PAp T EVC=EVC pt ステップ 4 収束チェック (1) 行列 A が数値的に十分対角行列になったら正常終了 ( 固有値は A の対角部分 ) (2) 反復回数が n 2 を越えたら終了 ( 失敗 ) ステップ 5 ステヅプ 1 へ戻るヤコビ法 : 固有値固有ベクトル ( メインル

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るるみやなぎしま
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1 連載講座 111 川 11 川川川 11 川川川川 l l 川川川川川 11 川川川川川 l 川川川川川 11 川川 11 川川川川川川 11 川 l 川 11 川 11 川川川川川川 11 川 11 川川川 11 川 11 川川 11 川川 11 川川川川 11 川 11 川 " 川 " 川 11 川川川 11 川 11 " 川川 " 川 " l 川川川川川川 " 川 " 川 "1 川 " 川 " 川 " 川川 " 川 " 川川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 11 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 11 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 "1 川 11" 川 11 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 11 " " 川 11 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 " 川 11 " 川 " 川 " 川 " 川 11 " 11 ""1 行列演算用言語 LAMAX-S(2) 本郷茂, 八巻直一, 内田智史 1. はじめに前回では LAMAX-S の概要と比較的簡単な LAMAX S プログラムについて紹介しましたが今回は引き続き LAMAX-S のプログラムを通してよりきめ細か L 文法を説明して行きます今回からは行列表現の数式をそのまま LAMAX-S で占きドすための仕ブ i を示すために本格的な 3 つのプログラム例で紹介します教育的な配慮のために効率を考えす叫に行列 l の数式をそのまま LAMAX-S で表現していますしかし我々は LAMAX-S の最終目標として高度な最適化機能を実現し極力効率を落とさないように動作することを狙っていますしたがって今回ここで紹介するプログラムはすべて将米的な LAMAX-S の最適化機能を期待して特に効率化のための考慮は払わず記述性を重視していますまず最初に固有値固有ベクトルをヤコビ法で求めるプログラムを紹介します後半のプログラム例で紹介する多変量解析では固有値を求めることになりますが立立初からライブラリを利用するよりは実際に自分で I, 'd 干 J1 1!( を求めるアルゴリズムを確認するためのプログラミングが必要となるでしょうここで紹介するプログラムリストを見ていただければ LAMAX-S のプログラムと実際のアルゴリズムとの一致性を確認していただけると liiji~,h こプログラミングが i ィ慣れな人でも教科書 ( 教科冷はたくさんありますが今回のプログラムでは [1 ]) を凡ながら容易にコーディングできることが分かるでしょう次に多変単解析の '1' から主凶 : 時分析と主成分分析を取りあげ LA J\<IAX-S での基本的な統計社算の仕方から多変盤解析の具体的なプログラミングを示しますなお L:\:-'lAX-S の文法は 1992 年の日本 OR 学会事例研究奨励賞ソフトウェア部門授賞後もフルセット LAMAX-S 開発に向けての改訂作業が行われていますっここに IJ~ すプログラムは全て改訂された LAMAX-S の来 rr 文 l,t に沿ってコーディングされたものでありそのままでは LA t. IAX 一 S(PC98 版 ) では動作しないことをお附りしておきます実際に正 IJ I'I' させるためには新しいほんごうしげる専修大学 214 川崎市多摩区三田やまきうちだなおかず脚システム計画研究所さとし神奈川大学 ; 文法に対応させる簡易コンパータが用意されていますので必要な方に配布できるよう準備していますもちろんプログラムロジックなどは LAMAX-S(PC98 版 ) を JH いてチェックしであります 2, ヤコビ法による固有値固有ベクトル国有値固有ベクトルは