を満足しなくなる状態 終局限界状態それを超えると 崩壊又はそれに類似した構造的破壊を招く限界状態 使用限界状態それを超えると 機械製品又は機械要素が使用性に関する要求性能を満足できなくなる限界状態 非可逆的限界状態一度それを超過すると 超過の原因となった負荷が取り除かれても永久的に超過したままになる限界状態 可逆的限界状態超過の原因となった負荷を取り除くことで それを超過していない状態に復帰することが可能である限界状態 限界状態関数基本変数 Xの関数 g であり g(x) = 0 によって限界状態を定義するもの g > 0は望ましい状態で g 0は望ましくない状態 2

3 基本変数確率分布母数変動係数 を示す 荷重 環境的影響 材料特性 又は幾何学量に対応する物理量を表す ある特定の変数群 不確かさを持つ物理量について 値の出現確率を記述するための数学モデル 確率分布関数又は確率密度関数で定義される 確率分布を特徴づける数であり 確率分布関数及び確率密度関数はこれを利用して記述することができる 頻繁に用いられる母数としては 平均値 標準偏差 変動係数などがある 確率分布の標準偏差を 平均値で除したもの II. 記号 PSF R R V 信頼性指標部分安全係数荷重荷重のベクトル強度強度のベクトル平均変動係数 3

4 日本機械学会基準 部分安全係数法を用いた機械製品の信頼性評価に関する指針 1. 指針の目的 適用範囲 本指針は 機械製品の設計 維持段階において 部分安全係数法に基づき信頼性評価を 行うための手順を示したものである 2. 部分安全係数法 (1) 2.1 節から 2.3 節に示す手順に基づき 評価を実施すること (2) 過去に類似の評価を行った事例があり 過去に算出された部分安全係数を利用して評価を行う場合には 2.2 節に代えて 2.4 節を利用することができる 評価手順の概略を図 2.1に示す 2.1 限界状態の数学的記述 限界状態の明確化 破損モードの抽出 限界状態関数の設定 2.2 部分安全係数の設定 確率特性の表現 特性値の設定 目標信頼性指標の設定 置換 2.4 既存の部分安全係数を利用する場合 部分安全係数の算出 2.3 部分安全係数に基づく信頼性評価 図 2.1 部分安全係数法の実施手順 4

5 2.1 限界状態の数学的記述 限界状態の明確化 (1) 対象機械製品が基準期間中に発揮すべき機能を明確化すること (2) 発揮すべき機能に対する限界状態を明確化し記述すること 破損モードの抽出 (1) 2.1.1で明確化された限界状態をもたらす 破損モードを抽出し 評価を要するものを明確化すること (2) 一つの機械製品内で複数の破損モードが存在する場合には その全てを抽出し 破損モードの繋がりを Fault Tree などを用いて明確化すること 複数の破損モードが生じる例として 以下が挙げられる a. 破損をもたらすメカニズムが複数存在するケース b. 機械製品を構成する機械要素についてそれぞれ破損を定義することができるケース 限界状態関数の設定抽出された破損モードに対し 破損モードが生起する限界を数学的に記述した 限界状態関数を設定すること 限界状態関数は 以下の条件を満足するように設定すること (1) 破損モードの生起に関連する基本変数を 破損モードの特性を考慮して選定すること 例えば 荷重が強度を超過することで生じる不可逆な破損モードであれば 基準期間中に生じる荷重の最大値を基本変数として選定すべきである 一方で 疲労のように繰返し数に依存する破損モードであれば 荷重の大きさのみならず 基準期間中の負荷回数もまた基本変数として選定すべきである (2) 値が大きいほど破損モードが生起しやすい基本変数を荷重 と分類し 値が大きいほど破損モードの生起を防止できる基本変数を強度 Rと分類すること (3) 限界状態関数は 式 ( ) に示すように それぞれ一種類又は複数種類の荷重, 強度 Rの関数として表記すること g,r ( ) f g (4) 限界状態関数が 0となる条件が 節において明確化した限界状態と対応すること 限界状態関数が正となる条件では 発揮すべき機能が満足されていること (5) 複数の破損モードが抽出されている場合 各破損モードに対応する限界状態関数をそれぞれ別個に設定すること 5

6 2.2 部分安全係数の設定 確率特性の表現限界状態関数に含まれる 荷重や強度をはじめとする基本変数は確率変数として扱い それぞれ値の不確かさの特徴を表現する確率分布を 以下の手順により設定すること ただし 値の不確かさが極めて小さい又は評価結果に与える影響が微小であることが明らかな基本変数については 確率分布を設定せず確定値として取り扱うことができる (1) 基本変数がもつ不確かさの特性を 適切に表現できる確率分布形状を選択すること 例えば 規定された時間内に生じる荷重の最大値であれば最大値の分布を選択する等 基本変数に不確かさが生じるメカニズムを考察し これに合致した確率分布を選択することが望ましい (2) 確率分布の平均値及び変動係数を 設計条件 過去の試験 観測データなどに基づき決定すること 確率分布を一意に指定するために さらに追加の母数の決定が必要である場合には これについても決定すること a. 十分な試験データがある場合 データを統計処理することにより確率分布母数を決定することができる b. 利用可能なデータが 実機と比較して寸法等が異なる条件に基づき得られたものである場合 理論的又は経験的な係数によって換算を行うこと c. 確率分布の決定に資するデータが十分に存在しない場合には 工学的判断に基づき確率分布母数を決定することができる 特性値の設定各基本変数について 特性値の比 k /,R k / R を設定すること 比の算出に用いる特性値 k,r k は 以下の考え方で設定すること (1) 強度に対する特性値 R k は 材料の設計引張強さ 設計降伏応力などの規格値を用いることができる 試験等に基づき設定する場合には 強度に対する確率分布の何 % 点であるかを明記すること (2) 荷重に対する特性値 k は これを基準期間中に望ましくない側に超過する確率が 所定の値となるように選択すること ここでいう所定の値は 評価を通じて一貫した値を設定するもので 目安として 5% を用いることができる また 荷重の最大限の値として 従来から評価に用いられている数字があれば これを特性値 k とすることができる 6

7 2.2.3 目標信頼性指標の設定各破損モードに対して 適切な目標信頼性指標を設定すること (1) 目標信頼性を信頼性指標の形式で表現した 目標信頼性指標を与えること (2) 目標信頼性指標は 破損時の影響の大きさ等を考慮して 評価対象の機械製品に対して要求される信頼性の大きさに応じた値を設定すること (3) 目標信頼性指標の設定にあたっては その値の妥当性について十分な説明性を確保すること 妥当性の説明は 例えば既存の設計基準に基づいて設計された代表的な機械製品又は構造要素に対して信頼性指標 を算出し その値を基に目標信頼性指標 T を決定する キャリブレーションによることができる (4) 機械製品が複数の破損モードをもつ場合 機械製品の総合的な目標信頼性指標を満足するように 各破損モードについての目標信頼性指標を配分すること a. 複数の破損モードのいずれか一つが生起することで 対象機械製品の破損に至る場合には 全破損モードの和事象について目標信頼性指標を満足するように 各破損モードの目標信頼性指標は 機械製品の総合的な目標信頼性指標より大きい値を設定すること b. 複数の破損モードの全てが生起しなければ 対象機械製品の破損に至らない場合には 全破損モードの積事象について目標信頼性を満足すればよく 各破損モードの目標信頼性指標は 機械製品の総合的な目標信頼性指標より小さい値を用いることができる ただし 複数の破損モードで支配的な基本変数が共通する場合 複数の破損モードが同時に発生する可能性が高く 目標信頼性指標の低減につながらないことに留意すること 部分安全係数の算出評価に用いる部分安全係数を算出する 算出は 以下 (1),(2) のいずれかによること (1) 詳細計算による算出以下の手順により部分安全係数を算出する a. 信頼性指標の評価を行い 目標信頼性指標と一致することを確認する 信頼性指標の評価には 例えば AFOSM 法を用いることができる b. a. において一致しない場合には 変動係数を一定としたうえで 荷重又は強度の平均値を変更して再度評価を行う c. 評価結果が目標信頼性指標と合致する条件において 最も生じる可能性の大きい基本変数の値の組合せを設計点とする d. 強度に対しては 特性値を設計点における値で除したものを部分安全係数 PSF R とする e. 荷重に対しては 設計点における値を特性値で除したものを部分安全係数 PSF とする 7

