新規文書1

Size: px
Start display at page:

Download "新規文書1"

Transcription

1 日本機械学会基準 部分安全係数法を用いた機械製品の信頼性評価に関する指針 目 次 I. 用語... 2 II. 記号 指針の目的 適用範囲 部分安全係数法 限界状態の数学的記述 限界状態の明確化 破損モードの抽出 限界状態関数の設定 部分安全係数の設定 確率特性の表現 特性値の設定 目標信頼性指標の設定 部分安全係数の算出 部分安全係数に基づく信頼性評価 既存の部分安全係数を利用する場合 確率分布の確認 目標信頼性指標の確認 部分安全係数の設定

2 I. 用語部分安全係数法所定の信頼性を確保するために必要な部分安全係数を 荷重及び強度に対してそれぞれ設定し これにより評価対象が要求性能を満足しているかを評価する手法 部分安全係数荷重及び強度に対して与えられる 不確かさに対する余裕を考慮するための係数 荷重及び強度の確率分布特性 並びに目標信頼性指標に応じて 一式の係数が与えられる 目標信頼性指標 T 評価対象が備えるべき信頼性の度合いを 信頼性指標の形式で与えたもの 信頼性指標 破損確率 P f の代わりとして用いられ =- -1 (P f ) で定義される ここに -1 は標準正規分布関数の逆関数である 破損機械製品又は機械要素が 安全上の機能 使用性などの設計での要求性能を満足していない状態 使用性機械製品又は機械要素が 考えられるあらゆる負荷のもとで, 通常の使用に対して機能できる能力 信頼性機械製品又は機械要素が所定の要求性能を満足できる能力 所定の要求性能は 基準期間と対応付けて与えられる 基準期間信頼性を評価するに当たって 時間依存性をもつ荷重 材料特性などの値を設定するための基準となる ある選ばれた期間 設計供用期間又は次回定期検査までの期間に基づいて設定することができる 設計供用期間大きな補修を必要とせずに 当初の目的のために機械製品又は機械要素を使用できると仮定した期間 限界状態それを超えると 機械製品又は機械要素がもはや設計での要求性能を満足しなくなる状態 終局限界状態それを超えると 崩壊又はそれに類似した構造的破壊を招く限界状態 使用限界状態それを超えると 機械製品又は機械要素が使用性に関する要求性能を満足できなくなる限界状態 非可逆的限界状態一度それを超過すると 超過の原因となった負荷が取り除かれても永久的に超過したままになる限界状態 可逆的限界状態超過の原因となった負荷を取り除くことで それを超過していない状態に復帰することが可能である限界状態 限界状態関数基本変数 Xの関数 g であり g(x) = 0 によって限界状態を定義するもの g > 0は望ましい状態で g 0は望ましくない状態 2

3 基本変数確率分布母数変動係数 を示す 荷重 環境的影響 材料特性 又は幾何学量に対応する物理量を表す ある特定の変数群 不確かさを持つ物理量について 値の出現確率を記述するための数学モデル 確率分布関数又は確率密度関数で定義される 確率分布を特徴づける数であり 確率分布関数及び確率密度関数はこれを利用して記述することができる 頻繁に用いられる母数としては 平均値 標準偏差 変動係数などがある 確率分布の標準偏差を 平均値で除したもの II. 記号 PSF R R V 信頼性指標部分安全係数荷重荷重のベクトル強度強度のベクトル平均変動係数 3

4 日本機械学会基準 部分安全係数法を用いた機械製品の信頼性評価に関する指針 1. 指針の目的 適用範囲 本指針は 機械製品の設計 維持段階において 部分安全係数法に基づき信頼性評価を 行うための手順を示したものである 2. 部分安全係数法 (1) 2.1 節から 2.3 節に示す手順に基づき 評価を実施すること (2) 過去に類似の評価を行った事例があり 過去に算出された部分安全係数を利用して評価を行う場合には 2.2 節に代えて 2.4 節を利用することができる 評価手順の概略を図 2.1に示す 2.1 限界状態の数学的記述 限界状態の明確化 破損モードの抽出 限界状態関数の設定 2.2 部分安全係数の設定 確率特性の表現 特性値の設定 目標信頼性指標の設定 置換 2.4 既存の部分安全係数を利用する場合 部分安全係数の算出 2.3 部分安全係数に基づく信頼性評価 図 2.1 部分安全係数法の実施手順 4

5 2.1 限界状態の数学的記述 限界状態の明確化 (1) 対象機械製品が基準期間中に発揮すべき機能を明確化すること (2) 発揮すべき機能に対する限界状態を明確化し記述すること 破損モードの抽出 (1) 2.1.1で明確化された限界状態をもたらす 破損モードを抽出し 評価を要するものを明確化すること (2) 一つの機械製品内で複数の破損モードが存在する場合には その全てを抽出し 破損モードの繋がりを Fault Tree などを用いて明確化すること 複数の破損モードが生じる例として 以下が挙げられる a. 破損をもたらすメカニズムが複数存在するケース b. 機械製品を構成する機械要素についてそれぞれ破損を定義することができるケース 限界状態関数の設定抽出された破損モードに対し 破損モードが生起する限界を数学的に記述した 限界状態関数を設定すること 限界状態関数は 以下の条件を満足するように設定すること (1) 破損モードの生起に関連する基本変数を 破損モードの特性を考慮して選定すること 例えば 荷重が強度を超過することで生じる不可逆な破損モードであれば 基準期間中に生じる荷重の最大値を基本変数として選定すべきである 一方で 疲労のように繰返し数に依存する破損モードであれば 荷重の大きさのみならず 基準期間中の負荷回数もまた基本変数として選定すべきである (2) 値が大きいほど破損モードが生起しやすい基本変数を荷重 と分類し 値が大きいほど破損モードの生起を防止できる基本変数を強度 Rと分類すること (3) 限界状態関数は 式 ( ) に示すように それぞれ一種類又は複数種類の荷重, 強度 Rの関数として表記すること g,r ( ) f g (4) 限界状態関数が 0となる条件が 節において明確化した限界状態と対応すること 限界状態関数が正となる条件では 発揮すべき機能が満足されていること (5) 複数の破損モードが抽出されている場合 各破損モードに対応する限界状態関数をそれぞれ別個に設定すること 5

6 2.2 部分安全係数の設定 確率特性の表現限界状態関数に含まれる 荷重や強度をはじめとする基本変数は確率変数として扱い それぞれ値の不確かさの特徴を表現する確率分布を 以下の手順により設定すること ただし 値の不確かさが極めて小さい又は評価結果に与える影響が微小であることが明らかな基本変数については 確率分布を設定せず確定値として取り扱うことができる (1) 基本変数がもつ不確かさの特性を 適切に表現できる確率分布形状を選択すること 例えば 規定された時間内に生じる荷重の最大値であれば最大値の分布を選択する等 基本変数に不確かさが生じるメカニズムを考察し これに合致した確率分布を選択することが望ましい (2) 確率分布の平均値及び変動係数を 設計条件 過去の試験 観測データなどに基づき決定すること 確率分布を一意に指定するために さらに追加の母数の決定が必要である場合には これについても決定すること a. 十分な試験データがある場合 データを統計処理することにより確率分布母数を決定することができる b. 利用可能なデータが 実機と比較して寸法等が異なる条件に基づき得られたものである場合 理論的又は経験的な係数によって換算を行うこと c. 確率分布の決定に資するデータが十分に存在しない場合には 工学的判断に基づき確率分布母数を決定することができる 特性値の設定各基本変数について 特性値の比 k /,R k / R を設定すること 比の算出に用いる特性値 k,r k は 以下の考え方で設定すること (1) 強度に対する特性値 R k は 材料の設計引張強さ 設計降伏応力などの規格値を用いることができる 試験等に基づき設定する場合には 強度に対する確率分布の何 % 点であるかを明記すること (2) 荷重に対する特性値 k は これを基準期間中に望ましくない側に超過する確率が 所定の値となるように選択すること ここでいう所定の値は 評価を通じて一貫した値を設定するもので 目安として 5% を用いることができる また 荷重の最大限の値として 従来から評価に用いられている数字があれば これを特性値 k とすることができる 6

7 2.2.3 目標信頼性指標の設定各破損モードに対して 適切な目標信頼性指標を設定すること (1) 目標信頼性を信頼性指標の形式で表現した 目標信頼性指標を与えること (2) 目標信頼性指標は 破損時の影響の大きさ等を考慮して 評価対象の機械製品に対して要求される信頼性の大きさに応じた値を設定すること (3) 目標信頼性指標の設定にあたっては その値の妥当性について十分な説明性を確保すること 妥当性の説明は 例えば既存の設計基準に基づいて設計された代表的な機械製品又は構造要素に対して信頼性指標 を算出し その値を基に目標信頼性指標 T を決定する キャリブレーションによることができる (4) 機械製品が複数の破損モードをもつ場合 機械製品の総合的な目標信頼性指標を満足するように 各破損モードについての目標信頼性指標を配分すること a. 複数の破損モードのいずれか一つが生起することで 対象機械製品の破損に至る場合には 全破損モードの和事象について目標信頼性指標を満足するように 各破損モードの目標信頼性指標は 機械製品の総合的な目標信頼性指標より大きい値を設定すること b. 複数の破損モードの全てが生起しなければ 対象機械製品の破損に至らない場合には 全破損モードの積事象について目標信頼性を満足すればよく 各破損モードの目標信頼性指標は 機械製品の総合的な目標信頼性指標より小さい値を用いることができる ただし 複数の破損モードで支配的な基本変数が共通する場合 複数の破損モードが同時に発生する可能性が高く 目標信頼性指標の低減につながらないことに留意すること 部分安全係数の算出評価に用いる部分安全係数を算出する 算出は 以下 (1),(2) のいずれかによること (1) 詳細計算による算出以下の手順により部分安全係数を算出する a. 信頼性指標の評価を行い 目標信頼性指標と一致することを確認する 信頼性指標の評価には 例えば AFOSM 法を用いることができる b. a. において一致しない場合には 変動係数を一定としたうえで 荷重又は強度の平均値を変更して再度評価を行う c. 評価結果が目標信頼性指標と合致する条件において 最も生じる可能性の大きい基本変数の値の組合せを設計点とする d. 強度に対しては 特性値を設計点における値で除したものを部分安全係数 PSF R とする e. 荷重に対しては 設計点における値を特性値で除したものを部分安全係数 PSF とする 7

8 (2) 簡易法による決定正規分布に従う基本変数に対しては 以下の式によって部分安全係数を算出することができる 支配的な強度に対する係数その他の強度に対する係数 PSF PSF R R V T V 支配的な荷重に対する係数 PSF 1 0.7V その他の荷重に対する係数 PSF V R k ( ) R T R k ( ) R 1 k T ( ) 1 k T ( ) ここで T は目標信頼性指標であり V は対象の強度又は荷重についての変動係数である R k / R, k / は対象の強度又は荷重の特性値を平均値で除したものであり 項で求めた値を用いる また 対数正規分布に従う基本変数に対しては V<0.25であれば 以下の近似式によって部分安全係数を算出することができる k 支配的な強度に対する係数 PSFR 0.8V T R k その他の強度に対する係数 PSFR V T R 支配的な荷重に対する係数 PSF exp0.7v その他の荷重に対する係数 PSF exp V R exp ( ) R exp ( ) 1 k T ( ) 1 k T ( ) 2.3 部分安全係数に基づく信頼性評価 (1) 各基本変数について 項と同じ定義に基づき 信頼性評価用の特性値 k,r k を設定すること (2) 限界状態関数の各基本変数に (1) で設定した評価用特性値を 部分安全係数を加味して代入し この結果が負の値とならないことをもって 破損モードに対する信頼性が確保されていると判定すること すなわち 限界状態関数が式 ( ) で与えられた場合には 式 (2.3-1) が成立することをもって信頼性を確認すること f g PSF PSF, PSF,, R PSF, R PSF, R PSF, 0 1 k1, 2 k 2 i ki k1 R1 k 2 R2 kj Rj (2.3-1) 8

9 このとき 以下に留意すること a. PSF i は荷重 ki に対する部分安全係数であり PSF Ri は強度 R ki に対する部分安全係数である b. 基本変数 ki 及び R ki に対しては (1) により設定された特性値を入力すること (3) 複数の限界状態関数が設定されている場合 全ての限界状態関数が正であることを 確認すること 2.4 既存の部分安全係数を利用する場合過去に同様の対象について 2.2 節の手法で算出した部分安全係数 ( 以下 既存の部分安全係数と呼ぶ ) が存在する場合 この部分安全係数を利用することができる このとき 2.2 節の手順に代えて 本節の手順を実施することができる 確率分布の確認以下の (1)(2) のいずれかの手順に基づき 基本変数に対し既存の部分安全係数算出時と同じ確率分布が与えられていることを確認すること 同じ確率分布が与えられていることを確認できない場合には 2.2 節に基づき部分安全係数を設定すること (1) 確率分布を設定して比較する場合 a. 限界状態関数に含まれる 荷重や強度をはじめとする基本変数は確率変数として扱い それぞれ値の不確かさの特徴を表現する確率分布を設定すること (a) 値の不確かさが極めて小さい又は評価結果に与える影響が微小であることが明らかな基本変数については 確率分布を設定せず確定値として取り扱うことができる (b) 具体的な設定手順は 2.2.1(1) 及び (2) によること b. 設定された確率分布が 既存の部分安全係数算出時の確率分布と一致することを確認すること (2) 評価条件が一致することを確認する場合 基本変数の確率分布設定に利用可能な情報が 既存の部分安全係数算出時と変わらない 場合には 同じ確率分布が与えられていると判定することができる 目標信頼性指標の確認以下の (1)(2) のいずれかの手順に基づき 既存の部分安全係数と同じ目標信頼性指標が与えられていることを確認すること 同じ目標信頼性指標が与えられていることを確認できない場合には 2.2 節に基づき部分安全係数を設定すること 9

10 (1) 目標信頼性指標を算出して比較する場合 a. 各破損モードに対して 適切な目標信頼性指標を設定すること (a) 具体的な設定手順は 項によること b. 設定された目標信頼性指標が 既存の部分安全係数算出時の目標信頼性指標と一致することを確認すること (2) 評価条件が一致することを確認する場合評価対象の破損時の影響の大きさ等 目標信頼性指標設定時に想定する条件が 既存の部分安全係数算出時と変わらない場合には 同じ目標信頼性指標が与えられていると判定することができる 部分安全係数の設定 項及び 項が満たされている場合 既存の部分安全係数を 2.2 節において算出 される部分安全係数と同等のものとして取り扱うことができる 10

11 日本機械学会基準 部分安全係数法を用いた機械製品の信頼性評価に関する指針の解説 目 次 解説 1. 指針の目的 適用範囲... 2 解説 2. 部分安全係数法... 2 解説 2.1. 限界状態の数学的記述... 2 解説 限界状態の明確化... 2 解説 破損モードの抽出... 3 解説 限界状態関数の設定... 4 解説 2.2. 部分安全係数の設定... 6 解説 確率特性の表現... 6 解説 特性値の設定 解説 目標信頼性指標の設定 解説 部分安全係数の算出 解説 2.3. 部分安全係数に基づく信頼性評価 解説 2.4. 既存の部分安全係数を利用する場合 解説 1

12 解説 1. 指針の目的 適用範囲本指針は 部分安全係数法に基づく信頼性評価の手順を定めたものである 本指針では 設計のみならず維持も適用対象に含んでいる 設計のみを対象としないことを明確化するため 従来利用されている 荷重 耐力係数設計法 という用語は用いず 部分安全係数法 という用語に置き換えた 部分安全係数法はレベル1の信頼性設計法に分類されるものであり これは設計強度および設計荷重の公称値あるいは平均値に対して部分安全係数を定め それらの係数を有する基準式に基づいて決定論的手法で信頼性評価を行う方法である この方法では 確率計算を伴わずに従来の決定論的手法で信頼性評価が可能であるため 設計者は確率論を意識することなく目標とする信頼度を満足する信頼性評価を行うことができる 解説 2. 部分安全係数法解説 2.1. 限界状態の数学的記述解説 限界状態の明確化一般に限界状態は終局限界状態と使用限界状態に分けられる ISO 2394:1998 1) によれば 終局限界状態は最大耐荷能力又は最大ひずみや変形に関する限界状態 使用限界状態は通常使用に関する限界状態であり それぞれ次のものが含まれる (1) 終局限界状態 1 剛体と考えたときの構造物又は構造部分のつりあいの喪失 ( 例 転倒 ) 2 破断 ( ある場合には 疲労や腐食に影響を受けた ) による断面や部材 接合部の最大強度への到達や過度の変形 3 構造物又はその部分のメカニズム状態 への移行 4 構造物又はその部分の安定性の喪失 5 仮定した構造システムから新しいシステムへの急激な移行 ( 例 飛び移り現象 ) (2) 使用限界状態 1 構造物の供用期間を低減させる もしくは構造又は非構造要素の有効性や外観に影響を与えるかもしれない部分的損傷 ( クラックを含む ) たとえば 疲労による繰り返し荷重は部分的な損傷に影響を与えるかもしれない 2 構造又は非構造要素の 有効な使用 あるいは外観又は設備の機能性に影響を与える許容されない変形 3 不快感を生じさせる もしくは非構造要素又は設備の機能性に影響を与える過度の振動 構造物が塑性ヒンジ ( 状態部材のある断面が全塑性モーメントに達して 回転自由なピ ン状態になった部分 ) の回転だけで変形する機構状態 解説 2