LAMAX-S の組込み関数でも求めることができますが本節では LAMAX-S の例題として災対称 1 j!i'u の全間有値とそれに対する同台ーベクトルを求めるヤコビ法のプログラムを紹介しますこのプログラムはメインプログラムと固有値固有ベクトルを求めるサブルーチン (.JcbMtd) およびいくつかの補助サブルーチンからなりますメインプログラムでは (1) 単にデータをセットして (2) サブルーチン JcbMtd を呼び出して固有値固有ベクトルを計算し (3) その値を表示しているだけです実際の計算はサブルーチン JcbMtd で行われその内容は次のヤコビ法のアルゴリズムに従っています h )il] A の固有値固有ベクトルを求めるとしますステップ o t ニ o として, 固有ベクトルの初期点を決める EVC の初期値として単仇行列をセットするステップ 1 t= t+ l として, 行列 A の非対角要素の q, で絶対値最大のものを探す c aij(i 千 j) ここで I が行 j が列の番号を示す D ステップ 2 1I 胡 ; 角 θ の計算と座標変換行列 P の作成ただし, 1, u 主 S Cl IJ ti(} = 一三.11 +::. よ (} 二一一一二一ゾ 2 2,13 α= 円 aij ε== sign(αii これを用いて, 次の座標変換のための行列 P を作成する p は Pi ゎ l う j 以外の対角部分は 1. 0 でそれ以外の長京は 0 の行列ですが Pii cos(}, sino, Jう 2 二一日 11 0, Pjj =c 刷となる行列ですステ y プ :1 行刈 A の兇新と間有ベクトルの更新オベレーションズリサーチ

PAp T EVC=EVC pt ステップ 4 収束チェック (1) 行列 A が数値的に十分対角行列になったら正常終了 ( 固有値は A の対角部分 ) (2) 反復回数が n 2 を越えたら終了 ( 失敗 ) ステップ 5 ステヅプ 1 へ戻るヤコビ法 : 固有値固有ベクトル ( メインルーチン par 四 eter(n=4) <* 行列の次元数 <* 計算誤差の許容値

2 PAp T EVC=EVC pt ステップ 4 収束チェック (1) 行列 A が数値的に十分対角行列になったら正常終了 ( 固有値は A の対角部分 ) (2) 反復回数が n 2 を越えたら終了 ( 失敗 ) ステップ 5 ステヅプ 1 へ戻るヤコビ法 : 固有値固有ベクトル ( メインルーチン par 四 eter(n=4) <* 行列の次元数 <* 計算誤差の許容値 parameter(epssub=1e 3) 一致比較の許容値 <* 最大繰り返し回数 real:matrix[n, n:symmetric] A 併求める行列 real:matrixln~n] 制固有ベクトル <* 固有値 1, 2, 3, 4 付固有値固有ベクトルを ~) ~) ~) <* 求める行列のセット 4, 9, AA, EVL, EVC, n, eps, 固有値の表示 <* 固有ベクトルの表示 st~p ヤコビ法 : 固有値固有ベクトル { サブルーチン ) A, EVL, EVC, n, eps, 己注意 (1) 行 1 1) A の固有値固有ベクトルを求める (2) 行夢 1I A は, 対称行列である. (3) 行列 A は, 破壊されるユ nte 区 er n 本行列の次元数 :matri 玄 [n, n:sy 皿 etric] < 事求める行列 < 牟行斉 1I A の固有値 :r eal: 回 trix [n, n) <* 行列 A の国有ベクトル <* 計算誤差の許容値 <* エラーフラグ 0: 正常 1: 収束せず :tr 回 sfor 凶 P 制座標変換行列 alpha, beta, 柑 θ 計算用変数 < 市対角行列かどうかチェックー < 場繰り返し数白 ======= ステッ 7 0 初期設定 fv2;1 :di 喝 nal 同 c===== 雷同ステップ 1 非対角要素の中で絶対値最大のものを深す ã5m..xr(a, asm 日 cc A, c======== ステッ 7'2 回転角 θ の計算と座標変俊行列 P の作成, i] A[j,j])!2 sq;t(alpha* ホ 2+HI, J]**2) 1. 