Z: Q: R: C:

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12 n n snn + )u) = snnu) = snu) P nsn 4 u)) Q n sn 4 u)), snn )u) = snu) sn u) P n sn 4 u)) Q n sn 4 u)) snu) P nsn 4 u)) Q n sn 4 u)) sn u) + snu) P nsn 4 u)) Q n sn 4 u)) sn u) = snu) sn u)p n sn 4 u))q n sn 4 u)) Q n sn 4 u)) + snu) 4 P n sn 4 u)) = snu) sn u) P n+sn 4 u)) Q n+ sn 4 u)). snu) sn u) P n sn 4 u)) Q n sn 4 u)) snu) sn u) P n sn 4 u)) Q n sn 4 u)) Q n+ x) = Q n x) { Q n x) + xp n x) }, P n+ x) = P n x)q n x)q n x) P n x) { Q n x) + xp n x) } Q n 0) = Q n 0) = Q n+ 0) = Q n+ x), P n+ x) Z[x] Q n+ 0) = ± Q n+ 0) =.8. P x) = Q x) =, P x) =, Q x) = + x.7 n Q n+ x) = Q n x) { Q n x) + x x)p n x) }, P n+ x) = x)p n x)q n x)q n x) P n x) { Q n x) + x x)p n x) }, n Q n+ x) = Q n x) { Q n x) + xp n x) }, P n+ x) = P n x)q n x)q n x) P n x) { Q n x) + xp n x) } Q 3 x) = Q x) { Q x) + x x)p x) } = + x) + 4x x) = + 6x 3x, P 3 x) = x)p x)q x)q x) P x) { Q x) + x x)p x) } = x) + x) { + x) + 4x x) } = 4 4x + 6x 3x ) = 3 6x x.

13 Q x) { Q 3 x) + xp 3 x) } = + x) { + 6x 3x ) + x3 6x x ) } = + x) + 0x 6x + 0x 3 + x 4 ), P 3 x)q 3 x)q x) P x) { Q 3 x) + xp 3 x) } = 3 6x x ) + 6x 3x ) + x) { + 6x 3x ) + x3 6x x ) } = 4 + x) 3 6x + x ). + x) Q 4 x) = + 0x 6x + 0x 3 + x 4, P 4 x) = 4 + x) 6x + x ). Q 5 x) = x + 5x ) + 5x 6x x 3 + x 4 ), P 5 x) = 5 x + x ) x 6x + 5x 3 + x 4 ) D C fz) D z D fz) z 0 D fz) fz 0 ) lim z z 0 z z 0 f z 0 ) fz) z = z 0 D fz) z D f z) fz) f z) fz) D f z) D fz) D fz) z 0 D α = lim z z0 fz) fz 0 ) z z 0 fz) fz 0 ) α, z z εz, z 0 ) = 0, z z 0 0, z = z 0

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20 z C y = 0 x gx) = n=0 n! xn = e x = fx) gz) = fz) z = x + iy e x cos y + ie x sin y = n! zn e z e z = e x cos y + ie x sin y = z z e z = n=0 n=0 n! zn = + z +! z + 3! z3 + ) n z n = z + n!! z 3! z3 +. n=0 ez + e z ) = +! z + 4! z4 + 6! z6 + = i ez e z ) = z + i 3! z3 + 5! z5 + ) 7! z7 + = i x = 0 y eiy + e iy ) =! y + 4! y4 6! y6 + = i eiy e iy ) = y 3! y3 + 5! y5 7! y7 + = n=0 n=0 n=0 n=0 n)! zn, n + )! zn+. ) n n)! yn, ) n n + )! yn+. cos y, sin y z cos z = eiz + e iz ), sin z = i eiz e iz ) cos z, sin z 3.0 Liouville ). fz) fz) 9

21 [ ] z C fz) M R > z < R fz) = a n z n n=0 R = {ζ C ζ R} a n = fζ) dζ πi R ζn+ a n π fζ) dζ M R ζ n+ πr n+ πr = M R n. R > 0 R a n = 0, n fz) = a 0 D c D R D c R 3.. D {c} fz) R a n = πi fz) = r n= a n z c) n fζ) dζ 0 < r < R). ζ c) n+ [ ] 0 < z c < R z ε, ε > 0, r, r > 0 0 < ε < ε z c r fζ) fz) < r < R gζ) = gζ) ζ D {c, z} ζ z 3.6 ζ = z Taylor fζ) = fz) + b ζ z) + b ζ z) + gζ) = fζ) fz) ζ z = b + b ζ z) + ζ = z ζ gζ) ζ D {c} gζ) {ζ D ε ζ c r} 3.3 r = {ζ ζ c r}, ε = {ζ ζ c ε} gζ) dζ = 0 r ε ) 0

22 gζ) dζ = gζ) dζ r ε 3.4 dζ =. πi r ζ z /ζ z) ε 3.3 dζ = 0. ε ζ z gζ) dζ = fζ) fz) dζ πi r πi r ζ z = fζ) fz) dζ πi r ζ z πi r ζ z dζ = fζ) dζ fz) πi r ζ z gζ) dζ = fζ) fz) dζ πi ε πi ε ζ z = πi = πi fz) = πi r ε ε fζ) fz) dζ ζ z πi fζ) ζ z dζ. fζ) ζ z dζ πi ε ζ z = z c) n ζ c) n+ n=0 ε ζ z dζ fζ) ζ z dζ. ζ r πi r fζ) ζ z dζ = n=0 a n z c) n, a n = πi r fζ) dζ. ζ c) n+ ζ z = ζ c) n z c) n+ n=0