8 (2) 簡易法による決定正規分布に従う基本変数に対しては 以下の式によって部分安全係数を算出することができる 支配的な強度に対する係数その他の強度に対する係数 PSF PSF R R V T V 支配的な荷重に対する係数 PSF 1 0.7V その他の荷重に対する係数 PSF V R k ( ) R T R k ( ) R 1 k T ( ) 1 k T ( ) ここで T は目標信頼性指標であり V は対象の強度又は荷重についての変動係数である R k / R, k / は対象の強度又は荷重の特性値を平均値で除したものであり 項で求めた値を用いる また 対数正規分布に従う基本変数に対しては V<0.25であれば 以下の近似式によって部分安全係数を算出することができる k 支配的な強度に対する係数 PSFR 0.8V T R k その他の強度に対する係数 PSFR V T R 支配的な荷重に対する係数 PSF exp0.7v その他の荷重に対する係数 PSF exp V R exp ( ) R exp ( ) 1 k T ( ) 1 k T ( ) 2.3 部分安全係数に基づく信頼性評価 (1) 各基本変数について 項と同じ定義に基づき 信頼性評価用の特性値 k,r k を設定すること (2) 限界状態関数の各基本変数に (1) で設定した評価用特性値を 部分安全係数を加味して代入し この結果が負の値とならないことをもって 破損モードに対する信頼性が確保されていると判定すること すなわち 限界状態関数が式 ( ) で与えられた場合には 式 (2.3-1) が成立することをもって信頼性を確認すること f g PSF PSF, PSF,, R PSF, R PSF, R PSF, 0 1 k1, 2 k 2 i ki k1 R1 k 2 R2 kj Rj (2.3-1) 8

9 このとき 以下に留意すること a. PSF i は荷重 ki に対する部分安全係数であり PSF Ri は強度 R ki に対する部分安全係数である b. 基本変数 ki 及び R ki に対しては (1) により設定された特性値を入力すること (3) 複数の限界状態関数が設定されている場合 全ての限界状態関数が正であることを 確認すること 2.4 既存の部分安全係数を利用する場合過去に同様の対象について 2.2 節の手法で算出した部分安全係数 ( 以下 既存の部分安全係数と呼ぶ ) が存在する場合 この部分安全係数を利用することができる このとき 2.2 節の手順に代えて 本節の手順を実施することができる 確率分布の確認以下の (1)(2) のいずれかの手順に基づき 基本変数に対し既存の部分安全係数算出時と同じ確率分布が与えられていることを確認すること 同じ確率分布が与えられていることを確認できない場合には 2.2 節に基づき部分安全係数を設定すること (1) 確率分布を設定して比較する場合 a. 限界状態関数に含まれる 荷重や強度をはじめとする基本変数は確率変数として扱い それぞれ値の不確かさの特徴を表現する確率分布を設定すること (a) 値の不確かさが極めて小さい又は評価結果に与える影響が微小であることが明らかな基本変数については 確率分布を設定せず確定値として取り扱うことができる (b) 具体的な設定手順は 2.2.1(1) 及び (2) によること b. 設定された確率分布が 既存の部分安全係数算出時の確率分布と一致することを確認すること (2) 評価条件が一致することを確認する場合 基本変数の確率分布設定に利用可能な情報が 既存の部分安全係数算出時と変わらない 場合には 同じ確率分布が与えられていると判定することができる 目標信頼性指標の確認以下の (1)(2) のいずれかの手順に基づき 既存の部分安全係数と同じ目標信頼性指標が与えられていることを確認すること 同じ目標信頼性指標が与えられていることを確認できない場合には 2.2 節に基づき部分安全係数を設定すること 9

10 (1) 目標信頼性指標を算出して比較する場合 a. 各破損モードに対して 適切な目標信頼性指標を設定すること (a) 具体的な設定手順は 項によること b. 設定された目標信頼性指標が 既存の部分安全係数算出時の目標信頼性指標と一致することを確認すること (2) 評価条件が一致することを確認する場合評価対象の破損時の影響の大きさ等 目標信頼性指標設定時に想定する条件が 既存の部分安全係数算出時と変わらない場合には 同じ目標信頼性指標が与えられていると判定することができる 部分安全係数の設定 項及び 項が満たされている場合 既存の部分安全係数を 2.2 節において算出 される部分安全係数と同等のものとして取り扱うことができる 10

11 日本機械学会基準 部分安全係数法を用いた機械製品の信頼性評価に関する指針の解説 目 次 解説 1. 指針の目的 適用範囲... 2 解説 2. 部分安全係数法... 2 解説 2.1. 限界状態の数学的記述... 2 解説 限界状態の明確化... 2 解説 破損モードの抽出... 3 解説 限界状態関数の設定... 4 解説 2.2. 部分安全係数の設定... 6 解説 確率特性の表現... 6 解説 特性値の設定 解説 目標信頼性指標の設定 解説 部分安全係数の算出 解説 2.3. 部分安全係数に基づく信頼性評価 解説 2.4. 既存の部分安全係数を利用する場合 解説 1

12 解説 1. 指針の目的 適用範囲本指針は 部分安全係数法に基づく信頼性評価の手順を定めたものである 本指針では 設計のみならず維持も適用対象に含んでいる 設計のみを対象としないことを明確化するため 従来利用されている 荷重 耐力係数設計法 という用語は用いず 部分安全係数法 という用語に置き換えた 部分安全係数法はレベル1の信頼性設計法に分類されるものであり これは設計強度および設計荷重の公称値あるいは平均値に対して部分安全係数を定め それらの係数を有する基準式に基づいて決定論的手法で信頼性評価を行う方法である この方法では 確率計算を伴わずに従来の決定論的手法で信頼性評価が可能であるため 設計者は確率論を意識することなく目標とする信頼度を満足する信頼性評価を行うことができる 解説 2. 部分安全係数法解説 2.1. 限界状態の数学的記述解説 限界状態の明確化一般に限界状態は終局限界状態と使用限界状態に分けられる ISO 2394:1998 1) によれば 終局限界状態は最大耐荷能力又は最大ひずみや変形に関する限界状態 使用限界状態は通常使用に関する限界状態であり それぞれ次のものが含まれる (1) 終局限界状態 1 剛体と考えたときの構造物又は構造部分のつりあいの喪失 ( 例 転倒 ) 2 破断 ( ある場合には 疲労や腐食に影響を受けた ) による断面や部材 接合部の最大強度への到達や過度の変形 3 構造物又はその部分のメカニズム状態 への移行 4 構造物又はその部分の安定性の喪失 5 仮定した構造システムから新しいシステムへの急激な移行 ( 例 飛び移り現象 ) (2) 使用限界状態 1 構造物の供用期間を低減させる もしくは構造又は非構造要素の有効性や外観に影響を与えるかもしれない部分的損傷 ( クラックを含む ) たとえば 疲労による繰り返し荷重は部分的な損傷に影響を与えるかもしれない 2 構造又は非構造要素の 有効な使用 あるいは外観又は設備の機能性に影響を与える許容されない変形 3 不快感を生じさせる もしくは非構造要素又は設備の機能性に影響を与える過度の振動 構造物が塑性ヒンジ ( 状態部材のある断面が全塑性モーメントに達して 回転自由なピ ン状態になった部分 ) の回転だけで変形する機構状態 解説 2

13 解説 破損モードの抽出機械製品の限界状態をもたらす異なる機械要素の破損や異なる物理的メカニズムによる破損を破損モードという 各限界状態には複数の破損モードが含まれるのが普通である 例えば 解説図 2.1 に示すような静定トラス全体が過大荷重によって破損する場合を考えると このトラスはいずれの部材が破損しても全体として破損に至る 解説図 2.1 静定トラス したがって 静定トラス全体が破損するという事象は 各部材が破損するという事象の和 事象であり トラス全体の破損確率は 次式のように表すことができる そして 各部材 の破損という事象が破損モードに相当する Pr[ 過大荷重によるトラス全体の破損 ] =Pr [ 部材 1 の破損 ] Pr [ 部材 2 の破損 ] Pr [ 部材 3 の破損 ] ( 解説 2.1) なお この場合はそれぞれの部材が破損するという事象にいずれも同じ荷重 P が関与しているため 各事象は独立ではない したがって トラス全体の破損確率は各部材の破損確率の和にはならないことには注意する必要がある 実際の機械製品の信頼性評価では 機械製品全体に致命的な限界状態をもたらす破損モードを全て抽出することが重要である 破損モードを抽出する作業は必ずしも容易ではないが これを支援するための手法として FTA(Fault Tree Analysis) 2) などが考案されている FTA は望ましくない事象を頂上事象として その事象をもたらす事象を順次見出して AND ゲートや OR ゲートを用いて FT(Fault Tree) として表現していく手法である 前述の静定トラスの破損を FT で表現すると 解説図 2.2のようになる 解説 3

