Microsoft PowerPoint - S11_1 2010Econometrics [互換モード]

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しょうぶすずがみね
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1 S11_1 計量経済学一般化古典的回帰モデル -3 1 図 7-3 不均一分散の検定と想定の誤り想定の誤りと不均一分散均一分散を棄却 3つの可能性 1. 不均一分散がある. 不均一分散はないがモデルの想定に誤り 3. 両者が同時に起きている想定に誤り不均一分散を検出したら散布図に戻り関数形の想定や説明変数の選択を再検討残差残差 Y 真の関係 e e 線形回帰 X X 1

2 実行可能な一般化最小二乗法 FGLS 正しいウェイトは未知ウェイトを推定し WLS 実行可能な一般化最小二乗法 (Feasible GLS, FGLS) n が大かつ分散行列に含まれる未知パラメータが標本とともに増加しない FGLSE は GLSE と漸近的に同じ分布に従う分散 ( 分散の比例値 ) の推定値を ω i ω i を使って変形その結果に OLS つのグループで分散が異なるケース ω i = S 1, i =1,..n 1, ω i = S, i = n 1 +1,..,n 1 +n BPG テスト ω i = α 0 + α 1 Z 1i +..+ α P Z pi, i = 1,..,n 3 例 7-4 ビッグマック指数と購買力平価説エコノミストのビッグマック指数購買力平価説一物一価が成立つよう為替レートが決まるビッグマック 1 個日本 US :50 円 : ドルなら為替レート :1ドル =15 円となるはず Purchasing Power Parity, PPP PPP=50 円 / ドル =15 円 /US$ 為替レート (EXR)=PPP 線形モデル EXR = α + βppp + ε Η 0 : α=0, β=1 4

3 5,000 (a) 散布図 0,000 為替レート ( US 対トル ) 15,000 10,000 5, ,000 10,000 15,000-5,000 PPP OLS 推定結果 EXR = PPP, R = ( 標準誤差 ) (61.916) (0.05) 5 (b) OLS の予測値と残差 1,600 1, 残差 0 0 5,000 10,000 15,000 0,000 5, ,00-1,600 予測値 (c) WLS の予測値と残差残差予測値 6 3

4 WLS EXR/PPP = α(1/ppp) + β + (ε /PPP) 回帰結果 (SE) EXR/PPP = 0.343(1/PPP) , R = 0.071, RSS = (0.9) (0.095) t テストで仮説 (α=0, β=1) は棄却できない F テスト 7 系列相関時系列データ撹乱項は説明変数以外の全ての要因それ自体多数の経済変数に依存今期の経済活動は次期に何らかの影響を与える傾向 ε t はε t+1,ε t+ と相関 Cov(ε t,ε s ) 0 系列相関図 7-5 横軸に時間系列相関の原因慣性振動と収斂想定の誤りラグ変数関数形の誤り ( 見かけの系列相関の原因 ) 真のモデル :Y t = α X β t exp(ε t ) 0<β<1なら線形回帰の残差はXの増加に従って負正負図 7-5( エ ) 移動平均 8 4

5 図 7-5 系列相関 ( ア ) 相関ゼロ ( ウ ) 負の相関時 (t) 間時間 (t) ( イ ) 正の相関 ( エ ) 正の相関時 (t) 間時間 (t) 9 一階の系列相関 (7-3-1) ε t = ρε t-1 + v t ρ <1 v t 毎期独立 Cov(ε t,v t )=0 (7-3-) Var(ε t ) = σ, Var(v t ) = σ v (7-3-3) (1 ρ ) σ = σ v 共分散 (7-3-4) Cov(ε t,ε t-1 ) = Cov(ρε t-1 + v t, ε t-1 ) = ρvar(ε t-1 ) + Cov(v t,ε t-1 ) = ρσ (7-3-5) Cov(ε t,ε t- ) = Cov(ρε t-1 + v t,ε t- ) = Cov(ρ(ρε t- + v t-1 ) + v t, ε t- ) = ρ σ (7-3-6) Cov(ε t,ε t-s ) = ρ s σ 10 5

6 L N 1 T 1 ρ ρ.... ρ ρ 1 ρ ρ ρ ρ 1... : (7-3-7) Σ = σ ρ ρ..... ρ.. : 3 : ρ T ρ ρ ρ 1 O QP 11 OLSE の性質 (7-3-8) Y t = α +βx t + ε t b = β + Σ t x t ε t /Σ i x t E(ε) = 0 E(b)=β β Var(b) = Var(Σ t x t ε t )/(Σ i x t ) (7-3-9) Var(Σ t x t ε t ) = Σ t Σ s x t x s cov(ε t,ε s ) = σ (Σ t x t + Σ t Σ s(t s)x t x s ρ t-s ) Not (Var(b)= σ /Σ i x t ) OLSE is LUE but not BLUE Next Step 1. ρ 0 なら BLUE は?. Η 0 :ρ=0 の検定 1 6