23 ζ ε πi ε fζ) ζ z dζ = n=0 a n z c) n, a n = ζ c) n fζ) dζ. πi ε fz) z = c Laurent c fz) Laurent z c n= a n z c) n c fz) 3 i) fz) z = c D fz) z = c fc) = 0 c fz) fz) = a n z c) n n=0 a 0 = fc) = 0 fz) 0 a, a,... 0 a m fz) = z c) m a m + a m+ z c) + a m+ z c) + ), a m 0. m fz) m fz) z c) m gz) gz) = a m + a m+ z c) + a m+ z c) + c gz) 0 ii) 0 < z c < R fz) = a m z c) + + a m z c + n=0 a n z c) n, a m 0 c fz) m gz) = z c) m fz) = a m + a m+ z c) + a m+ z c) + z c < R gc) = a m 0 c gz) 0 iii) c fz)

24 a fz) c Res z=c [fz)] 3. r > 0 c r r r fζ) dζ = πi Res z=c [fz)]. 3.3 ). fz) D c,..., c m D D fz) dz = πi m Res z=cj [fz)]. [ ] r > 0 c j r r c j ) E = D m j= r c j ) fz) Ē = D m j= r c j ) o 3.3 fz) dz = 0 E j= E = D m j= r c j ) D fz) dz = m j= r c j ) fz) dz = πi m Res z=cj [fz)]. j= 3.4 ). fz) D C C D C fz) a,..., a m C fz) a j µ j b,..., b n C fz) b k ν k [ ] gz) = f z) fz) f z) πi C fz) dz = n µ j j= a D n k= fz) = z a) µ hz), hz) ha) 0 ν k gz) = µz a)µ hz) + z a) µ h z) z a) µ hz) = µ z a + h z) hz) 3

25 z = a h z) z = a gz) hz) µ gz) C a,..., a m, b,..., b n Res z=aj [gz)] = µ j, Res z=bk [gz)] = ν k 3.3) gz) dz = πi C m µ j j= n ν k. k= 3.5. fz) C C c U c fz) = g c z)/h c z), g c z), h c z) U c h c z) 0 fz) 4 4. d n dx n x) / = n)! n n! / x x = t 4 x = n=0 x) / n n)! n n!) xn. = n)! t 4 n n!) t4n. n=0 r < 0 r u = Lr) = r 0 = r + r 5 dt = n)! t 4 4n + ) n n!) r4n n=0 r r u = Lr) r = snu) r, r < r u du 0) = dr r = snu) u = 0 Lir) = ir + i 5 r i 9 r i 3 r = ilr) 4

26 sniu) = snilr)) = snlir)) = ir = i snu) i sn iu) = i sn u), sn iu) = sn u). snu) snx + iy) = snx) sn iy) + sn x) sniy) + sn x) sn iy) 4.. z = x + iy snz) = snx) sn y) + i sn x) sny) sn x) sn y) snz) = snx) sn y) + i sn x) sny) sn x) sn y) 4.) snz) 4.) z = x + iy sniz) = sn y + ix) = sn y) sn x) + i sn y) snx). sn y) sn x) sn y) = sny), sn y) = sn y) sniz) = sny) sn x) + i sn y) snx) sn y) sn x) = i snz). = isnx) sn y) + i sn x) sny)) sn x) sn y) i sn iz) = i sn z), sn iz) = sn z) 4.. snz) sniz) = i snz), sn iz) = sn z). 4.) ) snz) { Ω = z C z ϖ } m + ) + iϖ n + ) m, n Z) ) snz + w) = snz) sn w) + sn z) snw) + sn z) sn w) z, w C 5

27 3) z C m, n Z snz + mϖ + nϖi) = ) m+n snz) 4) sn z) = sn 4 z) [ ] ). snz) ux, y) vx, y) ux, y) = snx) sn y) sn x) sn y), vx, y) = sn x) sny) sn x) sn y) x snx) sn x) sn y) = 0 x = ϖ m + ), y = ϖ n + ) m, n Z) Ω ux, y), vx, y) u x = u y = v x = v y = sn x) sn y) sn x) sn y) + snx) sn x) sn y) snx) sn y) sn x) sn y)) = sn x) sn y) + sn x) sn y)) sn x) sn y)), snx) sn y) sn x) sn y) + snx) sny) sn y) snx) sn y) sn x) sn y)) = snx) sn3 y) sn x) sn y) + snx)3 sny) sn 4 y)) sn x) sn y)) = snx) sny)sn x) sn y)) sn x) sn y)), sn x) sny) sn x) sn y) + snx) sn x) sn y) sn x) sny) sn x) sn y)) = sn3 x) sny) sn x) sn y) + snx) sn3 y) sn 4 x)) sn x) sn y)) = snx) sny)sn y) sn x)) sn x) sn y)), sn x) sn y) sn x) sn y) + sny) sn y) sn x) sn x) sny) sn x) sn y)) = sn x) sn y) + sn x) sny) ) sn x) sn y)). u x = v y, u y = x x 6