0ëQ,_A[i,i]-A[j,j]) 1:: 孟 iagonal[n] P[i,i] s 吐 rt( (1 +e5 冷 alpha!beta~ 本 0.5) P[i,jJ (ë~* A[~, j] )/(2*beta 事 P[ ェ, ュ ] p[i. ュ P, i],j] P[i,i] c======== ステソプ 3 行列 A の更新と固有ヘクト J L. の吏新 P 釘 t~pj ç;====::::=::: ス子ッ 7 4 収束チェック isform(a, diagonal, if(t gt.n*n)go ~l 星回取 h 2 なら終 f c======== ステッ 7 5 ステップ 1 へ戻ると--お話 :=:: ステッ 7 6 正常終了 :l e l:'rυ A 七 0> 固有値のセット c======= ミステァプ 7 異常終了 cont ユ nue LAMAX-S でのサブルーチンの使い方は FORTRAN に完全に準拠していますすなわち行列 ( ベクトルを含む ) をサブルーチンに引き渡す場合にはその構造要点の型数学的性質 ( 正定値など ) が完全に一致していなければなりませんサブルーチン JcbMtd では変数 A, EVL, EVC が J' 法 II 行 n 列の行列として宣言されています寸法 Jl は親のルーチンから受け取るのでこの宣言は FORTRAN の終合配列に似ていますド læ 標変換行 3 日 UP の宣言で * は P の寸法を意味します C LA l\ IAX ろではこのように宣言された行列を動的行列と呼びプログラムの実行中に寸法が変化しますロこれに対し寸法が明示された行列を静的行列と呼び Nl がプログラムの実行中変化しません静的行列の寸法は定数式でなくてはならないので P の寸法の宣言に n が i 記述できないのです (n は仮日数です )0 A, EVL, は仮ヲ i 数であるので n を寸法として記述できますっそこで P は n にどんな値が代入されても良いように動的 lijlj として宣三されています動的行列はデータが代人された時点か allocate 文によって明示的に指定された時点で記憶領域が割り当てられます frec 文によって明示的に領域を解放することもできますまた P :transformj の transform はこれが座伎一変換行列であることを意味しますこれについては後述します P J は P に単位行列をセッ卜することを意味していますっ LAMAX-S では l 値一構造という表現を同値要素行列と呼びこれは要素がすべて値 J のその構造をした行列を意味しますったとえば 0: [2, 3J は 2 行 3 JIJ のゼロ行列を意味します o :matrix [10, :uppeltrij はタ IJ で上三角部分の要素だけが 1 であとの要素はゼロのわ JIJ を意味します \\:;luaxr 関数は絶対 11 立が放火の行列要素の値のある ij の位置を返します出 nwxr I 対数には色今な制限や条例を付けることができます拙 maxr(a,-diagonal)! ま対角 1!!~ を除く J という条件ですっ as J1l axc 関数は同様に列の位置を返します asmaxr と耐 maxc が別々に記述されていても LAMAX-S の最適化機能によって最大値の検栄は 1! 支しか行われませんので効率は低下しません 1 凶 fol'l1l 関数は与えられた行列の非ゼロの配置が特定の構造になっているかどうかを判断します isform( A, 山 lιollal 叩 s ) は行列 A が与えられた計算機イプシロンの '1 1 で対角行列になっているかどうかを判断します内 A<O> という表現は行列 A の対角部分を取りだしそ 1993 年 3 月号

3 ftseeeeez--れをベクトルとして扱うことを意味します EVL=A<O> は行列 A の対角部分をベクトル EVL に代入することを意味しますこのプログラムの特徴は座標変換行列 P にあります教科書の記述と全く同じに記述するという目的でプログラムを作成したので P という座標変換行列を作成した訳ですが実際には行列の回転を行うだけであり計算量はそれほど多くありません p* 帥? という計算をその記述どうりまじめに行うと采算が 2 問必要となってしまいますしかし座様変換行列という指定をすることで LAMAX-S プリプロセッサの最適化機能によって無駄な計算がなくなります 3. 