14 解説図 2.2 静定トラスの FT 解説 限界状態関数 3) の設定破損確率を計算するためには 各破損モードを記述する数学モデルが必要になる 一般に 破損モードには荷重や材料強度などの不確定要因が関与しているが このような不確定要因を表す確率変数を基本変数という いま 対象とする破損モードに n 個の基本変数 X 1,, X n が関与しているとすると 前述の数学モデルは次のような性質を有する関数 g(x 1,, X n ) として定義できる g(x 1, X 2,, X n )>0 限界状態は生起しない ( 非破損 ) g(x 1, X 2,, X n ) 0 限界状態は生起する ( 破損 ) 基本変数に関する上記の関数 g(x 1, X 2,, X n ) は限界状態を記述していることから 限界状 態関数 (imit-state Function) あるいは性能関数 (Performance Function) と呼ばれる 限界状態関数の例として解説図 2.3 に示すような一様引張を受ける棒の静的破損を考え る 材料の引張強さを R 棒の応力を S とすると この棒は破損条件式 R S ( 解説 2.2) を満たす時に破損する このようなモデルを S-S(Stress-Strength) モデルと呼ぶ R, S が いずれも不確かさを有する場合には S-S モデルの限界状態関数は となる g(r,s)=r-s ( 解説 2.3) 解説 4

15 解説図 2.3 単軸引張を受ける棒の破損 今後の一般化のために 引張強さ R を X 1 応力 Sを X 2 とすると 限界状態関数は g(x 1, X 2 )=X 1 -X 2 ( 解説 2.4) となる g(x 1, x 2 )=0と(X 1,X 2 ) が破損状態を表す組み合わせ ( 破損領域 ) と非破損状態を表す組み合わせ ( 非破損領域 ) をグラフに表すと 解説図 2.4 のようになり g(x 1, x 2 )=0 を境界として破損領域と非破損領域に分けられることが理解できる 解説図 2.4 限界状態関数の図式表示 次に 解説図 2.3 において応力 S を荷重 P( 基本変数 X 3 ) 棒の断面積 A( 基本変数 X 4 ) で表すと S=P/A であるから 限界状態関数は となる g(x 1, X 3, X 4 )=X 1 -X 3 /X 4 ( 解説 2.5) 一方 同じ一様引張を受ける棒の伸び が限界値 c を超えた場合に破損するという破損 モードを考えると 破損条件式は棒の長さを l ヤング率を E として APl E c ( 解説 2.6) となる したがって 荷重 P( 基本変数 X 3 ) 棒の断面積 A( 基本変数 X 4 ) に加え 棒の 長さ l を基本変数 X 5 伸びの限界値 c を基本変数 X 6 とすると この破損モードに対する限 界状態関数は 解説 5

16 g(x 3, X 4, X 5, X 6 )=X 6 -X 3 X 4 X 5 /E ( 解説 2.7) となる 式 ( 解説 2.7) の限界状態関数を基本変数 X 3 ( 荷重 P) で偏微分すると その値は負となる すなわち 値が大きいほど限界状態関数が小さくなり破損が生起しやすい したがってこのような基本変数に対しては 1 より大きい部分安全係数を積算して信頼性評価を行うことで 破損モード生起に対する余裕を確保すべきである 一方で式 ( 解説 2.7) の限界状態関数を基本変数 X 6 ( 伸びの限界値 c ) で偏微分すると その値は正となる すなわち 値が小さいほど限界状態関数が小さくなり破損が生起しやすい したがってこのような基本変数に対しては 1 より大きい部分安全係数を除算して信頼性評価を行うことで 破損モード生起に対する余裕を確保すべきである 以上のように 基本変数は余裕を与える方向の違いにより二種類に分類すべきである 部分安全係数を積算すべき基本変数の代表例は荷重であり 部分安全係数を除算すべき基本変数の代表例は強度である このため本基準では こうした基本変数の総称として 荷重 (oad) と強度 R(Resistance) を用いている 以上の分類の定義は 2.1.3(2) において与えている通り あくまで破損が生起しやすくなる値の方向によるものである この定義に従い 部材の寸法など一見荷重あるいは強度と関連の薄い基本変数が 荷重 あるいは強度 R として分類されることがある 解説 2.2. 部分安全係数の設定解説 確率特性の表現 (1) 確率特性の表現機械製品の信頼性評価の際に必要となる材料強度や荷重などの物理量は 一般にばらつきを有する不確定量である 例えば 同一の鉄鋼材料から製作した多数の引張試験片を用いて引張強さを求めると 解説図 2.5 のような分布が得られる 解説図 2.5 ある鉄鋼材料の引張試験結果の分布 解説 6

17 このようなばらつきが十分小さければその物理量は確定値として取り扱うことが可能であ るが そうでない場合にはその物理量は不確定量として取り扱う必要がある ISO 2394:1998 1) では 限界状態設計で考慮すべき不確かさとして以下の 4 種類を挙げている 1 作用 構造物に作用する集中あるいは分布した力学的力の集合( 直接的作用 ) 構造物への強制 又は内部の拘束による変形の原因となるもの( 間接的作用 ) 2 環境的影響構造材料を劣化させる力学的 物理的 化学的あるいは生物学的特性 3 材料の特性材料や地盤の強度特性 4 幾何学量形状 寸法 構造要素や部材断面の全体の配列 不確かさを有する基本変数を確率変数 (random variable) という 確率変数には材料の引張強さのように連続的な値を取る連続確率変数とサイコロの目のように離散的な値を取る離散確率変数がある 機械製品の破損に対する信頼性を正しく評価するためには これら破損に関与する確率変数の分布特性を適切な数学モデルで表現することが必要になる 確率特性を表現するための分布形状は (3) 代表的な確率分布に示すように 利用頻度の高いものに絞っても多様なものが存在する 本基準では 2.2.4(2) において 計算上の利便性が高い正規分布および対数正規分布について 簡易な部分安全係数の算出法を与えている しかし確率特性の表現に用いる分布の選定時には これにこだわらず よりメカニズムに則したものを選ぶことが望ましい (2) 確率分布関数と確率密度関数確率変数の分布特性は 確率分布関数や確率密度関数で定義することができる (a) 確率分布関数確率変数 X がある実数値 x に対して X x である確率 Pr[X x] を確率変数 X の確率分布関数 (probability distribution function) という これを F(x) とすると F(x) Pr[ X x] ( 解説 2.8) となる 確率分布関数は次のような性質を持っている 1 F(x) は単調増加関数である 2 0 F(x) 1 F(- )=0 F(+ )=1 (b) 確率密度関数 確率変数 X が連続で F(x) が区分的に微分可能なとき 解説 7

18 f (x) df(x) dx ( 解説 2.9) を確率密度関数 (probability density function) と呼び 確率変数の分布特性を調べるために は 確率分布関数よりも良く用いられる 確率分布関数は次のような性質を持っている 1 f(x) 0 2 a b f (x)dx F(b) F(a) 3 f (x)dx 1 (3) 代表的な確率分布 ここでは 限界状態設計における確率変数のモデル化に使用される代表的な確率分布を 示す (a) 正規分布 (normal distribution) 確率変数 X が次式のような確率密度関数を有するとき Xは正規分布に従うという 1 f (x) 2 exp (x ) 2 ( 解説 2.10) ここで =E[X] は平均値 2 =Var[X] は分散であり この正規分布を N(, 2 ) のように表す ことがある 正規分布の確率密度関数は解説図 2.6 に示すような形状をしており x= に 関して対称である また 式 解説 2.10から N(, 2 ) の確率分布関数は 2 1 x (t ) F(x) exp dt ( 解説 2.11) となるが この式は解析関数で表示できない 解説図 2.6 正規分布の確率密度関数 解説 8