13 解説 破損モードの抽出機械製品の限界状態をもたらす異なる機械要素の破損や異なる物理的メカニズムによる破損を破損モードという 各限界状態には複数の破損モードが含まれるのが普通である 例えば 解説図 2.1 に示すような静定トラス全体が過大荷重によって破損する場合を考えると このトラスはいずれの部材が破損しても全体として破損に至る 解説図 2.1 静定トラス したがって 静定トラス全体が破損するという事象は 各部材が破損するという事象の和 事象であり トラス全体の破損確率は 次式のように表すことができる そして 各部材 の破損という事象が破損モードに相当する Pr[ 過大荷重によるトラス全体の破損 ] =Pr [ 部材 1 の破損 ] Pr [ 部材 2 の破損 ] Pr [ 部材 3 の破損 ] ( 解説 2.1) なお この場合はそれぞれの部材が破損するという事象にいずれも同じ荷重 P が関与しているため 各事象は独立ではない したがって トラス全体の破損確率は各部材の破損確率の和にはならないことには注意する必要がある 実際の機械製品の信頼性評価では 機械製品全体に致命的な限界状態をもたらす破損モードを全て抽出することが重要である 破損モードを抽出する作業は必ずしも容易ではないが これを支援するための手法として FTA(Fault Tree Analysis) 2) などが考案されている FTA は望ましくない事象を頂上事象として その事象をもたらす事象を順次見出して AND ゲートや OR ゲートを用いて FT(Fault Tree) として表現していく手法である 前述の静定トラスの破損を FT で表現すると 解説図 2.2のようになる 解説 3

14 解説図 2.2 静定トラスの FT 解説 限界状態関数 3) の設定破損確率を計算するためには 各破損モードを記述する数学モデルが必要になる 一般に 破損モードには荷重や材料強度などの不確定要因が関与しているが このような不確定要因を表す確率変数を基本変数という いま 対象とする破損モードに n 個の基本変数 X 1,, X n が関与しているとすると 前述の数学モデルは次のような性質を有する関数 g(x 1,, X n ) として定義できる g(x 1, X 2,, X n )>0 限界状態は生起しない ( 非破損 ) g(x 1, X 2,, X n ) 0 限界状態は生起する ( 破損 ) 基本変数に関する上記の関数 g(x 1, X 2,, X n ) は限界状態を記述していることから 限界状 態関数 (imit-state Function) あるいは性能関数 (Performance Function) と呼ばれる 限界状態関数の例として解説図 2.3 に示すような一様引張を受ける棒の静的破損を考え る 材料の引張強さを R 棒の応力を S とすると この棒は破損条件式 R S ( 解説 2.2) を満たす時に破損する このようなモデルを S-S(Stress-Strength) モデルと呼ぶ R, S が いずれも不確かさを有する場合には S-S モデルの限界状態関数は となる g(r,s)=r-s ( 解説 2.3) 解説 4

15 解説図 2.3 単軸引張を受ける棒の破損 今後の一般化のために 引張強さ R を X 1 応力 Sを X 2 とすると 限界状態関数は g(x 1, X 2 )=X 1 -X 2 ( 解説 2.4) となる g(x 1, x 2 )=0と(X 1,X 2 ) が破損状態を表す組み合わせ ( 破損領域 ) と非破損状態を表す組み合わせ ( 非破損領域 ) をグラフに表すと 解説図 2.4 のようになり g(x 1, x 2 )=0 を境界として破損領域と非破損領域に分けられることが理解できる 解説図 2.4 限界状態関数の図式表示 次に 解説図 2.3 において応力 S を荷重 P( 基本変数 X 3 ) 棒の断面積 A( 基本変数 X 4 ) で表すと S=P/A であるから 限界状態関数は となる g(x 1, X 3, X 4 )=X 1 -X 3 /X 4 ( 解説 2.5) 一方 同じ一様引張を受ける棒の伸び が限界値 c を超えた場合に破損するという破損 モードを考えると 破損条件式は棒の長さを l ヤング率を E として APl E c ( 解説 2.6) となる したがって 荷重 P( 基本変数 X 3 ) 棒の断面積 A( 基本変数 X 4 ) に加え 棒の 長さ l を基本変数 X 5 伸びの限界値 c を基本変数 X 6 とすると この破損モードに対する限 界状態関数は 解説 5

16 g(x 3, X 4, X 5, X 6 )=X 6 -X 3 X 4 X 5 /E ( 解説 2.7) となる 式 ( 解説 2.7) の限界状態関数を基本変数 X 3 ( 荷重 P) で偏微分すると その値は負となる すなわち 値が大きいほど限界状態関数が小さくなり破損が生起しやすい したがってこのような基本変数に対しては 1 より大きい部分安全係数を積算して信頼性評価を行うことで 破損モード生起に対する余裕を確保すべきである 一方で式 ( 解説 2.7) の限界状態関数を基本変数 X 6 ( 伸びの限界値 c ) で偏微分すると その値は正となる すなわち 値が小さいほど限界状態関数が小さくなり破損が生起しやすい したがってこのような基本変数に対しては 1 より大きい部分安全係数を除算して信頼性評価を行うことで 破損モード生起に対する余裕を確保すべきである 以上のように 基本変数は余裕を与える方向の違いにより二種類に分類すべきである 部分安全係数を積算すべき基本変数の代表例は荷重であり 部分安全係数を除算すべき基本変数の代表例は強度である このため本基準では こうした基本変数の総称として 荷重 (oad) と強度 R(Resistance) を用いている 以上の分類の定義は 2.1.3(2) において与えている通り あくまで破損が生起しやすくなる値の方向によるものである この定義に従い 部材の寸法など一見荷重あるいは強度と関連の薄い基本変数が 荷重 あるいは強度 R として分類されることがある 解説 2.2. 部分安全係数の設定解説 確率特性の表現 (1) 確率特性の表現機械製品の信頼性評価の際に必要となる材料強度や荷重などの物理量は 一般にばらつきを有する不確定量である 例えば 同一の鉄鋼材料から製作した多数の引張試験片を用いて引張強さを求めると 解説図 2.5 のような分布が得られる 解説図 2.5 ある鉄鋼材料の引張試験結果の分布 解説 6

17 このようなばらつきが十分小さければその物理量は確定値として取り扱うことが可能であ るが そうでない場合にはその物理量は不確定量として取り扱う必要がある ISO 2394:1998 1) では 限界状態設計で考慮すべき不確かさとして以下の 4 種類を挙げている 1 作用 構造物に作用する集中あるいは分布した力学的力の集合( 直接的作用 ) 構造物への強制 又は内部の拘束による変形の原因となるもの( 間接的作用 ) 2 環境的影響構造材料を劣化させる力学的 物理的 化学的あるいは生物学的特性 3 材料の特性材料や地盤の強度特性 4 幾何学量形状 寸法 構造要素や部材断面の全体の配列 不確かさを有する基本変数を確率変数 (random variable) という 確率変数には材料の引張強さのように連続的な値を取る連続確率変数とサイコロの目のように離散的な値を取る離散確率変数がある 機械製品の破損に対する信頼性を正しく評価するためには これら破損に関与する確率変数の分布特性を適切な数学モデルで表現することが必要になる 確率特性を表現するための分布形状は (3) 代表的な確率分布に示すように 利用頻度の高いものに絞っても多様なものが存在する 本基準では 2.2.4(2) において 計算上の利便性が高い正規分布および対数正規分布について 簡易な部分安全係数の算出法を与えている しかし確率特性の表現に用いる分布の選定時には これにこだわらず よりメカニズムに則したものを選ぶことが望ましい (2) 確率分布関数と確率密度関数確率変数の分布特性は 確率分布関数や確率密度関数で定義することができる (a) 確率分布関数確率変数 X がある実数値 x に対して X x である確率 Pr[X x] を確率変数 X の確率分布関数 (probability distribution function) という これを F(x) とすると F(x) Pr[ X x] ( 解説 2.8) となる 確率分布関数は次のような性質を持っている 1 F(x) は単調増加関数である 2 0 F(x) 1 F(- )=0 F(+ )=1 (b) 確率密度関数 確率変数 X が連続で F(x) が区分的に微分可能なとき 解説 7

18 f (x) df(x) dx ( 解説 2.9) を確率密度関数 (probability density function) と呼び 確率変数の分布特性を調べるために は 確率分布関数よりも良く用いられる 確率分布関数は次のような性質を持っている 1 f(x) 0 2 a b f (x)dx F(b) F(a) 3 f (x)dx 1 (3) 代表的な確率分布 ここでは 限界状態設計における確率変数のモデル化に使用される代表的な確率分布を 示す (a) 正規分布 (normal distribution) 確率変数 X が次式のような確率密度関数を有するとき Xは正規分布に従うという 1 f (x) 2 exp (x ) 2 ( 解説 2.10) ここで =E[X] は平均値 2 =Var[X] は分散であり この正規分布を N(, 2 ) のように表す ことがある 正規分布の確率密度関数は解説図 2.6 に示すような形状をしており x= に 関して対称である また 式 解説 2.10から N(, 2 ) の確率分布関数は 2 1 x (t ) F(x) exp dt ( 解説 2.11) となるが この式は解析関数で表示できない 解説図 2.6 正規分布の確率密度関数 解説 8

19 式 ( 解説 2.10) において とおくと u (x ) ( 解説 2.12) f (u) 1 2 exp u 2 (u) ( 解説 2.13) 2 となり これは平均値 0 標準偏差 1 の正規分布 N(0,1 2 ) の確率密度関数を表している こ れを標準正規確率密度関数と呼び (u) のように表すことがある 式 ( 解説 2.11) より N(0,1 2 ) の確率分布関数は (u) 1 t exp u 2 dt ( 解説 2.14) 2 2 となり これを標準正規確率分布関数と呼ぶ 標準正規確率分布関数 (u) の値を数表で表 しておけば 式 ( 解説 2.12) の変換を用いることによって N(, 2 ) の正規分布関数の値が容 易に計算できる X が正規分布に従うとき Pr[ X ] 0.63 Pr[ 2 X 2] 0.95 Pr[ 3 X 3] ( 解説 2.15) のようになることが知られている Pr[ X ] 0.63 の場合を解説図 2.6 の斜 線部に示す なお n 個の確率変数 X i が互いに独立で同一の確率分布 ( 平均値 標準偏差 ) に従う とき の分布は n が十分大きくなると平均 分散 2 n X n 1 X i ( 解説 2.16) n X n n i1 /n である正規分布に収束する すなわち N (0,1) ( 解説 2.17) となる これを中心極限定理という したがって 多数の不確定因子が和の形で寄与する 場合の不確かさは 全体としては正規分布で近似できることになる (b) 対数正規分布 (lognormal distribution) 確率変数 X の対数 Y=lnX が正規分布に従うとき X は対数正規分布に従うといい その 確率密度関数は Y の平均値を e 標準偏差を e とするとき f (x) e 1 x exp (ln x e )2 2 2 e ( 解説 2.18) となる X の平均値 分散 2 は 解説 9

20 exp e e ( 解説 2.19) 2 2 exp2 e e ( 解説 2.20) 2 exp e 1 となる 平均値 分散 2 の対数正規分布を N(, 2 ) で表す N(, 2 ) の確率分布関数は標準正規確率分布関数 (x) を用いると F(x) ln x e ( 解説 2.21) のようになる e 中心極限定理によれば 同じ分布に従う n 個の確率変数の対数の和 ln X ln X ln X ln(x X X 1 2 n 1 2 n ) は n が十分大きくなると正規分布に近づくから 積 X X X 1 2 n の分布は対数正規分布に近づく したがって 多数の不確定因子が積の 形で寄与する場合には 全体としての不確かさは対数正規分布で近似できる (c) 指数分布 (exponential distribution) 確率変数 X の確率密度関数が次式で表せるとき X は指数分布に従うという f (x) 0 exp 0 x ( 解説 2.22) 指数分布の平均値 標準偏差 は それぞれ 1 ( 解説 2.23) 0 となる 式 ( 解説 2.22) より 指数分布の確率分布関数は である ( 解説 2.24) F(x) 1 exp 0 x ( 解説 2.25) ある製品の故障寿命分布が指数分布 F(t) に従うとき 信頼度 R(t) は R(t) 1 F(t) exp 0 t ( 解説 2.26) となる このとき 故障率 (t)( ある時点まで動作してきたアイテムが引き続く単位時間内 に故障を起こす割合 ) は (t) f (t) R(t) 0 ( 解説 2.27) となる したがって 指数分布は故障率が一定値 0 を取るときの寿命分布を表しているこ とになる (d) ワイブル分布 (Weibull distribution) 確率変数 X の確率分布関数が次式で表されるとき X はワイブル分布に従うという 解説 10

21 F(x) 1 exp x (x, 0, 0) ( 解説 2.28) ここで は形状母数 は尺度母数 は位置母数と呼ばれる ワイブル分布の平均値 分散は 次式のようになる 1 1 ( 解説 2.29) ( 解説 2.30) ただし ( ) はガンマ関数である ワイブル分布は次のようにして導くことができる いま 解説図 2.7 に示すような n 個の環からなる鎖の強度を考え 鎖の環 1 個の強度が確率分布関数 F 0 (x) に従うものとする 鎖全体の強度は n 個の環のうち最も強度が小さいものによって決まるので やはり確率的に分布するが これは元の確率分布 ( 原分布 ) の最小値の分布に相当する 原分布と最小値の分布の関係は解説図 2.8 のようになっており n が大きくなるほど最小値分布は左側に寄るが n が十分大きくなったときの分布を最小値の漸近分布と呼び その分布特性は原分布の左裾野の形状に支配される 解説図 2.7 n 個の環からなる鎖の強度 解説図 2.8 原分布と最小値分布 次に 原分布と最小値分布の関係を求める 鎖全体の強度の確率分布関数 すなわち最 解説 11

22 小値分布の確率分布関数を F(x) とすると 鎖全体の強度が x より大きい確率 は n 個 の要素の強度がいずれも x より大きい確率 に等しいから となる したがって 最小値分布の確率密度関数 F(x) は 1 F(x) 1 F 0 (x) n ( 解説 2.31) F(x) 11 F 0 (x) n ( 解説 2.32) となる また これを微分することにより 最小値分布の確率密度関数 f(x) は となる f (x) df(x) dx n1 F 0 (x) n1 f 0 (x) ( 解説 2.33) 先にも述べたように最小値分布は原分布の左裾野の特性に支配されるが F 0 (x) の左裾野 がべき乗型 F 0 (x) (x ) ( 解説 2.34) で表される場合に 漸近分布として式 ( 解説 2.28) のワイブル分布が得られる このため ワイブル分布を最小値の第 3 種漸近分布または最小値の第 3 極値分布と呼ぶこともある 極値分布についての詳細は Gumbel によって研究されている 4) なお ワイブル分布を故障率から導くこともできる いま 故障率 (t) が 時間 t のべき 乗として定数 k c(c>0) を用いて (t) kt c ( 解説 2.35) のように表されるものとする 信頼度 R(t) と故障率 (t) の間には t R(t) exp (t) dt 0 ( 解説 2.36) なる関係があるから R(t) exp となる ここで c+1= (c+1)/k= とおけば t 0 kt c dt exp k c 1 t c1 ( 解説 2.37) F(t) 1 R(t) 1 exp t ( 解説 2.38) となり これは 2 母数ワイブル分布に他ならない 式 ( 解説 2.38) において の場合は指 数分布に一致する (e) 最大値の二重指数分布 確率変数 X の確率分布関数が次式で表されるとき X は最大値の二重指数分布に従うと いう 解説 12