28 Ω Ω snz) ). gz, w) = snz) sn w) + sn z) snw) + sn z) sn w) x 0 R snx 0 + w) gx 0, w) w. w R w C snx 0 + w) = gx 0, w) w 0 C snz + w 0 ) gz, w 0 ) z R z C snz + w 0 ) = gz, w 0 ) 3). 4.) m Z snmϖ) = 0, snmϖi) = i snmϖ) = 0, sn mϖi) = sn mϖ) = ) m. m, n Z snz + mϖ) = snz) sn mϖ) + sn z) snmϖ) + sn z) sn mϖ) snz + nϖi) = snz) sn nϖi) + sn z) snnϖi) + sn z) sn nϖi) = ) m snz), = ) n snz). snz + mϖ + nϖi) = ) n snz + mϖ) = ) n ) m snz) = ) m+n snz). 4). x sn x) = sn 4 x) 4. 3) m, n) =, ),, ) snz + + i)ϖ) = snz), snz + i)ϖ) = snz) 4.3) sn z + + i)ϖ) = sn z), sn z + i)ϖ) = sn z) 4.4) snz) sn z) C Λ = {m + i)ϖ + n i)ϖ m, n Z} 4. gz) z 0 C gz 0 ) = 0, g z 0 ) 0 z 0 gz) z 0 gz) = a + a n z z 0 ) n, a 0 z z 0 n=0 z 0 gz) 7

29 + i)ϖ + i) ϖ 0 ϖ i) ϖ i)ϖ 3: Λ 4.3. snz) z = m + in)ϖ, m, n Z snz) z = m + in) ϖ, m, n [ ] sn0) = 0, sn 0) = 4. 3) snz + m + in)ϖ) = ) m+n snz) z = m + in)ϖ, m, n Z snz) snϖ/) =, sn ϖ/) = 0 sn z + ϖ ) = snz) sn ϖ ) + sn z) sn ) ϖ ) = sn z) + sn z). + sn z) sn ϖ sniϖ/) = i snϖ/) = i, sn iϖ/) = sn ϖ/) = 0 sn z ± ϖ ) i = snz) sn ± ϖi) + sn z) sn ± ϖi) + sn z) sn ± ϖi) = ±i sn z) sn z). sn z) = sn 4 z) sn z + ϖ ) sn z ± ϖ ) i = ±i sn z) + sn z)) sn z)) 4.5) z z + ϖ/ snz + ϖ) sn z + ± i) ϖ ) = ±i. 8 = ±i. 4.5)

30 snϖ) = 0, sn ϖ) = snz + ϖ) = snz) sn ϖ) + sn z) snϖ) + sn z) sn ϖ) = snz) snz) sn z + ± i) ϖ ) = i. 4.6) z = 0 snz) sn 0) = lim z sn + ± i) ϖ ) i = lim z 0 z 0 snz) = lim z z sn + ± i) ϖ ) = lim z 0 z 0 iz snz) = i sn 0) = i z = ±i) ϖ snz) 4. 3) snz+mϖ+nϖi) = ) m+n snz) z = ±i) ϖ +mϖ+nϖi, m, n Z snz) 4. ) snz) z 0 snz) 4.6) z 0 + ± i) ϖ snz) m, n Z, z 0 + ± i) ϖ = ± i)ϖ + mϖ + nϖi, z 0 = mϖ + nϖi 4.4. w 0 snz) = w 0 z 0 C z 0 z = ) m+n z 0 + m + in)ϖ, m, n Z [ ] 0, i)ϖ, ϖ, + i)ϖ F F = {z C z = t i)ϖ + t + i)ϖ, 0 t, t }. a C F F [a] F [a] = {a + z z F }. C = F + Λ = F [a] + Λ fz) = snz) w 0 fz) snz) i)ϖ/ m + in)ϖ, m, n Z 3.7 fz) 9

31 ε F [ ε] fz) F [ ε] fz) Z fz) P 3.4 f z) dz = Z P 4.7) πi F [ ε] fz) F [ ε] + i)ϖ/ i)ϖ/ P = 4.7) F [ ε] F [ ε] 4 A, B, C, D A: ε ε + i)ϖ B: ε + i)ϖ ε + ϖ C: ε + ϖ ε + + i)ϖ D: ε + + i)ϖ ε snz), sn z) 4.3), 4.3) fz + + i)ϖ) = fz), f z + + i)ϖ) = f z), fz + i)ϖ) = fz), f z + i)ϖ) = f z) A B f z) fz) dz + C f z) ε+ i)ϖ fz) dz = = = 0, f z) fz) dz + f z) D fz) dz = = ε ε+ i)ϖ ε ε++i)ϖ ε ε++i)ϖ = 0. ε ε+ i)ϖ f z) fz) dz ε f z) fz) f z + + i)ϖ) fz + + i)ϖ) f z + i)ϖ) fz + i)ϖ) dz ε f z + i)ϖ) fz + i)ϖ) f z) fz) Z P = f z) dz = 0, πi F [ ε] fz) f z + + i)ϖ) fz + + i)ϖ) dz ) dz ε++i)ϖ ) dz f z) fz) dz Z P = 0, Z = P = F [ ε] fz) = snz) w 0 z 0 F [ ε] 4. 3) snz) m, n Z sn ) m+n z 0 + m + in)ϖ) = ) m+n sn ) m+n z 0 ) = snz 0 ) = w 0. 30

32 ) m+n z 0 + m + in)ϖ m =, n = 0 z 0 + ϖ C = F [ ε] + Λ a, b z = z 0 + ϖ + a i)ϖ + b + i)ϖ F [ ε] z = z 0 + {a + b + ) + ib a)}ϖ = ) a+b++b a z 0 + {a + b + ) + ib a)}ϖ z F [ ε] z z 0 z 0 z F [ ε] z = z 0 m = a + b +, n = b a m + n = b + z 0 = m + in) ϖ snz +ϖ) = snz) sn z +ϖ) = sn z) sn z + ϖ) = sn z) = sn z) sn z) sn z 0 ) = sn z ) = sn z 0 + ϖ + ϖ + a i)ϖ + b + i)ϖ) = sn z 0 + ϖ) = sn z 0 ). f z 0 ) = sn z 0 ) = 0 z 0 F [ ε] fz) + i)ϖ + i) ϖ 0 ϖ ϖ i) ϖ i)ϖ 4: F, F [z 0 ] 3