19 式 ( 解説 2.10) において とおくと u (x ) ( 解説 2.12) f (u) 1 2 exp u 2 (u) ( 解説 2.13) 2 となり これは平均値 0 標準偏差 1 の正規分布 N(0,1 2 ) の確率密度関数を表している こ れを標準正規確率密度関数と呼び (u) のように表すことがある 式 ( 解説 2.11) より N(0,1 2 ) の確率分布関数は (u) 1 t exp u 2 dt ( 解説 2.14) 2 2 となり これを標準正規確率分布関数と呼ぶ 標準正規確率分布関数 (u) の値を数表で表 しておけば 式 ( 解説 2.12) の変換を用いることによって N(, 2 ) の正規分布関数の値が容 易に計算できる X が正規分布に従うとき Pr[ X ] 0.63 Pr[ 2 X 2] 0.95 Pr[ 3 X 3] ( 解説 2.15) のようになることが知られている Pr[ X ] 0.63 の場合を解説図 2.6 の斜 線部に示す なお n 個の確率変数 X i が互いに独立で同一の確率分布 ( 平均値 標準偏差 ) に従う とき の分布は n が十分大きくなると平均 分散 2 n X n 1 X i ( 解説 2.16) n X n n i1 /n である正規分布に収束する すなわち N (0,1) ( 解説 2.17) となる これを中心極限定理という したがって 多数の不確定因子が和の形で寄与する 場合の不確かさは 全体としては正規分布で近似できることになる (b) 対数正規分布 (lognormal distribution) 確率変数 X の対数 Y=lnX が正規分布に従うとき X は対数正規分布に従うといい その 確率密度関数は Y の平均値を e 標準偏差を e とするとき f (x) e 1 x exp (ln x e )2 2 2 e ( 解説 2.18) となる X の平均値 分散 2 は 解説 9

20 exp e e ( 解説 2.19) 2 2 exp2 e e ( 解説 2.20) 2 exp e 1 となる 平均値 分散 2 の対数正規分布を N(, 2 ) で表す N(, 2 ) の確率分布関数は標準正規確率分布関数 (x) を用いると F(x) ln x e ( 解説 2.21) のようになる e 中心極限定理によれば 同じ分布に従う n 個の確率変数の対数の和 ln X ln X ln X ln(x X X 1 2 n 1 2 n ) は n が十分大きくなると正規分布に近づくから 積 X X X 1 2 n の分布は対数正規分布に近づく したがって 多数の不確定因子が積の 形で寄与する場合には 全体としての不確かさは対数正規分布で近似できる (c) 指数分布 (exponential distribution) 確率変数 X の確率密度関数が次式で表せるとき X は指数分布に従うという f (x) 0 exp 0 x ( 解説 2.22) 指数分布の平均値 標準偏差 は それぞれ 1 ( 解説 2.23) 0 となる 式 ( 解説 2.22) より 指数分布の確率分布関数は である ( 解説 2.24) F(x) 1 exp 0 x ( 解説 2.25) ある製品の故障寿命分布が指数分布 F(t) に従うとき 信頼度 R(t) は R(t) 1 F(t) exp 0 t ( 解説 2.26) となる このとき 故障率 (t)( ある時点まで動作してきたアイテムが引き続く単位時間内 に故障を起こす割合 ) は (t) f (t) R(t) 0 ( 解説 2.27) となる したがって 指数分布は故障率が一定値 0 を取るときの寿命分布を表しているこ とになる (d) ワイブル分布 (Weibull distribution) 確率変数 X の確率分布関数が次式で表されるとき X はワイブル分布に従うという 解説 10

21 F(x) 1 exp x (x, 0, 0) ( 解説 2.28) ここで は形状母数 は尺度母数 は位置母数と呼ばれる ワイブル分布の平均値 分散は 次式のようになる 1 1 ( 解説 2.29) ( 解説 2.30) ただし ( ) はガンマ関数である ワイブル分布は次のようにして導くことができる いま 解説図 2.7 に示すような n 個の環からなる鎖の強度を考え 鎖の環 1 個の強度が確率分布関数 F 0 (x) に従うものとする 鎖全体の強度は n 個の環のうち最も強度が小さいものによって決まるので やはり確率的に分布するが これは元の確率分布 ( 原分布 ) の最小値の分布に相当する 原分布と最小値の分布の関係は解説図 2.8 のようになっており n が大きくなるほど最小値分布は左側に寄るが n が十分大きくなったときの分布を最小値の漸近分布と呼び その分布特性は原分布の左裾野の形状に支配される 解説図 2.7 n 個の環からなる鎖の強度 解説図 2.8 原分布と最小値分布 次に 原分布と最小値分布の関係を求める 鎖全体の強度の確率分布関数 すなわち最 解説 11

22 小値分布の確率分布関数を F(x) とすると 鎖全体の強度が x より大きい確率 は n 個 の要素の強度がいずれも x より大きい確率 に等しいから となる したがって 最小値分布の確率密度関数 F(x) は 1 F(x) 1 F 0 (x) n ( 解説 2.31) F(x) 11 F 0 (x) n ( 解説 2.32) となる また これを微分することにより 最小値分布の確率密度関数 f(x) は となる f (x) df(x) dx n1 F 0 (x) n1 f 0 (x) ( 解説 2.33) 先にも述べたように最小値分布は原分布の左裾野の特性に支配されるが F 0 (x) の左裾野 がべき乗型 F 0 (x) (x ) ( 解説 2.34) で表される場合に 漸近分布として式 ( 解説 2.28) のワイブル分布が得られる このため ワイブル分布を最小値の第 3 種漸近分布または最小値の第 3 極値分布と呼ぶこともある 極値分布についての詳細は Gumbel によって研究されている 4) なお ワイブル分布を故障率から導くこともできる いま 故障率 (t) が 時間 t のべき 乗として定数 k c(c>0) を用いて (t) kt c ( 解説 2.35) のように表されるものとする 信頼度 R(t) と故障率 (t) の間には t R(t) exp (t) dt 0 ( 解説 2.36) なる関係があるから R(t) exp となる ここで c+1= (c+1)/k= とおけば t 0 kt c dt exp k c 1 t c1 ( 解説 2.37) F(t) 1 R(t) 1 exp t ( 解説 2.38) となり これは 2 母数ワイブル分布に他ならない 式 ( 解説 2.38) において の場合は指 数分布に一致する (e) 最大値の二重指数分布 確率変数 X の確率分布関数が次式で表されるとき X は最大値の二重指数分布に従うと いう 解説 12

23 F(x) exp exp x ( 0) ( 解説 2.39) ここで は尺度母数 は位置母数と呼ばれる 最大値の二重指数分布の平均値 標準偏差は 次式のようになる 0 ( 解説 2.40) 6 ( 解説 2.41) ただし はオイラーの定数 (Euler s constant) である ワイブル分布が最小値の漸近分布として導かれたのに対し 最大値の二重指数分布は最大値の漸近分布として導かれる いま 解説図 2.9 に示すような等しい時間間隔 T の n 個の区間で分割された荷重の時間変動を考え 各 T 区間内の荷重が確率分布関数 F 0 (x) に従うものとする 全区間 nt での荷重の最大値は 各区間における最大値のうち最も大きいものによって決まるので やはり確率的に分布するが これは原分布の最大値の分布に相当する 原分布と最大値の分布の関係は解説図 2.10 のようになっており n が大きくなるほど最大値分布は右側に寄るが n が十分大きくなったときの分布を最大値の漸近分布と呼び その分布特性は原分布の右裾野の形状に支配される 解説図 2.9 T 区間内の最大荷重 解説 13

24 解説図 2.10 原分布と最大値分布 次に 原分布と最大値分布の関係を求める 最大値分布の確率分布関数 F(x) とすると n T 区間内の最大値が x より小さい確率 は T 区間内の n 個の最大値がいずれも x より小さい確率 に等しいから F(x) F 0 (x) n ( 解説 2.42) であり これを微分することにより 最大値分布の確率密度関数 f(x) が f (x) df(x) dx nf 0 (x) n1 f 0 (x) ( 解説 2.43) となる 最大値分布は原分布の右裾野の特性に支配されるが F 0 (x) の右裾野が指数型で表 される場合に 漸近分布として式 ( 解説 2.39) の最大値の二重指数分布が得られる このた め 最大値の二重指数分布を最大値の第 1 種漸近分布または最大値の第 1 極値分布と呼ぶ ことがある なお 土木 建築の分野では 最大値の二重指数分布のことを特にグンベル 分布 (Gumbel s distribution) と呼ぶことがある (4) 複数の荷重の組合せ限界状態設計で考慮すべき荷重は 一般に時間 t の経過ともにその大きさが確率的に変化する時間変動量であることが多い このような時間変動する確率変数 X を確率過程と呼び 記号 X(t) で表す 機械製品の破損を考えるときは 基準期間中の最大値荷重に着目すればよいから 荷重に関する確率過程 X(t) の最大値の分布がわかればよい 考慮すべき時間変動荷重が一種類のみであれば 荷重の時間最大値は最大値の二重指数分布によってモデル化することが有効である 解説 14