23 F(x) exp exp x ( 0) ( 解説 2.39) ここで は尺度母数 は位置母数と呼ばれる 最大値の二重指数分布の平均値 標準偏差は 次式のようになる 0 ( 解説 2.40) 6 ( 解説 2.41) ただし はオイラーの定数 (Euler s constant) である ワイブル分布が最小値の漸近分布として導かれたのに対し 最大値の二重指数分布は最大値の漸近分布として導かれる いま 解説図 2.9 に示すような等しい時間間隔 T の n 個の区間で分割された荷重の時間変動を考え 各 T 区間内の荷重が確率分布関数 F 0 (x) に従うものとする 全区間 nt での荷重の最大値は 各区間における最大値のうち最も大きいものによって決まるので やはり確率的に分布するが これは原分布の最大値の分布に相当する 原分布と最大値の分布の関係は解説図 2.10 のようになっており n が大きくなるほど最大値分布は右側に寄るが n が十分大きくなったときの分布を最大値の漸近分布と呼び その分布特性は原分布の右裾野の形状に支配される 解説図 2.9 T 区間内の最大荷重 解説 13

24 解説図 2.10 原分布と最大値分布 次に 原分布と最大値分布の関係を求める 最大値分布の確率分布関数 F(x) とすると n T 区間内の最大値が x より小さい確率 は T 区間内の n 個の最大値がいずれも x より小さい確率 に等しいから F(x) F 0 (x) n ( 解説 2.42) であり これを微分することにより 最大値分布の確率密度関数 f(x) が f (x) df(x) dx nf 0 (x) n1 f 0 (x) ( 解説 2.43) となる 最大値分布は原分布の右裾野の特性に支配されるが F 0 (x) の右裾野が指数型で表 される場合に 漸近分布として式 ( 解説 2.39) の最大値の二重指数分布が得られる このた め 最大値の二重指数分布を最大値の第 1 種漸近分布または最大値の第 1 極値分布と呼ぶ ことがある なお 土木 建築の分野では 最大値の二重指数分布のことを特にグンベル 分布 (Gumbel s distribution) と呼ぶことがある (4) 複数の荷重の組合せ限界状態設計で考慮すべき荷重は 一般に時間 t の経過ともにその大きさが確率的に変化する時間変動量であることが多い このような時間変動する確率変数 X を確率過程と呼び 記号 X(t) で表す 機械製品の破損を考えるときは 基準期間中の最大値荷重に着目すればよいから 荷重に関する確率過程 X(t) の最大値の分布がわかればよい 考慮すべき時間変動荷重が一種類のみであれば 荷重の時間最大値は最大値の二重指数分布によってモデル化することが有効である 解説 14

25 実際の機械製品では 死荷重 積載荷重 風荷重 地震荷重などのように 大きさや時間変動の周期が異なる複数の荷重が同時に負荷されるため 複数の確率過程 X i (t) の和の最大値分布の評価が必要になる しかし 一般に m 個の異なる確率過程の和 Z(t)=X 1 (t)+ X 2 (t)+ + X m (t) の最大値分布を評価するのは容易ではない 一方 Z(t) の最大値 max{x 1 (t)+ X 2 (t)+ + X m (t)} を max{x 1 (t)}+max{ X 2 (t)}+ + max{x m (t)} で置き換えるとあまりに安全側となってしまい 現実的ではない そこで Z(t) の最大値を m max{z(t)} max maxx i (t) X j (t ) i j1, ji ( 解説 2.44) で近似することが提案された 5) ここで i は Z(t) を最大にするように選ばれる また X j (t) は arbitrary-point-in-time load と呼ばれ 定常過程に対しては平均値が用いられることが多い この手法は Turkstra 規則 5) と呼ばれ 経験的な手法であるが 実用上は十分であることが知られている 解説 特性値の設定部分安全係数法は 各基本変数の確率分布を代表する値を入力として これに係数を加味して信頼性評価を行う 信頼性評価に用いる各基本変数の特性値は 最も簡易なものとしては 確率分布の平均値が利用できる その一方 従来の信頼性評価との対応のため それ自体に余裕を含んだ値を特性値とすることが期待されることも考えられる 特に材料強度については 設計引張強さや設計降伏応力といった規格値を特性値としない場合 従来の信頼性評価との対応が不明瞭となる このように 各基本変数の特性値として確率分布の平均値以外を用いる場合には 特性値が確率分布のどのような位置にあるのかをあらかじめ明確にする必要がある 解説 目標信頼性指標の設定目標信頼性は 信頼性指標の形式で与えることを要求している 解説 2.2.1(3)(a) に示した正規分布のうち 平均 0 標準偏差 1 であるものを標準正規分布という 標準正規分布において 信頼性指標 を超える値が出現する確率が 破損確率 p f に対応する 一般の正規分布では 平均値から標準偏差の 倍以上離れた値が出現する確率が破損確率 p f となる 破損確率 p f ではなく信頼性指標 の形式で目標信頼性を設定する理由は 平均から限界状態までの余裕の大きさを 標準偏差の何倍であるかという形で表現することで 物理的な値 ( たとえば応力 ) と対応付けしやすいことによる 解説表 2.1 に 信頼性指標 と破損確率 p f の関係を示す 解説 15

26 解説表 2.1 信頼性指標 と破損確率 p f の関係 信頼性指標 破損確率 p f 破損確率 p f 信頼性指標 実際の信頼性評価に部分安全係数を適用するためには 適切な目標信頼性指標 T を決定する必要があるが これは必ずしも容易ではない そこで 既存の設計基準に基づいて設計された代表的な機械製品又は機械要素に対して信頼性指標 を算出し その値を基に目標信頼性指標 T を決定するような方法がとられている このような作業をキャリブレーションと呼び 以下の手順で実施される 6) (1) キャリブレーション範囲の設定一つの設計コードで全ての設計条件を満足させることは不可能なので 材料や荷重を限定するなどしてキャリブレーションの範囲を絞り込む (2) キャリブレーション点の設定既存設計基準で用いられる設計変数 ( 寸法 材料強度 負荷荷重など ) の範囲を決め それらを等分割するなどしてキャリブレーション点を設定する (3) 既存設計基準による設計各キャリブレーション点において既存設計基準による設計を行い 寸法を決定する (4) 限界状態関数の決定対象機械要素の限界状態を明確にし 限界状態関数を定義する 複数の荷重が負荷される場合には 解説 2.2.1(4) で述べた Turkstra 則などによって合理的な組み合わせ荷重を設定する (5) 基本確率変数の統計的特性の決定既存設計基準における限界状態関数に含まれる荷重や材料強度などの基本確率変数の確率分布形状とその母数を明らかにする 材料強度の場合は多数の試験片を用いた強度試験を行うことにより その統計的特性を求めることができる 荷重については対象機器の実際の使用条件における長期間のモニタリングデータが必要となるが 地震荷重や風荷重についてはこれまでの観測記録を利用することもできる (6) 既存の設計基準における信頼性指標の評価 (3) で設計された各機械要素に対して (4) (5) で得られた限界状態関数と基本確率変数の統計的性質を用いて AFOSM 法などの信頼性評価手法によって各キャリブレーション点における信頼性指標 ci を評価する 評価結果は適当な設計変数が主たる独立変数 ( 例えば負荷荷重 ) となるように表現する 一般に既存設計基準による設計では信頼性指標が一定にならない 解説 16

27 (7) 目標信頼性指標の決定 (6) の評価結果を基に目標信頼性指標 T を決定する (8) 部分安全係数の決定と最適化目標信頼性指標 T を満足するように 部分安全係数を決定する 各キャリブレーション点における部分安全係数は異なる場合には 次式の目標信頼性指標 T に対する重み付き 2 乗誤差を最小化することにより 部分安全係数を最適化する ただし w i は m w i1 i m S T ci 2 w i ( 解説 2.45) i1 1 となるような重みである 解説 部分安全係数の算出部分安全係数法は 設計強度および設計荷重の公称値あるいは平均値に対して 目標信頼性指標を満足するための部分安全係数をあらかじめ定め これを用いて決定論的手法で信頼性評価を行う手法である 初めに 部分安全係数法の基礎知識となる (1) 近似解法による破損確率の求め方 を示し その上で (2) 部分安全係数の求め方 を紹介する また ISO2394:1998 1) では (2) における計算過程で利用する係数に標準値を与え 簡略評価を可能としているため (3) 簡易法による部分安全係数の決定 にてその内容を概説する (1) 近似解法による破損確率の求め方機械製品の破損に関する不確定因子が確率変数としてモデル化され 破損を判定する限界状態関数が与えられると 破損確率を定量的に評価することができる 破損確率の評価方法としては 厳密な数値解法 数値積分法 近似解法 モンテカルロ法が挙げられるが ここでは部分安全係数法の基礎知識となる 信頼性指標に基づく近似解法 (FOSM 法 7) およ 8) び AFOSM 法 ) についての評価手順を解説する 尚 評価手順の中では 以下の例題に対して具体的な評価結果を示す 解説 17

28 例題 1 以下の図のように 強度 R[MPa] の部材を荷重 ( 応力 )[MPa] で引っ張るときの破 損確率を求めなさい ただし 強度と荷重 ( 応力 ) は以下のばらつきを持つものとす る 確率変数の定義 確率変数分布型平均値 μ 変動係数 COV 標準偏差 σ 強度 R 正規分布 荷重 ( 応力 ) 限界状態関数 G R ここで G>0 のとき健全状態 G=0 のとき限界状態 G 0 のとき破損状態 正規分布 強度 R 耐力 R 荷重 (a) 破損確率評価のイメージ信頼性指標に基づく近似解法 (FOSM 法 AFOSM 法 ) による評価方法を紹介する前に まずは例題 1 に関する破損確率評価のイメージ図について解説する 例題 1 の限界状態関数に対して縦軸に強度 R 横軸に荷重 をとると 破損領域と健全領域は解説図 2.11 のように図示できる ここで限界状態関数 G=R-=0 は傾き 1 の直線で表現され この直線よりも上の領域では G=R- 0 となるため棒が破損する破損領域 この直線よりも下の領域では G=R->0 となり棒が破損しない健全領域となる 荷重 破損領域 (G 0) 強度 R 荷重 限界状態関数 G=R-=0 健全領域 (G>0) 強度 R > 荷重 強度 R 解説図 2.11 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 解説 18

29 例題では強度 Rも荷重 も共にばらつき ( 標準偏差 ) が与えられているが ばらつきがないものとして平均値のみをプロットすると 解説図 2.12のように図示できる 強度 Rの平均値は 40[MPa] 荷重 の平均値は 25[MPa] であり ばらつきを考慮しない決定論的評価では G=R-=40-25=15>0 となり 健全領域にプロットされる このため 荷重や強度のばらつきがない状態では部材は健全であると判断される 荷重 破損領域 (G 0) 限界状態関数 G=R-=0 25 MPa 健全領域 (G>0) ばらつきがない場合には壊れない 40-25=15 40 MPa 強度 R 解説図 2.12 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 ( 平均値のみをプロット ) しかしながら 実際には強度にも荷重にもばらつきが存在するため 強度と荷重の平均 値が健全領域に位置するとしても部材が破損する可能性がある 強度 - 荷重平面状に確率 密度関数を図示すると解説図 2.13 のようになる 解説 19

30 荷重 破損領域 破損確率 限界状態関数 G=R-=0 μ = 25 MPa σ =5 MPa 健全領域 耐力 R と荷重 の分布を合成した確率密度関数 ( 等高線 ) σ R =4 MPa μ R = 40 MPa 強度耐力 R R 解説図 2.13 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 ( 確率密度関数をプロット ) 強度 Rは平均値 40[MPa] 標準偏差 4[MPa] の正規分布であり 荷重 は平均値 25[MPa] 標準偏差 5[MPa] の正規分布である このため強度 Rと荷重 を合成した確率密度関数は座標 (R,)=(40,25) を中心とする楕円状の等高線で表現できる 楕円の等高線の中心ほど発生確率が高いため 確率密度関数の大部分は健全領域に位置するものの 確率密度関数の裾野の部分が一部破損領域に含まれている これが部材の破損確率であり 以下の式で計算される (b) 手計算による評価方法 (FOSM 法 P G( R, ) drd ( R ) drd f ( 解説 2.46) GR0 GR0 7) ) 上記の式で与えられる破損確率は数値積分法やモンテカルロ法で求めることができるが ここでは手計算による簡易評価方法を紹介する これは FOSM 法 (First-Order Second Moment 法 ) と呼ばれる手法である 評価方法のイメージが理解できるよう ここでは一般的な評価式は紹介せずに 標準正規化座標と呼ばれる平均 0 分散 1 の座標系を用いて解説する 解説図 2.13 で示した座標系を標準正規化座標へ座標変換するためには以下の式を用いる ただし ここでμ R とσ R は強度 R の平均値と標準偏差 μ とσ は荷重 の平均値と標準偏差である U R RR, U ( 解説 2.47) R 上式を用いて解説図 2.13 の座標系を標準正規化座標へ座標変換すると解説図 2.14 のようになる 解説 20

31 破損領域 荷重 U 限界状態関数 G=(σ R U R +μ R ) -(σ U +μ )=0 破損確率 健全領域 耐力 U R 強度 U R 解説図 2.14 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 ( 標準正規化座標 ) 強度 Rも荷重 も平均 0 分散 1 の座標系に変換されたため 標準正規化座標 (U R,U ) 上に確率密度関数をプロットすると 合成された確率密度関数は原点を中心とした同心円状の等高線となる また限界状態関数は傾きσ R /σ 切片(μ R -μ )/σ の直線に座標変換される この標準正規化座標において重要な特徴としては 原点から限界状態関数までの距離が信頼性指標 β(= 破損確率 P f に対応する尺度 ) に等しくなる ことが挙げられる 点 (x 0,y 0 ) から直線 ax+by+c=0 におろした垂線の長さd は以下の式で与えられるので d ax by c 0 0 a b 2 2 解説図 2.15 に示される信頼性指標 β は以下の式で与えられる ( 解説 2.48) R 2 2 R ( 解説 2.49) したがって 信頼性指標 β は以下のように算出できる ( 解説 2.50) 信頼性指標 βが求まると 破損確率 Pfは以下の式で求めることができる Pf 1 ( ) 1 (2.3426) ( 解説 2.51) 解説 21

32 ただし ここで Φ は標準正規分布の累積分布関数であり 確率論の教科書等に記載され ている標準正規確率分布表や Excel の NORMSDIST 関数を用いることで容易に算出できる 以上のように 例題 1 における部材の破損確率は と求められる 尚 解説図 2.15 に示すように 標準正規化座標において原点からの限界状態関数まで の距離が最小となる点を 設計点 (design point) と呼び その座標は以下の式で与え られる U R R, U R R ( 解説 2.52) これは部分安全係数を求めるときに重要なパラメータとなる 破損領域 荷重 U 限界状態関数 G=(σ R U R +μ R ) -(σ U +μ )=0 破損確率 健全領域 設計点 β 耐力 U R 強度 U R 解説図 2.15 限界状態関数 G=R- における破損領域と健全領域 ( 信頼性指標と設計点 ) (c) プログラムによる評価方法 (AFOSM 法 8) ) 上記の FOSM 法による簡易評価方法では 限界状態関数の表示方法 ( 例えば G=R- を G=lnR-ln や G=R/-1 に変更する等 ) によって 得られる信頼性指標 βが変化してしまう問題が指摘されている このため これを解決する手法として拡張線形化 2 次モーメント法 (AFOSM, advanced first-order second-moment method) が提案されており ここでは AFOSM 法について解説する a. AFOSM 法の評価フロー AFOSM 法の評価フローを解説図 2.17 に示す 各評価ステップの詳細は以下の通りである 解説 22

33 STEP1 : βの初期値の設定信頼性指標 βの初期値を設定する 求めたい問題に対する信頼性指標が推定できる場合には その値を初期値とすることで早く収束解を得ることができる 特に知見がない場合には 3.0を設定する STEP2 : 設計点の設定設計点を設定する 1 回目の計算では 各確率変数の平均値を設計点の初期値に設定する 2 回目以降の計算では 以下の式を用いて新たな設計点を計算する i X i i X i X ( 解説 2.53) ここで X i X i : 確率変数 X iの平均値 : 確率変数 X iの標準偏差 i: 方向ベクトル : 信頼性指標 STEP3 : 正規化近似 9) 解説図 2.16 のように 任意の確率分布を持つ確率変数を 設計点においてその確率分 布関数の値と確率密度関数の値がそれぞれ等しくなるような正規確率変数で近似する 正 規化近似したときの平均値と標準偏差は以下の式で計算される 1 X x ( ) i i FX x i i Xi X i f 1 Xi i FX ( x ) i i ( x ) ここで fx ( x ) i i : 正規分布でない確率変数 X iの確率密度関数 FX ( x ) i i : 正規分布でない確率変数 X iの確率分布関数 X ( x ) i i : 標準正規確率密度関数 ( x ): 標準正規確率分布関数 Xi i x i : 設計点 ( 解説 2.54) 解説 23