33 fz) C ω C fz + ω) = fz) ω fz) Λ fz) Λ 5.. C fz) R ω, ω fz) ω, ω ω, ω Λ = Zω + Zω fz + ω) = fz), ω Λ snz) sn z) + i)ϖ, i)ϖ ω, ω C R L = Zω + Zω L = L {0} 5.3. σ > ω L ω σ [ ] n Z, n > 0 nω nω, nω + nω, nω + nω, nω nω P n P n = {aω + bω a, b R, max a, b ) = n}. P n L = {aω + bω a, b Z, max a, b ) = n} P n L 4 + 4n + ) = 8n r > 0 z = r P ω P n L ω nr ω = σ ω L n= = n= ω P n L ω σ 8n n σ r σ = 8r σ n= ω P n L n= n σ r σ <. nσ 3

34 5.4. z) = z; L) z) = z + z ω) ) ω ω L 5.) 5.5. z) C L [ ] z C ω L g ω z) = z ω) z ω = z ω ω 3 z ω ) ) g ω z) C M > 0 N M z M ω N z ω ω z ω M ω N ω, ω N M z, z + z ω ω + ω z ω z ω ω ω ω =. ω = 5 4, z M, ω N g ω z) = z z ω ω 3 z z ω 3 ω 5 4 ) = 0 z ω 3 0M ω ω L ω N g ω z) ω L ω N 0M ω 3 0M ω L ω N ω 3 <. ω L g ω z) z M ω M z < M z z) = z + ω L ω <M g ω z) + 33 ω L ω M g ω z)

35 C z) z < M M > 0 z) C ω L g ω z) z = ω z ω < ε z = 0 z) C L 5.6. z) z) = ω L z ω) 3 L 3 [ ] M > z M ω L, ω M 5.3 ω L z ω ω z ω M ω ω = ω ω L ω M z ω 3 8 ω L ω M z ω) 3 = z 3 + ω L ω <M ω 8 3 ω <. 3 ω L z ω) 3 + ω L ω M z ω) 3 3 z M z 0 u ω) du = z 3 ω L ω L 0 u ω) du = 3 z ω) ) ω ω L ω M ω M ω M d dz ω L ω M z ω) ) ω d dz z ω) ω ω L ω <M 34 ) = ω L ω M = ω L ω <M z ω) 3 z ω) 3

36 z) = z 3 = z 3 = ω L + d dz ω L ω <M ω L ω <M z ω) 3. z ω) ) ω z ω) 3 + ω L ω M + d dz z ω) 3 ω L ω M z) L z) z) z ω) ) ω [ ] L = { ω ω L } z) = z) + z ω) ) ω ω L = z + z + ω) ) ω ω L = z + z ω ) ) = z). ω ω L z) = z ω) = 3 z + ω) 3 ω L ω L = z ω ) = 3 z). ω L 5.8. z), z) L [ ] z) ω 0 L L = ω 0 + L z + ω 0 ) = z + ω 0 ω) = 3 z ω ω 0 )) 3 ω L ω L = z ω ) = 3 z). ω L fz) = z+ω 0 ) z) f z) = 0 fz) = C C ω 0 = ω, ω z+ω ) z) = C, z+ω ) z) = C 35

37 C, C z = ω /, z = ω / z) C = ω /) ω /) = 0, C = ω /) ω /) = 0 z + ω ) = z), z + ω ) = z) sn z) = sn 4 z) z) z) z = 0 z), z) d = min{ ω ω L } > 0 r > 0 0 < r < d z) z z < r ω L ω d z < r z < r ω ω r d < z ω) = ω z ) = ω ω z ω) ω = z) z = ω L n= n= z ) n n + ), ω n=0 n + ω n+ zn. n + ω n+ zn. z) ) z = n + ) z n ω n+ n= ω L n 3 G n = G n L) = ω L ω n z) = z + n + )G n+ z n. n= L = L n G n L) = 0 z) z) = z + n + )G n+ z n 5.) n= 36

38 z r ω d < 5.3 ω L n= n= n + ω n+ z n = z ω 3 z ω 3 n= n= n + z ω n + ω n+ z n z ω 3 ω L r ) = d n r ) n z n = d ω 3 r ). d z r ) ω <. 3 ω L d z) z) z) = z + nn + )G 3 n+ z n 5.3) n= z) = z + 3G 4z + 5G 6 z 4 + 7G 8 z 6 +, z) = z 3 + 6G 4z + 0G 6 z 3 + 4G 8 z 5 + z) = 4 z 4G 6 4 z 80G G 4 68G 8 )z +, z) = z 4 + 6G 4 + 0G 6 z + 9G 4 + 4G 8 )z 4 +, z) 3 = z + 9G 6 4 z + 5G 6 + 7G 4 + G 8 )z + z) 4 z) 3 = 60G 4 z 40G 6 7G 4 + 5G 8 )z +, z) 4 z) G 4 z) = 40G G 4 + 5G 8 )z +. fz) = z) 4 z) G 4 z) fz) z < r z), z) ω L fz + ω) = fz) fz) z = ω L z), z) 37