統計の初歩の計算と重回帰分析主成分分析多変量解析の教科書の解説で代表的な重回帰分析と主成分分析を題材にして, それぞれの解析のアルゴリズムを行列表現のまま LAMAX-S でプログラムしてみましょうただし, おことわりしておきますが, この節ではプログラムの記述性を重視しましたので, 実行効率や数値計算上での誤差が少なくなるような工夫はしてありません実際に, アプリケーションプログラムを作成するときの LAMAX-S での工夫の仕方は別の機会にしますまず最初に, 統計の初歩の計算である 1 変量の平均分散などの基本的な表現から, 多変量を扱う場合での分散共分散行列や相関係数行列をいかにして LAMAX-S で表現したらよいかについて説明します 1 変量での平均は. n 個のデータを成分とする n 次元ベクトル x (X I, X3, ] Xn)t の列ベクトルと. 1 聞の 1 を各要素とする n 次元ベクトル ln (1, 1,, 1) の行ベクトルとを用いて表現することができますその数式を LAMAX-S では次のように記述します平均言 = -xlη あるいは, 行和をもとめる LAMAX-S の組込み関数を用いて記述することもできます各要素が全て 1 のベクトルを. LAMAX-S では, と記述しますここでの vector は列ベクト J レを. 1 ま行ベクトルを意味しています同様に 1 変量の分散は, 11 f 聞の 1 を各要素とする n 次元ベクトル ln (1, 1,, l)t の列ベクトルを用いて偏差の 2 采和で表現します分散 S2=j(x 一言 ln)t(x 一言 ln) Xrn,S2 1:: 主 vec 七 r[n]*x/n :vector[n])' ホ (X-Xrn*1::vector[n]) :vec 七 or[n] 咋 m の記述で全ての要素が平均値となる 11 次元列ベクトルが計算でき, その値を 11 次元ベクトル x から引くことで偏差になりますの次に, データが n 個で p 変数の多変量の場合の平均と分散共分散行列について表してみましょう多変量の平均と分散共分散行列は変量の場合のベクトルの表現が行列に変わりますが. I<.J じ様な記述により去すことができますっいま, 多変量のデータ X を, 1 咽 24: 勺e 一- - 一 -n EEEEEEE'E,/ nの (n xp) 行列とすると, 平均は p 次元ベクトルとなり分散共分散は (p p) 行列 S となります平均宮.!.lnX 分散 S=i(X-1nJ 仰ー l nxp xd) ただし, lnx Jl は全ての要素が 1 の (71, p) 行列で. は対角要素が平均値の (n p), 対角行列です, a,eeae, 一 EEUE -一九 a M 一a a - - 一F- '- %z X-l 副上式の nxp xd は, 各変数の偏差を計算しています次式でも分散共分散行列を求めることもできます x は p 次元行ベクトルです S ニ.!.xtx-xtx 平均値ベクトルと分散共分散行列を LAMAX-S で記述してみましょう e オベレーションズリサーチ

4 一引叩一円一z 冒-oa+- lbel--'siあるいは real:matrix[n,p] real:matrix[p,p:diagonal] real:matrix[p,p] l::matrix[n,p]*xmd)'* (X-l::ma: 七 rix [n,pj real:matrix[n,p] real:matrix[p,p] X' キ X/n 今までの節でも LAMAX-S の文法を述べていますが, 多少解りにくい箇所がありますので, この平均値を対角行列に持つ変数 Xmd について LAMAX-S の記述の仕方を説明します Xmd は対角行列として宣言しておくと対角以外の要素は全て O とみなして演算してくれます LAMAX-S て注意すべきことは, 対角の要素に平均値ベクトルの要素を代入するとき. [n] はで求めた平均値 ( 行ベクトル ) を列ベクトルにしてからでないと対角行列の対角要素に代入することはできません Xmd :rvector[n]*x), と記述すると, その演算結果の Xmd は, 次のような (p p) 一対角行列になりますれハHuワM0 一/ 句ここで. 