34 部面積と 正規分布関数 部面積とは等しい 任意の分布関数 (Xi における密度関数の 値も等しい ) x i X i 解説図 2.16 正規化近似のイメージ図 STEP4 : 限界状態関数の偏微分 限界状態関数を構成する各確率変数に対し 設計点 ( X ) における偏微分計算を行う 尚 偏微分の理論解が得られないものに対しては 各確率変数を微少変化させたときの限 界状態関数の変化量から 偏微分を算出する STEP5 : 方向ベクトル α の計算 る 設計点 ( X ) に対する方向ベクトル ( i ) を計算する i は以下のように求められ ここで X i G X i n G j1x i X j X 2 Xi 2 X j は確率変数 ( X i ) に対する標準偏差である 0.5 ( 解説 2.55) STEP6 : 方向ベクトルαの収束判定方向ベクトルの収束チェックを行う 収束判定の閾値には一般的に を使用する 方向ベクトルが閾値以上の場合には STEP3 から STEP6 までの処理を収束するまで繰り返す STEP7 : 信頼性指標 β の計算 限界状態関数 G=0 を満足する β を計算する 例えば 限界状態関数が G=R- の場合 以下の式から算出する 解説 24

35 G R ( ) ( ) 0 R R R R R R ( 解説 2.56) また上記の例のように解析的に β の解が得られない場合には β を微少変化させながら 限界状態関数 G の正負が反転するときの β を求め これを β の近似解とする STEP8 : 信頼性指標 βの収束判定信頼性指標 βの収束チェックを行う 収束判定の閾値には一般的に を使用する 値が閾値以上の場合には 荷重側または強度側の平均値を修正して STEP2 から STEP8 までの処理を収束するまで繰り返す STEP9 : 破損確率 Pf の計算破損確率 Pf は信頼性指標 βを用いて 以下の式から算出できる P 1 ( ) ( 解説 2.57) f ここで Φは標準正規分布の累積分布関数であり 確率論の教科書等に記載されている標準正規確率分布表や Excel のNORMSDIST 関数を用いることで容易に算出できる 解説 25

36 START STEP1 : β の初期値の設定 STEP2 : 設計点の設定 STEP3 : 正規化近似 STEP4 : 限界状態関数の偏微分 STEP5 : 方向ベクトルの計算 STEP6 : α が収束? No Yes STEP7 : 信頼性指標 β の計算 No STEP8 : β が収束? Yes STEP9 : 破損確率 Pf の計算 END 解説図 2.17 AFOSM 法による破損確率評価フロー 解説 26

37 b. AFOSM 法の評価例ア. 例題 1に対する評価例例題 1 に対する AFOSM 法の評価例を以下に示す 破損確率 Pf は と求められ FOSM 法による評価結果と一致する 限界状態関数 G=R- 確率変数の定義変数名 分布形 平均値 COV 標準偏差 ζ γ R 正規分布 正規分布 計算結果 1 回目 2 回目 3 回目 4 回目 5 回目 6 回目 Step 1 βの初期値の設定 β Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 R μ N R σ N R μ N σ N ( G/ R) ( G/ ) α R α αの収束判定 Δα R Step 6 ( 許容値 Δα<0.005) Δα Step 7 信頼性指標 βの計算 β Step 8 設計点を設定 正規化近似 ( 設計点における平均値と標準偏差を算出 ) 限界状態関数の偏微分 方向ベクトルの計算 β の収束判定 ( 許容値 Δβ<0.005) Δβ Step 9 破損確率 Pf の算出 Pf E 解説 27

38 イ. 例題 1 の強度 R が対数正規分布の場合の評価例 例題 1 の強度 R が対数正規分布の場合の AFOSM 法の評価例を以下に示す 破損確率 Pf は と求められる 限界状態関数 G=R- 確率変数の定義変数名 分布形 平均値 COV 標準偏差 ζ γ R 対数正規分布 正規分布 計算結果 1 回目 2 回目 3 回目 4 回目 5 回目 6 回目 Step 1 βの初期値の設定 β Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 R μ N R σ N R μ N σ N ( G/ R) ( G/ ) α R α αの収束判定 Δα R Step 6 ( 許容値 Δα<0.005) Δα Step 7 信頼性指標 βの計算 β Step 8 設計点を設定 正規化近似 ( 設計点における平均値と標準偏差を算出 ) 限界状態関数の偏微分 方向ベクトルの計算 β の収束判定 ( 許容値 Δβ<0.005) Δβ Step 9 破損確率 Pf の算出 Pf E-03 補足説明 1 対数正規分布の確率密度関数を以下のように定義するとき ln x f( x) exp 2x 2 対数正規分布パラメータの ζ と λ は 以下の式で算出される ln ln 補足説明 2 STEP3 における正規化近似は Excel 関数を用いると以下のように計算される 解説 28

39 1 Xi f Xi i FX ( x ) i i ( x ) i i i NORMDIST ( NORMSINV ( OGNORMDIST ( x,, )),0,1, FASE) NORMDIST (ln( x ),,, FASE) / x 1 X x ( ) i i FX x i i Xi x i NORMSINV ( OGNORMDIST ( xi,, )) Xi ウ. 例題 1 の限界状態関数が非線形の場合の評価例 例題 1 の強度 R が対数正規分布であり かつ非線形な限界状態関数を設定した場合の AFOSM 法の評価例を以下に示す 破損確率 Pf は と求められ 限界状態関数の設 定に依存しない評価結果が得られることが分かる 限界状態関数 G=R/-1 確率変数の定義変数名 分布形 平均値 COV 標準偏差 ζ γ R 対数正規分布 正規分布 計算結果 1 回目 2 回目 3 回目 4 回目 5 回目 6 回目 Step 1 βの初期値の設定 β Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 R μ N R σ N R μ N σ N ( G/ R) ( G/ ) α R α αの収束判定 Δα R Step 6 ( 許容値 Δα<0.005) Δα Step 7 信頼性指標 βの計算 β Step 8 設計点を設定 正規化近似 ( 設計点における平均値と標準偏差を算出 ) 限界状態関数の偏微分 方向ベクトルの計算 β の収束判定 ( 許容値 Δβ<0.005) Δβ Step 9 破損確率 Pf の算出 Pf E-03 解説 29

40 (2) 部分安全係数の求め方部分安全係数法とは 強度側にただ一つの安全率を掛け合わせて安全を担保するという従来の評価方法に対し 材料強度や荷重などの不確かさに応じて荷重 強度側の両方に複数の安全係数 ( 部分安全係数 ) を用いて より合理的な信頼性評価を行う手法である ここでは 部分安全係数の評価イメージが理解しやすいように まずは (a) 手計算による算出手法 を紹介し その上で (b) プログラムによる算出方法 を示す またここでは簡便な紹介のため 荷重および強度の特性値はそれぞれの確率分布の平均値に等しいとする (a) 手計算による算出方法 以下の例題に対して 手計算による部分安全係数の算出方法を示す 例題 2 以下の図のように 強度 R[MPa] の部材を荷重 ( 応力 )[MPa] で引っ張るときに 目標破損確率が 1e-6 となるように 表の強度の平均値を変化させたうえで 部分安 全係数を求めなさい ただし 強度と荷重 ( 応力 ) は以下のばらつきを持つものとす る 確率変数の定義 確率変数分布型平均値 μ 変動係数 COV 標準偏差 σ 強度 R 正規分布 荷重 ( 応力 ) 限界状態関数 G R ここで G>0 のとき健全状態 G=0 のとき限界状態 G 0 のとき破損状態 正規分布 強度 R 耐力 R 荷重 目標破損確率は 1e-6 であるから ( 解説 2.57) 式を用いて目標信頼性指標 β は以下のよ うに算出される P f 1 ( ) 1 (1 P ) (1 10 ) f ( 解説 2.58) 解説 30

41 ここで ここで Φ -1 は標準正規分布の累積分布関数の逆関数であり Excel の NORMSINV 関数を用いることで容易に算出できる 信頼性指標 β は ( 解説 2.49) 式で与えられるから 目標となる信頼性指標 βa=4.753 を満 たすために 変動係数 COV を一定で強度 R の平均値を μ R から δ μ R に変化させるとする と ( ) 2 2 R COVR ( ) R ( 40) 25 ( 400.1) ( 解説 2.59) 強度 R の変化率 δ は となる ( 解説 2.52) 式より 標準正規化座標において原点からの限界状態関数までの距離が最小 となる設計点 (design point) は U U R ( COV ) a R R 2 2 R COVR ( ) 2 2 R COVR ( ) a ( 解説 2.60) となるから 元の座標空間における設計点は ( 解説 2.47) の換算式より 以下のように求 まる R R RUR U ( 解説 2.61) したがって 強度 Rおよび荷重 に対する部分安全係数 ( 強度側は平均値に対する割引係数 荷重側は平均値に対する割増係数で定義 ) は 以下のように算出される PSF PSF R R R ( 解説 2.62) このときの 強度 Rと荷重 の確率分布 強度 Rと荷重 の部分安全係数および設計点の関係を図に示すと解説図 2.18 のようになる 解説 31

42 PSF =1.588 設計点 PSF R =1.595 荷重 強度 R 耐力 R μ = 25MPa μ R = 40MPa δμ R = 63.8MPa 解説図 2.18 強度 R と荷重 の確率分布 部分安全係数 設計点の関係 (b) プログラムによる算出方法 a. 算出フロー上記の手計算による部分安全係数算出方法は FOSM 法 ( 解説 2.2.4(1)(b) 参照 ) に基づいているため 限界状態関数の表示方法 ( 例えば G=R- を G=lnR-ln や G=R/-1 に変更する等 ) によって 得られる解が変化してしまう問題が指摘されている このため ここでは一般的な問題に使用できる AFOSM 法 ( 解説 2.2.4(1)(c) 参照 ) に基づいた部分安全評価方法を紹介する 部分安全係数の算出フローを解説図 2.19 に示す 各算出ステップの詳細は以下の通りである STEP1 : 計算の初期設定 計算の初期設定として 目標信頼性指標 β の算出と設計点の初期値の設定を行う 目標 信頼性指標 β は以下の式で与えられる ここで 1 (1 P ) ( 解説 2.63) f 1 : 標準正規分布の累積分布関数の逆関数 P f : 目標破損確率 設計点の初期値については 初期値に関して何らかの知見がない場合には 確率変数の 平均値を初期値とする STEP2 : 標準偏差の計算 変動係数を一定と仮定するため 標準偏差は以下の式より算出する 解説 32

43 COV ( 解説 2.64) ここで : 確率変数の平均値 COV : 確率変数の変動係数 STEP3-1 : 限界状態関数の偏微分 限界状態関数を構成する各確率変数に対し 設計点 ( X ) における偏微分計算を行う 尚 偏微分の理論解が得られないものに対しては 各確率変数を微少変化させたときの限 界状態関数の変化量から 偏微分を算出する STEP3-2 : 方向ベクトルの計算 る 設計点 ( X ) に対する方向ベクトル ( i ) を計算する i は以下のように求められ G X i n G j1x i X j X 2 Xi 2 X j 0.5 ( 解説 2.65) ここで X i は確率変数 ( X i ) に対する標準偏差である STEP3-3 : 設計点の計算設計点は 以下の式を用いて計算する i X i i X i X ( 解説 2.66) ここで X i X i : 確率変数 X iの平均値 : 確率変数 X iの標準偏差 i: 方向ベクトル : 信頼性指標 STEP3-4 : 方向ベクトルの収束判定方向ベクトルの収束チェックを行う 収束判定の閾値には一般的に を使用する 方向ベクトルが閾値以上の場合には STEP3.1 から STEP3.4 までの処理を収束するまで繰り返す STEP3-5 : 信頼性指標の計算 解説 33

44 限界状態関数 G=0 を満足するβを計算する 例えば 限界状態関数が G=R- の場合 以下の式から算出する G R ( ) ( ) 0 R R R R R R ( 解説 2.67) また上記の例のように解析的に β の解が得られない場合には β を微少変化させながら 限界状態関数 G の正負が反転するときの β を求め これを β の近似解とする STEP4 : 信頼性指標の収束判定目標とする信頼性指標に対するβの収束チェックを行う 収束判定の閾値には一般的に を使用する 値が閾値以上の場合には 荷重側または強度側の平均値を修正して STEP2からSTEP4 までの処理を収束するまで繰り返す STEP5 : 部分安全係数の計算 部分安全係数は以下の式から算出する ここで R 強度側 : PSFR R 荷重側 : PSF R R R R ( 解説 2.68) R: 強度側の確率変数の平均値 R : 強度側の確率変数の設計点 : 荷重側の確率変数の平均値 : 荷重側の確率変数の設計点 解説 34

45 START STEP1 : 計算の初期設定 STEP2 : 標準偏差の計算 平均値 の 変更 STEP3 : 信頼性指標 β の計算 No STEP4 : 目標 β へ収束? Yes STEP5 : 部分安全係数の計算 AFOSM 法 END STEP3.1 : 限界状態関数の偏微分 STEP3.2 : 方向ベクトルの計算 STEP3.3 : 設計点の計算 No STEP3.4 : α が収束? Yes STEP3.5 : 信頼性指標 β の計算 解説図 2.19 部分安全係数算出フロー 解説 35

46 b. 算出例例題 2 に対する算出例を以下に示す 強度の部分安全係数 PSF R は 荷重の部分安全係数 PSF は と求められ 手計算による評価結果 ( 解説 2.2.4(2)(a) 参照 ) と一致する 確率変数の定義変数名 分布形 平均値 COV 標準偏差 R 正規分布 正規分布 限界状態関数 G=R- 計算結果 1 回目 2 回目 3 回目 目標 βの算出 βa Step1 R 設計点の初期値 μ N R Step2 平均値と標準偏差 σ N R の設定 μ N σ N ( G/ R) Step3-1 限界状態関数の偏微分 ( G/ ) Step3-2 Step3-3 方向ベクトルの計算設計点の計算 α R R α Step3-4 αの収束判定 α R ( 許容値 α<0.005) α Step3-5 信頼性指標 βの計算 β Step4 Step5 β の収束判定 ( 許容値 β<0.005) 部分安全係数の計算 β PSF R PSF 補足説明 1 部分安全係数を求めるときの平均値 μと標準偏差 σは 元の分布の値を用いることに注意すること PSF PSF R R R R R R R (3) 簡易法による部分安全係数の決定 ISO2394:1998 1) では 式 ( 解説 2.65) で得られる方向ベクトル ( i ) の標準値として 解説表 2.2 を与えている 基本変数が正規分布に従う場合には これを式 (2.66) に代入することで 設計点において基本変数が取る値を算出することができ 平均値との比 ひいては特性値との比を算出することができる すなわち 部分安全係数の算出ができる 基本変数が正規分布に従わない場合でも 設計点において累積確率と確率密度が一致す解説 36

47 るような等価な正規分布に変換することで 同様の算出を行うことができる 等価な正規分布の平均値を元の分布の母数に基づき定式化することで 設計点において基本変数が取る値と元の分布の平均値の比を算出することができる 2.2.4(2) で規定する部分安全係数の算出式は 以上の考え方に基づき 正規分布および対数正規分布に従う基本変数について 解説表 2.2 を用いて部分安全係数を定式化したものである 解説表 2.2 1) α の標準値 X i α i 主たる強度パラメータ 0.8 他の強度パラメータ = 0.32 主たる荷重パラメータ他の荷重パラメータ = 解説 2.3. 部分安全係数に基づく信頼性評価 2.3 節では 2.2 節により得られた部分安全係数を用いて 信頼性評価を行う手順を定めている 利用する部分安全係数は 実際の信頼性評価対象と近い条件で求められるべきである 2.3(1) で与える特性値は 項における特性値と同じ考え方で設定する必要がある 以下 解説 (2) 部分安全係数の求め方 で計算された部分安全係数を例にとり 部分安全係数の使い方を説明する 例題 2 に示したように 目標破損確率 1e-6( 目標信頼性指標 4.753) を満たすために必要な部分安全係数は PSF R =1.595 PSF =1.588 となった 元の限界状態関数は G=R- であることから このときの評価の基準式は以下の式で与えられる R R G PSF ( 解説 2.69) PSF R 評価の基準式が正となるようにしておけば 強度 Rや荷重 のばらつきを意識しなくても 目標破損確率 1e-6を満たすことができる 上式を満たすときに破損確率 1e-6 が満たされることを検証するために ( 解説 2.69) 式が零となるときの強度 R と荷重 の組合せを用いて破損確率を評価した 解説表 2.3 より 全てのケースで破損確率が 1e-6 となり 目標破損確率を満足することが確認できる 解説 37