25 実際の機械製品では 死荷重 積載荷重 風荷重 地震荷重などのように 大きさや時間変動の周期が異なる複数の荷重が同時に負荷されるため 複数の確率過程 X i (t) の和の最大値分布の評価が必要になる しかし 一般に m 個の異なる確率過程の和 Z(t)=X 1 (t)+ X 2 (t)+ + X m (t) の最大値分布を評価するのは容易ではない 一方 Z(t) の最大値 max{x 1 (t)+ X 2 (t)+ + X m (t)} を max{x 1 (t)}+max{ X 2 (t)}+ + max{x m (t)} で置き換えるとあまりに安全側となってしまい 現実的ではない そこで Z(t) の最大値を m max{z(t)} max maxx i (t) X j (t ) i j1, ji ( 解説 2.44) で近似することが提案された 5) ここで i は Z(t) を最大にするように選ばれる また X j (t) は arbitrary-point-in-time load と呼ばれ 定常過程に対しては平均値が用いられることが多い この手法は Turkstra 規則 5) と呼ばれ 経験的な手法であるが 実用上は十分であることが知られている 解説 特性値の設定部分安全係数法は 各基本変数の確率分布を代表する値を入力として これに係数を加味して信頼性評価を行う 信頼性評価に用いる各基本変数の特性値は 最も簡易なものとしては 確率分布の平均値が利用できる その一方 従来の信頼性評価との対応のため それ自体に余裕を含んだ値を特性値とすることが期待されることも考えられる 特に材料強度については 設計引張強さや設計降伏応力といった規格値を特性値としない場合 従来の信頼性評価との対応が不明瞭となる このように 各基本変数の特性値として確率分布の平均値以外を用いる場合には 特性値が確率分布のどのような位置にあるのかをあらかじめ明確にする必要がある 解説 目標信頼性指標の設定目標信頼性は 信頼性指標の形式で与えることを要求している 解説 2.2.1(3)(a) に示した正規分布のうち 平均 0 標準偏差 1 であるものを標準正規分布という 標準正規分布において 信頼性指標 を超える値が出現する確率が 破損確率 p f に対応する 一般の正規分布では 平均値から標準偏差の 倍以上離れた値が出現する確率が破損確率 p f となる 破損確率 p f ではなく信頼性指標 の形式で目標信頼性を設定する理由は 平均から限界状態までの余裕の大きさを 標準偏差の何倍であるかという形で表現することで 物理的な値 ( たとえば応力 ) と対応付けしやすいことによる 解説表 2.1 に 信頼性指標 と破損確率 p f の関係を示す 解説 15

26 解説表 2.1 信頼性指標 と破損確率 p f の関係 信頼性指標 破損確率 p f 破損確率 p f 信頼性指標 実際の信頼性評価に部分安全係数を適用するためには 適切な目標信頼性指標 T を決定する必要があるが これは必ずしも容易ではない そこで 既存の設計基準に基づいて設計された代表的な機械製品又は機械要素に対して信頼性指標 を算出し その値を基に目標信頼性指標 T を決定するような方法がとられている このような作業をキャリブレーションと呼び 以下の手順で実施される 6) (1) キャリブレーション範囲の設定一つの設計コードで全ての設計条件を満足させることは不可能なので 材料や荷重を限定するなどしてキャリブレーションの範囲を絞り込む (2) キャリブレーション点の設定既存設計基準で用いられる設計変数 ( 寸法 材料強度 負荷荷重など ) の範囲を決め それらを等分割するなどしてキャリブレーション点を設定する (3) 既存設計基準による設計各キャリブレーション点において既存設計基準による設計を行い 寸法を決定する (4) 限界状態関数の決定対象機械要素の限界状態を明確にし 限界状態関数を定義する 複数の荷重が負荷される場合には 解説 2.2.1(4) で述べた Turkstra 則などによって合理的な組み合わせ荷重を設定する (5) 基本確率変数の統計的特性の決定既存設計基準における限界状態関数に含まれる荷重や材料強度などの基本確率変数の確率分布形状とその母数を明らかにする 材料強度の場合は多数の試験片を用いた強度試験を行うことにより その統計的特性を求めることができる 荷重については対象機器の実際の使用条件における長期間のモニタリングデータが必要となるが 地震荷重や風荷重についてはこれまでの観測記録を利用することもできる (6) 既存の設計基準における信頼性指標の評価 (3) で設計された各機械要素に対して (4) (5) で得られた限界状態関数と基本確率変数の統計的性質を用いて AFOSM 法などの信頼性評価手法によって各キャリブレーション点における信頼性指標 ci を評価する 評価結果は適当な設計変数が主たる独立変数 ( 例えば負荷荷重 ) となるように表現する 一般に既存設計基準による設計では信頼性指標が一定にならない 解説 16

27 (7) 目標信頼性指標の決定 (6) の評価結果を基に目標信頼性指標 T を決定する (8) 部分安全係数の決定と最適化目標信頼性指標 T を満足するように 部分安全係数を決定する 各キャリブレーション点における部分安全係数は異なる場合には 次式の目標信頼性指標 T に対する重み付き 2 乗誤差を最小化することにより 部分安全係数を最適化する ただし w i は m w i1 i m S T ci 2 w i ( 解説 2.45) i1 1 となるような重みである 解説 部分安全係数の算出部分安全係数法は 設計強度および設計荷重の公称値あるいは平均値に対して 目標信頼性指標を満足するための部分安全係数をあらかじめ定め これを用いて決定論的手法で信頼性評価を行う手法である 初めに 部分安全係数法の基礎知識となる (1) 近似解法による破損確率の求め方 を示し その上で (2) 部分安全係数の求め方 を紹介する また ISO2394:1998 1) では (2) における計算過程で利用する係数に標準値を与え 簡略評価を可能としているため (3) 簡易法による部分安全係数の決定 にてその内容を概説する (1) 近似解法による破損確率の求め方機械製品の破損に関する不確定因子が確率変数としてモデル化され 破損を判定する限界状態関数が与えられると 破損確率を定量的に評価することができる 破損確率の評価方法としては 厳密な数値解法 数値積分法 近似解法 モンテカルロ法が挙げられるが ここでは部分安全係数法の基礎知識となる 信頼性指標に基づく近似解法 (FOSM 法 7) およ 8) び AFOSM 法 ) についての評価手順を解説する 尚 評価手順の中では 以下の例題に対して具体的な評価結果を示す 解説 17

28 例題 1 以下の図のように 強度 R[MPa] の部材を荷重 ( 応力 )[MPa] で引っ張るときの破 損確率を求めなさい ただし 強度と荷重 ( 応力 ) は以下のばらつきを持つものとす る 確率変数の定義 確率変数分布型平均値 μ 変動係数 COV 標準偏差 σ 強度 R 正規分布 荷重 ( 応力 ) 限界状態関数 G R ここで G>0 のとき健全状態 G=0 のとき限界状態 G 0 のとき破損状態 正規分布 強度 R 耐力 R 荷重 (a) 破損確率評価のイメージ信頼性指標に基づく近似解法 (FOSM 法 AFOSM 法 ) による評価方法を紹介する前に まずは例題 1 に関する破損確率評価のイメージ図について解説する 例題 1 の限界状態関数に対して縦軸に強度 R 横軸に荷重 をとると 破損領域と健全領域は解説図 2.11 のように図示できる ここで限界状態関数 G=R-=0 は傾き 1 の直線で表現され この直線よりも上の領域では G=R- 0 となるため棒が破損する破損領域 この直線よりも下の領域では G=R->0 となり棒が破損しない健全領域となる 荷重 破損領域 (G 0) 強度 R 荷重 限界状態関数 G=R-=0 健全領域 (G>0) 強度 R > 荷重 強度 R 解説図 2.11 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 解説 18

29 例題では強度 Rも荷重 も共にばらつき ( 標準偏差 ) が与えられているが ばらつきがないものとして平均値のみをプロットすると 解説図 2.12のように図示できる 強度 Rの平均値は 40[MPa] 荷重 の平均値は 25[MPa] であり ばらつきを考慮しない決定論的評価では G=R-=40-25=15>0 となり 健全領域にプロットされる このため 荷重や強度のばらつきがない状態では部材は健全であると判断される 荷重 破損領域 (G 0) 限界状態関数 G=R-=0 25 MPa 健全領域 (G>0) ばらつきがない場合には壊れない 40-25=15 40 MPa 強度 R 解説図 2.12 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 ( 平均値のみをプロット ) しかしながら 実際には強度にも荷重にもばらつきが存在するため 強度と荷重の平均 値が健全領域に位置するとしても部材が破損する可能性がある 強度 - 荷重平面状に確率 密度関数を図示すると解説図 2.13 のようになる 解説 19