転置の. を付けないと正しく実行されません各変数の平均偏差は. l::matrix[n, p]*xmd で求めています 1 [n, p] は, 全ての要素が l の (n 行列を表していますしたがって. の演算結果は, の (n p) 行列となります一一JrgEEEEEE '\st-z 一 z.z一-h一向: 一UM :matrix[n,p]*xmd 統計の初歩の計算の最後として. p 変数の杵 1 関係数行列を LAMAX-S で表現してみましょう相関係数は, 一一一一 ~..;s;;..; 可 7 で求めますなおここで Sij は変数 i, j の共分散 Sii, は変数 i, j の分散ですこの 1'ij を要素とする (pxp) 相関係数行列 R は, ゾ訂 1,, pp を対角要素とする (pxp) 対角行列 D を用いて, 次のように表現するとができますこの式を LAMAX-S で記述してみましょう :matrix[n,p] real:matrix[p,p] reee -matr xdtnp可a 目ムmatrzLy,, ゐsムm rs,vectrtn白1τよsxjgyp" *J日可=Dro 晶wrnt司 r1jrr* f tud a,, キ * - キ T牟円キr J目司免可日晶明* 二刊L時 r Mgn四, -,, DRD司 JV < ここで. DiagSqrt は分散共分敢行列の対角要素だけを取りだしその平方根を求め結果を列ベクトルとして戻す関数ですこの結果は, 各変数の標準偏差となっています DiagSqrt 関数は. 3LAMAX-S の組み込み関数ではありません各自で作成してみてくださいこの他に. データを規準化 ( 平均 O. 分散 1) してから相関係数行列を求めることもできます具体的な記述については, ここでは省略しますが, 実際のプログラム例は主成分分析の最初 j の部分に表現してありますので参考にしてください多変量解析の基礎的な数式を行列表現で記述した本も多く出版されています [2, 3] また.,BASIC などのプログラミンク P 言語で書かれたプログラムリストも一緒に掲載されている本もありますので参考にされるとよいでしょう [3]0 さて, 今まで書いてきました平均, 分散, 相関係数行声 IJ の LAMAX-S プログラムを使って, 重回帰分析と主成分分析プログラムを作ってみますどちらも. 00 行程度のプログラムで表現できています計算方法の詳細についてはここでは述べません具体的には, 参考文献 [2, 3] などをご覧ください LAMAX-S で記述したプログラムは, 参考文献問の内容を基に作成してみました重回帰分析と主成分分析プログラムの説明は, 紙面の結合で詳しくできませんが, プログラム内に注釈を入れておきましたので参考にしてください例示したプログラムでは, 次のような内容の計算が行われています 1993 年 3 月号

5 重回帰分析のプログラム概要 - データの平均, 分散共分散行列. 相関係数行列. データの中から規準変数 ( 目的変数 y) と説明 &' 数 (X) をよさび重凶帰分析偏回帰係数の推定値の計算 :le 規方程式 xty の係数 b を連立次方程式を解く solve 文を用いて求めます - 重相関係数, 推定値 b の標準偏差. 11 宣主成分分析のプログラム概要データの規準化, 相関係数行列 - 固有値, 固有ベクトル EIGENVV プログラムリストは省略しています 0 主成分負荷量, 主成分得点 4. おわりに第 1 回では. FORATAN と LAMAX-S のプログラムを対比しながら例示しましたが, 今回の第 2 回目では, LAMAX-S の文法を含めてより具体的な応月! として行列の固有値解法と多変量解析のプログラムを例示しました門プログラムの説明では多少不足しているところもありますが. LAMAX-S で記述したプログラムの記述性を凡ていただけたかとおもいます私共は, この LAMAX 一円を用いて教育の現場で優れた教育効果があげられるよう使っていただきたいと願っております次回は, 本連載の最終回となります最終回では, 数理言 j.ì 酉の事例を紹介して, さらに, 今後の LAMAX-S の将来構想についても述べたいとおもいます参考文献 1 戸川隼人 : 詳解数値計算演習共立出版竹内啓他. 多変量解析の基礎, 東洋経済新報札 3. 柳井春夫他 : 多家量解析ノンドフゃック, 現代数学社. C 一一重回帰分析 real*8: 回.trix[*, ホl Xr 牟データ real 8: <* データの平均値 realキ 8:vector[ 申 ] 榊データの標準備差 real 唱団.atrix(*,.J <* データの分散共分散行列 real 時 : 田町 ix[*, *J C 日 RR <* データの相関係数行列 real*8 matri 玄 [ 事.*] 作業用変数 real*8 vector[*] <* 基準変数 real 事 8:matrix[* 榊説明変数 <* 偏回帰係数 {β) の推定値 (b) [ キ 1 <* 基準変数の予測値 real 傘 8:vector[ 1 国残差 -0 残差の分散 real 牟 8 real*8:matr エ玄 [*.