39 fz) C F = {aω + bω a, b R, 0 a, b } fz) M z C z = z +ω, z F, ω L fz) = fz +ω) = fz ) M fz) C 3.0 fz) fz) = f0) = 60G 6 z) 4 z) G 4 z) = 60G 6, z) = 4 z) 3 60G 4 z) 60G 6 g = g L) = 60G 4 = 60 ω L ω 4, g 3 = g 3 L) = 40G 6 = 40 ω L ω 6 z) z) z) = 4 z) 3 g z) g 3 5.4) z) z) = z) z) g z), z) = 6 z) g. 5.5) z), z) F a C F [a] = F + a a F [a] z), z) F [a] z) Z P z) Z P ) z), z) Z = P, Z = P z) L P = z) L 3 P = 3 N = P =, N = P = 3 e = ω ) ω ), e =, e 3 = ) ω + ω z) ω /) = ω /) ω /) = ω / + ω ) = ω /) ω /) = ω /), 38

40 ω /) = 0 ω /) = 0, ω + ω )/) = 0 F z) 3 z) e k k =,, 3) z = ω k / ω 3 = ω + ω ) F z) e k z = ω k / e, e, e 3 5.4) z = ω k / 0 = 4e 3 k g e k g 3, k =,, 3 3 4X 3 g X g 3 C[X] 3 e, e, e 3 4X 3 g X g 3 = 4X e )X e )X e 3 ) 3 = g 3 7g 3 0 hx) = X e )X e )X e 3 ) = X 3 g 4 X g 3 4 h e ) = e e )e e 3 ) = 3e g 4, h e ) = e e )e e 3 ) = 3e g 4, h e 3 ) = e 3 e )e 3 e ) = 3e 3 g 4 = 6e e ) e e 3 ) e e 3 ) = h e )h e )h e 3 ) = 6 3e g ) 3e g ) 3e 3 g ) g 3 /4 = e e e 3 0 4e 3 k g e k g 3 = 0 e k = g 4 + g 3 4e k, 3e k g 4 = g + 3g 3 4e k, 39

41 g = 6 + 3g ) 3 g 4e + 3g ) 3 g 4e + 3g ) 3 4e 3 g 3 = 6 e + 3g ) 3 e + 3g ) 3 8e e e 3 g g = g3 e 3g ) 3 e 3g 3 e e e 3 g g = 8g3 h 3g ) 3 = 8g3 3g ) 3 3 g g 3 g g 3 g 4 = 7g 3 + 3g 3 g 3 = g 3 7g 3. e 3 + 3g 3 g ) e 3 3g 3 g 3g 3 g ) ) ) g 3 4 g 3 = 0 {k, l, m} = {,, 3}, e k = 0, e l = e m, e m = g /4 = 6 g ) 3 g 4 4 g ) 3 g 4 4 g ) 4 = g 3 = g 3 7g ω 3 = ω + ω e k = ω k /), k =,, 3 e, e, e 3 4X 3 g X g 3 = 4X e )X e )X e 3 ) = g 3 7g 3 0 F z) ω /, ω /, ω 3 / 3 k =,, 3 F z) e k ω k / ) 5. H = {z = x + iy C y > 0} k > G k τ) G k τ) = m,n) Z {0,0)} mτ + n) k, τ H L τ = Zτ + Z L C L τ = L τ {0} G k τ) = ω, τ H k ω L τ H H SL Z) k 40

42 γ = a c b d ) SL Z) jγ, τ) = cτ + d γτ) = aτ + b cτ + d G k γτ)) = jγ, τ) k G k τ) aτ + b, cτ + d L τ Z G k γτ)) = m,n) Z {0,0)} = cτ + d) k mγτ) + n) k m,n) Z {0,0)} maτ + b) + ncτ + d)) k = jγ, τ) k ω = jγ, k τ)k G k τ). ω L τ ) γ = G k τ + ) = G k τ) G k τ) 0 sin πτ sin πτ = πτ τ ). d= q = e πiτ τ + d= 5.6) τ k d Z d τ d + ) = π cot πτ τ + d τ + d) k = πi)k k )! = πi eiπτ + e iπτ q + = πi e iπτ e iπτ q = πi πi q m. 5.6) m=0 m k q m, k. 5.7) m= 4

43 k > G k τ) = c,d) Z {0,0} = d 0 = d= d + k cτ + d) k c= d Z d + k c= d Z = ζk) + πi)k k )! = ζk) + πi)k k )! cτ + d) + k c= d Z cτ + d) k 5.7) ) cτ + d) k m k q cm c= m= σ k n)q n. n= σ k n) = m n, m>0 mk g τ) = 60G 4 τ), g 3 τ) = 40G 6 τ) ζ4) = π 4 /90, ζ6) = π 6 /945 ) g τ) = 4π σ 3 n)q n, 5.8) 3 g 3 τ) = 8π n= ) σ 5 n)q n. 5.9) n= 5.3 snz) z) z) L = Zi + Z g 3 i) = 0 il = L G 6 i) = i 6 G 6 i) = ω L, ω 0 i 6 ω 6 = ω L, ω 0 ω 6 = G 6i). G 6 i) = 0, g 3 i) = 0 τ = i q = e π 5.8) g = g i) z) = 4 z) 3 g z) 4

44 iz) = z), iz) = i z) il = L iz) = iz) + iz ω) ) ω ω L, ω 0 = iz) + iz iω) ) iω) ω L, ω 0 = z ω L, ω 0 z ω) ω ) = z), iz) = iz ω) = 3 iz iω) 3 ω L ω L = i 3 ) z ω) = 3 i z). ω L x R, 0 < x < L = L x) = x + x ω) ω ω L, ω 0 = x + x ω) ω ω L, ω 0 ), ), = x), x) = x ω) = 3 x ω) = 3 x). ω L ω L x), x) y R, 0 < y < iy) = y) iy) = i y) ω = i, ω =, ω 3 = ω + ω = i +, e k = ω k /), k =,, e, e, e 3 4X 3 g X = 0 3 g e, e, e 3 0, ±a, a = g / ) i + e 3 = = i i + ) ) ) + i + i = = = e 3 e 3 = F z) = z) e 3 z = ω 3 / F z) z = ω /, ω /, ω 3 / 3 0 < x < x) 0 z = 0 x +0 x) + 43

