Microsoft PowerPoint - 基礎IV演習1-8.pptx

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ゆあうづき
5 years ago
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1 地球惑星科学基礎 V 演習 3 次元の空間群第 6 回瀬雄介

2 2 次元空間群 3 次元空間群 2 次元空間群格並進 (p, ) 回転 (1, 2, 3, 4, 6) 鏡映 (m) 映進 (g) 3 次元空間群格並進 (P, I, F, A, B, C, R) 回転 (1, 2, 3, 4, 6) 回反 * (-1 [= i], -2 [= m], -3 = [3 i], -4, -6 [= 3/m]) らせん操作 * (2 1, 3 1, 3 2, 4 1, 4 2, 4 3, 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 ) 映進操作 (,,, n, e, d) * は 3 次元でのみ現れるもの

3 4 1 らせん 6 2 回らせん 1 周期 1 周期 1/4 周期 2/6 周期 N M らせん : 軸の周りに 360/N 回転したあと軸向に M/N 周期だけ平移動して図形を不変に保つ操作表記 : 2 1, 3 1, 3 2,

4 らせん軸の例

5 並進を伴うもの鏡映に引き続きある向に 1/n 周期平移動して図形を不変に保つ操作 1 周期 1/2 周期の向平移動の向と距離によって以下の 6 つに分類される表記の向向と距離軸に平軸の向に 1/2 周期軸に平軸の向に 1/2 周期軸に平軸の向に 1/2 周期 n,, 軸などに垂直の法線と直交する2 本の軸 ( あるいは合成軸 ) の対線向に1/2 周期 e,, 軸などに垂直の法線と直交する2 本の軸 ( あるいは合成軸 ) の向にそれぞれ1/2 周期 d,, 軸などに垂直の法線と直交する2 本の軸 ( あるいは合成軸 ) の対線向に1/4 周期

6 映進の例軸に垂直な映進の場合映進 : 軸に垂直な鏡映の後軸向に 1/2 進む映進 : 軸に垂直な鏡映の後軸向に 1/2 進む n 映進 : 軸に垂直な鏡映の後の合成ベクトルの向に 1/2 進む /2 /2 /2 /2

7 映進の例軸に垂直な映進の場合 e 映進 : 軸に垂直な鏡映の後軸向に1/2 進む軸に垂直な鏡映の後軸向に1/2 進む d 映進 : 軸に垂直な鏡映の後の合成ベクトルの向に 1/4 進む /2 ()/4 /2 /2 /2 ()/4 ()/4

8 3 次元の空間群の種類並進を含む対称操作平移動操作 ( 格並進 P, I, F, A, B, C, R) 回転操作 (2, 3, 4, 6) 回反操作 (-1 = i, -2 = m, -3, -4, -6 = 3/m) らせん操作 (2 1, 3 1, 3 2, 4 1, 4 2, 4 3, 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 ) 映進操作 (,,, n, d) の集合組み合わせによって 230 個に分類される P1 P-1 P2 P2 1 C2 Pm P Cm C P2/m P2 1 /m C2/m P2/ P2 1 / C2/ P222 P222 1 P P C222 1 C222 F222 I222 I Pmm2 Pm2 1 P2 Pm2 P2 1 Pn2 Pmn2 1 P2 Pn2 1 Pnn2 Cmm2 Cm2 1 C2 Amm2 Aem2 Am2 Ae2 Fmm2 Fdd2 Imm2 I2 Im2 Pmmm Pnnn Pm Pn Pmm Pnn Pmn P Pm Pn Pm Pnnm Pmmn Pn P Pnm Cmm Cme Cmmm Cm Cmme Ce Fmmm Fddd Immm Im I Imm P4 P4 1 P4 2 P4 3 I4 I4 1 P-4 I-4 P4/m P4 2 /m P4/n P4 2 /n I4/m I4 1 / P422 P P P P P P P I422 I P4mm P4m P4 2 m P4 2 nm P4 P4n P4 2 m P4 2 I4mm I4m I4 1 md I4 1 d P-42m P-42 P-42 1 m P-42 1 P-4m2 P-42 P-42 P-4n2 I-4m2 I-42 I-42m I-42d P4/mmm P4/m P4/nm P4/nn P4/mm P4/mn P4/nmm P4/n P4 2 /mm P4 2 /mm P4 2 /n P4 2 /nnm P4 2 /m P4 2 /mnm P4 2 /nm P4 2 /nm I4/mmm I4/mm I4 1 /md I4 1 /d P3 P3 1 P3 2 R3 P-3 R-3 P312 P321 P P P P R32 P3m1 P31m P31 P31 R3m R3 P-31m P-31 P-3m1 P-31 R-3m R-3 P6 P6 1 P6 5 P6 2 P6 4 P6 3 P-6 P6/m P6 3 /m P622 P P P P P P6mm P6 P6 3 m P6 3 m P-6m2 P-62 P-62m P-62 P6/mmm P6/m P6 3 /mm P6 3 /mm P23 F23 I23 P2 1 3 I2 1 3 Pm-3 Pn-3 Fm-3 Fd-3 Im-3 P-3 I-3 P432 P F432 F I432 P P I P-43m F-43m I-43m P-43n F-43 I-43d Pm-3m Pn-3n Pm-3n Pn-3m Fm-3m Fm-3 Fd-3m Fd-3 Im-3m I-3d すべての結晶は 230 種類の空間群のどれかに所属している