*] real 8 vector[*j <* 残差の標準偏差 b の分散 b の標準噌差 real 稼 8:vector[*] <*β ュ =0 検定の t 値 Fv 本 β2= 胃 βf=o 検定の F 値目付決定係数制重相関係数日 <* 自由度調整涜み決定係数町付自由度調整済み重相関慌数 real 事 8 [ l 制作業用変数創刊!l qrt <* 対角要素の平方根を求める関数, P~PO r~~d(*.*)_)l.p N: 観測データの数 P: 変数の数 read(*. 吋 ((Xr [i, j J,ì=l,P), i=1, N) HEAN 玄 O 宵 sum(xr)/dble( 的制平均の計草 MEAN' 傘 HEAB 榊分散共分散行列の計算 <* 標準偏差の計算 (0** ト1)) 刊日 VAR* (0**(-1)) <* 相関係数行列の計算 write(*. 吋 ' データ ' mp 士 int(xr) writec*. 吋 ' 平均値, 標準偏差 ' m:p rint け阻 AN 勺 S 副 write(*. 吋 ' 分散共分散 ' mp i: i D.t(C_Ö~a? 首町玄 ite( 収牟円,* 吋 ). 相関係数, 品叫 1 口 1 fア玄一一 t(ωc 日凹 RR COl 忍,t エ e 首 ritel 傘, 事 ),---- ー司自向胴胴----, wri 七 e(*. 吋 ' 重回帰分析. 吋 ' 基準変数の番号 ~*) ユf( NOEP 0) 箆 oto 町 i~eç*. り ' 分析用に取り込む劃明変数の個数と番号.. ~ り PO,( 工 S( 工 : 工 =ï;po)- write(*~ 吋 ' 困ーーー. 二 ι.. -, 町 ite(* 〆 ), 基準変数の番号 ;J writ l!(*. 吋 ' 分析用に取 2.: 込んた智明実数の番号ソ, (IS(I), I=1, PO) N 主 [!:H, HOEP] <* 説明変数の抜き取り μ=v + :1I 泡 Il~ 旦手七玄 i 玄 [H, P] i:;:1,po 本 1 カラム目は定数項とする Xr[1:N, 工 S(i)] ホ説明変数の抜き取り *x) キ B X' 可制偏回帰 { 高数 β の推定値 b 円計算 ~ <* 基準変数の予測値の計算 <* 残差の計草 (YE' 叫ー目時四 (Y l**:j )!dbl.(n) Y' 叫ー ( 目間四 (Y)**2)/db1e(H)) 制決定係数 SQRT<R2) 引童相関係数回 2= 1. 0dO db1e(n-1)!db1e(n-p)*<1.<* 自由度調整旦由度調整潰み重相関係数 SGM2= 田川 UE db1e(n- 円残差の分蔽残差の槙準偏差 VA 阻 = SGH2!(X' 叫 } 付 b の分散 diagsqrt(varb, P) 科 b の標準偏差 =B Y. SDB t 値 =(R2!dble.ω:1),OdO-R2)!dble(N-P)) 制 F 値冒 rite(*, 吋 ' 君事明変数 ; 観測値の数 (1), 変数の数 P):', N, P 宵 rite(*.*), 偏回帰係数 β の推定値 b, b の標準偏差, t 値 ' ~. 値の自由度 H~P)=', N-P 町 ite(*.*), 決定係数, 重視関係数イif-F $自., e白aa.f,f,, e残aa'rnue 差基準V0H調調自分標数阻整整由散準わ由由値値度度ののの変 FH涜済度偏差決定重相し変数係関トの数係数め測予hho-ιtttttlotwwwwwwwczoC f,,r2, R ARzPFVZ4HPシ冒 aa,臨 VaH動'町田圭r残基げ,*阻差準 r値 r 店{42広オベレーションズリサーチ

6 むわ積今レ'〆 '本c---- 主成分分析 <* データ数, 変数の数目.1 8:mat :r i 玄白井 ] 榊データ ~ ] 借偏差制基準化 e.1 8:rvect~r[*]- <* 変散の空均値 :r eal 時 :matr 江 [*.*] <* 変数の標準偏差 1 8:matr 江 [ 九時 Hd 制作業用変数 real*8:matri 玄 r.: ] 制作業用変数 <* 分散共骨散行列 e a1 柑 :m 叫口玄ら :*j <* 相関係数行列 re a1 時 :vector[*j <* 寄与串 α 皿 CR <* 累積寄与率 rea1 崎市 atrix[*~ 吋 FScore <* 主成分得点 rea1 時 : 回.trix[ 仁 *] 制主成分負荷量出品時 :vector[*] <* 坦有値 real 時 :matrix[*~*] 併固有ベクトル real 時 :vector[*j 開制固有値の累積 ï.8;~~t~i~[* : 寸 D 榊固有値の平方根 ( 対角行要 1)).1 時 : 皿 ã.trix[*: ヰ ] 制力イ 2 乗値と自由度玄 e.1 時 ~;~~t~r[*j <* 対角要素の平方根を求める関数.1 時間.rml.rm2, rm3. 