45 0 < x < x) > 0 /) = 0 0 < x < x / x) 0 0 < x < x) x = / /) = a 0 < x < / x) < 0 / < x < x) > 0 x 0 < x < X, Y ) = x), x)) Y = 4X 3 g X X a i/) = /) = a z) = 4 z) z) a) z) + a). z + z ) = z ) z )) 4 z ) z )) z ) z ) x + i/) = x) i/)) x) i/) 4 x) i/)) x) = 4 x) + a) x) + a x) x) a) = x) + a x) + a a x) a) = x) + a. x 0 < x < x) a, + ) a x) a) x + i/) = x) + a a, 0) z) x + i/) = g x) x) + a) 0 < x < / x) < 0, / < x < x) > 0 x 0 < x < X, Y ) = x), x)) Y = 4X 3 g X a x 0 u = x) / < x < ) dx du = x) = 4 x)3 g x) = 4u3 g u = 4u3 4a u, = = du dx = / a 4u3 4a u. 44

46 u = at du/dt = at 3 a dt 4u3 4a u = a dt 0 t 3 4a 3 t 6 4a 3 t = dt. a t 4 0 dt ϖ = = a, 0 t 4 g i) = g = 4a = 4ϖ 4. Λ = Z + i)ϖ + Z i)ϖ Λ C + i)ϖl g Λ) = 60 ω Λ ω 0 = = ω 4 = 60 ω L ω i) 4 ϖ 4 g 3 Λ) = 40 ω Λ ω 0 = ω L ω 0 + i) 4 ϖ 4 4ϖ4 =, ω 6 = 40 ω L ω i) 6 ϖ 6 ω L ω 0 + i)ϖω) 4 ω 4 = + i) 4 ϖ 4 g L) + i)ϖω) 6 ω = 6 + i) 6 ϖ g 3L) = 0. 6 z) = z; L), z) = z; Λ) fz) = z) 5.5) z) f z) = z) z) z) z) z) = 4 z) 3 + z). 5.0) = 4 z) 3 + z) z)6 z) + /) 4 z) 3 + z) = 4 z) 3 + z) 6 z) 3 /) 4 z) 3 + z) = 4 z) 4 z) = 4 z) 3 z) 4 z) 3 + z)

47 fz) 4 = ) 4 z) 6 z) 4 = z) 4 z) 3 + z)) = 6 z) 4 z) + ) = 6 z) z) + 6 z) 4 z) + ) = 6 z) 4 8 z) + = 4 z) ) 4 z) + ) 4 z) + ) = f z). snz) sn z) fz) = snz) gz) = fz) snz) fz) ω = i + i)ϖ = +i)ϖ, ω = +i)ϖ +i)ϖz) = +i) ϖ z), +i)ϖz) = +i) 3 ϖ 3 z) Λ F z) ω /, ω /, ω 3 / ω 3 = ω + ω = iϖ F z) ω 3 / F z) 0 3 F z) 0 fz) = z)/ z) F ω / ω / 0 ω 3 / = ϖi 4.3 snz) z = m + in)ϖ, m, n Z snz) z = m + in) ϖ, m, n F 0, iϖ F ω /, ω / fz) snz) fz) snz) gz) = fz) snz) gz) C 3.0 gz) = C fz) = C snz) f z) = C sn z) f z) = 4 z) 4 z) + = 4z z)) z 4 4z z)) + z 4, z z) = + 3G 4 z 4 + f z) z = 0 f 0) = sn 0) = = C fz) = snz) 5.0. snz) = z) z), sn z) = 4 z) 4 z) n snnx) snx), sn x) n 46

48 Z[i] m + in, m, n Z Z[i] m + in Z[i] sniz) = i snz), sn iz) = sn z) snm + in)z) = snmz + inz) = snmz) sn inz) + sninz) sn mz) + sn mz) sn inz) = snmz) sn nz) + i snnz) sn mz). sn mz) sn nz) + i i sn + i)z) = + i) snz) sn z), sn 4 z) 6.) sn i)z) = i) snz) sn z). sn 4 z) 6.) α = a + ib Z[i] a + b α Nα) = αᾱ = a + b α α = +i)β, β Z[i] a+b = c, c Z a b = a+b b = c b β = α/ + i) β = i)a + ib) = a + b) + ib a) = c + ib c) Z[i] 6.. β Z[i] R β = {snz) z C, snβz) = 0} Nβ) sn α ϖ ), α Z[i] β [ ] 4.3 α Z[i] sn sn βα ϖ ) = snαϖ) = 0 β snβz) = α ϖ ) R β β βz = a + ib)ϖ, a, b Z 47

49 α = a + ib Z[i] α α 4.3 snϖ + z) = snz) z z snϖ z) = sn z) = snz) sn β α) ϖ β ) = sn ϖ α ϖ β ) = sn α ϖ β ) β α R β α, α Z[i] α α mod βz[i]) α = α+m+in)β, m, n Z α, α α α = m + in)β β m + in m + n sn α ϖ ) = sn α ϖβ ) β + m + in)ϖ = ) m+n sn α ϖ ) = sn α ϖ ) β β α, α Z[i] sn α ϖ ) = sn α ϖ ) β β ) w 0 = sn α ϖ 4.4 β α ϖ β = )m+n α ϖ β + m + in)ϖ, m, n Z α = ) m+n α + m + in)β ) m+n α, α, β m + in m + n α α mod βz[i]) Z[i]/βZ[i] α α + β R β Z[i]/βZ[i] #R β = #Z[i]/βZ[i]) = Nβ) 6.. β Z[i] Z[i][u] P β u), Q β u) ε {0,,, 3} ) z C ) β i ε mod + i)). snβz) = i ε snz) P βsn 4 z)) Q β sn 4 z)). 3) P β u) Q β u) d = Nβ) )/4 48