48 解説表 2.3 基準式が零になるときの破損確率 Case No. 荷重の 平均値 強度の 平均値 荷重の 標準偏差 強度の 標準偏差 信頼性指標 破損確率 μ μ R σ σ R β Pf E E E E E E E E E E-06 備考 ( 解説 2.69) 式が零となる組合せ 変動係数 COV は一定を仮 定するため σ =0.2 μ, σ R =0.1 μ R から算出 ( 解説 2.49) 式より算出 ( 解説 2.51) 式より算出 解説 2.4. 既存の部分安全係数を利用する場合 2.4 節では 同等の条件について過去に算出された部分安全係数を利用して評価を行うことで 部分安全係数の算出手順を省略する場合の手順を示している 2.2 節に示した部分安全係数の算出は 多数回の信頼性指標の評価が必要であり 実施のためには信頼性指標評価への習熟を要する その一方で 同等の条件について部分安全係数の算出が行われた事例があれば 2.2 節の手順を繰り返す必要はなく 算出された部分安全係数を利用することで評価を行うことができる このため 2.4 節では 評価対象についての確率分布および目標信頼性指標が 過去に部分安全係数を算出した際に設定した評価条件と一致することを確認することを要求しており これを満足する場合に 2.2 節を省略することを許容している 部分安全係数は 基本変数の変動係数および目標信頼性指標に応じて連続的に変化する したがって本節の手順を有効に活用するためには 広く活用可能である代表的な限界状態関数に対して 変動係数および目標信頼性指標に応じた多様な部分安全係数をあらかじめ評価しておき テーブルの形で資料化しておくことが望ましい 解説 38

49 参考文献 1) ISO 2394:1998 : General principles on reliability for structures, (1998). 2) 例えば 塩見弘 : 信頼性工学入門, 丸善, pp (1982). 3) 例えば 星谷勝, 石井清 : 構造物の信頼性設計, 鹿島出版会, pp (1986). 4) E. J. Gumbel : Statistics of Extreme, Columbia University Press, (1958). 5) C. J. Turkstra and H. O. Madsen : oad Combinations in Codified Structural Design, J. Struct. Div., ASCE, 106-ST12, (1980). 6) 例えば B. R. Ellingwood, et al., Development of a Probability Based oad Criteria for American National Standard A58, NBS Special Publication No.577, National Bureau of Standards, US Department of Commerce, Washington, DC (1980). 7) C. A. Cornell : A Probability-Based Structural Code ACI Journal, 66, pp (1969). 8) A. M. Hasofer and N. C. ind: Exact and invariant second moment code format, J. Eng. Mech., ASCE, 100, pp (1974). 9) R. Rackwitz and B. Fiessler: Structural reliability under combined random load sequences, Comput. Struct., 9, pp (1978). 解説 39

Microsoft Word - NumericalComputation.docx

Microsoft Word - NumericalComputation.docx 数値計算入門 武尾英哉. 離散数学と数値計算 数学的解法の中には理論計算では求められないものもある. 例えば, 定積分は, まずは積分 ( 被積分関数の原始関数をみつけること できなければ値を得ることはできない. また, ある関数の所定の値における微分値を得るには, まずその関数の微分ができなければならない. さらに代数方程式の解を得るためには, 解析的に代数方程式を解く必要がある. ところが, これらは必ずしも解析的に導けるとは限らない.

More information

様々なミクロ計量モデル†

様々なミクロ計量モデル† 担当 : 長倉大輔 ( ながくらだいすけ ) この資料は私の講義において使用するために作成した資料です WEB ページ上で公開しており 自由に参照して頂いて構いません ただし 内容について 一応検証してありますが もし間違いがあった場合でもそれによって生じるいかなる損害 不利益について責任を負いかねますのでご了承ください 間違いは発見次第 継続的に直していますが まだ存在する可能性があります 1 カウントデータモデル

More information

講義「○○○○」

講義「○○○○」 講義 信頼度の推定と立証 内容. 点推定と区間推定. 指数分布の点推定 区間推定 3. 指数分布 正規分布の信頼度推定 担当 : 倉敷哲生 ( ビジネスエンジニアリング専攻 ) 統計的推測 標本から得られる情報を基に 母集団に関する結論の導出が目的 測定値 x x x 3 : x 母集団 (populaio) 母集団の特性値 統計的推測 標本 (sample) 標本の特性値 分布のパラメータ ( 母数

More information

構造力学Ⅰ第12回

構造力学Ⅰ第12回 第 回材の座屈 (0 章 ) p.5~ ( 復習 ) モールの定理 ( 手順 ) 座屈とは 荷重により梁に生じた曲げモーメントをで除して仮想荷重と考える 座屈荷重 偏心荷重 ( 曲げと軸力 ) 断面の核 この仮想荷重に対するある点でのせん断力 たわみ角に相当する曲げモーメント たわみに相当する ( 例 ) 単純梁の支点のたわみ角 : は 図 を仮想荷重と考えたときの 点の支点反力 B は 図 を仮想荷重と考えたときのB

More information

パソコンシミュレータの現状

パソコンシミュレータの現状 第 2 章微分 偏微分, 写像 豊橋技術科学大学森謙一郎 2. 連続関数と微分 工学において物理現象を支配する方程式は微分方程式で表されていることが多く, 有限要素法も微分方程式を解く数値解析法であり, 定式化においては微分 積分が一般的に用いられており. 数学の基礎知識が必要になる. 図 2. に示すように, 微分は連続な関数 f() の傾きを求めることであり, 微小な に対して傾きを表し, を無限に

More information

森林水文 水資源学 2 2. 水文統計 豪雨があった時, 新聞やテレビのニュースで 50 年に一度の大雨だった などと報告されることがある. 今争点となっている川辺川ダムは,80 年に 1 回の洪水を想定して治水計画が立てられている. 畑地かんがいでは,10 年に 1 回の渇水を対象として計画が立て

森林水文 水資源学 2 2. 水文統計 豪雨があった時, 新聞やテレビのニュースで 50 年に一度の大雨だった などと報告されることがある. 今争点となっている川辺川ダムは,80 年に 1 回の洪水を想定して治水計画が立てられている. 畑地かんがいでは,10 年に 1 回の渇水を対象として計画が立て . 水文統計 豪雨があった時, 新聞やテレビのニュースで 50 年に一度の大雨だった などと報告されることがある. 今争点となっている川辺川ダムは,80 年に 回の洪水を想定して治水計画が立てられている. 畑地かんがいでは,0 年に 回の渇水を対象として計画が立てられる. このように, 水利構造物の設計や, 治水や利水の計画などでは, 年に 回起こるような降雨事象 ( 最大降雨強度, 最大連続干天日数など

More information

Probit , Mixed logit

Probit , Mixed logit Probit, Mixed logit 2016/5/16 スタートアップゼミ #5 B4 後藤祥孝 1 0. 目次 Probit モデルについて 1. モデル概要 2. 定式化と理解 3. 推定 Mixed logit モデルについて 4. モデル概要 5. 定式化と理解 6. 推定 2 1.Probit 概要 プロビットモデルとは. 効用関数の誤差項に多変量正規分布を仮定したもの. 誤差項には様々な要因が存在するため,

More information

Microsoft PowerPoint - fuseitei_6

Microsoft PowerPoint - fuseitei_6 不静定力学 Ⅱ 骨組の崩壊荷重の計算 不静定力学 Ⅱ では, 最後の問題となりますが, 骨組の崩壊荷重の計算法について学びます 1 参考書 松本慎也著 よくわかる構造力学の基本, 秀和システム このスライドの説明には, 主にこの参考書の説明を引用しています 2 崩壊荷重 構造物に作用する荷重が徐々に増大すると, 構造物内に発生する応力は増加し, やがて, 構造物は荷重に耐えられなくなる そのときの荷重を崩壊荷重あるいは終局荷重という

More information

試験 研究 仮設構造物の設計風速 Design wind speeds for temporary structures 西村宏昭 *1 1. はじめに仮設構造物は比較的短い期間だけに存在する構造物である これらの構造物は 通常の恒久建築物や構造物の設計風速を用いて耐風設計されると 安全ではあるが

試験 研究 仮設構造物の設計風速 Design wind speeds for temporary structures 西村宏昭 *1 1. はじめに仮設構造物は比較的短い期間だけに存在する構造物である これらの構造物は 通常の恒久建築物や構造物の設計風速を用いて耐風設計されると 安全ではあるが 試験 研究 仮設構造物の設計 Design wind speeds for temporary structures 西村宏昭 *. はじめに仮設構造物は比較的短い期間だけに存在する構造物である これらの構造物は 通常の恒久建築物や構造物の設計を用いて耐風設計されると 安全ではあるが 過剰な設計となることは明らかである 一般に 建築基準法では 建築物は50 の再現期間を想定した基準から計算される風荷重に対して安全であるように設計される

More information

Microsoft Word - 微分入門.doc

Microsoft Word - 微分入門.doc 基本公式 例題 0 定義式 f( ) 数 Ⅲ 微分入門 = の導関数を定義式にもとづいて計算しなさい 基本事項 ( f( ), g( ) が微分可能ならば ) y= f( ) g( ) のとき, y = y= f( ) g( ) h( ) のとき, y = ( f( ), g( ) が微分可能で, g( ) 0 ならば ) f( ) y = のとき, y = g ( ) とくに, y = のとき,

More information

Microsoft Word - 補論3.2

Microsoft Word - 補論3.2 補論 3. 多変量 GARC モデル 07//6 新谷元嗣 藪友良 対数尤度関数 3 章 7 節では 変量の対数尤度を求めた ここでは多変量の場合 とくに 変量について対数尤度を求める 誤差項 は平均 0 で 次元の正規分布に従うとする 単純化のため 分散と共分散は時間を通じて一定としよう ( この仮定は後で変更される ) したがって ij から添え字 を除くことができる このとき と の尤度関数は

More information

Microsoft Word - 1B2011.doc

Microsoft Word - 1B2011.doc 第 14 回モールの定理 ( 単純梁の場合 ) ( モールの定理とは何か?p.11) 例題 下記に示す単純梁の C 点のたわみ角 θ C と, たわみ δ C を求めよ ただし, 部材の曲げ 剛性は材軸に沿って一様で とする C D kn B 1.5m 0.5m 1.0m 解答 1 曲げモーメント図を描く,B 点の反力を求める kn kn 4 kn 曲げモーメント図を描く knm 先に得られた曲げモーメントの値を

More information

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation H8 年度有限要素法 1 構造強度設計 1. 塑性崩壊 1.3 疲労設計 ( 一部修正版 ) H8-1/6 早川 (R : 夏学期の復習部分 ) 1. 塑性崩壊とその評価法 ( 極限解析 ) R 塑性崩壊 : 構造物として使用に耐えないほどの過度の塑性変形 全断面降伏 前提 : 弾完全塑性材モデル E ひずみ硬化ありひずみ硬化なし : 降伏強さ E : ヤング率 ε 図 1.3 弾完全塑性材モデルの応力

More information

データ解析

データ解析 データ解析 ( 前期 ) 最小二乗法 向井厚志 005 年度テキスト 0 データ解析 - 最小二乗法 - 目次 第 回 Σ の計算 第 回ヒストグラム 第 3 回平均と標準偏差 6 第 回誤差の伝播 8 第 5 回正規分布 0 第 6 回最尤性原理 第 7 回正規分布の 分布の幅 第 8 回最小二乗法 6 第 9 回最小二乗法の練習 8 第 0 回最小二乗法の推定誤差 0 第 回推定誤差の計算 第

More information

Microsoft Word - thesis.doc

Microsoft Word - thesis.doc 剛体の基礎理論 -. 剛体の基礎理論初めに本論文で大域的に使用する記号を定義する. 使用する記号トルク撃力力角運動量角速度姿勢対角化された慣性テンソル慣性テンソル運動量速度位置質量時間 J W f F P p .. 質点の並進運動 質点は位置 と速度 P を用いる. ニュートンの運動方程式 という状態を持つ. 但し ここでは速度ではなく運動量 F P F.... より質点の運動は既に明らかであり 質点の状態ベクトル

More information

基礎統計

基礎統計 基礎統計 第 11 回講義資料 6.4.2 標本平均の差の標本分布 母平均の差 標本平均の差をみれば良い ただし, 母分散に依存するため場合分けをする 1 2 3 分散が既知分散が未知であるが等しい分散が未知であり等しいとは限らない 1 母分散が既知のとき が既知 標準化変量 2 母分散が未知であり, 等しいとき 分散が未知であるが, 等しいということは分かっているとき 標準化変量 自由度 の t

More information

第1章 単 位

第1章  単  位 H. Hamano,. 長柱の座屈 - 長柱の座屈 長い柱は圧縮荷重によって折れてしまう場合がある. この現象を座屈といい, 座屈するときの荷重を座屈荷重という.. 換算長 長さ の柱に荷重が作用する場合, その支持方法によって, 柱の理論上の長さ L が異なる. 長柱の計算は, この L を用いて行うと都合がよい. この L を換算長 ( あるいは有効長さという ) という. 座屈荷重は一般に,

More information

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Non-linea factue mechanics き裂先端付近の塑性変形 塑性域 R 破壊進行領域応カ特異場 Ω R R Hutchinson, Rice and Rosengen 全ひずみ塑性理論に基づいた解析 現段階のひずみは 除荷がないとすると現段階の応力で一義的に決まる 単純引張り時の応カーひずみ関係 ( 構成方程式 ): ( ) ( ) n () y y y ここで α,n 定数, /

More information

Microsoft Word - å“Ÿåłžå¸°173.docx

Microsoft Word - å“Ÿåłžå¸°173.docx 回帰分析 ( その 3) 経済情報処理 価格弾力性の推定ある商品について その購入量を w 単価を p とし それぞれの変化量を w p で表 w w すことにする この時 この商品の価格弾力性 は により定義される これ p p は p が 1 パーセント変化した場合に w が何パーセント変化するかを示したものである ここで p を 0 に近づけていった極限を考えると d ln w 1 dw dw

More information

Microsoft PowerPoint - 測量学.ppt [互換モード]

Microsoft PowerPoint - 測量学.ppt [互換モード] 8/5/ 誤差理論 測定の分類 性格による分類 独立 ( な ) 測定 : 測定値がある条件を満たさなければならないなどの拘束や制約を持たないで独立して行う測定 条件 ( 付き ) 測定 : 三角形の 3 つの内角の和のように, 個々の測定値間に満たすべき条件式が存在する場合の測定 方法による分類 直接測定 : 距離や角度などを機器を用いて直接行う測定 間接測定 : 求めるべき量を直接測定するのではなく,

More information

微分方程式による現象記述と解きかた

微分方程式による現象記述と解きかた 微分方程式による現象記述と解きかた 土木工学 : 公共諸施設 構造物の有用目的にむけた合理的な実現をはかる方法 ( 技術 ) に関する学 橋梁 トンネル ダム 道路 港湾 治水利水施設 安全化 利便化 快適化 合法則的 経済的 自然および人口素材によって作られた 質量保存則 構造物の自然的な性質 作用 ( 外力による応答 ) エネルギー則 の解明 社会的諸現象のうち マスとしての移動 流通 運動量則

More information

Microsoft Word - Stattext07.doc

Microsoft Word - Stattext07.doc 7 章正規分布 正規分布 (ormal dstrbuto) は 偶発的なデータのゆらぎによって生じる統計学で最も基本的な確率分布です この章では正規分布についてその性質を詳しく見て行きましょう 7. 一般の正規分布正規分布は 平均と分散の つの量によって完全に特徴付けられています 平均 μ 分散 の正規分布は N ( μ, ) 分布とも書かれます ここに N は ormal の頭文字を 表わしています

More information

日心TWS

日心TWS 2017.09.22 (15:40~17:10) 日本心理学会第 81 回大会 TWS ベイジアンデータ解析入門 回帰分析を例に ベイジアンデータ解析 を体験してみる 広島大学大学院教育学研究科平川真 ベイジアン分析のステップ (p.24) 1) データの特定 2) モデルの定義 ( 解釈可能な ) モデルの作成 3) パラメタの事前分布の設定 4) ベイズ推論を用いて パラメタの値に確信度を再配分ベイズ推定

More information

Microsoft PowerPoint - sc7.ppt [互換モード]

Microsoft PowerPoint - sc7.ppt [互換モード] / 社会調査論 本章の概要 本章では クロス集計表を用いた独立性の検定を中心に方法を学ぶ 1) 立命館大学経済学部 寺脇 拓 2 11 1.1 比率の推定 ベルヌーイ分布 (Bernoulli distribution) 浄水器の所有率を推定したいとする 浄水器の所有の有無を表す変数をxで表し 浄水器をもっている を 1 浄水器をもっていない を 0 で表す 母集団の浄水器を持っている人の割合をpで表すとすると