7 BLUE (7-3-10) Y t ρy t-1 = (α ρα) +β(x t ρx t-1 ) + (ε t ρε t-1 ) (7-3-11) Y t = α +βx t + v t, t =,..,T Y t = Y t ρy t-1, α = (α ρα), X t = X t ρx t-1 Τ 1 個の観測値についてのCR BLUEは (7-3-10) のOLSE (7-3-1) b = Σ t x t Y t /Σ t x t x t はX t の平均からの偏差 (7-3-13) Var(b) = σ v /Σ t x t (7-3-7) のΣに対応したGLSE( みたいなもの ) 注意 ) 厳密には変形したΤ 1 個のデータは最初の観測値を使用しないためこの推定量はGLSEではなくしたがってBLUEではない実用上ある程度データ数が大きければ真のGLSEと (7-3-11) の差は十分小さい 13 系列相関の検定図による方法 1. 横軸に時間前期の値にどのように依存しているか時間とともに分散増大なら不均一分散 e t 今期 ( ア ) 系列相関なし e t-1 前期. 横軸 :e t-1 縦軸 :e t 系列相関なし原点を中心としてランダム ( 図 7-6( ア )) 正の相関第 I 第 III 象限に集中 ( 図 7-6( イ )) e t 今期 ( イ ) 正の系列相関 e t-1 前期 14 7

8 Durbin-Watson テスト Η 0 : ρ = 0 (7-3-14) DW = Σ t= (e t e t-1 ) /Σ t=1 e t 分子を展開 DW = (Σ t= e t + Σ t= e t-1 Σ t= e t e t-1 )/Σ t=1 e t Σ t= e t e t-1 /Σ t=1 e t ρ の推定値 (7-3-15) DW ρ (7-3-16) ρ= 1 - DW/ ρ の値は 1から +1 0<DW<4 ρ>0 0<DW< ρ<0 <DW<4 ρ = 0 DWはを中心に分布 15 図 7-7 DW 統計量の分布最も狭い場合最も広い場合 α 0 d L d U 4-d U 4-d L 4 DW 1.Τ が大きいと d L と d U はに近づきかつ差が小さくなる. 一定の T につき (k 1) が大きくなると d L,d U は小さくなりその差も大きくなる 16 8

9 図 7-8 DW 統計量による検定 H 0 を棄却 H 0 を棄却不確定 H 0 を棄却しない不確定負の相関正の相関 0 d L d U 4-d U 4-d L 4 DW 灰色ゾーンの扱い灰色ゾーンは受容と考えて運用しても大きな間違いではない 17 DW テストの制限 1. 検定は一階の系列相関についてのものであり高次の系列相関には適用できない. 説明変数が確率的な場合例えば説明変数にラグ付きの被説明変数 (Y t-1 ) が含まれている場合には使えない 3. 説明変数に定数項が含まれていない時には使えない 4. 横断面データでは意味を持たない 18 9

10 Durbin の h テスト説明変数に一期のラグ付きのY(Y t-1 ) が含まれる場合 (7-3-17) Y t = x t β+ γy t-1 + ε t x t はY t-1 以外のすべての説明変数ベクトル ρがゼロなら h = ρ n 1 nvar( γ ) Ν(0,1) Var( γ ) は (7-3-17) における係数 (γ) のOLSEの分散ステップ1:(7-3-17) をOLSで推定ステップ :OLSの結果から var( γ γ ) の推定値をメモステップ3:(7 3 16) により ρ を計算ステップ4: ステップ,3の値からhを計算ステップ5:hを標準正規分布の限界値と比べて検定 19 Bresch-Godfrey テスト撹乱項が p 階の自己回帰過程 (7 3 18) ε t = ρ 1 ε t-1 + ρ ε t ρ p ε t-p + v t H 0 : ρ 1 = ρ =..= ρ p = 0 ステップ1:OLSの残差 e t を求めるステップ:e t をすべての説明変数とp 個のラグ e t-1, e t-,..e t-p に回帰しR を求める標本数はT p 大標本では (T p)r χ (p) ステップ 3: (T p)r > χ (p) α なら H 0 を棄却 0 10