50 4) β up β u 4 ) snαϖ/β), α Z[i] 5) P β u) Q β 0) = ) Q β u) = u d P β, d = NN) u 4 [ ] 5 Step. β Z[i] P β u), Q β u) Z[i][u] Q β 0) = β snβz) = snz) P βsn 4 z)) Q β sn 4 z)) 6.3) β snβz) = snz) sn z) P βsn 4 z)) Q β sn 4 z)) 6.4) 4.) 6.).8) sniz) = i snz) 6.5) sn + i)z) = + i) snz) sn z). 6.6) sn 4 z) snβ + )z) + snβ )z) = snβz) sn z) + sn βz) sn z), 6.7) snβ + i)z) + snβ i)z) = snβz) sn z) sn βz) sn z). 6.8).7 β = n + i n = 0 6.5) n = 6.6) n β = n + i, β = n + i n 49

51 β = n + i n + i 6.7) snn + + i)z) = snn + i)) + snn + i)z) sn z) + sn n + i)z) sn z) = snz) P n +isn 4 z)) Q n +i sn 4 z)) + = snz) P n +isn 4 z)) Q n +i sn 4 z)) + snz) sn z) P n+isn 4 z)) Q n+i sn 4 z)) sn z) + sn z) sn z) P n+isn 4 z)) Q n+i sn 4 z)) sn z) snz) sn z) P n+i sn 4 z))q n+i sn 4 z)) Q n+i sn 4 z)) + sn 4 z) sn z) P n+i sn 4 z)) = snz) P n +isn 4 z)) Q n +i sn 4 z)) + snz) sn4 z))p n+i sn 4 z))q n+i sn 4 z)) Q n+i sn 4 z)) + sn 4 z) sn 4 z))p n+i sn 4 z)) = snz) P n++isn 4 z)) Q n++i sn 4 z)). Q n++i u) = Q n +i u) { Q n+i u) + u u)p n+i u) }, P n++i u) = P n +i u) { Q n+i u) + u u)p n+i u) } + u)p n+i u)q n+i u)q n +i u) Q n +i 0) = Q n+i 0) = Q n++i 0) = n β = n + i n + i 6.7) snn + + i)z) = snn + i)) + snn + i)z) sn z) + sn n + i)z) sn z) = snz) sn z) P n +isn 4 z)) Q n +i sn 4 z)) + snz) P n+isn 4 z)) Q n+i sn 4 z)) sn z) + sn z) P n+isn 4 z)) Q n+i sn 4 z)) sn z) = snz) sn z) P n +isn 4 z)) Q n +i sn 4 z)) + snz) sn z)p n+i sn 4 z))q n+i sn 4 z)) Q n+i sn 4 z)) + sn 4 z)p n+i sn 4 z)) = snz) sn z) P n++isn 4 z)) Q n++i sn 4 z)). Q n++i u) = Q n +i u) { Q n+i u) + up n+i u) }, P n++i u) = P n +i u) { Q n+i u) + up n+i u) } + P n+i u)q n+i u)q n +i u) 50

52 Q n +i 0) = Q n+i 0) = Q n++i 0) = n 0 snn+i)z) P n+i u), Q n+i u) Z[i][u] Q n+i 0) = n 0 snn + i)z).7 snnz) β = n, β = n + i m β = n + im ), β = n + im β = n + mi n + im ) 6.8) snn + im + ))z) = snn + im ))z) + snn + mi)z) sn z) sn n + mi)z) sn z) = snz) sn z) P n+im )sn 4 z)) Q n+im ) sn 4 z)) + snz) P n+imsn 4 z)) Q n+im sn 4 z)) sn z) snz) P n+imsn 4 z)) Q n+im sn 4 z)) sn z) = snz) sn z) P n+im )sn 4 z)) Q n+im ) sn 4 z)) + snz) sn z)p n+im sn 4 z))q n+im sn 4 z)) Q n+im sn 4 z)) snz) 4 P n+im sn 4 z)) = snz) sn z) P n+im+)sn 4 z)) Q n+im+) sn 4 z)). Q n+im+) u) = Q n+im ) u) { Q n+im u) up n+im u) }, P n++i u) = P n+im ) u) { Q n+im u) up n+im u) } + P n+im u)q n+im u)q n+im ) u) Q n+im ) 0) = Q n+im 0) = Q n+im+) 0) = β = n + mi n + im ) 6.8) snn + im + ))z) = snn + im ))z) + snn + mi)z) sn z) sn n + mi)z) sn z) = snz) P n+im )sn 4 z)) Q n+im ) sn 4 z)) + snz) sn z) P n+imsn 4 z)) Q n+im sn 4 z)) sn z) snz) sn z) P n+imsn 4 z)) Q n+im sn 4 z)) sn z) = snz) P n+im )sn 4 z)) Q n+im ) sn 4 z)) + snz) sn z) P n+im sn 4 z))q n+im sn 4 z)) Q n+im sn 4 z)) snz) 4 sn z) P n+im sn 4 z)) = snz) P n+im+)sn 4 z)) Q n+im+) sn 4 z)). 5