More information

<4D F736F F D208D5C91A297CD8A7793FC96E591E631308FCD2E646F63>

<4D F736F F D208D5C91A297CD8A7793FC96E591E631308FCD2E646F63> 第 1 章モールの定理による静定梁のたわみ 1-1 第 1 章モールの定理による静定梁のたわみ ポイント : モールの定理を用いて 静定梁のたわみを求める 断面力の釣合と梁の微分方程式は良く似ている 前章では 梁の微分方程式を直接積分する方法で 静定梁の断面力と変形状態を求めた 本章では 梁の微分方程式と断面力による力の釣合式が類似していることを利用して 微分方程式を直接解析的に解くのではなく 力の釣合より梁のたわみを求める方法を学ぶ

More information

統計的データ解析

統計的データ解析 統計的データ解析 011 011.11.9 林田清 ( 大阪大学大学院理学研究科 ) 連続確率分布の平均値 分散 比較のため P(c ) c 分布 自由度 の ( カイ c 平均値 0, 標準偏差 1の正規分布 に従う変数 xの自乗和 c x =1 が従う分布を自由度 の分布と呼ぶ 一般に自由度の分布は f /1 c / / ( c ) {( c ) e }/ ( / ) 期待値 二乗 ) 分布 c

More information

スライド 1

スライド 1 データ解析特論第 10 回 ( 全 15 回 ) 2012 年 12 月 11 日 ( 火 ) 情報エレクトロニクス専攻横田孝義 1 終了 11/13 11/20 重回帰分析をしばらくやります 12/4 12/11 12/18 2 前回から回帰分析について学習しています 3 ( 単 ) 回帰分析 単回帰分析では一つの従属変数 ( 目的変数 ) を 一つの独立変数 ( 説明変数 ) で予測する事を考える

More information

NLMIXED プロシジャを用いた生存時間解析 伊藤要二アストラゼネカ株式会社臨床統計 プログラミング グループグルプ Survival analysis using PROC NLMIXED Yohji Itoh Clinical Statistics & Programming Group, A

NLMIXED プロシジャを用いた生存時間解析 伊藤要二アストラゼネカ株式会社臨床統計 プログラミング グループグルプ Survival analysis using PROC NLMIXED Yohji Itoh Clinical Statistics & Programming Group, A NLMIXED プロシジャを用いた生存時間解析 伊藤要二アストラゼネカ株式会社臨床統計 プログラミング グループグルプ Survival analysis using PROC NLMIXED Yohji Itoh Clinical Statistics & Programming Group, AstraZeneca KK 要旨 : NLMIXEDプロシジャの最尤推定の機能を用いて 指数分布 Weibull

More information

Microsoft PowerPoint - zairiki_3

Microsoft PowerPoint - zairiki_3 材料力学講義 (3) 応力と変形 Ⅲ ( 曲げモーメント, 垂直応力度, 曲率 ) 今回は, 曲げモーメントに関する, 断面力 - 応力度 - 変形 - 変位の関係について学びます 1 曲げモーメント 曲げモーメント M 静定力学で求めた曲げモーメントも, 仮想的に断面を切ることによって現れる内力です 軸方向力は断面に働く力 曲げモーメント M は断面力 曲げモーメントも, 一つのモーメントとして表しますが,

More information

<4D F736F F D208CF68BA48C6F8DCF8A C30342C CFA90B68C6F8DCF8A7782CC8AEE967B92E8979D32288F4390B394C529332E646F63>

<4D F736F F D208CF68BA48C6F8DCF8A C30342C CFA90B68C6F8DCF8A7782CC8AEE967B92E8979D32288F4390B394C529332E646F63> 2. 厚生経済学の ( 第 ) 基本定理 2 203 年 4 月 7 日 ( 水曜 3 限 )/8 本章では 純粋交換経済において厚生経済学の ( 第 ) 基本定理 が成立することを示す なお より一般的な生産技術のケースについては 4.5 補論 2 で議論する 2. 予算集合と最適消費点 ( 完全 ) 競争市場で達成される資源配分がパレート効率的であることを示すための準備として 個人の最適化行動を検討する

More information

Microsoft PowerPoint - 第3回2.ppt

Microsoft PowerPoint - 第3回2.ppt 講義内容 講義内容 次元ベクトル 関数の直交性フーリエ級数 次元代表的な対の諸性質コンボリューション たたみこみ積分 サンプリング定理 次元離散 次元空間周波数の概念 次元代表的な 次元対 次元離散 次元ベクトル 関数の直交性フーリエ級数 次元代表的な対の諸性質コンボリューション たたみこみ積分 サンプリング定理 次元離散 次元空間周波数の概念 次元代表的な 次元対 次元離散 ベクトルの直交性 3

More information

講義「○○○○」

講義「○○○○」 講義 システムの信頼性 内容. 直列システムの信頼性. 並列システムの信頼性 3. 直列 並列の複合システムの信頼性 4. 信頼性向上のための手法 担当 : 倉敷哲生 ビジネスエンジニアリング専攻 システムの構成 種々の機械や構造物, システムを分割していけば. 個々の要素 サブシステム となる. サブシステムの組み合わせ方式 直列系 並列系 m/ 冗長系 待機冗長系 3 直列システムの信頼性 直列系

More information

2011年度 大阪大・理系数学

2011年度 大阪大・理系数学 0 大阪大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a a を自然数とする O を原点とする座標平面上で行列 A= a の表す 次変換 を f とする cosθ siθ () >0 および0θ

More information

統計学 - 社会統計の基礎 - 正規分布 標準正規分布累積分布関数の逆関数 t 分布正規分布に従うサンプルの平均の信頼区間 担当 : 岸 康人 資料ページ :

統計学 - 社会統計の基礎 - 正規分布 標準正規分布累積分布関数の逆関数 t 分布正規分布に従うサンプルの平均の信頼区間 担当 : 岸 康人 資料ページ : 統計学 - 社会統計の基礎 - 正規分布 標準正規分布累積分布関数の逆関数 t 分布正規分布に従うサンプルの平均の信頼区間 担当 : 岸 康人 資料ページ : https://goo.gl/qw1djw 正規分布 ( 復習 ) 正規分布 (Normal Distribution)N (μ, σ 2 ) 別名 : ガウス分布 (Gaussian Distribution) 密度関数 Excel:= NORM.DIST

More information

0 21 カラー反射率 slope aspect 図 2.9: 復元結果例 2.4 画像生成技術としての計算フォトグラフィ 3 次元情報を復元することにより, 画像生成 ( レンダリング ) に応用することが可能である. 近年, コンピュータにより, カメラで直接得られない画像を生成する技術分野が生

0 21 カラー反射率 slope aspect 図 2.9: 復元結果例 2.4 画像生成技術としての計算フォトグラフィ 3 次元情報を復元することにより, 画像生成 ( レンダリング ) に応用することが可能である. 近年, コンピュータにより, カメラで直接得られない画像を生成する技術分野が生 0 21 カラー反射率 slope aspect 図 2.9: 復元結果例 2.4 画像生成技術としての計算フォトグラフィ 3 次元情報を復元することにより, 画像生成 ( レンダリング ) に応用することが可能である. 近年, コンピュータにより, カメラで直接得られない画像を生成する技術分野が生まれ, コンピューテーショナルフォトグラフィ ( 計算フォトグラフィ ) と呼ばれている.3 次元画像認識技術の計算フォトグラフィへの応用として,

More information

DVIOUT-SS_Ma

DVIOUT-SS_Ma 第 章 微分方程式 ニュートンはリンゴが落ちるのを見て万有引力を発見した という有名な逸話があります 無重力の宇宙船の中ではリンゴは落ちないで静止していることを考えると 重力が働くと始め静止しているものが動き出して そのスピードはどんどん大きくなる つまり速度の変化が現れることがわかります 速度は一般に時間と共に変化します 速度の瞬間的変化の割合を加速度といい で定義しましょう 速度が変化する, つまり加速度がでなくなるためにはその原因があり

More information

以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (ex. 2 dx d x x, x 2 dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-1) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( x や x, x などがすべて 1 次で なおかつ

以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (ex. 2 dx d x x, x 2 dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-1) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( x や x, x などがすべて 1 次で なおかつ 以下 変数の上のドットは時間に関する微分を表わしている (e. d d, dt dt ) 付録 E 非線形微分方程式の平衡点の安定性解析 E-) 非線形方程式の線形近似特に言及してこなかったが これまでは線形微分方程式 ( や, などがすべて 次で なおかつそれらの係数が定数であるような微分方程式 ) に対して安定性の解析を行ってきた しかしながら 実際には非線形の微分方程式で記述される現象も多く存在する

More information

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation 付録 2 2 次元アフィン変換 直交変換 たたみ込み 1.2 次元のアフィン変換 座標 (x,y ) を (x,y) に移すことを 2 次元での変換. 特に, 変換が と書けるとき, アフィン変換, アフィン変換は, その 1 次の項による変換 と 0 次の項による変換 アフィン変換 0 次の項は平行移動 1 次の項は座標 (x, y ) をベクトルと考えて とすれば このようなもの 2 次元ベクトルの線形写像

More information

DVIOUT

DVIOUT 第 章 離散フーリエ変換 離散フーリエ変換 これまで 私たちは連続関数に対するフーリエ変換およびフーリエ積分 ( 逆フーリエ変換 ) について学んできました この節では フーリエ変換を離散化した離散フーリエ変換について学びましょう 自然現象 ( 音声 ) などを観測して得られる波 ( 信号値 ; 観測値 ) は 通常 電気信号による連続的な波として観測機器から出力されます しかしながら コンピュータはこの様な連続的な波を直接扱うことができないため

More information

材料の力学解答集

材料の力学解答集 材料の力学 ( 第 章 ) 解答集 ------------------------------------------------------------------------------- 各種応力の計算問題 (No1) 1. 断面積 1mm の材料に 18N の引張荷重が働くとき, 断面に生じる応力はどれほどか ( 18(N/mm ) または 18(MP)) P 18( N) 18 N /

More information

数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュ

数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュ 数値計算で学ぶ物理学 4 放物運動と惑星運動 地上のように下向きに重力がはたらいているような場においては 物体を投げると放物運動をする 一方 中心星のまわりの重力場中では 惑星は 円 だ円 放物線または双曲線を描きながら運動する ここでは 放物運動と惑星運動を 運動方程式を導出したうえで 数値シミュレーションによって計算してみる 4.1 放物運動一様な重力場における放物運動を考える 一般に質量の物体に作用する力をとすると運動方程式は

More information

多変量解析 ~ 重回帰分析 ~ 2006 年 4 月 21 日 ( 金 ) 南慶典

多変量解析 ~ 重回帰分析 ~ 2006 年 4 月 21 日 ( 金 ) 南慶典 多変量解析 ~ 重回帰分析 ~ 2006 年 4 月 21 日 ( 金 ) 南慶典 重回帰分析とは? 重回帰分析とは複数の説明変数から目的変数との関係性を予測 評価説明変数 ( 数量データ ) は目的変数を説明するのに有効であるか得られた関係性より未知のデータの妥当性を判断する これを重回帰分析という つまり どんなことをするのか? 1 最小 2 乗法により重回帰モデルを想定 2 自由度調整済寄与率を求め

More information

カイ二乗フィット検定、パラメータの誤差

カイ二乗フィット検定、パラメータの誤差 統計的データ解析 008 008.. 林田清 ( 大阪大学大学院理学研究科 ) 問題 C (, ) ( x xˆ) ( y yˆ) σ x πσ σ y y Pabx (, ;,,, ) ˆ y σx σ y = dx exp exp πσx ただし xy ˆ ˆ はyˆ = axˆ+ bであらわされる直線モデル上の点 ( ˆ) ( ˆ ) ( ) x x y ax b y ax b Pabx (,

More information

第 3 回講義の項目と概要 統計的手法入門 : 品質のばらつきを解析する 平均と標準偏差 (P30) a) データは平均を見ただけではわからない 平均が同じだからといって 同一視してはいけない b) データのばらつきを示す 標準偏差 にも注目しよう c) 平均

第 3 回講義の項目と概要 統計的手法入門 : 品質のばらつきを解析する 平均と標準偏差 (P30) a) データは平均を見ただけではわからない 平均が同じだからといって 同一視してはいけない b) データのばらつきを示す 標準偏差 にも注目しよう c) 平均 第 3 回講義の項目と概要 016.8.9 1.3 統計的手法入門 : 品質のばらつきを解析する 1.3.1 平均と標準偏差 (P30) a) データは平均を見ただけではわからない 平均が同じだからといって 同一視してはいけない b) データのばらつきを示す 標準偏差 にも注目しよう c) 平均 :AVERAGE 関数, 標準偏差 :STDEVP 関数とSTDEVという関数 1 取得したデータそのものの標準偏差

More information

<4D F736F F D2097CD8A7793FC96E582BD82ED82DD8A E6318FCD2E646F63>

<4D F736F F D2097CD8A7793FC96E582BD82ED82DD8A E6318FCD2E646F63> - 第 章たわみ角法の基本式 ポイント : たわみ角法の基本式を理解する たわみ角法の基本式を梁の微分方程式より求める 本章では たわみ角法の基本式を導くことにする 基本式の誘導法は各種あるが ここでは 梁の微分方程式を解いて基本式を求める方法を採用する この本で使用する座標系は 右手 右ネジの法則に従った座標を用いる また ひとつの部材では 図 - に示すように部材の左端の 点を原点とし 軸線を

More information

スライド 1

スライド 1 計測工学第 12 回以降 測定値の誤差と精度編 2014 年 7 月 2 日 ( 水 )~7 月 16 日 ( 水 ) 知能情報工学科 横田孝義 1 授業計画 4/9 4/16 4/23 5/7 5/14 5/21 5/28 6/4 6/11 6/18 6/25 7/2 7/9 7/16 7/23 2 誤差とその取扱い 3 誤差 = 測定値 真の値 相対誤差 = 誤差 / 真の値 4 誤差 (error)

More information

2-1 / 語問題 項書換え系 4.0. 準備 (3.1. 項 代入 等価性 ) 定義 3.1.1: - シグネチャ (signature): 関数記号の集合 (Σ と書く ) - それぞれの関数記号は アリティ (arity) と呼ばれる自然数が定められている - Σ (n) : アリ

2-1 / 語問題 項書換え系 4.0. 準備 (3.1. 項 代入 等価性 ) 定義 3.1.1: - シグネチャ (signature): 関数記号の集合 (Σ と書く ) - それぞれの関数記号は アリティ (arity) と呼ばれる自然数が定められている - Σ (n) : アリ 2-1 / 32 4. 語問題 項書換え系 4.0. 準備 (3.1. 項 代入 等価性 ) 定義 3.1.1: - シグネチャ (signature): 関数記号の集合 (Σ と書く ) - それぞれの関数記号は アリティ (arity) と呼ばれる自然数が定められている - Σ (n) : アリティ n を持つ関数記号からなる Σ の部分集合 例 : 群 Σ G = {e, i, } (e Σ

More information

Chap2.key

Chap2.key . f( ) V (V V ) V e + V e V V V V ( ) V V ( ) E. - () V (0 ) () V (0 ) () V (0 ) (4) V ( ) E. - () V (0 ) () V (0 ) O r θ ( ) ( ) : (r θ) : { r cos θ r sn θ { r + () V (0 ) (4) V ( ) θ θ arg( ) : π π

More information

Microsoft PowerPoint - 10.pptx

Microsoft PowerPoint - 10.pptx m u. 固有値とその応用 8/7/( 水 ). 固有値とその応用 固有値と固有ベクトル 行列による写像から固有ベクトルへ m m 行列 によって線形写像 f : R R が表せることを見てきた ここでは 次元平面の行列による写像を調べる とし 写像 f : を考える R R まず 単位ベクトルの像 u y y f : R R u u, u この事から 線形写像の性質を用いると 次の格子上の点全ての写像先が求まる

More information

PowerPoint プレゼンテーション

PowerPoint プレゼンテーション 復習 ) 時系列のモデリング ~a. 離散時間モデル ~ y k + a 1 z 1 y k + + a na z n ay k = b 0 u k + b 1 z 1 u k + + b nb z n bu k y k = G z 1 u k = B(z 1 ) A(z 1 u k ) ARMA モデル A z 1 B z 1 = 1 + a 1 z 1 + + a na z n a = b 0

More information

<4D F736F F D208D A778D5A8A778F4B8E7793B CC A7795D2816A2E646F6378>

<4D F736F F D208D A778D5A8A778F4B8E7793B CC A7795D2816A2E646F6378> 高等学校学習指導要領解説数学統計関係部分抜粋 第 部数学第 2 章各科目第 節数学 Ⅰ 3 内容と内容の取扱い (4) データの分析 (4) データの分析統計の基本的な考えを理解するとともに, それを用いてデータを整理 分析し傾向を把握できるようにする アデータの散らばり四分位偏差, 分散及び標準偏差などの意味について理解し, それらを用いてデータの傾向を把握し, 説明すること イデータの相関散布図や相関係数の意味を理解し,