30 荷重 破損領域 破損確率 限界状態関数 G=R-=0 μ = 25 MPa σ =5 MPa 健全領域 耐力 R と荷重 の分布を合成した確率密度関数 ( 等高線 ) σ R =4 MPa μ R = 40 MPa 強度耐力 R R 解説図 2.13 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 ( 確率密度関数をプロット ) 強度 Rは平均値 40[MPa] 標準偏差 4[MPa] の正規分布であり 荷重 は平均値 25[MPa] 標準偏差 5[MPa] の正規分布である このため強度 Rと荷重 を合成した確率密度関数は座標 (R,)=(40,25) を中心とする楕円状の等高線で表現できる 楕円の等高線の中心ほど発生確率が高いため 確率密度関数の大部分は健全領域に位置するものの 確率密度関数の裾野の部分が一部破損領域に含まれている これが部材の破損確率であり 以下の式で計算される (b) 手計算による評価方法 (FOSM 法 P G( R, ) drd ( R ) drd f ( 解説 2.46) GR0 GR0 7) ) 上記の式で与えられる破損確率は数値積分法やモンテカルロ法で求めることができるが ここでは手計算による簡易評価方法を紹介する これは FOSM 法 (First-Order Second Moment 法 ) と呼ばれる手法である 評価方法のイメージが理解できるよう ここでは一般的な評価式は紹介せずに 標準正規化座標と呼ばれる平均 0 分散 1 の座標系を用いて解説する 解説図 2.13 で示した座標系を標準正規化座標へ座標変換するためには以下の式を用いる ただし ここでμ R とσ R は強度 R の平均値と標準偏差 μ とσ は荷重 の平均値と標準偏差である U R RR, U ( 解説 2.47) R 上式を用いて解説図 2.13 の座標系を標準正規化座標へ座標変換すると解説図 2.14 のようになる 解説 20

31 破損領域 荷重 U 限界状態関数 G=(σ R U R +μ R ) -(σ U +μ )=0 破損確率 健全領域 耐力 U R 強度 U R 解説図 2.14 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 ( 標準正規化座標 ) 強度 Rも荷重 も平均 0 分散 1 の座標系に変換されたため 標準正規化座標 (U R,U ) 上に確率密度関数をプロットすると 合成された確率密度関数は原点を中心とした同心円状の等高線となる また限界状態関数は傾きσ R /σ 切片(μ R -μ )/σ の直線に座標変換される この標準正規化座標において重要な特徴としては 原点から限界状態関数までの距離が信頼性指標 β(= 破損確率 P f に対応する尺度 ) に等しくなる ことが挙げられる 点 (x 0,y 0 ) から直線 ax+by+c=0 におろした垂線の長さd は以下の式で与えられるので d ax by c 0 0 a b 2 2 解説図 2.15 に示される信頼性指標 β は以下の式で与えられる ( 解説 2.48) R 2 2 R ( 解説 2.49) したがって 信頼性指標 β は以下のように算出できる ( 解説 2.50) 信頼性指標 βが求まると 破損確率 Pfは以下の式で求めることができる Pf 1 ( ) 1 (2.3426) ( 解説 2.51) 解説 21

32 ただし ここで Φ は標準正規分布の累積分布関数であり 確率論の教科書等に記載され ている標準正規確率分布表や Excel の NORMSDIST 関数を用いることで容易に算出できる 以上のように 例題 1 における部材の破損確率は と求められる 尚 解説図 2.15 に示すように 標準正規化座標において原点からの限界状態関数まで の距離が最小となる点を 設計点 (design point) と呼び その座標は以下の式で与え られる U R R, U R R ( 解説 2.52) これは部分安全係数を求めるときに重要なパラメータとなる 破損領域 荷重 U 限界状態関数 G=(σ R U R +μ R ) -(σ U +μ )=0 破損確率 健全領域 設計点 β 耐力 U R 強度 U R 解説図 2.15 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 ( 信頼性指標と設計点 ) (c) プログラムによる評価方法 (AFOSM 法 8) ) 上記の FOSM 法による簡易評価方法では 限界状態関数の表示方法 ( 例えば G=R- を G=lnR-ln や G=R/-1 に変更する等 ) によって 得られる信頼性指標 βが変化してしまう問題が指摘されている このため これを解決する手法として拡張線形化 2 次モーメント法 (AFOSM, advanced first-order second-moment method) が提案されており ここでは AFOSM 法について解説する a. AFOSM 法の評価フロー AFOSM 法の評価フローを解説図 2.17 に示す 各評価ステップの詳細は以下の通りである 解説 22

33 STEP1 : βの初期値の設定信頼性指標 βの初期値を設定する 求めたい問題に対する信頼性指標が推定できる場合には その値を初期値とすることで早く収束解を得ることができる 特に知見がない場合には 3.0を設定する STEP2 : 設計点の設定設計点を設定する 1 回目の計算では 各確率変数の平均値を設計点の初期値に設定する 2 回目以降の計算では 以下の式を用いて新たな設計点を計算する i X i i X i X ( 解説 2.53) ここで X i X i : 確率変数 X iの平均値 : 確率変数 X iの標準偏差 i: 方向ベクトル : 信頼性指標 STEP3 : 正規化近似 9) 解説図 2.16 のように 任意の確率分布を持つ確率変数を 設計点においてその確率分 布関数の値と確率密度関数の値がそれぞれ等しくなるような正規確率変数で近似する 正 規化近似したときの平均値と標準偏差は以下の式で計算される 1 X x ( ) i i FX x i i Xi X i f 1 Xi i FX ( x ) i i ( x ) ここで fx ( x ) i i : 正規分布でない確率変数 X iの確率密度関数 FX ( x ) i i : 正規分布でない確率変数 X iの確率分布関数 X ( x ) i i : 標準正規確率密度関数 ( x ): 標準正規確率分布関数 Xi i x i : 設計点 ( 解説 2.54) 解説 23

34 部面積と 正規分布関数 部面積とは等しい 任意の分布関数 (Xi における密度関数の 値も等しい ) x i X i 解説図 2.16 正規化近似のイメージ図 STEP4 : 限界状態関数の偏微分 限界状態関数を構成する各確率変数に対し 設計点 ( X ) における偏微分計算を行う 尚 偏微分の理論解が得られないものに対しては 各確率変数を微少変化させたときの限 界状態関数の変化量から 偏微分を算出する STEP5 : 方向ベクトル α の計算 る 設計点 ( X ) に対する方向ベクトル ( i ) を計算する i は以下のように求められ ここで X i G X i n G j1x i X j X 2 Xi 2 X j は確率変数 ( X i ) に対する標準偏差である 0.5 ( 解説 2.55) STEP6 : 方向ベクトルαの収束判定方向ベクトルの収束チェックを行う 収束判定の閾値には一般的に を使用する 方向ベクトルが閾値以上の場合には STEP3 から STEP6 までの処理を収束するまで繰り返す STEP7 : 信頼性指標 β の計算 限界状態関数 G=0 を満足する β を計算する 例えば 限界状態関数が G=R- の場合 以下の式から算出する 解説 24

35 G R ( ) ( ) 0 R R R R R R ( 解説 2.56) また上記の例のように解析的に β の解が得られない場合には β を微少変化させながら 限界状態関数 G の正負が反転するときの β を求め これを β の近似解とする STEP8 : 信頼性指標 βの収束判定信頼性指標 βの収束チェックを行う 収束判定の閾値には一般的に を使用する 値が閾値以上の場合には 荷重側または強度側の平均値を修正して STEP2 から STEP8 までの処理を収束するまで繰り返す STEP9 : 破損確率 Pf の計算破損確率 Pf は信頼性指標 βを用いて 以下の式から算出できる P 1 ( ) ( 解説 2.57) f ここで Φは標準正規分布の累積分布関数であり 確率論の教科書等に記載されている標準正規確率分布表や Excel のNORMSDIST 関数を用いることで容易に算出できる 解説 25

36 START STEP1 : β の初期値の設定 STEP2 : 設計点の設定 STEP3 : 正規化近似 STEP4 : 限界状態関数の偏微分 STEP5 : 方向ベクトルの計算 STEP6 : α が収束? No Yes STEP7 : 信頼性指標 β の計算 No STEP8 : β が収束? Yes STEP9 : 破損確率 Pf の計算 END 解説図 2.17 AFOSM 法による破損確率評価フロー 解説 26