53 Q n+im+) u) = Q n+im ) u) { Q n+im u) u u)p n+im u) }, P n++i u) = P n+im ) u) { Q n+im u) u u)p n+im u) } + u)p n+im u)q n+im u)q n+im ) u) Q n+im ) 0) = Q n+im 0) = Q n+im+) 0) = n, m 0 snn + im)z) P n+im u), Q n+im u) Z[i][u] Q n+im 0) = sn m + in)z) = snin + im)z) = i snn + im)z), sn n im)z) = sn n + im)z) = snn + im)z), snm in)z) = sn in + im)z) = i snn + im)z) β Z[i] snβz) P β u), Q β u) Z[i][u] Step. P β u), Q β u) β Step P β u), Q β u) Z[i] Z[i][u] P β u) = C β u) P β u), Q β u) = C β u) Q β u), C β u), P β u), Q β u) Z[i]u), Pβ u) Q β u) Q β 0) = C β u), Pβ u), Qβ u) Z[i] = {±, ±i} Q β 0) = β snβz) = snz) P βsn 4 z)) Q β sn 4 z)) = snz) C βsn 4 z)) P β sn 4 z)) C β sn 4 z)) Q β sn 4 z)) = snz) P β sn 4 z)) Q β sn 4 z)). Step 3. i ε Z[i]/+i)Z[i]) 4 {±[], ±[i]} ε {0,,, 3} β i ε mod + i)) β = i ε + + i)m + in), m, n Z β ϖ = iε ϖ + + i)m + in)ϖ = iε ϖ + m + i)ϖ n i)ϖ sn β ϖ ) = sn i ε ϖ ) ϖ ) = i ε sn = i ε. 6.9) 5

54 P β u) Z[i] snβz) = i ε snz) P βsn 4 z)) Q β sn 4 z)) 6.0) P β u), Q β u) Z[i][u] ), ) 5) Q β 0) = Step 4. up β u 4 ) 6. A β u) = up β u 4 ) B β u) = Q β u 4 ) β snβz) = i ε A βsnz)) B β snz)) 6.) P β u) Q β u) au), bu) Z[i][u] γ Z[i], γ 0 au)p β u) + bu)q β u) = γ A β u) B β u) C w 0 Q β 0) = w 0 0 P β w 4 0) = Q β w 4 0) = 0 γ = aw 4 0)P β w 4 0) + bw 4 0)Q β w 4 0) = 0 γ 0 A β u) B β u) C A β snz)) = 0 snβz) = 0 A β u) w z C snz) A β u) 6. R β = {snz) snβz) = 0} 6. A β u) sn α ϖ ), α Z[i] β 4) A β u) u 0 = snz 0 ) A β u) A β u 0 ) = 0, A β u 0) = 0 B β u 0 ) 0 6.) z = z 0 sn βz 0 )β = i ε A β snz 0)) sn z 0 )B β snz 0 )) A β snz 0 ))B β snz 0 )) sn z 0 ) B β snz 0 )) = i ε sn z 0 ) A β u 0)B β u 0 ) A β u 0 )B β u 0 ) B β u 0 ) = 0. 53

55 sn βz 0 ) = 0 snβz 0 ) = i ε A β u 0 )/B β u 0 ) = 0 βz 0 snz) 4.3 A β u) A β u) #R β 6. Nβ) A β u) = up β u 4 ) deg P β u) = Nβ) )/4 = d 3) P β u) Step 5. P β u) Q β u) ) Q β u) = u d P β, d = Nβ) u 4 6.) Q β u) d Q β 0) = P β u) 6.) ) snz) sn z + + i) ϖ ) = i = i ) w = z + + i) ϖ snz) snw) = i ) z β snβz) sn βz + + i) ϖ ) = i 3. β i ε mod + i)) β ) + i) ϖ { 0 mod Λ), ε = 0,, ϖ mod Λ), ε =, 3. βw βz + i) ϖ = β ) + i)ϖ 0, ϖ mod Λ). ε = 0, snβz) snβw) = i 3 = i 3+ε, ε =, 3 snβz) snβw) = snβz) snβw + ϖ) = i 3, snβz) snβw) = i 3 = i 3+ε. 54

56 snβz) i ε snz) = iε snw) snβw) = Q βsn 4 w)) P β sn 4 w)) = Q β/ sn 4 z)) P β / sn 4 z)). 6.4) snz) snw) = i 3 4 sn 4 z) sn 4 w) = 6.0) Q β /u 4 ) P β /u 4 ) = P βu 4 ) Q β u 4 ) Q β /u) P β /u) = P βu) Q β u) deg P β u) = d = Nβ) )/4 deg Q β u) = d Q β /u) P β /u) = umaxd,d ) d u d Q β /u) u maxd,d ) d u d P β /u) = P βu) Q β u) Cu) u maxd,d ) d u d Q β /u) = Cu)P β u), u maxd,d ) d u d P β /u) = Cu)Q β u) maxd, d ) d + d = deg Cu) + d, maxd, d ) d + d = deg Cu) + d. maxd, d ) = deg Cu) + d = deg Cu) + d, d = d, deg Cu) = 0. Cu) = λ Q β u) d 6.0) z = ϖ/.0) i ε = sn β ϖ ) = i ε P β) Q β ). u d P β /u) = λq β u) 6.5) P β ) = Q β ) 0 6.5) u = λ = u d P β /u) = Q β u) 6.3. β = 3 N3) = 9, d = 9 )/4 = 3 i mod +i)).5 sn3z) = i snz) sn4 z) + sn 8 z) + 6 sn 4 z) 3 sn 8 z) P 3 u) = u + 6u 3, Q 3 u) = u P 3 /u) = + 6u 3u 55