由作業用変数 <* 作業用変数 irow< Xr> icol<xr) ro 問団 (Xr)1 曲 1.ω 平均値 ~4 o::~~!~x[p.p] :matr~x_[n, p]*md <* 偏差 <* 分散共分散行列 <* 標準備差 O::mãtrix[p,p] <* 変数的基準化事相関係数行列 :vector~p] :matr エ玄 [p, p] <<<< ' EIGEIIVV(R, p, EVAL~EVEC) :10 冒 er_trijp]*eval C 聞 CR _CUM/CUMÇp~ O.OdO::ma 乞 ri i: [p, p] ~ a~ ~0\=1.P icfc EVAL [i].g 色.O dO) < 権主成分の抽出個数 i~(eval [il E 色 ~O.O,!O) :p~ ~ より大きい固有値の数 D~i, i] sqrt(m 世 (O.OdO, ws)) 制固有値の平方根 EVEC 事 D 借主成分負荷量 Xd 噂 FLoad[ 事, 1:pm] 開第 ( D [1 :pm, l:pmi' 咽 Ç1 :pm, l:pm])"( 1 帯主成分得占 ~=O.pz-l ~238 j=m+1,pz 定叫 =;,.1+1óg(~V~W) ~= 皿.2+EVAL[j]/<p-m) :rm.'j =rm 計四 2 材 2/(EVAL (m] -r 叫料 2 曲誌唱 1 dble(2*(p.m) 柿 2 句 -m+2) )+r"", CHIDF[, 酎 1, 1]= 曲*Î'm1 Cp-m) 吐 g(rm2) < 事力イ 2 乗値 [m+1,2] <* 自由度 write(*. 吋 ' 棺関係数行列 ' ite(*. 吋 ' 固有値, 寄与車, 累積寄与率見方イ 2 乗値, 自由度 ' call 噌 rint Cl EVι; érate, α 皿 th. ;CHIDFI 冒 ritec+-,* ' 正規化された固有ベクトル ' call 時 rint EVEC).* ' 主成分負荷量 ' mp 士 int(flo.d) lfrite(*. 吋, 1 以上町固有値に対応する主成分得点 ' 冒 rite(*: 吋以上司固有値の個数, ca~l CFSc 四困黒率値値園田寄黒有有与積'の与率寄UNIX ワークステーションによる科学技術計算ハンドヂァク基礎篇 C 言語版戸川隼人著 A5 判定価 9800 円 ( 税込 ) 本書は, 近年のコンビュータ技術の進歩により生み出された低価格高性能の ws を, 十分に活用するため普通の参考書の 2 倍以上の買数を使って, 最新技術をすぐに役に立つ形で鮮践し, ec 冨簡によるプログラム例を 80 本収録, そのフロッピディスクを標準添付した, 理工系研究者, 技術者, 院生に必携の書. 主要目次ワークステーション UNIX の操作法の要点 C 言語の要点基礎知識線形計算非線形方程式行列の固有値問題補間近似数値積分常微分方程式 3 月号 / 発売中 / 定価 930 円連載ーネットワークの辻ぱなし証明とプログラムと texinfo を活用する Object でオブジェクト指向 Mac で CLOS 遺伝的アルゴリズムの基礎他刊誌低次元多様体ゲージ理論の導入によって, 低次元多様体論は大きな拡がりを経験することになりトポロジーという枠を越えて 2, 3, 4 次元のゲージ理論の統ーをつくることが重要な課題になっている. 低次元多様体とはなにか / 低次元物語 / 曲面とその写像類群 /3 次元多様体の位相不変量 /3 次元多様体論と双曲幾何学 /3 次元多様体のトポロジーと幾何学 /4 次元のトポロジー他サイエンス社東京都千代田区神田須田町 2-4 安部信ピル宮張替東京年 3 月号

Microsoft Word - 補論3.2

Microsoft Word - 補論3.2 補論 3. 多変量 GARC モデル 07//6 新谷元嗣藪友良対数尤度関数 3 章 7 節では変量の対数尤度を求めたここでは多変量の場合とくに変量について対数尤度を求める誤差項は平均 0 で次元の正規分布に従うとする単純化のため分散と共分散は時間を通じて一定としよう ( この仮定は後で変更される ) したがって ij から添え字を除くことができるこのときとの尤度関数は