37 b. AFOSM 法の評価例ア. 例題 1に対する評価例例題 1 に対する AFOSM 法の評価例を以下に示す 破損確率 Pf は と求められ FOSM 法による評価結果と一致する 限界状態関数 G=R- 確率変数の定義変数名 分布形 平均値 COV 標準偏差 ζ γ R 正規分布 正規分布 計算結果 1 回目 2 回目 3 回目 4 回目 5 回目 6 回目 Step 1 βの初期値の設定 β Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 R μ N R σ N R μ N σ N ( G/ R) ( G/ ) α R α αの収束判定 Δα R Step 6 ( 許容値 Δα<0.005) Δα Step 7 信頼性指標 βの計算 β Step 8 設計点を設定 正規化近似 ( 設計点における平均値と標準偏差を算出 ) 限界状態関数の偏微分 方向ベクトルの計算 β の収束判定 ( 許容値 Δβ<0.005) Δβ Step 9 破損確率 Pf の算出 Pf E 解説 27

38 イ. 例題 1 の強度 R が対数正規分布の場合の評価例 例題 1 の強度 R が対数正規分布の場合の AFOSM 法の評価例を以下に示す 破損確率 Pf は と求められる 限界状態関数 G=R- 確率変数の定義変数名 分布形 平均値 COV 標準偏差 ζ γ R 対数正規分布 正規分布 計算結果 1 回目 2 回目 3 回目 4 回目 5 回目 6 回目 Step 1 βの初期値の設定 β Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 R μ N R σ N R μ N σ N ( G/ R) ( G/ ) α R α αの収束判定 Δα R Step 6 ( 許容値 Δα<0.005) Δα Step 7 信頼性指標 βの計算 β Step 8 設計点を設定 正規化近似 ( 設計点における平均値と標準偏差を算出 ) 限界状態関数の偏微分 方向ベクトルの計算 β の収束判定 ( 許容値 Δβ<0.005) Δβ Step 9 破損確率 Pf の算出 Pf E-03 補足説明 1 対数正規分布の確率密度関数を以下のように定義するとき ln x f( x) exp 2x 2 対数正規分布パラメータの ζ と λ は 以下の式で算出される ln ln 補足説明 2 STEP3 における正規化近似は Excel 関数を用いると以下のように計算される 解説 28

39 1 Xi f Xi i FX ( x ) i i ( x ) i i i NORMDIST ( NORMSINV ( OGNORMDIST ( x,, )),0,1, FASE) NORMDIST (ln( x ),,, FASE) / x 1 X x ( ) i i FX x i i Xi x i NORMSINV ( OGNORMDIST ( xi,, )) Xi ウ. 例題 1 の限界状態関数が非線形の場合の評価例 例題 1 の強度 R が対数正規分布であり かつ非線形な限界状態関数を設定した場合の AFOSM 法の評価例を以下に示す 破損確率 Pf は と求められ 限界状態関数の設 定に依存しない評価結果が得られることが分かる 限界状態関数 G=R/-1 確率変数の定義変数名 分布形 平均値 COV 標準偏差 ζ γ R 対数正規分布 正規分布 計算結果 1 回目 2 回目 3 回目 4 回目 5 回目 6 回目 Step 1 βの初期値の設定 β Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 R μ N R σ N R μ N σ N ( G/ R) ( G/ ) α R α αの収束判定 Δα R Step 6 ( 許容値 Δα<0.005) Δα Step 7 信頼性指標 βの計算 β Step 8 設計点を設定 正規化近似 ( 設計点における平均値と標準偏差を算出 ) 限界状態関数の偏微分 方向ベクトルの計算 β の収束判定 ( 許容値 Δβ<0.005) Δβ Step 9 破損確率 Pf の算出 Pf E-03 解説 29

40 (2) 部分安全係数の求め方部分安全係数法とは 強度側にただ一つの安全率を掛け合わせて安全を担保するという従来の評価方法に対し 材料強度や荷重などの不確かさに応じて荷重 強度側の両方に複数の安全係数 ( 部分安全係数 ) を用いて より合理的な信頼性評価を行う手法である ここでは 部分安全係数の評価イメージが理解しやすいように まずは (a) 手計算による算出手法 を紹介し その上で (b) プログラムによる算出方法 を示す またここでは簡便な紹介のため 荷重および強度の特性値はそれぞれの確率分布の平均値に等しいとする (a) 手計算による算出方法 以下の例題に対して 手計算による部分安全係数の算出方法を示す 例題 2 以下の図のように 強度 R[MPa] の部材を荷重 ( 応力 )[MPa] で引っ張るときに 目標破損確率が 1e-6 となるように 表の強度の平均値を変化させたうえで 部分安 全係数を求めなさい ただし 強度と荷重 ( 応力 ) は以下のばらつきを持つものとす る 確率変数の定義 確率変数分布型平均値 μ 変動係数 COV 標準偏差 σ 強度 R 正規分布 荷重 ( 応力 ) 限界状態関数 G R ここで G>0 のとき健全状態 G=0 のとき限界状態 G 0 のとき破損状態 正規分布 強度 R 耐力 R 荷重 目標破損確率は 1e-6 であるから ( 解説 2.57) 式を用いて目標信頼性指標 β は以下のよ うに算出される P f 1 ( ) 1 (1 P ) (1 10 ) f ( 解説 2.58) 解説 30

41 ここで ここで Φ -1 は標準正規分布の累積分布関数の逆関数であり Excel の NORMSINV 関数を用いることで容易に算出できる 信頼性指標 β は ( 解説 2.49) 式で与えられるから 目標となる信頼性指標 βa=4.753 を満 たすために 変動係数 COV を一定で強度 R の平均値を μ R から δ μ R に変化させるとする と ( ) 2 2 R COVR ( ) R ( 40) 25 ( 400.1) ( 解説 2.59) 強度 R の変化率 δ は となる ( 解説 2.52) 式より 標準正規化座標において原点からの限界状態関数までの距離が最小 となる設計点 (design point) は U U R ( COV ) a R R 2 2 R COVR ( ) 2 2 R COVR ( ) a ( 解説 2.60) となるから 元の座標空間における設計点は ( 解説 2.47) の換算式より 以下のように求 まる R R RUR U ( 解説 2.61) したがって 強度 Rおよび荷重 に対する部分安全係数 ( 強度側は平均値に対する割引係数 荷重側は平均値に対する割増係数で定義 ) は 以下のように算出される PSF PSF R R R ( 解説 2.62) このときの 強度 Rと荷重 の確率分布 強度 Rと荷重 の部分安全係数および設計点の関係を図に示すと解説図 2.18 のようになる 解説 31

42 PSF =1.588 設計点 PSF R =1.595 荷重 強度 R 耐力 R μ = 25MPa μ R = 40MPa δμ R = 63.8MPa 解説図 2.18 強度 R と荷重 の確率分布 部分安全係数 設計点の関係 (b) プログラムによる算出方法 a. 算出フロー上記の手計算による部分安全係数算出方法は FOSM 法 ( 解説 2.2.4(1)(b) 参照 ) に基づいているため 限界状態関数の表示方法 ( 例えば G=R- を G=lnR-ln や G=R/-1 に変更する等 ) によって 得られる解が変化してしまう問題が指摘されている このため ここでは一般的な問題に使用できる AFOSM 法 ( 解説 2.2.4(1)(c) 参照 ) に基づいた部分安全評価方法を紹介する 部分安全係数の算出フローを解説図 2.19 に示す 各算出ステップの詳細は以下の通りである STEP1 : 計算の初期設定 計算の初期設定として 目標信頼性指標 β の算出と設計点の初期値の設定を行う 目標 信頼性指標 β は以下の式で与えられる ここで 1 (1 P ) ( 解説 2.63) f 1 : 標準正規分布の累積分布関数の逆関数 P f : 目標破損確率 設計点の初期値については 初期値に関して何らかの知見がない場合には 確率変数の 平均値を初期値とする STEP2 : 標準偏差の計算 変動係数を一定と仮定するため 標準偏差は以下の式より算出する 解説 32