More information

Microsoft PowerPoint - H22制御工学I-2回.ppt

Microsoft PowerPoint - H22制御工学I-2回.ppt 制御工学 I 第二回ラプラス変換 平成 年 4 月 9 日 /4/9 授業の予定 制御工学概論 ( 回 ) 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている 工学における制御工学の位置づけと歴史について説明する さらに 制御システムの基本構成と種類を紹介する ラプラス変換 ( 回 ) 制御工学 特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしている ラプラス変換と逆ラプラス変換の定義を紹介し

More information

DVIOUT

DVIOUT 第 3 章 フーリエ変換 3.1 フーリエ積分とフーリエ変換 第 章では 周期を持つ関数のフーリエ級数について学びました この章では 最初に 周期を持つ関数のフーリエ級数を拡張し 周期を持たない ( 一般的な ) 関数のフーリエ級数を導きましょう 具体的には 関数 f(x) を区間 L x L で考え この L を限りなく大きくするというアプローチを取ります (L ) なお ここで扱う関数 f(x)

More information

ビジネス統計 統計基礎とエクセル分析 正誤表

ビジネス統計 統計基礎とエクセル分析 正誤表 ビジネス統計統計基礎とエクセル分析 ビジネス統計スペシャリスト エクセル分析スペシャリスト 公式テキスト正誤表と学習用データ更新履歴 平成 30 年 5 月 14 日現在 公式テキスト正誤表 頁場所誤正修正 6 知識編第 章 -3-3 最頻値の解説内容 たとえば, 表.1 のデータであれば, 最頻値は 167.5cm というたとえば, 表.1 のデータであれば, 最頻値は 165.0cm ということになります

More information

Microsoft PowerPoint - e-stat(OLS).pptx

Microsoft PowerPoint - e-stat(OLS).pptx 経済統計学 ( 補足 ) 最小二乗法について 担当 : 小塚匡文 2015 年 11 月 19 日 ( 改訂版 ) 神戸大学経済学部 2015 年度後期開講授業 補足 : 最小二乗法 ( 単回帰分析 ) 1.( 単純 ) 回帰分析とは? 標本サイズTの2 変数 ( ここではXとY) のデータが存在 YをXで説明する回帰方程式を推定するための方法 Y: 被説明変数 ( または従属変数 ) X: 説明変数

More information

DVIOUT

DVIOUT 3 第 2 章フーリエ級数 23 フーリエ級数展開 これまで 関数 f(x) のフーリエ級数展開に関して 関数の定義区間やフーリエ級数の積分区間を断りなく [, ] に取ってきました これは フーリエ級数を構成する三角関数が基本周期 2 を持つためです すなわち フーリエ級数の各項 cos nx および sin nx (n =1, 2, 3, 4, ) の周期は それぞれ 2, 2 2, 2 3,

More information

FEM原理講座 (サンプルテキスト)

FEM原理講座 (サンプルテキスト) サンプルテキスト FEM 原理講座 サイバネットシステム株式会社 8 年 月 9 日作成 サンプルテキストについて 各講師が 講義の内容が伝わりやすいページ を選びました テキストのページは必ずしも連続していません 一部を抜粋しています 幾何光学講座については 実物のテキストではなくガイダンスを掲載いたします 対象とする構造系 物理モデル 連続体 固体 弾性体 / 弾塑性体 / 粘弾性体 / 固体

More information

Microsoft PowerPoint - 構造力学Ⅰ第03回.pptx

Microsoft PowerPoint - 構造力学Ⅰ第03回.pptx 分布荷重の合力 ( 効果 ) 前回の復習 ( 第 回 ) p. 分布荷重は平行な力が連続して分布していると考えられる 例 : 三角形分布 l dx P=ql/ q l qx q l 大きさ P dx x 位置 Px 0 x x 0 l ql 0 : 面積に等しい 0 l l 重心に等しいモーメントの釣合より ( バリノンの定理 ) l qx l qx ql q 3 l ql l xdx x0 xdx

More information

スライド 1

スライド 1 第 3 章 鉄筋コンクリート工学の復習 鉄筋によるコンクリートの補強 ( 圧縮 ) 鉄筋で補強したコンクリート柱の圧縮を考えてみよう 鉄筋とコンクリートの付着は十分で, コンクリートと鉄筋は全く同じように動くものとする ( 平面保持の仮定 ) l Δl 長さの柱に荷重を載荷したときの縮み量をとする 鉄筋及びコンクリートの圧縮ひずみは同じ量なのでで表す = Δl l 鉄筋及びコンクリートの応力はそれぞれの弾性定数を用いて次式で与えられる

More information

Microsoft PowerPoint - statistics pptx

Microsoft PowerPoint - statistics pptx 統計学 第 16 回 講義 母平均の区間推定 Part-1 016 年 6 10 ( ) 1 限 担当教員 : 唐渡 広志 ( からと こうじ ) 研究室 : 経済学研究棟 4 階 43 号室 email: kkarato@eco.u-toyama.ac.jp website: http://www3.u-toyama.ac.jp/kkarato/ 1 講義の目的 標本平均は正規分布に従うという性質を

More information

_KyoukaNaiyou_No.4

_KyoukaNaiyou_No.4 理科教科内容指導論 I : 物理分野 物理現象の定量的把握第 4 回 ( 実験 ) データの眺め ~ 統計学の基礎続き 統計のはなし 基礎 応 娯楽 (Best selected business books) 村平 科技連出版社 1836 円 前回の復習と今回以降の 標 東京 学 善 郎 Web サイトより データ ヒストグラム 代表値 ( 平均値 最頻値 中間値 ) 分布の散らばり 集団の分布

More information

ハートレー近似(Hartree aproximation)

ハートレー近似(Hartree aproximation) ハートリー近似 ( 量子多体系の平均場近似 1) 0. ハミルトニアンの期待値の変分がシュレディンガー方程式と等価であること 1. 独立粒子近似という考え方. 電子系におけるハートリー近似 3.3 電子系におけるハートリー近似 Mde by R. Okmoto (Kyushu Institute of Technology) filenme=rtree080609.ppt (0) ハミルトニアンの期待値の変分と

More information

横浜市環境科学研究所

横浜市環境科学研究所 周期時系列の統計解析 単回帰分析 io 8 年 3 日 周期時系列に季節調整を行わないで単回帰分析を適用すると, 回帰係数には周期成分の影響が加わる. ここでは, 周期時系列をコサイン関数モデルで近似し単回帰分析によりモデルの回帰係数を求め, 周期成分の影響を検討した. また, その結果を気温時系列に当てはめ, 課題等について考察した. 気温時系列とコサイン関数モデル第 報の結果を利用するので, その一部を再掲する.

More information

2018年度 2次数学セレクション(微分と積分)

2018年度 2次数学セレクション(微分と積分) 08 次数学セレクション問題 [ 東京大 ] > 0 とし, f = x - x とおく () x で f ( x ) が単調に増加するための, についての条件を求めよ () 次の 条件を満たす点 (, b) の動きうる範囲を求め, 座標平面上に図示せよ 条件 : 方程式 f = bは相異なる 実数解をもつ 条件 : さらに, 方程式 f = bの解を < < とすると > である -- 08 次数学セレクション問題

More information

例 e 指数関数的に減衰する信号を h( a < + a a すると, それらのラプラス変換は, H ( ) { e } e インパルス応答が h( a < ( ただし a >, U( ) { } となるシステムにステップ信号 ( y( のラプラス変換 Y () は, Y ( ) H ( ) X (

例 e 指数関数的に減衰する信号を h( a < + a a すると, それらのラプラス変換は, H ( ) { e } e インパルス応答が h( a < ( ただし a >, U( ) { } となるシステムにステップ信号 ( y( のラプラス変換 Y () は, Y ( ) H ( ) X ( 第 週ラプラス変換 教科書 p.34~ 目標ラプラス変換の定義と意味を理解する フーリエ変換や Z 変換と並ぶ 信号解析やシステム設計における重要なツール ラプラス変換は波動現象や電気回路など様々な分野で 微分方程式を解くために利用されてきた ラプラス変換を用いることで微分方程式は代数方程式に変換される また 工学上使われる主要な関数のラプラス変換は簡単な形の関数で表されるので これを ラプラス変換表

More information

道路橋の耐震設計における鉄筋コンクリート橋脚の水平力 - 水平変位関係の計算例 (H24 版対応 ) ( 社 ) 日本道路協会 橋梁委員会 耐震設計小委員会 平成 24 年 5 月

道路橋の耐震設計における鉄筋コンクリート橋脚の水平力 - 水平変位関係の計算例 (H24 版対応 ) ( 社 ) 日本道路協会 橋梁委員会 耐震設計小委員会 平成 24 年 5 月 道路橋の耐震設計における鉄筋コンクリート橋脚の水平力 - 水平変位関係の計算例 (H24 版対応 ) ( 社 ) 日本道路協会 橋梁委員会 耐震設計小委員会 平成 24 年 5 月 目次 本資料の利用にあたって 1 矩形断面の橋軸方向の水平耐力及び水平変位の計算例 2 矩形断面 (D51 SD490 使用 ) 橋軸方向の水平耐力及び水平変位の計算例 8 矩形断面の橋軸直角方向の水平耐力及び水平変位の計算例

More information

Microsoft PowerPoint - H21生物計算化学2.ppt

Microsoft PowerPoint - H21生物計算化学2.ppt 演算子の行列表現 > L いま 次元ベクトル空間の基底をケットと書くことにする この基底は完全系を成すとすると 空間内の任意のケットベクトルは > > > これより 一度基底を与えてしまえば 任意のベクトルはその基底についての成分で完全に記述することができる これらの成分を列行列の形に書くと M これをベクトル の基底 { >} による行列表現という ところで 行列 A の共役 dont 行列は A

More information

memo

memo 数理情報工学特論第一 機械学習とデータマイニング 4 章 : 教師なし学習 3 かしまひさし 鹿島久嗣 ( 数理 6 研 ) kashima@mist.i.~ DEPARTMENT OF MATHEMATICAL INFORMATICS 1 グラフィカルモデルについて学びます グラフィカルモデル グラフィカルラッソ グラフィカルラッソの推定アルゴリズム 2 グラフィカルモデル 3 教師なし学習の主要タスクは

More information

Kumamoto University Center for Multimedia and Information Technologies Lab. 熊本大学アプリケーション実験 ~ 実環境における無線 LAN 受信電波強度を用いた位置推定手法の検討 ~ InKIAI 宮崎県美郷

Kumamoto University Center for Multimedia and Information Technologies Lab. 熊本大学アプリケーション実験 ~ 実環境における無線 LAN 受信電波強度を用いた位置推定手法の検討 ~ InKIAI 宮崎県美郷 熊本大学アプリケーション実験 ~ 実環境における無線 LAN 受信電波強度を用いた位置推定手法の検討 ~ InKIAI プロジェクト @ 宮崎県美郷町 熊本大学副島慶人川村諒 1 実験の目的 従来 信号の受信電波強度 (RSSI:RecevedSgnal StrengthIndcator) により 対象の位置を推定する手法として 無線 LAN の AP(AccessPont) から受信する信号の減衰量をもとに位置を推定する手法が多く検討されている

More information

スライド 1

スライド 1 データ解析特論重回帰分析編 2017 年 7 月 10 日 ( 月 )~ 情報エレクトロニクスコース横田孝義 1 ( 単 ) 回帰分析 単回帰分析では一つの従属変数 ( 目的変数 ) を 一つの独立変数 ( 説明変数 ) で予測する事を考える 具体的には y = a + bx という回帰直線 ( モデル ) でデータを代表させる このためにデータからこの回帰直線の切片 (a) と傾き (b) を最小

More information

(Microsoft PowerPoint - \221\34613\211\361)

(Microsoft PowerPoint - \221\34613\211\361) 計算力学 ~ 第 回弾性問題の有限要素解析 (Ⅱ)~ 修士 年後期 ( 選択科目 ) 担当 : 岩佐貴史 講義の概要 全 5 講義. 計算力学概論, ガイダンス. 自然現象の数理モデル化. 行列 場とその演算. 数値計算法 (Ⅰ) 5. 数値計算法 (Ⅱ) 6. 初期値 境界値問題 (Ⅰ) 7. 初期値 境界値問題 (Ⅱ) 8. マトリックス変位法による構造解析 9. トラス構造の有限要素解析. 重み付き残差法と古典的近似解法.

More information

Microsoft Word - 断面諸量

Microsoft Word - 断面諸量 応用力学 Ⅱ 講義資料 / 断面諸量 断面諸量 断面 次 次モーメントの定義 図 - に示すような形状を有する横断面を考え その全断面積を とする いま任意に定めた直交座標軸 O-, をとり また図中の斜線部の微小面積要素を d とするとき d, d () で定義される, をそれぞれ与えられた横断面の 軸, 軸に関する断面 次モーメント (geometrcal moment of area) という

More information

Microsoft PowerPoint - mp11-02.pptx

Microsoft PowerPoint - mp11-02.pptx 数理計画法第 2 回 塩浦昭義情報科学研究科准教授 shioura@dais.is.tohoku.ac.jp http://www.dais.is.tohoku.ac.jp/~shioura/teaching 前回の復習 数理計画とは? 数理計画 ( 復習 ) 数理計画問題とは? 狭義には : 数理 ( 数学 ) を使って計画を立てるための問題 広義には : 与えられた評価尺度に関して最も良い解を求める問題

More information

Microsoft PowerPoint - H22制御工学I-10回.ppt

Microsoft PowerPoint - H22制御工学I-10回.ppt 制御工学 I 第 回 安定性 ラウス, フルビッツの安定判別 平成 年 6 月 日 /6/ 授業の予定 制御工学概論 ( 回 ) 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている 工学における制御工学の位置づけと歴史について説明する さらに 制御システムの基本構成と種類を紹介する ラプラス変換 ( 回 ) 制御工学 特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしている ラプラス変換と逆ラプラス変換の定義を紹介し

More information

Microsoft PowerPoint - シミュレーション工学-2010-第1回.ppt

Microsoft PowerPoint - シミュレーション工学-2010-第1回.ppt シミュレーション工学 ( 後半 ) 東京大学人工物工学研究センター 鈴木克幸 CA( Compter Aded geerg ) r. Jaso Lemo (SC, 98) 設計者が解析ツールを使いこなすことにより 設計の評価 設計の質の向上を図る geerg の本質の 計算機による支援 (CA CAM などより広い名前 ) 様々な汎用ソフトの登場 工業製品の設計に不可欠のツール 構造解析 流体解析

More information

Microsoft PowerPoint - データ解析基礎4.ppt [互換モード]

Microsoft PowerPoint - データ解析基礎4.ppt [互換モード] データ解析基礎. 正規分布と相関係数 keyword 正規分布 正規分布の性質 偏差値 変数間の関係を表す統計量 共分散 相関係数 散布図 正規分布 世の中の多くの現象は, 標本数を大きくしていくと, 正規分布に近づいていくことが知られている. 正規分布 データ解析の基礎となる重要な分布 平均と分散によって特徴づけることができる. 平均値 : 分布の中心を表す値 分散 : 分布のばらつきを表す値 正規分布

More information

確率分布 - 確率と計算 1 6 回に 1 回の割合で 1 の目が出るさいころがある. このさいころを 6 回投げたとき,1 度も 1 の目が出ない確率を求めよ. 5 6 /6 6 =15625/46656= (5/6) 6 = ある市の気象観測所での記録では, 毎年雨の降る

確率分布 - 確率と計算 1 6 回に 1 回の割合で 1 の目が出るさいころがある. このさいころを 6 回投げたとき,1 度も 1 の目が出ない確率を求めよ. 5 6 /6 6 =15625/46656= (5/6) 6 = ある市の気象観測所での記録では, 毎年雨の降る 確率分布 - 確率と計算 6 回に 回の割合で の目が出るさいころがある. このさいころを 6 回投げたとき 度も の目が出ない確率を求めよ. 5 6 /6 6 =565/46656=.48 (5/6) 6 =.48 ある市の気象観測所での記録では 毎年雨の降る日と降らない日の割合は概ね :9 で一定している. 前日に発表される予報の精度は 8% で 残りの % は実際とは逆の天気を予報している.