9 3 次元空間群の表記法 ( 最 ) 四つのパーツ W X Y Z で構成される Wには格並進要素を記する ( 必須 ) Xには主軸に平な回転回反らせん軸あるいは主軸に垂直な鏡映映進を記する ( 必須 ) 主軸以外 ( 副軸 ) に対称要素が存在する場合は Y, Zに記する軸に垂直な鏡映映進があるときは軸の表記に続けて / と記す主軸副軸のセッティング ( 順番 ) は結晶系に準拠する W X Y Z 格並進 : P, I, F, A, B, C, R 回転操作 (2, 3, 4, 6) 回反操作 (-1 = i, -2 = m, -3, -4, -6 = 3/m) らせん操作 (2 1, 3 1, 3 2, 4 1, 4 2, 4 3, 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 ) 映進操作 (,,, n, d)

10 空間群点群空間群が属している点群を知るためには格並進成分を除去 ( 最初の字を消す ) らせん軸を同じ次数の回転軸に変換 ( 下付き数字を消す ) 映進を鏡映に変換 ( すべての字アルファベットをmに変える ) W X Y Z らせん軸回転軸格並進 : 除去映進鏡映例 : 空間群点群 C 2/ 2/m I P 6 3 /m m 6/m m m I 4 3 d 4 3 m

11 語の整理軸に垂直な( 直交する ) あるいはに垂直な( 直交する ) 軸とは軸の向との法線が平であるある軸に対称が存在するといったときは軸に垂直な対称を意味する軸軸軸に平なあるいはに平な軸とは軸の向との法線が垂直である軸に平なあるいは軸に平な軸とは法線の向が致するあるいは軸の向が致する

12 空間群の例その 1 P 1 格並進は P ( 単純格 ) 主軸には 1 回回転軸 ( 恒等変換 ) 平移動のみがこの空間群に所属する図形を不変に保つ操作となる

13 空間群の例その 2 P m 格並進は P ( 単純格 ) 主軸に垂直な鏡映鏡映鏡映鏡映平移動に加えて主軸に垂直な鏡映操作が存在する

14 空間群の例その 3 P 4/m 格並進は P ( 単純格 ) 主軸に 4 回回転軸と主軸に垂直な鏡映鏡映鏡映鏡映

15 空間群の例その 4 C 2 格並進は C ( 底格 ) 主軸に 2 回回転軸 2 回回転軸底格

16 3 次元空間群の図法その 1 例 : P 2 ( 単斜晶系 ) 主軸である軸に 2 回回転軸が存在している β 対称要素般位置単位格を表す平四辺形紙に垂直な 2 回軸はその般点のさ ( 紙に垂直な向 ) が z であることをす任意の相対的なさと考える (0 とか 1/2 のように特殊ではない )

17 3 次元空間群の図法その 2 例 : P m ( 単斜晶系 ) 主軸である軸に垂直な鏡映が存在対称要素般位置紙に平な鏡映右左 - はその般点のさが -z であることをす (z は任意 ) 鏡で映る関係 : 重なったとき

18 3 次元空間群の図法その 2 の 2 例 : P m ( 単斜晶系 ) 主軸である軸に垂直な鏡映が存在紙に平な鏡映 1 z = (z) 1 z (= -z) z z 紙 (= 鏡 ) さ 0

19 3 次元空間群の図法その 3 例 : P 4 1 ( 正晶系 ) 主軸である軸に 4 1 らせん軸が存在している対称要素般位置 ½ ¼ ½ ¼ ¾ ¾ ½ ¼ ½ ¼ ¾ ¾ n その般点のさが n z であることをしめす (n は周期に対する割合をす & z は任意 )