43 COV ( 解説 2.64) ここで : 確率変数の平均値 COV : 確率変数の変動係数 STEP3-1 : 限界状態関数の偏微分 限界状態関数を構成する各確率変数に対し 設計点 ( X ) における偏微分計算を行う 尚 偏微分の理論解が得られないものに対しては 各確率変数を微少変化させたときの限 界状態関数の変化量から 偏微分を算出する STEP3-2 : 方向ベクトルの計算 る 設計点 ( X ) に対する方向ベクトル ( i ) を計算する i は以下のように求められ G X i n G j1x i X j X 2 Xi 2 X j 0.5 ( 解説 2.65) ここで X i は確率変数 ( X i ) に対する標準偏差である STEP3-3 : 設計点の計算設計点は 以下の式を用いて計算する i X i i X i X ( 解説 2.66) ここで X i X i : 確率変数 X iの平均値 : 確率変数 X iの標準偏差 i: 方向ベクトル : 信頼性指標 STEP3-4 : 方向ベクトルの収束判定方向ベクトルの収束チェックを行う 収束判定の閾値には一般的に を使用する 方向ベクトルが閾値以上の場合には STEP3.1 から STEP3.4 までの処理を収束するまで繰り返す STEP3-5 : 信頼性指標の計算 解説 33

44 限界状態関数 G=0 を満足するβを計算する 例えば 限界状態関数が G=R- の場合 以下の式から算出する G R ( ) ( ) 0 R R R R R R ( 解説 2.67) また上記の例のように解析的に β の解が得られない場合には β を微少変化させながら 限界状態関数 G の正負が反転するときの β を求め これを β の近似解とする STEP4 : 信頼性指標の収束判定目標とする信頼性指標に対するβの収束チェックを行う 収束判定の閾値には一般的に を使用する 値が閾値以上の場合には 荷重側または強度側の平均値を修正して STEP2からSTEP4 までの処理を収束するまで繰り返す STEP5 : 部分安全係数の計算 部分安全係数は以下の式から算出する ここで R 強度側 : PSFR R 荷重側 : PSF R R R R ( 解説 2.68) R: 強度側の確率変数の平均値 R : 強度側の確率変数の設計点 : 荷重側の確率変数の平均値 : 荷重側の確率変数の設計点 解説 34

45 START STEP1 : 計算の初期設定 STEP2 : 標準偏差の計算 平均値 の 変更 STEP3 : 信頼性指標 β の計算 No STEP4 : 目標 β へ収束? Yes STEP5 : 部分安全係数の計算 AFOSM 法 END STEP3.1 : 限界状態関数の偏微分 STEP3.2 : 方向ベクトルの計算 STEP3.3 : 設計点の計算 No STEP3.4 : α が収束? Yes STEP3.5 : 信頼性指標 β の計算 解説図 2.19 部分安全係数算出フロー 解説 35

46 b. 算出例例題 2 に対する算出例を以下に示す 強度の部分安全係数 PSF R は 荷重の部分安全係数 PSF は と求められ 手計算による評価結果 ( 解説 2.2.4(2)(a) 参照 ) と一致する 確率変数の定義変数名 分布形 平均値 COV 標準偏差 R 正規分布 正規分布 限界状態関数 G=R- 計算結果 1 回目 2 回目 3 回目 目標 βの算出 βa Step1 R 設計点の初期値 μ N R Step2 平均値と標準偏差 σ N R の設定 μ N σ N ( G/ R) Step3-1 限界状態関数の偏微分 ( G/ ) Step3-2 Step3-3 方向ベクトルの計算設計点の計算 α R R α Step3-4 αの収束判定 α R ( 許容値 α<0.005) α Step3-5 信頼性指標 βの計算 β Step4 Step5 β の収束判定 ( 許容値 β<0.005) 部分安全係数の計算 β PSF R PSF 補足説明 1 部分安全係数を求めるときの平均値 μと標準偏差 σは 元の分布の値を用いることに注意すること PSF PSF R R R R R R R (3) 簡易法による部分安全係数の決定 ISO2394:1998 1) では 式 ( 解説 2.65) で得られる方向ベクトル ( i ) の標準値として 解説表 2.2 を与えている 基本変数が正規分布に従う場合には これを式 (2.66) に代入することで 設計点において基本変数が取る値を算出することができ 平均値との比 ひいては特性値との比を算出することができる すなわち 部分安全係数の算出ができる 基本変数が正規分布に従わない場合でも 設計点において累積確率と確率密度が一致す解説 36

47 るような等価な正規分布に変換することで 同様の算出を行うことができる 等価な正規分布の平均値を元の分布の母数に基づき定式化することで 設計点において基本変数が取る値と元の分布の平均値の比を算出することができる 2.2.4(2) で規定する部分安全係数の算出式は 以上の考え方に基づき 正規分布および対数正規分布に従う基本変数について 解説表 2.2 を用いて部分安全係数を定式化したものである 解説表 2.2 1) α の標準値 X i α i 主たる強度パラメータ 0.8 他の強度パラメータ = 0.32 主たる荷重パラメータ他の荷重パラメータ = 解説 2.3. 部分安全係数に基づく信頼性評価 2.3 節では 2.2 節により得られた部分安全係数を用いて 信頼性評価を行う手順を定めている 利用する部分安全係数は 実際の信頼性評価対象と近い条件で求められるべきである 2.3(1) で与える特性値は 項における特性値と同じ考え方で設定する必要がある 以下 解説 (2) 部分安全係数の求め方 で計算された部分安全係数を例にとり 部分安全係数の使い方を説明する 例題 2 に示したように 目標破損確率 1e-6( 目標信頼性指標 4.753) を満たすために必要な部分安全係数は PSF R =1.595 PSF =1.588 となった 元の限界状態関数は G=R- であることから このときの評価の基準式は以下の式で与えられる R R G PSF ( 解説 2.69) PSF R 評価の基準式が正となるようにしておけば 強度 Rや荷重 のばらつきを意識しなくても 目標破損確率 1e-6を満たすことができる 上式を満たすときに破損確率 1e-6 が満たされることを検証するために ( 解説 2.69) 式が零となるときの強度 R と荷重 の組合せを用いて破損確率を評価した 解説表 2.3 より 全てのケースで破損確率が 1e-6 となり 目標破損確率を満足することが確認できる 解説 37

48 解説表 2.3 基準式が零になるときの破損確率 Case No. 荷重の 平均値 強度の 平均値 荷重の 標準偏差 強度の 標準偏差 信頼性指標 破損確率 μ μ R σ σ R β Pf E E E E E E E E E E-06 備考 ( 解説 2.69) 式が零となる組合せ 変動係数 COV は一定を仮 定するため σ =0.2 μ, σ R =0.1 μ R から算出 ( 解説 2.49) 式より算出 ( 解説 2.51) 式より算出 解説 2.4. 既存の部分安全係数を利用する場合 2.4 節では 同等の条件について過去に算出された部分安全係数を利用して評価を行うことで 部分安全係数の算出手順を省略する場合の手順を示している 2.2 節に示した部分安全係数の算出は 多数回の信頼性指標の評価が必要であり 実施のためには信頼性指標評価への習熟を要する その一方で 同等の条件について部分安全係数の算出が行われた事例があれば 2.2 節の手順を繰り返す必要はなく 算出された部分安全係数を利用することで評価を行うことができる このため 2.4 節では 評価対象についての確率分布および目標信頼性指標が 過去に部分安全係数を算出した際に設定した評価条件と一致することを確認することを要求しており これを満足する場合に 2.2 節を省略することを許容している 部分安全係数は 基本変数の変動係数および目標信頼性指標に応じて連続的に変化する したがって本節の手順を有効に活用するためには 広く活用可能である代表的な限界状態関数に対して 変動係数および目標信頼性指標に応じた多様な部分安全係数をあらかじめ評価しておき テーブルの形で資料化しておくことが望ましい 解説 38

49 参考文献 1) ISO 2394:1998 : General principles on reliability for structures, (1998). 2) 例えば 塩見弘 : 信頼性工学入門, 丸善, pp (1982). 3) 例えば 星谷勝, 石井清 : 構造物の信頼性設計, 鹿島出版会, pp (1986). 4) E. J. Gumbel : Statistics of Extreme, Columbia University Press, (1958). 5) C. J. Turkstra and H. O. Madsen : oad Combinations in Codified Structural Design, J. Struct. Div., ASCE, 106-ST12, (1980). 6) 例えば B. R. Ellingwood, et al., Development of a Probability Based oad Criteria for American National Standard A58, NBS Special Publication No.577, National Bureau of Standards, US Department of Commerce, Washington, DC (1980). 7) C. A. Cornell : A Probability-Based Structural Code ACI Journal, 66, pp (1969). 8) A. M. Hasofer and N. C. ind: Exact and invariant second moment code format, J. Eng. Mech., ASCE, 100, pp (1974). 9) R. Rackwitz and B. Fiessler: Structural reliability under combined random load sequences, Comput. Struct., 9, pp (1978). 解説 39

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