More information

1.民営化

1.民営化 参考資料 最小二乗法 数学的性質 経済統計分析 3 年度秋学期 回帰分析と最小二乗法 被説明変数 の動きを説明変数 の動きで説明 = 回帰分析 説明変数がつ 単回帰 説明変数がつ以上 重回帰 被説明変数 従属変数 係数 定数項傾き 説明変数 独立変数 残差... で説明できる部分 説明できない部分 説明できない部分が小さくなるように回帰式の係数 を推定する有力な方法 = 最小二乗法 最小二乗法による回帰の考え方

More information

周期時系列の統計解析 (3) 移動平均とフーリエ変換 nino 2017 年 12 月 18 日 移動平均は, 周期時系列における特定の周期成分の消去や不規則変動 ( ノイズ ) の低減に汎用されている統計手法である. ここでは, 周期時系列をコサイン関数で近似し, その移動平均により周期成分の振幅

周期時系列の統計解析 (3) 移動平均とフーリエ変換 nino 2017 年 12 月 18 日 移動平均は, 周期時系列における特定の周期成分の消去や不規則変動 ( ノイズ ) の低減に汎用されている統計手法である. ここでは, 周期時系列をコサイン関数で近似し, その移動平均により周期成分の振幅 周期時系列の統計解析 3 移動平均とフーリエ変換 io 07 年 月 8 日 移動平均は, 周期時系列における特定の周期成分の消去や不規則変動 ノイズ の低減に汎用されている統計手法である. ここでは, 周期時系列をコサイン関数で近似し, その移動平均により周期成分のがどのように変化するのか等について検討する. また, 気温の実測値に移動平均を適用した結果についてフーリエ変換も併用して考察する. 単純移動平均の計算式移動平均には,

More information

相対性理論入門 1 Lorentz 変換 光がどのような座標系に対しても同一の速さ c で進むことから導かれる座標の一次変換である. (x, y, z, t ) の座標系が (x, y, z, t) の座標系に対して x 軸方向に w の速度で進んでいる場合, 座標系が一次変換で関係づけられるとする

相対性理論入門 1 Lorentz 変換 光がどのような座標系に対しても同一の速さ c で進むことから導かれる座標の一次変換である. (x, y, z, t ) の座標系が (x, y, z, t) の座標系に対して x 軸方向に w の速度で進んでいる場合, 座標系が一次変換で関係づけられるとする 相対性理論入門 Lorentz 変換 光がどのような座標系に対しても同一の速さ で進むことから導かれる座標の一次変換である. x, y, z, t ) の座標系が x, y, z, t) の座標系に対して x 軸方向に w の速度で進んでいる場合, 座標系が一次変換で関係づけられるとすると, x A x wt) y y z z t Bx + Dt 弨弱弩弨弲弩弨弳弩弨弴弩 が成立する. 図 : 相対速度

More information

切片 ( 定数項 ) ダミー 以下の単回帰モデルを考えよう これは賃金と就業年数の関係を分析している : ( 賃金関数 ) ここで Y i = α + β X i + u i, i =1,, n, u i ~ i.i.d. N(0, σ 2 ) Y i : 賃金の対数値, X i : 就業年数. (

切片 ( 定数項 ) ダミー 以下の単回帰モデルを考えよう これは賃金と就業年数の関係を分析している : ( 賃金関数 ) ここで Y i = α + β X i + u i, i =1,, n, u i ~ i.i.d. N(0, σ 2 ) Y i : 賃金の対数値, X i : 就業年数. ( 統計学ダミー変数による分析 担当 : 長倉大輔 ( ながくらだいすけ ) 1 切片 ( 定数項 ) ダミー 以下の単回帰モデルを考えよう これは賃金と就業年数の関係を分析している : ( 賃金関数 ) ここで Y i = α + β X i + u i, i =1,, n, u i ~ i.i.d. N(0, σ 2 ) Y i : 賃金の対数値, X i : 就業年数. ( 実際は賃金を就業年数だけで説明するのは現実的はない

More information

Microsoft PowerPoint - 知財報告会H20kobayakawa.ppt [互換モード]

Microsoft PowerPoint - 知財報告会H20kobayakawa.ppt [互換モード] 亀裂の変形特性を考慮した数値解析による岩盤物性評価法 地球工学研究所地圏科学領域小早川博亮 1 岩盤構造物の安定性評価 ( 斜面の例 ) 代表要素 代表要素の応力ひずみ関係 変形: 弾性体の場合 :E,ν 強度: モールクーロン破壊規準 :c,φ Rock Mech. Rock Engng. (2007) 40 (4), 363 382 原位置試験 せん断試験, 平板載荷試験 原位置三軸試験 室内試験

More information

情報工学概論

情報工学概論 確率と統計 中山クラス 第 11 週 0 本日の内容 第 3 回レポート解説 第 5 章 5.6 独立性の検定 ( カイ二乗検定 ) 5.7 サンプルサイズの検定結果への影響練習問題 (4),(5) 第 4 回レポート課題の説明 1 演習問題 ( 前回 ) の解説 勉強時間と定期試験の得点の関係を無相関検定により調べる. データ入力 > aa

More information

14 化学実験法 II( 吉村 ( 洋 mmol/l の半分だったから さんの測定値は くんの測定値の 4 倍の重みがあり 推定値 としては 0.68 mmol/l その標準偏差は mmol/l 程度ということになる 測定値を 特徴づけるパラメータ t を推定するこの手

14 化学実験法 II( 吉村 ( 洋 mmol/l の半分だったから さんの測定値は くんの測定値の 4 倍の重みがあり 推定値 としては 0.68 mmol/l その標準偏差は mmol/l 程度ということになる 測定値を 特徴づけるパラメータ t を推定するこの手 14 化学実験法 II( 吉村 ( 洋 014.6.1. 最小 乗法のはなし 014.6.1. 内容 最小 乗法のはなし...1 最小 乗法の考え方...1 最小 乗法によるパラメータの決定... パラメータの信頼区間...3 重みの異なるデータの取扱い...4 相関係数 決定係数 ( 最小 乗法を語るもう一つの立場...5 実験条件の誤差の影響...5 問題...6 最小 乗法の考え方 飲料水中のカルシウム濃度を

More information

<4D F736F F F696E74202D E838A815B83678D5C91A295A882CC90DD8C7682CC8AEE967B F A2E707074>

<4D F736F F F696E74202D E838A815B83678D5C91A295A882CC90DD8C7682CC8AEE967B F A2E707074> コンクリート構造物の設計の基本と最近の話題 テキスト : 設計編 1 章コンクリート構造物の設計と性能照査 2011 年 8 月 2 日大阪工業大学井上晋 構造物の設計とは? p.1 対象構造物の用途や機能から定められる要求性能とそのレベルを, 施工中および設計耐用期間のすべてを通じて満たすことができるように, その構造形式, 部材, 断面, 配筋等の諸元を定める行為 対象は耐荷力のみにとどまらない

More information

Microsoft PowerPoint - Inoue-statistics [互換モード]

Microsoft PowerPoint - Inoue-statistics [互換モード] 誤差論 神戸大学大学院農学研究科 井上一哉 (Kazuya INOUE) 誤差論 2011 年度前期火曜クラス 1 講義内容 誤差と有効数字 (Slide No.2~8 Text p.76~78) 誤差の分布と標準偏差 (Slide No.9~18 Text p.78~80) 最確値とその誤差 (Slide No.19~25 Text p.80~81) 誤差の伝播 (Slide No.26~32 Text

More information

0 スペクトル 時系列データの前処理 法 平滑化 ( スムージング ) と微分 明治大学理 学部応用化学科 データ化学 学研究室 弘昌

0 スペクトル 時系列データの前処理 法 平滑化 ( スムージング ) と微分 明治大学理 学部応用化学科 データ化学 学研究室 弘昌 0 スペクトル 時系列データの前処理 法 平滑化 ( スムージング ) と微分 明治大学理 学部応用化学科 データ化学 学研究室 弘昌 スペクトルデータの特徴 1 波 ( 波数 ) が近いと 吸光度 ( 強度 ) の値も似ている ノイズが含まれる 吸光度 ( 強度 ) の極大値 ( ピーク ) 以外のデータも重要 時系列データの特徴 2 時刻が近いと プロセス変数の値も似ている ノイズが含まれる プロセス変数の極大値

More information

7 章問題解答 7-1 予習 1. 長方形断面であるため, 断面積 A と潤辺 S は, 水深 h, 水路幅 B を用い以下で表される A = Bh, S = B + 2h 径深 R の算定式に代入すると以下のようになる A Bh h R = = = S B + 2 h 1+ 2( h B) 分母の

7 章問題解答 7-1 予習 1. 長方形断面であるため, 断面積 A と潤辺 S は, 水深 h, 水路幅 B を用い以下で表される A = Bh, S = B + 2h 径深 R の算定式に代入すると以下のようになる A Bh h R = = = S B + 2 h 1+ 2( h B) 分母の 7 章問題解答 7- 予習. 長方形断面であるため, 断面積 と潤辺 S は, 水深, 水路幅 B を用い以下で表される B, S B + 径深 R の算定式に代入すると以下のようになる B R S B + ( B) 分母の /B は河幅が水深に対して十分に広ければ, 非常に小さな値となるため, 上式は R ( B) となり, 径深 R は水深 で近似できる. マニングの式の水深 を等流水深 0 と置き換えると,

More information

Microsoft PowerPoint - 三次元座標測定 ppt

Microsoft PowerPoint - 三次元座標測定 ppt 冗長座標測定機 ()( 三次元座標計測 ( 第 9 回 ) 5 年度大学院講義 6 年 月 7 日 冗長性を持つ 次元座標測定機 次元 辺測量 : 冗長性を出すために つのレーザトラッカを配置し, キャッツアイまでの距離から座標を測定する つのカメラ ( 次元的なカメラ ) とレーザスキャナ : つの角度測定システムによる座標測定 つの回転関節による 次元 自由度多関節機構 高増潔東京大学工学系研究科精密機械工学専攻

More information

Microsoft PowerPoint - 基礎・経済統計6.ppt

Microsoft PowerPoint - 基礎・経済統計6.ppt . 確率変数 基礎 経済統計 6 確率分布 事象を数値化したもの ( 事象ー > 数値 の関数 自然に数値されている場合 さいころの目 量的尺度 数値化が必要な場合 質的尺度, 順序的尺度 それらの尺度に数値を割り当てる 例えば, コインの表が出たら, 裏なら 0. 離散確率変数と連続確率変数 確率変数の値 連続値をとるもの 身長, 体重, 実質 GDP など とびとびの値 離散値をとるもの 新生児の性別

More information

強度のメカニズム コンクリートは 骨材同士をセメントペーストで結合したものです したがって コンクリート強度は セメントペーストの接着力に支配されます セメントペーストの接着力は 水セメント比 (W/C 質量比 ) によって決められます 水セメント比が小さいほど 高濃度のセメントペーストとなり 接着

強度のメカニズム コンクリートは 骨材同士をセメントペーストで結合したものです したがって コンクリート強度は セメントペーストの接着力に支配されます セメントペーストの接着力は 水セメント比 (W/C 質量比 ) によって決められます 水セメント比が小さいほど 高濃度のセメントペーストとなり 接着 コンクリートの強度 コンクリートの最も重要な特性は強度です ここでは まず コンクリート強度の基本的特性について解説し 次に 呼び強度および配合強度がどのように設定されるか について説明します 強度のメカニズム 強度の影響要因 強度性状 構造物の強度と供試体強度 配合 ( 調合 ) 強度と呼び強度の算定 材料強度のばらつき 配合強度の設定 呼び強度の割増し 構造体強度補正値 舞鶴市および周辺部における構造体強度補正値

More information

ファイナンスのための数学基礎 第1回 オリエンテーション、ベクトル

ファイナンスのための数学基礎 第1回 オリエンテーション、ベクトル 時系列分析 変量時系列モデルとその性質 担当 : 長倉大輔 ( ながくらだいすけ 時系列モデル 時系列モデルとは時系列データを生み出すメカニズムとなるものである これは実際には未知である 私たちにできるのは観測された時系列データからその背後にある時系列モデルを推測 推定するだけである 以下ではいくつかの代表的な時系列モデルを考察する 自己回帰モデル (Auoregressive Model もっとも頻繁に使われる時系列モデルは自己回帰モデル

More information

静的弾性問題の有限要素法解析アルゴリズム

静的弾性問題の有限要素法解析アルゴリズム 概要 基礎理論. 応力とひずみおよび平衡方程式. 降伏条件式. 構成式 ( 応力 - ひずみ関係式 ) 有限要素法. 有限要素法の概要. 仮想仕事の原理式と変分原理. 平面ひずみ弾性有限要素法定式化 FEM の基礎方程式平衡方程式. G G G ひずみ - 変位関係式 w w w. kl jkl j D 構成式応力 - ひずみ関係式 ) (. 変位の境界条件力の境界条件境界条件式 t S on V

More information

1 対 1 対応の演習例題を解いてみた 微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 (2) 関数 f ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか f ( 1, f ( 1) ) と ( 1 + h, f ( 1 + h)

1 対 1 対応の演習例題を解いてみた   微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 (2) 関数 f ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか f ( 1, f ( 1) ) と ( 1 + h, f ( 1 + h) 微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 () 関数 ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか ( 1, ( 1) ) と ( 1 + h, ( 1 + h) ) の傾き= ( 1 + h ) - ( 1 ) ( 1 + ) - ( 1) = ( 1 + h) - 1 h ( 1) = lim h ( 1 + h) - ( 1) h ( 1, ( 1) ) と ( 1 - h,

More information

2011年度 筑波大・理系数学

2011年度 筑波大・理系数学 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ O を原点とするy 平面において, 直線 y= の を満たす部分をC とする () C 上に点 A( t, ) をとるとき, 線分 OA の垂直二等分線の方程式を求めよ () 点 A が C 全体を動くとき, 線分 OA の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それ を図示せよ -- 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ

More information

2018年度 東京大・理系数学

2018年度 東京大・理系数学 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ関数 f ( ) = + cos (0 < < ) の増減表をつくり, + 0, 0 のと sin きの極限を調べよ 08 東京大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ n+ 数列 a, a, を, Cn a n = ( n =,, ) で定める n! an qn () n とする を既約分数 an p として表したときの分母

More information

多次元レーザー分光で探る凝縮分子系の超高速動力学

多次元レーザー分光で探る凝縮分子系の超高速動力学 波動方程式と量子力学 谷村吉隆 京都大学理学研究科化学専攻 http:theochem.kuchem.kyoto-u.ac.jp TA: 岩元佑樹 iwamoto.y@kuchem.kyoto-u.ac.jp ベクトルと行列の作法 A 列ベクトル c = c c 行ベクトル A = [ c c c ] 転置ベクトル T A = [ c c c ] AA 内積 c AA = [ c c c ] c =

More information

() ): (1) f(x) g(x) x = x 0 f(x) + g(x) x = x 0 lim f(x) = f(x 0 ), lim g(x) = g(x 0 ) x x 0 x x0 lim {f(x) + g(x)} = f(x 0 ) + g(x 0 ) x x0 lim x x 0

() ): (1) f(x) g(x) x = x 0 f(x) + g(x) x = x 0 lim f(x) = f(x 0 ), lim g(x) = g(x 0 ) x x 0 x x0 lim {f(x) + g(x)} = f(x 0 ) + g(x 0 ) x x0 lim x x 0 (1) 3 連続関数と逆関数 定義 3.1 y = f (x) のグラフが x = a でつながっているとき f (x) は x = a において連続と いう. 直感的にはこれが わかりやすい x = a では連続 x = b ではグラフがちぎれているので 不連続 定義 3. f (x) が x = a の近くで定義され lim f (x) = f (a) をみたす時 x a f (x) は x =

More information

<4D F736F F D208D5C91A297CD8A7793FC96E591E631318FCD2E646F63>

<4D F736F F D208D5C91A297CD8A7793FC96E591E631318FCD2E646F63> 11-1 第 11 章不静定梁のたわみ ポイント : 基本的な不静定梁のたわみ 梁部材の断面力とたわみ 本章では 不静定構造物として 最も単純でしかも最も大切な両端固定梁の応力解析を行う ここでは 梁の微分方程式を用いて解くわけであるが 前章とは異なり 不静定構造物であるため力の釣合から先に断面力を決定することができない そのため 梁のたわみ曲線と同時に断面力を求めることになる この両端固定梁のたわみ曲線や断面力分布は

More information

Microsoft PowerPoint - 9.pptx

Microsoft PowerPoint - 9.pptx 9/7/8( 水 9. 線形写像 ここでは 行列の積によって 写像を定義できることをみていく また 行列の積によって定義される写像の性質を調べていく 拡大とスカラー倍 行列演算と写像 ( 次変換 拡大後 k 倍 k 倍 k 倍拡大の関係は スカラー倍を用いて次のように表現できる p = (, ' = k ' 拡大前 p ' = ( ', ' = ( k, k 拡大 4 拡大と行列の積 拡大後 k 倍

More information