20 3 次元空間群の図法その 3 の 2 例 : P 4 1 ( 正晶系 ) 主軸である軸に 4 1 らせん軸が存在している般位置 ½ ¼ ½ ¼ 1z ¾ ¾ ¾z ½z ½ ¼ ½ ¼ ¼z z ¾ ¾

21 3 次元空間群の図法その 4 例 : C 2 ( 単斜晶系 ) 底格をもち主軸である軸に 2 回軸が存在単位格を表す平四辺形対称要素般位置 ½ Cによって再 ½ 紙に垂直な 2 回軸 ½ ½ C によって再

22 3 次元空間群の図法その 5 例 : P ( 斜晶系 ),, 軸に 2 回回転軸を持つ対称要素般位置紙に平な 2 回軸を表す

23 3 次元空間群の図法その 6 例 : P m 2 1 ( 斜晶系 ) 軸に垂直な鏡映, 軸に垂直な映進, 軸に 2 1 らせん軸を持つ対称要素般位置紙に平な鏡映紙に平な 2 1 らせん軸を表す軸に垂直な軸映進がありその並進向が紙に沿った向 ( 軸の向 ) に 1/2 であることをしめす

24 3 次元空間群の図法その 6 補例 : P m 2 1 ( 斜晶系 ) 軸に垂直な鏡映, 軸に垂直な映進, 軸に 2 1 らせん軸を持つ対称要素紙に平な鏡映映進 z 映進 z 紙に平な 2 1 らせん軸に垂直な軸映進がありその並進向が紙に沿った向 ( 軸の向 ) に 1/2 であることをしめす m z 2 1 映進 m z 鏡映らせん 2 1 m

25 3 次元空間群の図法その 7 例 : P 4 2 /n ( 正晶系 ) 軸に垂直な 4 2 らせん軸とそれに垂直な n 映進対称要素 ½ ¼ 紙に平でさが 1/4 にある n 映進 ¼ ¼ 般位置 ½- ½ - 42 らせん ¼ ¼ - ½ ½- - 4 回回反さが 1/4 に対称

26 3 次元空間群の図法その 8 紙に平な対称 ( 鏡映 or 映進 ) あるいは対称軸 ( 回転回反らせん ) が存在する場合はその対称操作の近くにさを表す数字を書く ( 何もない場合はさ 0) 紙に平でさが 0 の位置に鏡映紙に平でさが 1/4 の位置に鏡映 ¼ 紙 ( さ 0) ¾ 紙に平でさが1/4の位置に2 1 らせん軸 ¼ ¼ ¼ ¼ 鏡映 or 映進 ½- z z z ½ ¼

27 空間群 / 点群 / 結晶系 / ブラベー格の関係格の形状を保つように並進を伴わない対称要素を付与並進成分を伴う対称要素を付与結晶系点群空間群 ( 単位格の形状の分類 ) 対称性を満たす格の形状を抽出 ( 並進を伴わない対称操作が作る群 ) 並進成分を除去 ( 格並進を含む対称要素が作る群 ) 単純格 (P) のみを残す複合格成分を付与格並進以外の対称要素を付与格並進のみを残すブラベー格 ( 複合格並進を考慮した格の分類 ) * 複合格 : 底 (A,B,C), 体 (I), (F), 菱 (R)

28 講義はここまで A4 プリントの問題に答えてください表記法のまとめ般位置の例対称要素の例右鏡で映る関係左 : 重なったとき : さが z の位置にある右 ¼ 紙に垂直な鏡映紙に垂直な軸映進 ( 並進向が紙に沿った向の 1/2) 紙に平な 2 回回転紙に平な 2 回らせんさが ¼ の位置にある対称 ¼ : さが ¼z の位置にある左 ¼ 紙に平でさが 1/4 にある n 映進時間内にレポートを提出できなかったは来週の授業までに A312 号室のドアに設置するレポートボックスに提出してください

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Microsoft PowerPoint - 基礎IV演習1-8.pptx 地球惑星科学基礎 V 演習群の概念結晶系とブラベー格の関係第 3 回瀬雄介 http://pmsl.planet.sci.kobe-u.ac.jp/~seto 並進を伴わないもの対称 ( 点対称 ) Center of symmetry, Inversion center 鏡映 ( 鏡 ) mirror 対称鏡映表記 : 1 (one bar) 表記 : m (mirror) 並進を伴わないもの