11 7.3.6 FGLS OLSの残差から分散行列のパラメータ (ρ) を推定 1.ρの一致推定量を求めた後もう一段階. 反復して収斂計算を行う Durbin の二段階法 (7-3-10) 左辺のρY t-1 を移項 (7-3-19) Y t = (α ρα) + βx t ρβx t-1 + ρy t-1 +v t ステップ1:(7-3-19) をOLS 推定 (Y t をX t,x t-1,y t-1 へ回帰 ) Y t-1 の係数をρの推定値 ( ρ ) ( 不偏ではないが一致性あり ) ステップ: ρ を使い (7-3-10) の変形を行いOLS Cochrane-Orcutt 法ステップ1:OLSによる残差を求めるステップ:e t をe t-1 に回帰して ρ を求める ( 定数項を使わない ) ステップ3: ρ を使って (7-3-10) の変形を行いOLS 1 Cochrane-Orcutt の反復法ステップ1: ρ の初期値を決める例えば Cochrane-Orcutt 法のステップもしくは (7-3-15) ステップ:Y t = Y t ˆρ Y t-1, X t = X t ˆρ X t-1 により Y,X を変形するステップ3:Y を X に回帰 α,βの推定値 (a.b) を求めるステップ4:Τ 個のε t の推定値を e t = Y t (a/(1 ˆρ )) bx t で計算するステップ5: ステップ4の e t を e t-1 に回帰して新たなρの推定値 ˆρ ( この回帰では定数項を使わない ) ステップに戻り新たな Y,X を計算するステップ 5を係数が収斂するまで反復収斂を判断するには ρ の変化が十分小さい ( 例えば以下 ) かを Check 通常は10 回以内の反復で収斂する 11

12 7.3 方程式システム例 1: 企業の投資関数企業 i の t 年度における投資 (I it ) 当該年度の企業に特有の要因 x it と年度において産業全体に影響する変数 (z t ) に依存個の企業について T 年間分のデータ (7-4-1) I it = f(x it, z t ) = x it β i + z t γ i + ε it, i = 1,..,, t = 1,..T i 番目の企業 var(ε it ) = σ i, cov(ε it,ε is ) = 0 ならCR 同一年度において企業間の攪乱項に相関があれば (7-4-) cov(ε it,ε jt ) = σ ij 0 ならシステム全体としては GCR 例 : 消費者需要システム線形支出体系 (Linear Expenditure System) 効用関数 (7-4-3) U = f(x 1,X,..X ) = α 1 ln(x 1 β 1 ) + α ln(x β ) +..+ α ln(x β Μ ) X i : i 財の消費量 ( α i,β i ) パラメータ β i : i 財の最低必要水準予算制約 :Y = p 1 X 1 +p X +..+ p X Y: 所得 p i : i 財価格 (7-4-4) p i X i = p i β i + α i (Y Σ j p j β j ) = p i β i + α i Y +Σ j γ ij p j, i=1,.., γ ij = α i β j (7-4-5) p i X i = p i β i + α i Y + Σ j γ ij p j + ε i, i=1,.., i 財についての CR (LHS は支出額 ) Cov(ε i,ε j ) = σ ij 0 本の式については GCR 4 1

13 7.4.3 SURE システム (7-4-6) Y 1 = X 1 β 1 + ε 1 Y = X β + ε.. Y = X β + ε 個々の式は CR (7-4-6) の個の式を積み重ね一本の式で表す (7-4-7) Y = Xβ + ε Y = L N Y1 Y : P, X = Y O P (7-4-8) Var(Y) = Σ = Q L N L X X :.. 0 P, β = N X O P σ11i σ1i.. σ1 I σ1i σi.. : : σiji.. : σ I σ I.. σ I 1 Seemingly Unrelated Regression Equations Q O Q P GCR L N O P Q β1 β : P, ε = β L N ε ε ε 1 : O Q P 5 SURE 推定量 Σは未知ステップ1: (7-4-6) の個の式を OLS で推定し残差 e 1,e,..,e を求めるステップ: Σの要素 σ ij を s ij = e i e j /n で推定し (7-4-8) に従い Σ を作成ステップ3: βの推定値を (X Σ 1 X) -1 X Σ 1 Y で計算 SURE 推定 FGLS の一種ステップ 1,,3 が収斂するまで反復反復 SURE 推定量は最尤推定量 SURE 推定量と反復 SURE 推定量の漸近分布は GLSE の分布と一致標本数が大きければ SURE 推定量は OLSE より有効 6 13

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Microsoft PowerPoint - e-stat(OLS).pptx 経済統計学 ( 補足 ) 最小二乗法について担当 : 小塚匡文 2015 年 11 月 19 日 ( 改訂版 ) 神戸大学経済学部 2015 年度後期開講授業補足 : 最小二乗法 ( 単回帰分析 ) 1.( 単純 ) 回帰分析とは? 標本サイズTの2 変数 ( ここではXとY) のデータが存在 YをXで説明する回帰方程式を推定するための方法 Y: 被説明変数 ( または従属変数 ) X: 説明変数